Sổ Tay Toán HọcTổng Hợp

sổ tay tập hợp những kiên thức toán học 10,11,12dành chô on thi tốt nghiêp đại họcsổ tay tập hợp những kiên thức toán học 10,11,12dành chô on thi tốt nghiêp đại họcsổ tay tập hợp những kiên thức toán học 10,11,12dành chô on thi tốt nghiêp đại học

LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Trần Quốc Đạo KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: ƠN TẬP – CƠNG THỨC I Tam thức bậc hai:  a  b   c    x   , ax  bx  c     a       a  b   c    x   , ax  bx  c     a       Cho phương trình : ax2 + bx + c = Giả sử phương trình có nghiệm x1 ; x thì: b c S  x1  x   ; P  x1.x  a a a   Pt có nghiệm phân biệt     a   Pt có nghiệm kép     a    Pt vơ nghiệm  b  c   a       Pt có nghiệm trái dấu  P     Pt có nghiệm dấu   P   Pt có nghiệm phân biệt dương     P  S    Pt có nghiệm phân biệt âm     P  S   II Đa thức bậc ba:  Cho phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = Giả sử phương trình có nghiệm x1; x ; x thì: b c S  x1  x  x   ; x1.x  x x  x 3.x1   ; a a d P  x1.x x  a III Đạo hàm: BẢNG ĐẠO HÀM (kx)'  k (ku)'  k.u ' (x  )'  .x 1 (u  )'  .u '.u ( x)'  1 u' ( u)'  x  u ' ' 1    x x u' 1    u u (sin x)'  cos x (sin u)'  u '.cos u (cos x)'  sin x (cos u)'  u '.sin u (tan x) '  (cot x) '  cos x 1 sin x (ex ) '  ex (ln x) '  (cot u) '  u ' sin u (eu ) '  u '.eu x  log a x  '  u' cos u (tan u) '  (ln u) '  x ln a (a x ) '  a x ln a u' u  loga u  '  u' u ln a (a u ) '  u '.a u ln a Quy tắc tính đạo hàm (u  v) = u  v (uv) = uv + vu  u  uv  vu (v  0)    v2 v yx  yu.ux Đạo hàm số hàm thơng dụng y  ax  b ad  bc  y'  cx  d  cx  d  y  ax  bx  c adx  2aex  be  cd  y'  dx  e  dx  e  Trang LÝ THUYẾT TỐN LTĐH LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x  2y  z   cho MA=MB=MC TQĐ Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bƣớc khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  Tìm tập xác định hàm số  Xét biến thiên hàm số: o Tính y o Tìm điểm đạo hàm y khơng xác định o Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có) o Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số  Vẽ đồ thị hàm số: o Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính y – Tìm điểm y = xét dấu y o Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thị o Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị khơng cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để vẽ xác o Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị y I I 0 x x y  ax  bx  c (a  0) :  Tập xác định D = R  Đồ thị ln nhận trục tung làm trục đối xứng  Các dạng đồ thị: y‟ = có nghiệm phân biệt  ab < a  Các dạng đồ thị: y‟ = có nghiệm phân biệt  D‟ = b2 – 3ac > a>0 a0 Giải hệ phương trình:   sin  x   dx 4  I s in2x+2(1+sinx+cosx)  a0 TQĐ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB Câu II: Giải phương trình: Hàm số biến ax  b y (c  0, ad  bc  0) : cx  d d  Tập xác định D = R \  c   Câu I: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1;2) với hệ số góc k (k  3) cắt đồ Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Hết - Trang Trang 55 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x2 y2 z đường thẳng : mặt phẳng   1 1 (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng  Câu VII (B): Tìm giá trị tham số m để đường thẳng x2  x 1 y  2x  m cắt đồ thị hàm số y  x hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung KHỐI A – 2008 Câu I: Cho hàm số y = mx +  3m -  x - 1 , với x + 3m m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =1 Tìm giá trị m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) 45o Câu II: Giải phương trình:  7   4sin   x 3     sin  x     Giải hệ phương trình:   x  y  x y  xy  xy     x  y  xy 1  2x     Câu III: Trong khơng gian với toạ độ Oxyz, cho điểm x 1 y z    A(2;5;3) đường thẳng d : 2 Tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng () chứa d cho khoảng cách từ A đến () lớn Câu IV:  sin x  tan x dx cos2x Tính tích phân I   TQĐ Tim giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x  2x   x   x  m (m ) Câu V (A) (Chƣơng trình khơng phân ban) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elíp (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Cho khai triển 1  2x  n LÝ THUYẾT TỐN LTĐH  Đồ thị có tiệm cận đứng x   d c Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban) Giải phương trình log2x 1 (2x  x  1)  log x 1 (2x  1)2  Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A‟ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A‟.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA‟, B‟C‟ a Giao điểm hai tiệm c cận tâm đối xứng đồ thị hàm số  Các dạng đồ thị: ad – bc > ad – bc < M0  x ;f (x )  Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0  x ;f (x )  là: y – y0 = f (x0).(x – x0) Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y =f(x) điểm M0  x ; y0     Tập xác định D = R \  (y0 = f(x0)) Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng cong (C): y = f(x) ax  bx  c a 'x  b' ( a.a '  0, tử khơng chia hết cho mẫu) Hàm số hữu tỷ y  b' a' b' a' tiệm cận xiên Giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị hàm số  Các dạng đồ thị:  Đồ thị có tiệm cận đứng x   y = có nghiệm phân biệt a 0 a0 Câu I: Cho hàm số y = 4x3 - 6x2 + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(-1;-9) Câu II: Giải phương trình:  x  2x y  x y2  2x   (x, y  )  x  2xy  6x    Câu III: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Vấn đề SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm KHỐI B – 2008 sin3 x  cos3 x  sin x cos2 x sin2 x cos x Giải hệ phương trình: CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ tiệm cận ngang y   a  a1 x   a n x n Trong n  N* hệ số a , a1 , , a n thỏa a a mãn hệ thức a    nn  4096 Tìm số 2 lớn số a , a1 , , a n Trang 54 TQĐ  Nếu cho x0 tìm y0 = f(x0) Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình f(x) = y0  Tính y = f (x) Suy y(x0) = f (x0)  Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0) Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm  Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Tính f (x0)   có hệ số góc k  f (x0) = k (1)  Giải phương trình (1), tìm x0 tính y0 = f(x0) Từ viết phương trình  Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc y = vơ nghiệm a 0 y  Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m a0 y x   tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: f (x)  kx  m (*)  f '(x)  k x  Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình  Trang LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến  cho gián tiếp sau:   tạo với chiều dương trục hồnh góc  k = tan   song song với đường thẳng d: y = ax + b k = a   vng góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) k =  a   tạo với đường thẳng d: y = ax + b k a góc   tan   ka Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y = f(x), biết  qua điểm A(x A ; yA ) Dạng 3: Tìm điểm đƣờng thẳng d mà từ vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Giả sử d: ax + by +c = M(xM; yM)  d  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM   tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: (1) f (x)  k(x  x M )  y M  (2) f '(x)  k  Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)  Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) Dạng 4: Tìm điểm mà từ vẽ đƣợc tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tiếp tuyến vng góc với Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm  Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0)  Phương trình tiếp tuyến  M: y – y0 = f (x0).(x – x0)   qua A(x A ; yA ) nên: yA – y0 = f (x0).(xA – x0) (1)  Giải phương trình (1), tìm x0 Từ viết phương trình  Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc  Phương trình đường thẳng  qua A(x A ; yA ) có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)   tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: f (x)  k(x  x A )  y A (*)  f '(x)  k  Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ viết phương trình tiếp tuyến  Gọi M(xM; yM)  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM   tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: (1) f (x)  k(x  x M )  y M  (2) f '(x)  k  Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)  Qua M vẽ tiếp tuyến với (C)  (3) có nghiệm phân biệt x1, x2  Hai tiếp tuyến vng góc với  f (x1).f (x2) = –1 Từ tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh (3) có2 nghiệm phân biệt  f(x1 ).f(x2 ) < LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn  x  y  4xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x  2)2  y  hai đường thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng 1, 2 tâm K thuộc đường tròn (C) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Câu VII (A): Tìm số phức z thoả mãn : z  (2  i)  10 z.z  25 Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – = Xác định toạ độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Câu VII (B): Tìm giá trị tham số m để đường thẳng x2 1 y  x  m cắt đồ thị hàm số y  x điểm phân biệt A, B cho AB = Dạng 2: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x)  g(x) (*)  f '(x)  g '(x) Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường Vấn đề SỰ TƢƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) Để tìm hồnh độ giao điểm (C1) (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm phương trình (*) số giao Trang KHỐI D – 2009 Câu I: Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị (Cm), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = TQĐ Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Câu II: Giải phương trình: cos 5x  2sin 3x cos 2x sin x Giải hệ phương trình:  x(x  y  1)    (x, y  R)  (x  y)  x   Câu III: dx e 1 Tính tích phân I   x Câu IV: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA‟ = 2a, A‟C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A‟C‟, I giao điểm AM A‟C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Câu V: Cho số thực khơng âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Câu VII (A): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z – (3 – 4i)= Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = Gọi I tâm (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C)  = 300 cho IMO Trang 53 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Giải phương trình: 3x    5x   TQĐ Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  2y  2z 1  hai đường  x  R x 1 y z    ; 1 x 1 y  z  Xác định toạ độ điểm M 2 :   2 thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  khoăng cách từ M đến mặt phẳng (P) Câu VII (B): Giải hệ phương trình: thẳng 1 : Câu III:  Tính tích phân I    cos3 x  1 cos x.dx Câu IV: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V: Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:  x  y   x  z 3   x  y  x  z  y  z   5 y  z Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng  :x  y   Viết phương trình đường thẳng AB Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2x  2y  z   mặt cầu 2  log  x  y    log  xy   x  xy  y2  81  3 KHỐI B – 2009 Câu I: Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Với giá trị m, phương trình x x   m có nghiệm thực phân biệt? Câu II: Giải phương trình: sin x  cos x sin 2x  cos 3x  2(cos 4x sin3 x) Giải hệ phương trình:  xy  x   7y (x, y  )  2  x y  xy   13y S : x  y2  z2  2x  4y  6z 11  Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn Câu VII (A): Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = tính giá trị biểu thức A = |z1|3 + |z2|3 Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn  C : x  y2  4x  4y   đường thẳng  : x  my  2m   , với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để  cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn  x, y  R  LÝ THUYẾT TỐN LTĐH điểm hai đồ thị Đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx  cx  d (a  0) cắt trục hồnh điểm phân biệt  Phương trình ax  bx  cx  d  có nghiệm phân biệt  Hàm số y  ax3  bx  cx  d có cực đại, cực  ln x dx (x  1) Trang 52  f cực trò (h.1a)   f có cực trò (h.1b)   yCĐ yCT >0 Vấn đề BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ  Cơ sở phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)  Số nghiệm phương trình (1) = Số giao điểm (C1): y = f(x) (C2): y = g(x)  Nghiệm phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C1): y = f(x) (C2): y = g(x)  Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = (*) đồ thị ta biến đổi (*) dạng sau: Dạng 1: F(x, m) =  f(x) = m (1) Khi (1) xem phương trình hồnh độ giao điểm hai đường: (C): y = f(x) d: y =m  d đường thẳng phương với Ox  Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm (C) d Từ suy số nghiệm (1) y m yCĐ Câu IV: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A‟B‟C‟ có BB‟ = a, góc đường thẳng BB‟ mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vng C  = 600 Hình chiếu vng góc điểm B‟ BAC lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A‟ABC theo a Câu V: Bài tốn 1: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc  Trƣờng hợp 1: (1) có nghiệm  (C) Ox có điểm chung tiểu yCĐ yCT  Câu III: Tính tích phân I   TQĐ yCT c c A (C) (d) : y = m c c xA c x c Dạng 2: F(x, m) =  f(x) = g(m) (2)  Thực tương tự, đặt g(m) = k  Biện luận theo k, sau biện luận theo m  Trƣờng hợp 2: (1) có nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox f có cực trò (h.2)  yCĐ yCT =0  Trƣờng hợp 3: (1) có nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox điểm phân biệt f có cực trò (h.3)  yCĐ yCT 0, xCT > a.f(0) < (hay ad < 0) Đặc biệt: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc ba đồ thị  Cơ sở phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax  bx  cx  d  (a  0) (1) có đồ thị (C)  Số nghiệm (1) = Số giao điểm (C) với trục hồnh  Trƣờng hợp 2: (1) có nghiệm có âm phân Trang LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ biệt  (C) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ âm Vấn đề ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f có cực trò y y <   CĐ CT xCĐ < 0, xCT < a.f(0) > (hay ad > 0) Dạng 1: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b Vấn đề HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Đồ thị hàm số y = f  x  (hàm số chẵn) Gọi (C) : y  f (x) (C1 ) : y  f  x  ta thực bước sau: Bƣớc Vẽ đồ thị (C) giữ lại phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung Bƣớc Lấy đối xứng phần đồ thị bước qua trục tung ta đồ thị (C1) Cơ sở phƣơng pháp: A, B đối xứng qua d  d trung trực đoạn AB  Phương trình đường thẳng  vng góc với d: y = ax + b có dạng: : y   x  m a  Phương trình hồnh độ giao điểm  (C): f(x) =  x  m (1) a  Tìm điều kiện m để  cắt (C) điểm phân biệt A, B Khi xA, xB nghiệm (1)  Tìm toạ độ trung điểm I AB  Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm m  xA, xB  yA, yB  A, B LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường x y 1 z thẳng :   Xác định tọa độ điểm M 2 trục hồnh cho khoảng cách từ M đến  OM Câu VII (B): Giải hệ phương trình : log (3y  1)  x (x, y  R)  x 4  2x  3y KHỐI D – 2010 Câu I: Cho hàm sớ y  x  x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương tri ǹ h tiếp tún cu ̉ a đờ thi ̣ (C), biết tiếp tún vng go ́ c với đường thẳ ng y  x 1 Câu II: Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x   Giải phương trình: 42x  Đồ thị hàm số y = f(x) Gọi (C) : y  f (x) (C2 ) : y  f (x) ta thực bước sau: Bƣớc Vẽ đồ thị (C) Bƣớc Giữ lại phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía trục hồnh (C) qua trục hồnh ta đồ thị (C2) Đồ thị hàm số y = f  x  Gọi (C1 ) : y  f  x  , (C2 ) : y  f (x) x 2  2x  42 x 2  2x  4x 4 (x  R) TQĐ tâm đường tròn ngoa ̣i tiếp la ̀ I (-2;0) Xác định toạ ̣ đỉnh C, biết C co ́ hoành ̣ dương Trong khơng gian toa ̣ ̣ Oxyz, cho hai mă ̣t phẳ ng (P): x + y + z  = (Q): x  y + z  = Viết phương tri ǹ h mă ̣t phẳ ng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) bằng Câu VII (A): Tìm số phức z thoả mãn z  z số th̀n a ̉ o Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) Trong mă ̣t phẳ ng toa ̣ ̣ Oxy , cho điể m A(0;2)  đường t hẳ ng qua O Gọi H hình chiếu vng góc A  Viết phương trình đường thẳng , biết khoa ̉ ng cách từ H đến trục hồnh AH Trong khơng gian toa ̣ ̣ Oxyz, cho hai x   t  đường thẳ ng 1:  y  t z  t  x  y 1 z   Xác định toạ độ điểm M 2 th ̣c 1 cho khoảng cách từ M đến 2 bằng Câu VII (B): Giải hệ phương trình 2: Câu III:  x  4x  y    (x, y   )  log (x  2)  log y    3  Tính tích phân I    2x   ln xdx x 1 e Chú ý:  A, B đối xứng qua trục hồnh x A  x B   yA   yB  A, B đối xứng qua trục tung x A  x B   yA  yB (C3 ) : y  f  x  Dễ thấy để vẽ (C3) ta thực bước vẽ (C1) (C2) (hoặc (C2) (C1)) Trang  A, B đối xứng qua đường thẳng y = b x A  x B   y A  y B  2b  A, B đối xứng qua đường thẳng x = a  x A  x B  2a   yA  yB Câu IV: Cho hiǹ h chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng ca ̣nh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H AC th ̣c đoa ̣n AC, AH  Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M là trung điể m SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Câu V: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  x  4x  21  x  3x  10 Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) Trong mă ̣t phẳ ng toa ̣ ̣ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A (3;-7), trực tâm là H (3;-1), KHỐI A – 2009 Câu I: x2 1 2x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Cho hàm số y  (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Câu II: Giải phương trình: Trang 51 1  sin x cos x  1  2sin x 1  s inx  LÝ THUYẾT TỐN LTĐH ABC có diện tích Giải phương trình: điểm A có hồnh độ dương Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường x 1 y z  thẳng  : mặt phẳng (P):   1 x  2y  z  Gọi C giao điểm  với (P), M điểm thuộc  Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = Câu VII (A): Tìm phần ảo số phức z, biết: z  (  i)2 (1  2i) Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; 3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) đường thẳng x  y 2 z 3 Tính khoảng cách từ A :   đến  Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt  hai điểm B C cho BC = Câu VII (B): Cho số phức z thỏa mãn z  LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ (1  3i) Tìm 1 i mơđun số phức z  iz KHỐI B – 2010 Câu I: 2x  (C) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Câu II: Giải phương trình: Cho hàm số y =  sin 2x  cos 2x cos x 2cos 2x sin x 3x    x  3x  14x   (x  R) Câu III: e ln x Tính tích phân I =  dx x(2  ln x) Câu IV: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A‟B‟C‟ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A‟BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A‟BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Câu V: Cho số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  3a b  b c  c a 2 2 LƢỢNG GIÁC Dạng 2: Tìm cặp điểm đồ thị 2 TQĐ   3 ab  bc  ca  2 a  b  c Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác góc A có phương trình x  y –  Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), b, c dương mặt phẳng (P): y – z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) Câu VII (A): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  (1  i)z 2 Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm x y2   Gọi F1 F2 A(2; ) elip (E): tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở phƣơng pháp: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB  Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có hệ số góc k có dạng: y  k(x  a)  b  Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: f(x) = k(x  a)  b (1)  Tìm điều kiện để d cắt (C) điểm phân biệt A, B xA, xB nghiệm (1)  Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB, ta tìm k  xA, xB Chú ý: x A  x B A, B đối xứng qua gốc toạ độ O    yA   yB Vấn đề 1: ƠN TẬP I Góc cung lƣợng giác: Giá trị lượng giác số góc:    Α 3 Sinα 2 Cosα 2 Tanα AB = (x B  x A )2  (yB  yA )2 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0: ax  by0  c d(M, ) = a  b2 Diện tích tam giác ABC:   1 AB2 AC2   AB.AC  S = AB.AC.sin A  2 Nhận xét: Ngồi phương pháp nêu, tập phần thường kết hợp với phần hình học giải tích, định lý Vi-et nên cần ý xem lại tính chất hình học, cơng cụ giải tốn hình học giải tích, áp dụng thành thạo định lý Vi-et tam thức bậc hai   –x  –x  –x + x Sin –sinx sinx cosx –sinx cosx Cos cosx –cosx sinx – cosx –sinx Tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx Cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx  +x II Cơng thức lƣợng giác: Cơng thức bản: sin a  cos2 a  tan a.cot a 1 1  tan a  cos a 1  cot a  sin a Cơng thức cộng: cos(  )  cos .cos   sin .sin  Trang 50 1 3 Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo) Cotα Dạng 3: Khoảng cách Kiến thức bản: Khoảng cách hai điểm A, B: 3  Trang cos(  )  cos .cos   sin .sin  sin(  )  sins .cos   cos .sin  sin(  )  sins .cos   cos .sin  tan   tan  tan(  )   tan .tan  tan   tan  tan(  )   tan .tan  LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cơng thức nhân đơi, nhân ba: TQĐ cos 2  cos   sin   2cos     2sin   (cos   sin )(cos   sin ) sin2  2sin .cos  cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  Cơng thức hạ bậc:  cos 2x cos x    sin x  (1  cos x)(1  cos x) sin x  Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC I Phƣơng trình bản:  x    k2  sin x  sin    k   x      k2  x    k2 cos x  cos    k   x    k2 k   tan x  tan   x    k k   cot x  cot   x    k Trường hợp đặc biệt:  sin x   x  k, k    sin x   x   k2 k    sin x  1  x    k2 k     cos x   x   k k  k   cos x   x  k2 II Phƣơng trình bậc hai hay bậc n hàm lƣợng giác:   cos 2x   cos x  (1  cos x)(1  sin x) Cơng thức biến đổi tổng thành tích: xy xy cos x  cos y  cos cos 2 xy xy cos x  cos y  2sin sin 2 xy xy sin x  sin y  2sin cos 2 xy xy sin x  sin y  cos sin 2 Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cos  cos    cos(  )  cos(  ) sin  sin     cos(  )  cos(  )  sin  cos   sin(  )  sin(  )   Một số ý cần thiết:    - sin x  cos6 x   3.sin2 x.cos2 x sin x  cos8 x  (sin x  cos x)  2sin x.cos x  (1  2sin x.cos x)  2sin x.cos x  sin 2x  sin 2x  Trong số phương trình lượng giác, đơi ta phải sử dụng cách đặt sau: Đặt t  tan x 1 t2 cos 2x  1 t2 a a b 2 a  b2 Pt trở thành: b sin x  a b 2  cos .sin x  sin .cos x   sin(x  )  cos x  c a  b2 c a  b2 c a  b2   b a ;cos   Lƣu ý:  sin    a  b2 a  b2   Trang MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A – 2010 Câu I: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện : x12  x 22  x 32  Câu II: Giải phương trình:   (1  sin x  cos 2x) sin x  4   cos x  tan x 2 Giải bất phương trình : M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), , f ( xn ) [a;b] m  f ( x )   f (a), f (b), f ( x1), , f ( xn ) x x [a;b]  2(x  x  1) 1 Câu III: Nếu a  b2  c2 : phương trình vơ nghiệm Nếu a  b2  c2 : Ta chia hai vế phương trình cho TQĐ TÀI LIỆU THAM KHẢO  a cot x  a cot x  c  (4) Cách giải: - Đặt t hàm lượng giác Giải phương trình theo t dễ dàng tìm nghiệm phương trình cho III Phƣơng trình a.sin x  b.cos x  c Cách giải: sin x  cos4 x   2.sin2 x.cos2 x 2t ; Khi đó: sin 2x  1 t2 a sin x  bsinx  c  (1) a cos2 x  b cosx  c  (2) a tan x  b tan x  c  (3) LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng: f(a) < f(b) Xét tính đơn điệu hàm số f(x) khoảng (a; b) II Giá trị lớn – giá trị nhỏ nhất: Phƣơng pháp: Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính f (x)  Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có)  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)  So sánh giá trị vừa tính kết luận Tính tích phân : I   Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Phương trình, hệ đại số Trần Phương Và tài liệu Thầy Cơ trang web:  www.mathvn.com  www.boxmath.vn  www.violet.vn Trong q trình tổng hợp, biên soạn kiến thức khơng tránh khỏi sai sót, mong Thầy Cơ bạn nhận xét, góp ý Xin chân thành cảm ơn -Trần Quốc Đạo Email: tranquocdao108@gmail.com Điện thoại: 01635273752 THPT Trần Bình Trọng - Lớp D (2012-2015) **Xin người khơng photo chép với hình thức Xin cảm ơn Chúc bạn học t p th t tốt x  e x  2x 2e x dx  2e x Câu IV: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Câu V: Giải hệ phương trình:  (4x  1)x  (y  3)  2y  (x, y  R)  2  4x  y   4x  Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3x  y  d2: 3x  y  Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (T), biết tam giác Trang 49 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ        a  b  a  b Đẳng thức xảy a,b Vấn đề 3: Bất đẳng thức B.C.S I Phát biểu:  Cho cặp số: hướng    a1 a  b1 b cần thêm điều kiện  0) (Nếu bỏ dấu  Cho cặp số: a1.b1  a b2  a 3b3  (a  a  a )(b  b  b ) Dấu „=‟ xảy 2 2 2 a1 a a   b1 b b3  Cho n cặp số: a1.b1   a n bn  (a   a )(b   b ) Dấu „=‟ xảy n 2 n a1 a a    n b1 b bn cần thêm điều kiện  0) (Nếu bỏ dấu Dấu “=” xảy a1 a a    n b1 b bn II Một số lƣu ý: Dùng nhập tổng bình phương thành Hệ B.C.S cho phép gộp mẫu Chú ý: kĩ thuật thêm bớt Vấn đề 4: Bất đẳng thức Vectơ I Phát biểu: Sử dụng quy tắc ba điểm bất đẳng thức tam giác, ý trường hợp bất đẳng thức trở thành đẳng thức Các bất đẳng thức:        a b  a.b Đẳng thức xảy a,b phương        a  b  a  b Đẳng thức xảy a,b hướng II Một số lƣu ý: Chọn điểm có tọa độ thích hợp Thường dùng để đưa nhiều thức bậc hai thức bậc hai Bài tốn: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện G(x, y)  (hoặc G(x, y)  0;G(x, y)  ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) P  F(x, y) Cách giải: Đặt F(x,y) = m Ta có hệ: Hệ quả: Cho số khơng âm: a12 a 22 a  a  a   an     n  b1 b bn b1  b   b n  Vấn đề 5: Dùng điều kiện có nghiệm hệ tìm max, cần thêm điều kiện  0) (Nếu bỏ dấu   a1  a   a n  a1  a   a n Đẳng    thức xảy a1 ,a1 , ,a n hướng   Trong Oxy : a  (a 1,a 2);b  (b 1, b 2)   Trong Oxyz : a  (a 1,a 2;a 3);b  (b 1, b 2;b 3) a1.b1  a b2  (a12  a 22 )(b12  b22 ) Dấu „=‟ xảy  G(x, y)  G(x, y)  G(x, y)  (  ;  F(x, y)  m F(x, y)  m F(x, y)  m Biện luận m để hệ có nghiệm Từ suy giá trị lớn giá trị nhỏ P Lƣu ý: Các phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương trình Vấn đề 6: Cơng cụ đạo hàm I Chứng minh bất đẳng thức: Phƣơng pháp:  Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc b, a = b, a < b  a, b, c  R mà a > b, b > c a > c  a, b  R mà a > b a + c > b + c Nếu a > b c > d a + c > b + d ( Khơng trừ hai bất đẳng thức) Nếu a > b c > ac > bc ( c < ac < bc) Nếu a > b > c > d > ac > bd > Nếu a > b > < a n  b n  n 1  a b a  n b  A  Vấn đề 2: Bất đẳng thức Cauchy I Phát biểu:  Cho số a, b khơng âm: a + b  ab hay a2 + b2  2ab Dấu „=‟ xảy a = b  Cho số a, b, c khơng âm: a + b + c  3 abc Dấu „=‟ xảy a = b = c  Tổng qt: Cho n số x1, x2, x3, …, xn khơng âm: (trung bình cộng lớn trung bình nhân) x1  x  x   x n n  x1x x x n n Dấu xảy x1 = x2 = x3 = …= xn II Một số lƣu ý: Khi áp dụng phương pháp lại “tọa độ điểm rơi” phải ln đảm bảo Nếu đề u cầu: Cho a, b, c > Chứng minh ta xét miền a  b  c  , (do bất đẳng thức với (a, b,c) với (ta, tb, tc)) Cố gắng chọn miền hợp lý để tốn đơn giản Trang 47 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ V Hệ đẳng cấp bậc 2: Vấn đề 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH I Hệ phƣơng trình bậc hai ẩn: a1x  b1y  c1  a x  b y  c Cách giải: a Đặt D  a2 b1 c , Dx  b2 c2 b1 a , Dy  b2 a2 -  a1x  b1xy  c1 y  d1  2  a x  b xy  c2 y  d 2 c1 c2 D  : Hệ phương trình có nghiệm x  Dx / D  y  Dy / D D  0, Dx  D y  : Hệ phương trình vơ nghiệm D = Dx = Dy = 0: Hệ có vơ số nghiệm thỏa a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 II Hệ chứa phƣơng trình bậc nhất:  y   c  ax   ax  by  c b    f (x, y)  d f  x,  c  ax    d    b III Hệ đối xứng loại 1: f (x, y)  f (x, y)  f (y, x) với   g(x, y)  g(x, y)  g(y, x) Cách giải:  Xét y =  Xét y  đặt x  ty giải phương trình bậc hai ẩn t VI Hệ bậc hai mở rộng: f (x, y)  f (x, y)    g(x, y)  .f (x, y)  .g(x, y)  f (x, y)   (ax  by  c)(px  qy  r)  Chú ý: Một số tốn cần phải đặt ẩn phụ để chuyển dạng tốn biết Ngồi phương pháp đánh giá phương pháp hàm số dùng để giải u  x  y Cách giải: Đặt  với u  4v  v  xy IV Hệ đối xứng loại 2: f (x, y)  f (x, y)  g(y, x) Dạng 1:  với  g(x, y)  g(x, y)  f (y, x) Cách giải: f (x; y)  g(x; y)  (x  y)h(x; y)    f (x; y)  f (x; y)  x  y  h(x; y)     f (x; y)  f (x; y)  f (x, y)  Dạng 2:  có phương g(x, y)  trình đối xứng Cách giải: Cách 1: Đưa phương trình đối xứng dạng tích giải y theo x vào phương trình lại Cách 2: Đưa phương trình đối xứng dạng f (x)  f (y)  x  y với hàm f đơn điệu Trang 14 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Chú ý: TQĐ độ lớn số phức khơng phải trị tuyệt đối (trị tuyệt đối trường hợp riêng độ lớn định nghĩa trục số thực) III Tập hợp điểm - Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y - Chú ý: Các dạng phương trình đường thẳng, đường tròn, conic IV Dạng lƣợng giác - Áp dụng cơng thức nêu Chú ý: Việc kết hợp khai triển nhị thức Newton tập số phức để chứng minh đẳng thức hay sử dụng ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vấn đề 1: HỐN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP V Quy tắc đếm, cộng nhân: Quy tắc đếm: a Quy tắc: Với điều kiện khoảng cách số (cách đều), ta có: số số  số lớn  số nhỏ 1 khoảng cách số liền kề b Các dấu hiệu chia hết:  Chia hết cho 2: số có chữ số tận 0, 2, 4, 6,  Chia hết cho 3: số có tổng chữ số chia hết cho  Chia hết cho 4: số có chữ số tận lập thành số chia hết cho  Chia hết cho 5: số có chữ số tận 0,  Chia hết cho 6: số chia hết cho  Chia hết cho 8: số có chữ số tận lập thành số chia hết cho  Chia hết cho 9: số có tổng chữ số chia hết cho  Chia hết cho 10: số có chữ số tận  Chia hết cho 11: số có hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 (VD: 1345729 (1+4+7+9) – (3+5+2) = 11)  Chia hết cho 25: số có chữ số tận 00, 25, 50, 75 Quy tắc cộng: 1) Nếu q trình (bài tốn) thực hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho m kết cách thứ hai cho n kết Khi việc thực q trình cho m + n kết 2) Nếu q trình (bài tốn) thực k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết Khi việc thực q trình cho m1 + m2 + … + mk kết Quy tắc nhân: Trang 43 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ  z  z z.z '  z.z ';     z  z2  z.z  a  b2  z số thực  z  z ; z số ảo  z   z Mơđun số phức: z = a + bi   z  a  b2  zz  OM  z  0, z  C , z 0z0  z.z '  z z ' z z   z' z' z  z'  z  z'  z  z'  Chia hai số phức:  z 1  z (z  0) z z' z '.z z '.z   z 'z 1   z z.z z z'   w  z '  wz z Căn bậc hai số phức:  z  x  yi bậc hai số phức z.z '  rr '.cos(   ')  isin(   ') z r   cos(   ')  i sin(   ') z' r' 12 Cơng thức Moa–vrơ:   10 Dạng lƣợng giác số phức: r(cos   isin )n  r n (cos n  isin n) , ( n  N* )   cos   i sin n  cos n  i sin n 13 Căn bậc hai số phức dƣới dạng lƣợng giác:  Số phức z  r(cos   isin ) (r > 0) có hai bậc hai là:       r  cos  i sin   r  cos  i sin   2  2       r cos      i sin       2   2  Mở rộng: Số phức z  r(cos   isin ) (r > 0) có n bậc n là:   k2   k2  n  r  cos  i sin  , k  0,1, , n  n n  Vấn đề 2: CÁC DẠNG TỐN I Thực phép tốn cộng trừ, nhân chia số phức  Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức  Chú ý tính chất giao hốn, kết hợp phép tốn cộng nhân II Giải phƣơng trình - hệ phƣơng trình số phức: - Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình - Giải phương trình bậc hai tập số phức, kết hợp với định lý Vi-et Trang 42 TQĐ MŨ - LOGARIT a f (x)  a g(x) Vấn đề 1: CƠNG THỨC I Hàm số mũ y = ax (a > 0) Tập xác định: D   Tập giá trị: G  (0; )  b   a b f (x)  log a b     b  0  a    x   : f (x)    a n   a m a n  a mn  a m : a n  a m n a  m n  a m.n a f (x)  a g(x)  f (x)  g(x)  0  a   (ab)m  a m b m m am a     m b b  b   a f (x )  b f (x)  log a b     b  a    x   : f (x)   an  a  (a  0)  m n a f (x)  a g(x)  f (x)  g(x)  a  IV Phƣơng trình bất phƣơng trình logarit bản: log f (x)  b  f (x)  a b  a 0  a   a  n am II Hàm số logarit y = logax (0  a  1) Định nghĩa: y = logax  x = ay Tập xác định: D  (0; ) Tập giá trị: G   Tính đơn điệu:  < a < 1: Hàm nghịch biến D  a > 1: Hàm số đồng biến D Một số cơng thức bản:  a loga x x  e  a logb c  clogb a  log a b   log a b   log a b  log c b log c a ln x  a   x   : f (x), g(x)     0  a    f (x)  g(x) f (x ) Tính đơn điệu:  < a < 1: Hàm nghịch biến   a > 1: Hàm số đồng biến  Một số cơng thức bản: 11 Nhân, chia số phức dƣới dạng lƣợng giác: z  r(cos  isin ) , z'  r '(cos ' isin ') x  y2  a w  a  bi  z  w    2xy  b  w = có bậc hai z =  w  có hai bậc hai đối  Hai bậc hai a >  a  Hai bậc hai a <  a.i Phƣơng trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A  )   B2  4AC    : (*) có hai nghiệm phân biệt B   , (  bậc hai ) z1,2  2A    : (*) có nghiệm kép: B z1  z   2A Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) z  r(cos   isin ) (r > 0) dạng lương  r  a  b  a  giác z = a + bi (z  0)  cos   r  b  sin   r   acgumen z,   (Ox,OM)  z   z  cos   isin  ( R)  LÝ THUYẾT TỐN LTĐH log f (x)  log a g(x) f (x)    a f (x)  g(x) 0  a  log f (x)  b   f (x)  a b  a 0  a  x  loga x 2n  2n log a x  log a b  log b a  log a b.log b c  log a c  log a (bc)  log a b  log a c b  log a    log a b  log a c c III Phƣơng trình bất phƣơng trình mũ bản: a f (x)  b b    0  a  f (x)  log a b log f (x)  b  f (x)  a b  a a  log f (x)  log a g(x)  a  < f(x) < g(x) 0  a  log f (x)  log a g(x)  f(x) > g(x) >  a a  V Các dạng tốn thƣờng gặp: Phƣơng trình mũ: a Đưa số: Với a > 0, a  1: a f (x)  a g(x)  f (x)  g(x) Chú ý: Trong trường hợp số có chứa ẩn số thì: a M  a N  (a  1)(M  N)  b Logarit hố: a f (x)  bg(x)  f (x)   log a b  g(x) Trang 15 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH c Đặt ẩn phụ: Dạng 1: TQĐ  t  a f (x) , t  , P(a f (x) )    P(t)  P(t) đa thức theo t Dạng 2: a 2f (x)  (ab)f (x)  b2f (x)  Cách giải: f (x ) a Chia vế cho b2f (x) , đặt t    b Dạng 3: a f (x)  bf (x)  m , với ab  Cách giải: Đặt t  a f (x)  bf (x)  t d Sử dụng tính đơn điệu hàm số: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)  Đốn nhận x0 nghiệm (1)  Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến f(x) g(x) để kết luận x0 nghiệm  Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) f (u)  f (v)  u  v e Đưa phương trình phương trình đặc biệt: A   Phương trình tích: A.B =   B  A   Phương trình A  B2    B  f Phương pháp đối lập: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) f (x)  M Nếu ta chứng minh được:  g(x)  M LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ f (x)  g(x) log a f (x)  log a g(x)   f (x)  (g(x)  0) b Mũ hóa Với a > 0, a  1: loga f (x)  b  a loga f (x)  a b c Đặt ẩn phụ d Sử dụng tính đơn điệu hàm số e Đưa phương trình đặc biệt f Phương pháp đối lập Chú ý:  Các phương pháp liệt kê khơng nêu cách giải có cách giải tương tự phương trình mũ Khi giải phương trình logarit cần ý điều kiện để biểu thức có nghĩa  Với a, b, c > a, b, c  thì: a logb c  clogb a Bất phƣơng trình logarit: Cách giải: Tương tự phần phương trình Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: log a B   (a 1)(B 1)  ; SỐ PHỨC Vấn đề 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT I Khái niệm số phức  Tập hợp số phức: C  Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b  R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1)  z số thực  phần ảo z (b = 0)  z ảo  phần thực z (a = 0)  Số vừa số thực vừa số ảo  Hai số phức nhau: a  a ' a  bi  a ' b 'i   (a, b, a ', b '  R) b  b ' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b  R) biểu diễn điểm M(a; b) hay  u  (a; b) mp(Oxy) (mp phức) log a A   (A  1)(B  1)  log a B Hệ phƣơng trình mũ – logarit: Cách giải: Kết hợp cách giải phương trình mũ – logarit phần giải phương trình hệ phương trình đại số Một cách tổng qt: Chọn trước hệ trục Oxy nằm mặt phẳng đáy dựa tính chất vng góc (O nằm góc vng) Sau dựng tia Oz vng góc với Oxy O Cộng trừ số phức: f (x)  M (1)   g(x)  M Bất phƣơng trình mũ: Cách giải: Tương tự phương trình mũ Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: a M  a N  (a  1)(M  N)  Phƣơng trình logarit: a Đưa số Với a > 0, a  1:     Số đối z = a + bi –z = –a – bi   u biểu diễn z, u ' biểu diễn z'     u  u ' biểu diễn z + z‟ u  u ' biểu diễn z – z‟ Nhân hai số phức:   a  bi  a ' b'i    aa ' bb'    ab' ba '  i  k(a  bi)  ka  kbi (k  R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z  a  bi  Trang 16  a  bi    a ' b'i    a  a '   b  b' i  a  bi    a ' b'i    a  a '   b  b' i Trang 41 z  z ; z  z'  z  z'; LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Dạng 5: Lập phƣơng trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy  Gọi I(xI ; yI ; 0) tâm mặt cầu, I   Oxy      Ta có AI2 = BI2 = CI2 AI  BI Ta có hệ phương trình  2 AI  CI Giải hệ phương trình  tâm I  IA = R Kết luận Vấn đề 5: Các dạng tốn tam giác Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC biết điểm C(a;b;c) hai đường thẳng cắt d1 , d khơng qua C có phương trình tham số :  x  x1  a t x  x  a t   d1 :  y  y1  b1t1 d :  y  y  b t z  z  c t z  z  c t 1 2   Hãy tìm tọa độ đỉnh A, B trường hợp :  d1 , d hai đường cao tam giác  d1 , d hai đường trung tuyến tam giác  d1 , d hai đường phân giác góc A , B  d1 đường cao, d trung tuyến tam giác  d1 đường cao, d phân giác tam giác  d1 trung tuyến, d phân giác tam giác  Phƣơng pháp: Tương tự hình học phẳng Chú ý: Hình học giải tích khơng gian đề thi đại học thường tập trung vào dạng tốn thường gặp phương trình đường thẳng, dạng tốn khoảng cách, điểm đối xứng nên học sinh cần nắm kĩ (vì hình học giải tích Oxy đề thi khai thác yếu tố tam giác) TQĐ phẳng, hai đường thẳng, góc hai mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai đường thẳng… Vì giải tốn túy hình học đưa tốn hình học giải tích ta xây dựng hệ trục Oxyz hợp lý Nhận xét: - Ƣu: Giải tốn đơn tính tốn, khơng suy nghĩ nhiều - Khuyết: Khơng thấy hay hình học túy, tính tốn phải cẩn thận Một số cách chọn hệ trục Oxyz thƣờng dùng: Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A'B'C'D' Với hình chóp tứ giác S.ABCD Với hình chóp tam giác S.ABC Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA  (ABCD) Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA  (ABCD) Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vng A Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vng B Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vng C 10 Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vng A 11 Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vng cân C LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ II Tính chất: BẢNG NGUN HÀM Hàm Họ nguyên Hàm số Họ nguyên hàm số f(x) hàm F(x) f(x) F(x)+C a ax + C x x α+1 +C α +1 (ax  b) ln x  C ax  b x a ex ln ax  b  C a sinx cosx -cosx + C sinx + C Vấn đề 2: TÍCH PHÂN I Định nghĩa: b  f  x  dx  F  x  a C ln a ex  C tgx + C b a  F  b  F a  a II Tính chất: ax  b e C a eax  b sin(ax+b) cos(ax+b) 1  cos(ax  b)  C a sin(ax  b)  C a cos (ax  b) tg(ax  b)  C a sin x 1 -cotgx + C sin (ax  b)  a cot g(ax  b)  C u ' (x) u(x) ln u(x)  C tgx  ln cos x  C cotgx ln sin x  C x a ln C 2a x  a x  a2 x a 2 ln x  x  a  C b a a b  f  x  dx   f  x  dx b b a a  kf  x  dx  k  f  x  dx (k  0) b cos x  kf  x  dx  k  f  x  dx;  k  0  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  f  x  dx  F  x   C  f  u  du  F  u   C (ax  b) 1 C  1 a x x b  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx a b a a b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b Nếu f  x   0, x  a;b  f  x  dx  a b b a a Nếu f  x   g  x   f  x  dx   g  x  dx , x   a; b Nếu m  f  x   M, x  a;b b m  b  a    f  x  dx  M  b  a  Vấn đề 1: NGUN HÀM I Định nghĩa: Hàm số F  x  gọi ngun hàm hàm số f  x   a, b  F  x   f  x  , x   a, b  Chú ý: Nếu F  x  ngun hàm f  x  hàm số có dạng F  x   C ( C số) Vấn đề 6: Ứng dụng hình học giải tích giải hình học ngun hàm f  x  hàm số có Cơ sở lý luận: Như ta biết với cơng cụ giải tích ta tính diện tích đa giác, thể tích khối đa diện, khoảng cách hai mặt gọi F  x   C họ ngun hàm hay tích phân bất Trang 40 Như vậy:  f  x  dx  F  x   C NGUN HÀM – TÍCH PHÂN a Chú ý: - Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số biết ngun hàm - Nếu hàm số dấu tích phân hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu dạng F  x   C ngun hàm f  x  Ta định hàm số f  x  ký hiệu  f  x  dx Trang 17 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Vấn đề 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ  Bước 3: I Cơng thức: tính tiếp b  f   x .   x  dx   f  t  dt  Hàm số có chứa  (x)  Đặt t  (x) Hàm số có mẫu số Đặt t mẫu số Đặt t  (x) hay n (x) Hàm số có chứa  P(x).e dx  P(x).cos xdx  P(x).sin xdx  P(x).ln xdx x t  (x) dx x Đặt t  ln x Đặt t  e x Tích phân chứa e dx Tích phân chứa x dx Tích phân chứa x Tích phân chứa cos xdx dx Tích phân chứa cos x dx Tích phân chứa sin x Tích phân chứa a  x x Đặt t  sin x Đặt t  Đặt t  tgx Đặt t  cot gx a  x2 Vấn đề 4: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I Cơng thức: b b  uvdx   uv  a   vudx b a hay a b  udv   uv    vdu b a a P(x) e x dx P(x) cos xdx P(x) sin xdx lnx P(x)  sin2 x   cos2x ;cos2 x   cos2x    2   Đặt x = asint,    t  ;   2 Đặt x = atant,    t   ;   2 dv Chú ý : Tích phân hàm hữu tỉ: - Nếu mẫu bậc lấy tử chia mẫu - Nếu mẫu bậc hai có nghiệm kép đưa đẳng thức - Nếu mẫu bậc hai có hai nghiệm đồng thức - Nếu mẫu bậc hai vơ nghiệm đổi biến số Tích phân hàm lƣơng giác: - Nếu sinx,cosx có số mũ chẳn hạ bậc x Đặt t  x  vdu II Những cách đặt thơng thƣờng: u II Những phép đổi biến phổ thơng: b b a a Tích phân chứa Tính  uv  a suy nghĩ tìm cách b  Tích phân chứa LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ a - Nếu sinx,cosx có số mũ lẻ tách đặt t - Nếu có tan2x cot2x thêm bớt - Nếu có tanx,cotx đưa sinx,cosx đặt t - Nếu có sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng - Nhiều phải biến đổi hàm lượng giác để đưa dạng có khả tính Chú ý: Tích phân đề thi đại học thường dạng kết nhiều dạng tính tích phân Vì thế, từ tích phân ban đầu ta biến đổi tổng hiệu tích phân Khi đó, tích phân dễ dàng tích phương pháp (thường tích phân đổi biến tích phân phần) Các bước thực hiện:  Bước 1:  u  u(x) du  u(x)dx (Đạo hàm) Đặt   dv  v(x)dx  v  v(x) (nguyên hàm)  Bước 2: Thế vào cơng thức (1) Trang 18 x0  x '  x H   y  y'  Ta có:  y H   M‟  z0  z '  z H   Dạng 14: Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo   '    Gọi u u ' VTCP   '   qua điểm M0 , M '0   '      u,  u ' M M '0 d  ,  '       u,  u ' Vấn đề 3: MẶT CẦU I Phƣơng trình mặt cầu: Phƣơng trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R  x  a    x  b   x  c 2  R2 Phƣơng trình mặt cầu tâm I(a;b;c) , bán  x  a    x  b   x  c kính R  a  b  c  d : 2 TQĐ III Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt cầu: Cho mặt cầu (S):(x – a)2 +(y – b)2+(z – c)2 =  x  x  a1t  R đường thẳng (d) :  y  y0  a t z  z  a t  Muốn tìm giao điểm (d) (S) , ta thay x, y, z phương trình (d) vào phương trình (S) ta phương trình bậc hai theo t  Nếu phương trình theo t vơ nghiệm (d) (S) khơng có điểm chung  Nếu phương trình theo t có nghiệm t (d) tiếp xúc với (S) Khi (d) gọi tiếp tuyến mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm Nếu phương trình theo t có hai nghiệm phân biệt t1; t2 (d) cắt (S) hai điểm phân biệt IV Dạng tốn thƣờng gặp: Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt cầu  Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu  Bán kính R  Viết phương trình mặt cầu x  y2  z2 – 2ax – 2by – 2cz  d  với a2 + b2 + c2 – d > II Vị trí tƣơng đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu 2 (S):  x  a    x  b    x  c   R tâm I(a; b;c) bán kính R mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D =  Nếu d(I,(P)) > R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung  Nếu d(I,(P)) = R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) tiếp xúc Khi (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm  Nếu d(I,(P)) < R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến đường tròn có phương trình: 2 2   x  a    y  b    z  c   R   Ax  By  Cz  D  Trong bán kính đường tròn r  R  d(I, (P)) tâm H đường tròn hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P) 2  R2 Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng kính AB  Gọi I trung điểm AB Tính toạ độ I  I tâm mặt cầu  Bán kính R  AB  Viết phương trình mặt cầu Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) tiếp xúc với    : Ax + By + Cz + D =  Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với    Nên có bán kính Ax I  By I  Cz I  D  R  d  I,      A  B2  C  Viết phương trình mặt cầu Dạng 4: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD  Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D =  A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình  Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D  Kết luận Trang 39 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ  Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A chứa 1  Gọi (Q) mặt phẳng qua điểm A chứa 2  P   Phương trình đường thẳng d:   Q   Chuyển phương trình tắc (tham số) Dạng 7: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d   P  cắt hai đƣờng 1   Gọi A  1   P   Gọi B     P   Đường thẳng đường thẳng AB Dạng 8: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d // d1 cắt hai đƣờng 1   Gọi (P) mặt phẳng chứa 1 (P) // d1  Gọi (Q) mặt phẳng chứa  (Q) // d1  d   P   Q Cách 1:    Gọi u1 u VTCP 1      Gọi v   u1 , u    Gọi M  1 N   (M, N dạng tham  số) Tính MN   MN.u1   Giải hệ:    Tìm tham số  MN.u  tìm tọa độ điểm M, N  viết phương trình MN Dạng 10: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d vng góc (P) cắt hai đƣờng thẳng 1   Gọi    mặt phẳng chứa 1 có  VTCP n P ( VTPT (P) )  Gọi    mặt phẳng chứa  có  VTCP n P ( VTPT (P) )  Đường thẳng d        Dạng 11: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M0 vng góc với đƣờng thẳng 1 cắt đƣờng thẳng  Gọi    mặt phẳng qua M0 vng   P  :  Phương trình đường thẳng d   Q  : Dạng 9: Viết phƣơng trình đƣờng vng góc chung hai đƣờng thẳng chéo 1 2   Gọi (P) mặt phẳng chứa 1 có     VTCP v Nên có VTPT n P   u1 , v  phương trình mặt phẳng (P) Gọi (Q) mặt phẳng chứa  có     VTCP v Nên có VTPT n Q   u , v  phương trình mặt phẳng (Q) Phương trình đường vng góc chung 1  P   :   Q  Cách 2:  Chuyển phương trình đường thẳng 1  dạng tham số góc 1 Gọi    mặt phẳng qua điểm M0  chứa   Đường thẳng d        Dạng 12: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua giao điểm đƣờng thẳng  mặt phẳng    d     , d    Gọi A        Gọi    mặt phẳng qua A vng góc LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Vấn đề 5: TÍCH PHÂN CĨ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI b Giả sử cần tính tích phân I   f (x) dx a Bƣớc Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: X a x1 x2 b f(x) Bƣớc Tính Dạng 13: Tìm tọa độ điểm M' đối xứng M0 qua đƣờng thẳng d  Gọi M‟ (x‟ ; y‟ ; z‟ )  Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M0  P   d Nên (P) nhận VTCP d làm VTPT  Gọi H  d   P   M‟ điểm đối xứng M0 qua đường thẳng d Nên H trung điểm đoạn M0M‟ Trang 38 – 0 b x1 x2 b a a x1 x2 b a a b V   f (x)dx a Chú ý: Nếu khoảng (a; b) phương trình f(x) = khơng có nghiệm thì: b (a < b) quay quanh trục Ox là: + I   f (x) dx   f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx Trƣờng hợp Thể tích khối tròn xoay V hình phẳng giới hạn đường x  g(y)  y  c; d  , x = 0, y = c y = d (c < d) quay quanh trục Oy là: d V   g (y)dy  f (x) dx   f (x)dx c Vấn đề 6: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I Tính diện tích hình phẳng: Trƣờng hợp 1: Diện tích hình phẳng S giới hạn đường y  f (x), y  g(x), x  a, x  b là: Trƣờng hợp Thể tích khối tròn xoay V hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y  g(x) , x = a x = b  a  b, f (x)  0, g(x)  x a; b quay quanh trục Ox là: b V   f (x)  g (x) dx a b S   f (x)  g(x) dx a Trƣờng hợp 2: Diện tích hình phẳng S giới hạn đường y  f (x), y  g(x) là: Trƣờng hợp Thể tích khối tròn xoay V hình phẳng giới hạn đường x = f(y), x  g(y) , y = c y = d  c  d, f (y)  0, g(y)  y  c; d  quay quanh trục Oy là:  d V   f (y)  g (y) dy S   f (x)  g(x) dx với  Nên    có VTPT VTCP   Đường thẳng d        + TQĐ II Tính thể tích khối tròn xoay: Trƣờng hợp Thể tích khối tròn xoay V hình phẳng giới hạn đường y  f (x)  x  a; b  , y = 0, x = a x = b c  Trong ,  nghiệm nhỏ lớn f(x) = g(x) Chú ý:  Nếu khoảng  ;   phương trình f (x)  g(x) khơng có nghiệm thì:   f (x)  g(x) dx   Chú ý: Cách giải tích phân có dấu giá trị tuyệt đối nêu    f (x)  g(x) dx   Nếu tích S giới hạn x = f(y) x = g(y) ta đổi vai trò x cho y cơng thức Trang 19 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH LÝ THUYẾT TỐN LTĐH  a.n   () nằm (α)   M  () TQĐ Chun đề: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Kiến thức bản: Kiến thức hình học – 10: 1.1 Hệ thức lƣợng tam giác vng: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH, đường trung tuyến AM Ta có:  AB2  AC2  BC2  AH2  BH.CH  AB = BH.BC  AC  CH.BC   sin B  III Khoảng cách: Khoảng cách từM đến đuờng thẳng () qua M0 có VTCP a   d(M, )  d(,  ')  M trung điểm BC nên MA = MB = MC M tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC 1.2 Hệ thức lƣợng tam giác thƣờng: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c, đường trung tuyến AM b2  c2  a 2bc  Định lý hàm sin: a b c    2R sin A sin B sin C   [a, a '] 2(b  c )  a a a' 1.3 Các cơng thức tính diện tích: Tam giác ABC: SABC  BC.AH  p.r abc   AB.AC.SinA 4R  p(p  a)(p  b)(p  c) Hình thang ABCD (AB // CD), đƣờng cao DH: SABCD  (AB  CD).DH Hình chữ nhật ABCD: SABCD  AB.AD Diện tích hình thoi ABCD: SABCD  AC.BD Diện tích hình tròn: Diện tích tam giác đều: Tam giác vng A: S  AB.AC SABC  a Hình vng ABCD cạnh a: SABCD  AB.AC  AC.BD  a 2 S(O;R)  .R  sin   cos(a, n)  A  B2  C2 a12  a 22  a 32 V Dạng tốn thƣờng gặp: Dạng 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  :   Cần biết VTCP a   a1 ;a ;a  điểm M0  x ; y0 ; z     Trang 20  a 22  a 32 a '12  a '22  a '32 Góc đƣờng thẳng mặt phẳng:  () qua M0 có VTCP a  (a1; a ; a ) , mp(α) có  VTPT n  (A; B;C) Gọi φ góc hợp () mp(α) , ta có:   Aa1 +Ba +Ca   B1C1 C1A1 A1B1  ; ;  có VTCP : a     B2 C2 C2 A A1B2   Cho z = tìm điểm M0  Viết phương trình đường thẳng Dạng 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua điểm M0  x ; y ;z  vng góc với mặt  phẳng    : Ax  By  Cz  D    Mp    có VTPT n   A; B;C  Đường thẳng  qua điểm M0 có VTCP  n  Viết phương trình đường thẳng Dạng 4: Viết phƣơng trình hình chiếu d mặt phẳng     Gọi d‟ hình chiếu d mp     Gọi    mặt phẳng chứa d         Nên    có cặp VTCP VTCP d u d  n  VTPT mặt phẳng       Mp    có VTPT n   u d , n   qua điểm M0  d Viết phương trình tổng qt Mp          : Phương trình đường thẳng d‟:     :  Chuyển phương trình tắc (tham số) Dạng 5: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M0  x ; y0 ;z  vng góc với hai  a1.a '1  a a '2  a a '3 a12  Viết phương trình tắc theo cơng thức Dạng 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  khi: A1x  B1 y  C1z  D1  :  A x  B2 y  C2 z  D2   IV Góc: Góc hai đƣờng thẳng:   qua M (x ; y ; z ) qua M '0 (x '0 ; y '0 ; z '0 )   ; ':  :   VTCP a VTCP a '     a.a ' cos  cos(a, a ')     Định lý đƣờng trung tuyến: Diện tích hình bình hành: S = cạnh đáy x chiều cao [a, a '].MM ' Chú ý : * Nếu () (‟) cắt trùng thì: d((),(‟)) = * Nếu () (‟) song song thì: d((),(‟)) = d(M , (‟)) = d(N , ()) ( M () N  (‟))  Định lý hàm cos: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA ma2  AM   Khoảng cách hai đƣờng chéo :   qua M0 (x ; y0 ; z0 ) qua M '0 (x '0 ; y '0 ; z '0 )   ; ':  : VTCP a VTCP a '         AH.BC  AB.AC b c b c , cosB  , tan B , cot B a a c b cos A  [M M, a] a 1   2 AH AB AC2 TQĐ đƣờng 1      1 có VTCP u1   có VTCP u d vng góc với 1  Nên d có VTCP    u d   u1 , u  Dạng 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm A cắt hai đƣờng 1   Viết phương trình tham số theo cơng thức Trang 37 Thay toạ độ A vào phương trình 1   A 1 , A 2 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH  qua A  Kết luận Dạng 7: Viết phƣơng trình mp    qua điểm hình chiếu điểm M  x ; y0 ; z  trục toạ độ  Gọi M1, M2, M3 hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0), M2(0;y0;0), M3(0;0;x0)  Phương trình mặt phẳng    là: x y z   1 x y z0 Dạng 8: Viết phƣơng trình mp    qua điểm M0 vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q)   (P) có VTPT n P   (Q) có VTPT n Q    Mp    có VTPT  n P , n Q  qua Mo  Kết luận Dạng 9: Tọa độ điểm M’ đối xứng M qua mặt phẳng     Gọi M‟ (x‟; y‟; z‟ ) điểm đối xứng M qua     Gọi d đường thẳng qua M d      Nên d có VTCP n Viết phương trình tham số d Gọi H  d        Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình  d  :  Tọa độ điểm H     : Vì H trung điểm MM‟  Tọa độ điểm M‟ Dạng 10: Viết phƣơng trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A  Xác định tâm I mặt cầu (S)   Mặt phẳng    : Mp tiếp diện có VTPT : IA   TQĐ    Mặt phẳng (P) có VTPT n   AB, n Q  Viết phương trình tổng qt Vấn đề 3: ĐƢỜNG THẲNG I Phƣơng trình đƣờng thẳng: Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng: Cho điểm M0 (x ; y0 ; z0 ) điểm thuộc đường  thẳng  a  (a1;a ;a ) VTCP đường thẳng  Phương trình tham số đường thẳng :  x  x  a1t   y  y0  a t (t  R) z  z  a t  Phƣơng trình tắc đuờng thẳng: Cho điểm M0 (x ; y0 ; z0 ) điểm thuộc đường  thẳng  a  (a1;a ;a ) VTCP đường thẳng  Phương trình tắc đường thẳng : x  x y  y0 z  z   a1 a2 a3 II Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng: Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng: Cho hai đường thẳng () qua M có VTCP   a (‟) qua M‟ có VTCP a '     () chéo (‟)  a, a ' MM '         () cắt (‟)  a, a ' MM '  với a, a '     '      [a, a ']=0  a;a  =   () // (‟)         M  '  a;MM' =      '      [a, a ']=0  a;a  =   () ≡ (‟)         M  '  a;MM' =   Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng () qua  M0 (x ; y0 ;z ) có VTCP a  (a1; a ; a ) mặt phẳng (α):  Ax  By  Cz  D  có VTPT n  (A; B;C)   () cắt (α)  a.n   a.n   () // (α)   M  () Trang 36 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ 1.4 Tam giác - Các trường hợp - đồng dạng tam giác: a Trường hợp đồng dạng tam giác thường: Tam giác ABC có góc A;B;C cạnh đối diện tương ứng a;b;c Chu vi 2p Diện tích S Tính chất:  Hai tam giác yếu tố tương ứng  Hai tam giác đồng dạng :  Tỷ số yếu tố( khơng kể góc; diện tích) tương ứng tỷ số đồng dạng  Tỷ số diện tích bình phương tỷ số đồng dạng  Hai tam giác đồng dạng có yếu tố độ dài tương ứng b Trường hợp đồng dạng tam giác vng: Do tam giác vng có góc vng tương ứng nên có đặc biệt so với tam giác thường:  Hai cạnh góc vng (tỷ lệ )  Một góc nhọn tương ứng cạnh góc vng (tỷ lệ)  Một cạnh góc vng cạnh huyền (tỷ lệ) 1.5 Định lý Thalet:  Những đường thẳng song song định cát tuyến đoạn thẳng tỷ lệ  Trong tam giác đường thẳng song song với cạnh đáy định cạnh đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ  Trong tam giác đường thẳng song song với cạnh tạo với cạnh tam giác đồng dạng với tam giác cho ban đầu 1.6 Các yếu tố tam giác:  Ba đường trung tuyến đồng quy điểm: trọng tâm G cách đỉnh đường Mỗi đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích  Ba đường cao đồng quy điểm: trực tâm H  Ba đường trung trực đồng quy điểm gọi tâm đường tròn ngoại tiếp, gọi tâm tam giác  Ba đường phân giác đồng quy điểm gọi tâm đường tròn nội tiếp Mỗi đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ lệ với hai cạnh bên tương ứng 1.7 Các tính chất đặc biệt: Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AA‟, M trung điểm BC, H trực tâm, H‟ đối xứng với H qua BC Ta có: - BHCA‟ hình bình hành có tâm M nên A‟ điểm đối xứng H qua M - H‟ nằm đường tròn tâm O - điểm gồm trung điểm cạnh tam giác, trung điểm AH, BH, CH, chân đường cao nằm đường tròn có tâm trung điểm OH gọi đường tròn Euler Trang 21 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Kiến thức hình học 11: LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ Vấn đề 2: MẶT PHẲNG Quan hệ song song: Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa: Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung a a / / (P)  a  (P)   (P) Định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) d  (P)  d / /a  d / /(P) a  (P)  ĐL2: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với giao tuyến mặt phẳng mặt phẳng chứa a / /(P)   d / /a a  (Q) (P)  (Q)  d  ĐL3: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng cắt song song với giao tuyến hai mặt phẳng (P)  (Q)  d   d / /a (P) / /a (Q) / /a  d a (P) (Q) a d (P) d a Q P Bài 2: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung (P) / /(Q)  (P)  (Q)   P Q Định lý: ĐL1: Điều kiện cần đủ để mặt phẳng song song mặt phẳng chứa đường thẳng cắt song song với mặt phẳng ĐL2: Nếu mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng TQĐ a, b  (P)   (P) / /(Q) a  b  I a / /(Q), b / /(Q)  (P) / /(Q)  a  (P) P a b I Q a  a / /(Q) Trang 22 P Q  A.A'  B.B' C.C' 0    900  I Phƣơng trình mặt phẳng: Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C2 ≠ phương trình tổng qt mặt phẳng,  n  (A; B;C) vectơ pháp tuyến Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0)  nhận vectơ n  (A; B;C) làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = Mặt phẳng (P) qua M0(x0;y0;z0) nhận   a  (a1; a ; a ) b  (b1; b ; b3 ) làm cặp vectơ phương mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:     a a a a1 a1 a  n  a, b    ; ;   b b3 b3 b1 b1 b  II Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = (Q):A‟x + B‟y + C‟z + D‟ =  (P) cắt (Q)  A : B : C ≠ A‟: B‟: C‟  (P) // (Q)  A : A‟ = B : B‟ = C : C‟ ≠ D : D‟  (P) ≡ (Q)  A : B : C : D = A‟: B‟: C‟: D‟ Cho hai mặt phẳng cắt : A  B  C A '  B'  C'     900  n P  n Q  hai mặt phẳng vng góc V Các dạng tập: Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng:   Tìm VTPT n   A; B;C  điểm   P  : Ax  By  Cz  D     Q  :A‟x  B‟y  C‟z  D‟  Phương trình chùm mặt phẳng xác định (P) (Q) là: m(Ax + By + Cz + D) + n(A‟x + B‟y + C‟z + D‟) = (với m2 + n2 ≠ 0) III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = Ax  By  Cz  D d(M , )  A  B2  C IV Góc gữa hai mặt phẳng: Gọi φ góc hai mặt phẳng :   P  : Ax  By  Cz  D  Ta có:    Q  :A‟x  B‟y  C‟z  D‟    n P n Q   cos  cos(n P , n Q )    nP nQ  2 2 2 qua M0  x ; y0 ; z   Dạng: A  x  x   B  y  y0   C  z  z0   Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C:    Tính AB, AC     Mp (ABC) có VTPT n   AB, AC qua A  Kết luận Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng    qua điểm A vng góc BC Mặt phẳng     BC nên có VTPT BC qua A Chú ý:    Trục Ox chứa i  1;0;0   Trục Oy chứa j   0;1;0   Trục Oz chứa k   0;0;1 Dạng 4: Viết phƣơng tình mp    mặt phẳng trung trực AB  Mặt phẳng     AB Nên có VTPT AB qua I trung điểm AB  Kết luận Dạng 5: Viết phƣơng tình mặt phẳng    qua điểm M0  x ; y ;z  song song với mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D    / /    Nên phương trình     Ax + By + Cz + D‟= M0     D' có dạng:  Kết luận Dạng 6: Viết phƣơng trình mp (P) qua hai điểm A, B vng góc với mp (Q)   Mặt phẳng (P) có cặp VTCP là: AB VTPT  (Q) n Q Trang 35 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ    Vectơ tích có hướng c  a, b  vng góc vơi   hai vectơ a b       a, b   a b sin(a, b) HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oyz      a  (a1;a ;a )  a  a1i  a j  a k    i  (1, 0, 0) ; j  (0,1,0) ; k  (0,0,1)   Cho a  (a1; a ; a ) b  (b1; b ; b3 ) ta có :     a1  b1    a  b  a  b a  b    a  b  (a1  b1;a  b2 ;a  b3 )  k.a  (ka1; ka ; ka )  a  a12  a 22  a 32      a.b  a b cos(a; b)  a1b1  a 2b  a 3b3 II Tọa độ điểm : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz     M  x M ; yM ; z M   OM  x M i  yM j  z M k Cho A  x A ; yA ; z A  B  x B ; y B ; z B  ta có:   AB   x B  x A ; yB  yA ; z B  z A   AB  (x B  x A )2  (yB  yA )2  (z B  z A ) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k   MA  kMB ta có :   x  kx B y  kyB z  kz B xM  A ; yM  A ; zM  A 1 k 1 k 1 k (Với k ≠ –1)  Đặc biệt M trung điểm AB (k = – ) ta có: x  xB y  yB z  zB xM  A ; yM  A ; zM  A 2 III Tích có hƣớng hai vectơ ứng dụng:   Nếu a  (a1;a ;a ) b  (b1; b ; b3 ) thì:   a a aa aa  a, b    ; ;     b b3 b3b1 b1b  TQĐ ĐL3: Cho mặt phẳng song song Mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng giao tuyến song song với (P) / /(Q)  (R)  (P)  a (R)  (Q)  b  R  a / /b a P b Q SABC  I Tọa độ véctơ:    [AB, AC]    VHộpABCDA’B’C’D’ = [AB, AD].AA ' LÝ THUYẾT TỐN LTĐH    VTứdiện ABCD = [AB, AC].AD IV.Điều kiện khác:   a b phương: a1  kb1        a, b    k  R : a  kb  a  kb a  kb    a b vng góc:   a.b   a1 b1  a2 b2  a3 b3       Ba vectơ a, b, c đồng phẳng  a, b c  A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện     AB, AC, AD khơng đồng phẳng G trọng tâm tam giác ABC: xA  xB  xC  x G   y  yB  yC    yG  A  zA  zB  zC  z G   G trọng tâm tứ diện ABCD       GA  GB  GC  GD  x A  x B  xC  XD  x G   y  y  yC  yD  B   yG  A  z  z  zC  zD  A B z G   G trọng tâm tứ diện ABCD:       GA  GB  GC  GD  Chiều cao AH kẻ từ đỉnh A tứ diện ABCD: 3VABCD AH = SBCD Trang 34 Quan hệ vng góc: Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a a  (P)  a  c, c  (P) c P Định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) ĐL2: (định lý đƣờng vng góc): Cho đường thẳng a có hình chiếu mặt phẳng (P) đường thẳng a’ Khi đường thẳng b chứa (P) vng góc với a vng góc với a’ d  a , d  b  a , b  (P) a  b  A  d  d  (P) b a P a  (P), b  (P)   b a' b  a a '  a / (P)  a b a' P Bài 2: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900   900 (P)  (Q)  ((P),(Q)) Định lý: ĐL1: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với (Q) Q a  (P)  (Q)  (P)  a  (Q) a P (P)  (Q)  (P)  (Q)  d a  (P),a  d  P  a  (Q) a d Trang 23 Q LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) (P)  (Q) A  (P)   A  a a  (Q) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba (P)  (Q)  a  (P)  (R) (Q)  (R)  a A Q Q P a  a  (R) R Bài 3: MỐI LIÊN HỆ QUAN HỆ SONG SONG VÀ VNG GĨC  a / /b   b  P  a   P   a   P    P / / Q   a   Q  a   P    P  / /  Q     a / /b  a   Q a  P   b   P     a  b   a / /  P  hay a   P  P  b     O a H P d '2 Giải hệ   tọa độ B d  Tìm tọa độ điểm C2 điểm đối xứng C qua d2; C2  AB  Viết phương trình tham số C1C2 phương trình AB C1C Tọa độ A nghiệm hệ :  d1 H  a O C1C Tọa độ B nghiệm hệ :  d Dạng 4: d1 đường cao, d trung tuyến  H P O P a H A b B Trang 24  O Q Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo : Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng B  d2 nên có hệ theo t1 t2 Giải hệ có t1 suy tọa độ điểm B Tương tự :  Nd2 suy tọa độ N theo t2  N trung điểm CA suy tọa độ A theo t2  A  d1 nên có hệ theo t1 t2 Giải hệ có t2 suy tọa độ điểm A Chú ý: Có thể giải theo cách khác :  Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ;  Tìm điểm đối xứng D C qua G  Viết phương trình đường thẳng qua d‟1 qua D song song với d2  Viết phương trình đường thẳng qua d‟2 qua D song song với d1 d '1  Giải hệ   tọa độ A ; d1 Dạng 3: d1 , d hai đƣờng phân giác góc A góc B  Tìm tọa độ điểm C1 điểm đối xứng C qua d1; C1  AB Bài 4: KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đƣờng thẳng, đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm O H, H hình chiếu điểm O đường thẳng a (hoặc mặt phẳng (P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đƣờng thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a khoảng cách từ điểm O thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng (P) Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng TQĐ  P  a  (P) LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Giả sử d1: đường cao AM; d2: trung tuyến BN  Viết phương trình cạnh CB (như trên) CB Giải hệ  tìm tọa độ điểm B d  Dùng tính chất trung điểm N thuộc BN , N là trung điể m AC A thuộc AM suy tọa độ điểm A Dạng 5: d1 đƣờng cao , d phân giác Giả sử d1: đường cao AM; d2: phân giác BN  Viết phương trình cạnh CB     CB Giải hệ   tọa độ điểm B d Tìm tọa độ điểm C2 điểm đối xứng C qua d2 ( C2 thuộc AB) Viết phương trình BC2 (BA) BA  tọa độ điểm A Giải hệ  d1 Dạng 6: d1 trung tuyến , d phân giác Giả sử d1: đường trung tuyến AM; d2: phân giác BN M  d   MA  MC  tọa độ điểm B A  d     Tìm C2 điểm đối xứng C qua d2 Viết phương trình tham số BC2 (BA) BA  tọa độ điểm A Giải hệ  d1 Nhận xét:  Học sinh cần nắm kĩ dạng 1, 2, dạng khác đơn giản  Nếu tốn có liên quan đến đường cao cần ý đến điểm hình chiếu đỉnh biết đường cao VTPT đường cao tìm VTCP cạnh viết phương trình tham số cạnh tam giác  Nếu tốn có liên quan đến trung tuyến cần lưu ý đến tính chất trung điểm  Nếu tốn có yếu tố đường phân giác cần lưu ý đến điểm đối xứng đỉnh biết qua đường phân giác Chú ý: Đề thi đại học thường sử dụng tính chất đối xứng tâm (điểm), đối xứng trục (đường) – liên quan đến Phép biến hình 11 Ngồi kết hợp tính chất đường tròn tam giác dạng tốn thường gặp  Trang 33 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH III Phƣơng trình đƣờng thẳng qua tiếp điểm: Cho M(x M ; yM ) nằm ngồi đường tròn tâm I(a; b) bán kính R Từ M dựng tiếp tuyến tiếp xúc đường tròn điểm A, B Phương trình đường thẳng AB có dạng:  x  a  x M  a    y  b  yM  b   R IV Phƣơng trình tiếp tuyến chung hai đƣờng tròn: Bƣớc 1: Xét tiếp tuyến vng góc với 0x : x  a  R x  a  R Kiểm tra tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đầu bài? Bƣớc 2: Xét tiếp tuyến khơng vng góc với 0x có dạng: y  kx  m Để tìm k m: Ta giải hệ lập từ điều kiện tiếp xúc  Nếu (C1) (C2) ngồi nhau: có tiếp tuyến chung  Nếu (C1) (C2) tiếp xúc ngồi: có tiếp tuyến chung  Nếu (C1) (C2) cắt nhau: có tiếp tuyến chung  Nếu (C1) (C2) tiếp xúc trong: có tiếp tuyến chung  Nếu (C1) (C2) lồng nhau: khơng có tiếp tuyến chung Vấn đề 4: ELÍP I Định nghĩa: Cho F1 ,F2 cố đònh F1F2 = 2c (c > 0) M  (E)  MF1  MF2  2a (a  c  0) II Phƣơng trình tắc: x y2 (E)   (a, b  0) a b III Các tính chất: Tiêu điểm : F1 (c;o), F2 (c;o) Tiêu cự : F1F2  2c Đỉnh trục lớn: A1 (a ;0), A2 (a ;0) Đỉnh trục bé : B1 (0; b), B2 (0;b) Độ dài trục lớn: A1A2  2a Độ dài trục bé : B1B2  2b Tâm sai : e  c  a TQĐ MF  a  e.x M Bán kính qua tiêu điểm :  MF2  a  e.x M Phương trình cạnh hình chữ nhật sở: x   a  y   b a2 10 Phương trình đường chuẩn x   c IV Phƣơng trình tiếp tuyến Elip: Phương trình tiếp tuyến TẠI M(x ; y0 ) : x.x y.y  :   (a, b  0) a b Điều kiện tiếp xúc: x y2   (a, b  0) đường a b2 thẳng (Δ) : Ax  By  C  Cho: (E) (Δ) tiếp xúc (E)  A2a  B2b2  C2 Vấn đề 5: Các dạng tốn tam giác Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết điểm C(a;b) hai đường thẳng cắt d1 , d khơng qua C có phương trình tham số :  x  x1  a1t1 x  x  a t d1 :  d :   y  y1  b1t1  y  y2  b2 t Hãy tìm tọa độ đỉnh A, B trường hợp : Dạng 1: d1 , d hai đƣờng cao Giả sử d1 đường cao AM , d2 đường cao BN  Viết phương trình BC: (BC có VTCP VTPT d1 qua C) BC  tọa độ điểm B  Giải hệ  d Tương tự :  Viết phương trình AC (AC có VTCP VTPT d2 qua C)  AC  Giải hệ  có tọa độ điểm A d1 Dạng 2: d1 , d hai đƣờng trung tuyến Giả sử d1: trung tuyến AM ; d2 trung tuyến BN  Md1 suy tọa độ M theo t1  M trung điểm CB suy tọa độ B theo t1 Trang 32 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ Phƣơng pháp: Dựng đoạn vng góc chung hai đƣờng thẳng chéo a b a Cách 1: Giả sử a  b:  Dựng mặt phẳng (P) chứa b vng góc với a A  Dựng AB  b B b A B  AB đoạn vng góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song  Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a  Dựng hình chiếu vng góc a‟ a (P)  Từ giao điểm B a‟ b, dựng đường thẳng vng góc với (P) lấy giao điểm A đường thẳng với a  AB đoạn vng góc chung a b a A a' B Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vng góc  Dựng mặt phẳng (P)  a O  Dựng hình chiếu b b (P)  Dựng OH  b H  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A  AB đoạn vng góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH b a b A B O b' H Bài 5: GĨC Góc đƣờng thẳng khơng gian: Góc đường thẳng khơng gian góc hợp hai đường thẳng phương với chúng, xuất phát từ điểm b  900 Lƣu ý: 00  a,   a b' b Góc đƣờng thẳng mặt phẳng:  Đường thẳng khơng vng góc với mặt phẳng: Là góc đường thẳng hình chiếu lên mặt phẳng  Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: góc P chúng bẳng 900 Phƣơng pháp: Xác định góc đƣờng thẳng a mặt phẳng (P)  Tìm giao điểm O a với (P)   (a,(P))   Chọn điểm A  a dựng AH  (P) Khi AOH Trang 25 a' a a' LÝ THUYẾT TỐN LTĐH LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ Góc hai mặt phẳng:  Góc mặt phẳng góc tạo đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm a b Q P Q P Phƣơng pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau:  b   Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q) Khi đó:  (P), (Q)    a, a  (P), a  c  b   Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng    (P), (Q)    a, b  (Q), b  c  [Tìm mặt phẳng (R) vng góc với giao tuyến c = (P)  (Q)  b  ] (R)  (P) = a; (R)  (Q) = b  (P), (Q)    a,   C  B Lưu ý: Ngồi vấn đề nêu thêm phương pháp giải, học sinh nên ý định lý in nghiêng phương pháp thường sử dụng để giải vấn đề MỘT SỐ HÌNH THƢỜNG GẶP  Hình lăng trụ: hình đa diện có đáy song song cạnh khơng thuộc hai đáy song song và gọi cạnh bên  Hình hộp: hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Hình lăng trụ đứng: hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy  Hình lăng trụ đều: lăng trụ đứng có đáy đa giác  Hình hộp đứng: hình hộp có cạnh bên vng góc với đáy  Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Ba độ dài ba cạnh xuất phát từ đỉnh gọi ba kích thước hình hộp chữ nhật  Hình lập phƣơng: hình hộp chữ nhật có ba kích thước  Hình chóp: hình đa diện có mặt đa giác mặt khác tam giác có chung đỉnh  Hình tứ diện: hình chóp có đáy hình tam giác  Hình chóp đều: hình chóp có đáy đa giác cạnh bên Đường thẳng nối từ đỉnh đến tâm đa giác gọi trục hình chóp Trục hình chóp vng góc với mặt phẳng đáy  Hình chóp cụt: hình đa diện tạo từ hình chóp có hai đáy hai đa giác đồng dạng nằm hai mặt phẳng song song, mặt bên hình thang Trang 26 (d)  (Δ)  (d) : Bx  Ay  m   M1 , M nằm khác phía so với (d)  (Ax1  By1  C)(Ax  By2  C)   M1 , M nằm phía so với (d)  (Ax1  By1  C)(Ax  By  C)  IV Góc hai đƣờng thẳng: A1A  B1B2 cos   A12  B12 A 22  B22  d (M, )  A (d) / / (Δ)  (d) : Ax  By  m  V Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng: Cho (Δ) : Ax  By  C  M(x ; y0 ) S Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mặt phẳng (P) S‟ diện tích hình chiếu (H‟) (H) (P‟)  P' Khi ta có: S'  S.cos P,  Cho (Δ) : Ax  By  C  Cho hai điểm M1 (x1; y1 ), M2 (x ; y2 ) đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, ta có:  M1 M nằm (d)  (Ax1  By1  C)(Ax  By  C)  b a TQĐ Ax  By0  C A  B2 VI Chú ý:  Trục Ox có pttq : y   Trục Oy có pttq : x   Đường thẳng song song trùng với Oy : ax  c   b    Đường thẳng song song trùng với Ox : by  c   a    Đường thẳng qua gốc tọa độ: ax  by   c   VII Dạng tốn thƣờng gặp: Dạng : Tìm hình chiếu điểm M đƣờng thẳng d : Cách 1:  Bƣớc 1: Gọi H hình chiếu M d suy tọa độ H theo t   Bƣớc 2: Tìm tọa độ vectơ MH theo t , tìm  VTCP u d    Bƣớc 3: Giải phương trình MH u = có t suy tọa độ H Cách 2:  Bƣớc 1: Viết phương trình đường thẳng qua d‟ qua M vng góc với d d  Bƣớc 2: Giải hệ :  có tọa độ điểm H d ' Dạng : Tìm điểm đối xứng điểm M qua đƣờng thẳng d  Bƣớc 1: Tìm hình chiếu H M d  Bƣớc 2: gọi M‟ hình điểm đối xứng cửa M qua d H trung điểm đoạn MM‟ , dựa vào cơng thức tọa độ trung điểm suy tọa độ M‟ Vấn đề 3: ĐƢỜNG TRỊN I Phƣơng trình đƣờng tròn: Phương trình tắc đường tròn (C) tâm I(a; b) , bán kính R:  Đường thẳng cắt Ox A  a;0  Oy B  0; b x y    a, b   a b  Đường thẳng qua điểm M  x ; y0  có hệ số  (C): (x  a)2  (y  b)2  R 2 Phương trình tổng qt đường tròn (C) tâm I(a; b) , bán kính R:  (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = góc k : y  y0  k  x  x  (ĐK:a2 + b2 −c > 0) R = a  b2  c  Đường thẳng d qua điểm M  x ; y0  song song với đường thẳng  : ax  by  c  có phương trình tổng qt là: a  x  x   b  y  y0    Đường thẳng d qua điểm M  x ; y0  vng góc với đường thẳng  : ax  by  c  có phương trình tổng qt : b  x  x   a  y  y0   II Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn: Phương trình tiếp tuyến TẠI M(x ; y0 ) :  qua M(x ; y0 )  : VTPT IM  (x  a; y  b)    : (x  a)(x  x )  (y0  b)(y  y0 )   : x.x  y.y0  a(x  x )  b(y  y0 )  c  Điều kiện tiếp xúc: d(I, )  R Trang 31 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH TQĐ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY Vấn đề 1: TỌA ĐỘ PHẲNG I Định lý:  Cho A(x A , yA ), B(x B , yB ) , a  (a1 ,a )  AB  (x B  x A ; yB  yA )  AB  AB  (x B  x A )2  (yB  yA )  a  a12  a 2 II Tính chất vectơ:   Cho a  (a1 ,a ) , b  (b1 , b2 )  IA  IB Giải hệ:  2 IA  IC    a  b1 a  b   a  b  ka  (ka1 , ka )   a  b  (a1  b1;a  b2 )   ma  nb  (ma1  nb1;ma  nb2 )  a.b  a1b1  a b2      a  k.b a phương b   a1b  a b1     a  b  a.b   a1b1  a 2b2     a1b1  a b a.b cos(a; b)     a b a12  a 2 b12  b 2   AB  (a1 , a ) , AC  (b1 , b2 ) M chia AB theo tỉ số k  1:  x  k.x B yA  k.yB  M A ;  1 k   1 k Vấn đề 2: ĐƢỜNG THẲNG I Phƣơng trình đƣờng thẳng: qua M(x ; y )  Phương trình tổng qt :  VTPT : n = (A; B)  : A(x - x0 ) + B(y - y0 ) = TQĐ Diện tích – thể tích khối đa diện:  Diện tích xung quanh: tổng diện tích mặt bên  Diện tích tồn phần: tổng diện tích xung quanh diện tích đáy THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h với B: diện tích đáy hình lăng trụ h: đường cao hình lăng trụ THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT: V = a.b.c Với a, b c chiều dài, chiều rộng, chiều cao hình hộp chữ nhật THỂ TÍCH HÌNH LẬP PHƢƠNG: V = a3 Với a độ dài cạnh hình lập phương  : Ax + By + C =  qua M(x ; y )  Phương trình tham số :  VTCP : a = (a1;a2 )    x = x + a1t (t  R)  :   y = y + a2 t a1b2  a b1 III Dạng tốn thƣờng gặp:   A, B, C thẳng hàng  AB phương AC  A, B, C lập thành tam giác  AB khơng  phương AC   A,B,C,D hình bình hành  AD  BC  x  x B yA  yB  ; M trung điểm AB: M  A  2    SABC  xA  xB  xC   x G  Trọng tâm G :   y  yA  yB  yC  G   AH.BC  Trực tâm H: Giải hệ:    BH.AC   EB AB E chân phân giác trong:    AC EC  FB AB F chân phân giác ngồi:   FC AC Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Kiến thức hình học 12: qua M(x ; y )  Phương trình tắc :  VTCP : a = (a1;a2 ) x - x0 y - y0  : = a1 a2 II Vi trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng: A B (1 )  ( )   A B2 (Δ1 ) / / (Δ )  (Δ1 )  (Δ )  A1 B1 C1   A B2 C2 A1 B1 C1   A B2 C2 III Vị trí tƣơng đối hai điểm đƣờng thẳng: Trang 30 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V = B.h với B: diện tích đáy h: đường cao TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A‟, B‟, C‟ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC  VSA'B'C' SA ' SB' SC' THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: h V  B  B' BB' với B, B’: diện tích đáy h: đường cao  A'  B' C' A B C Trang 27 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH LÝ THUYẾT TỐN LTĐH IV Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp khối đa diện: TQĐ KHỐI TRỊN XOAY Mặt cầu ngoại tiếp MẶT CẦU I Định nghĩa: Tập hợp điểm khơng gian cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi gọi mặt cầu tâm O bán kính R S(O;R)  M / OM  R Tập hợp điểm khơng gian nhìn đoạn AB cố định góc vng gọi mặt cầu đường kính AB S(AB)  M / AMB  90  Hình đa diện Khối cầu B(O;R) tập hợp điểm M khơng gian cho OM  R Tất đỉnh hình đa diện Tất mặt hình đa diện tiếp nằm mặt cầu xúc với mặt cầu Hình trụ Hai đường tròn đáy hình trụ nằm Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy mặt cầu đường sinh hình trụ B(O;R)  M / OM  R Hình nón Mặt cầu qua đỉnh đường tròn đáy Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy hình nón đường sinh hình nón R B A O O II Vị trí tƣơng đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S(O;R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu O lên mặt phẳng (P) đặt d = OH  d > R: (P)  (S) =  Mặt cầu nội tiếp V Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: R O TQĐ  d = R: (P) tiếp xúc (S) H Ta có H: tiếp điểm; (P) tiếp diện  d < R: (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn có tâm H bán kính  Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Tâm điểm cách đỉnh hình đa diện, bán kính khoảng cách từ tâm đến đỉnh  Cách xác định tâm mặt cầu:  Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh đa diện nhìn hai đỉnh lại góc vng tâm mặt cầu trung điểm đoạn thẳng nối hai đỉnh  Cách 2: Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp o Xác định trục  đáy ( đường thẳng vng góc với đáy tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) o Xác định mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên o Giao điểm (P)  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp r  R  d2 VI Xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp:  Mặt cầu nội tiếp hình chóp mặt cầu hình chóp tiếp xúc với tất mặt bên mặt đáy hình chóp Tâm điểm cách tất mặt bên đáy, bán kính khoảng cách từ tâm đến mặt  Tứ diện ln có mặt cầu nội tiếp, hình chóp khác khơng có mặt cầu nội tiếp  Cách xác định tâm mặt cầu: Tâm mặt cầu nội tiếp (nếu có) giao điểm mặt phân giác nhị diện hợp mặt bên đáy  Bán kính: r  III Vị trí tƣơng đối mặt cầu đƣờng thẳng: Cho mặt cầu S(O;R) đƣờng thẳng ∆ Gọi H hình chiếu O lên ∆ đặt d = OH  d > R: ∆ mặt cầu khơng có điểm chung  d = R: ∆ mặt cầu có điểm chung H ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu H H tiếp điểm ∆ mặt cầu Trang 28 3V Stp DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH  d < R: ∆ cắt mặt cầu hai điểm phân biệt Cầu Diện tích S  4R Thể tích V R Trang 29 Trụ Nón Sxq  2Rh Sxq  Rl Stp  Sxq  2Sđáy Stp  Sxq  Sđáy V  R 2h V  R 2h [...]... chỉnh hợp chập k của n phần tử Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A kn A kn  n! (n  k)! 3 Tổ hợp: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n  0  Mỗi cách chọn ra k  0  k  n  phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C kn Ckn  n! k!(n  k)! Nhận xét: 1) Điều kiện để xảy ra hốn vị, chỉnh hợp và tổ hợp. .. Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì khơng TQĐ VII Phƣơng pháp giải tốn đếm: 1 Phƣơng pháp 1 Bƣớc 1 Đọc kỹ các u cầu và số liệu của đề bài Phân bài tốn ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai đoạn Bƣớc 2 Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài tốn để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hốn vị, chỉnh hợp. .. đó, tồn bộ q trình có m1.m2…mk cách thực hiện VI Hốn vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp: 1 Hốn vị: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n  0  Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hốn vị của n phần tử Số các hốn vị của n phần tử được ký hiệu là Pn Pn = n! = 1.2…n 2 Chỉnh hợp: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n  0  Mỗi cách chọn ra k  0 ... phải là trị tuyệt đối (trị tuyệt đối là trường hợp riêng của độ lớn được định nghĩa trên trục số thực) III Tập hợp điểm - Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y - Chú ý: Các dạng phương trình đường thẳng, đường tròn, conic IV Dạng lƣợng giác - Áp dụng như các cơng thức đã nêu Chú ý: Việc kết hợp khai triển nhị thức Newton trong tập số phức... tốn: 1 Dạng khai triển:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau Khai triển  a  b  hoặc  a  b  n  C0n  C1n x  C2n x2   Cnk xk   Cnn xn   Đạo hàm 2 vế của (1) Thay số thích hợp vào (1) sau khi đạo hàm b Đạo hàm cấp 2:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần... nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm dần từ n đến 1)  Xét khai triển (1): n Đạo hàm 2 vế của (4) ta được (5): 1 n 3 Dạng tích phân:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) là phân số giảm 1 1 dần từ 1 đến hoặc tăng dần từ n 1 n 1 đến 1  Xét khai triển (1):  Các hệ số C được tính theo cơng thức tổ hợp chập hoặc dựa vào tam giác Pascal... Dạng lƣợng giác - Áp dụng như các cơng thức đã nêu Chú ý: Việc kết hợp khai triển nhị thức Newton trong tập số phức để chứng minh các đẳng thức cũng hay được sử dụng ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vấn đề 1: HỐN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP V Quy tắc đếm, cộng và nhân: 1 Quy tắc đếm: a Quy tắc: Với điều kiện là khoảng cách giữa các số bằng nhau (cách đều), ta có: số các số  số lớn nhất  số nhỏ nhất 1 khoảng... f (x)dx 2 Trƣờng hợp 2 Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g(y)  0 y  c; d  , x = 0, y = c và y = d (c < d) quay quanh trục Oy là: d V   g 2 (y)dy  f (x) dx   f (x)dx c Vấn đề 6: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I Tính diện tích hình phẳng: 1 Trƣờng hợp 1: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y  f (x), y  g(x), x  a, x  b là: 3 Trƣờng hợp 3 Thể tích khối... XOAY Mặt cầu ngoại tiếp MẶT CẦU I Định nghĩa: 1 Tập hợp các điểm trong khơng gian cách điểm O cố định một khoảng R khơng đổi gọi là mặt cầu tâm O và bán kính bằng R S(O;R)  M / OM  R 2 Tập hợp các điểm trong khơng gian nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vng gọi là mặt cầu đường kính AB S(AB)  M / AMB  90 0  Hình đa diện 3 Khối cầu B(O;R) là tập hợp các điểm M trong khơng gian sao cho OM  R Tất... 50, 75 2 Quy tắc cộng: 1) Nếu một q trình (bài tốn) có thể thực hiện được một trong hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả Khi đó việc thực hiện q trình trên cho m + n kết quả 2) Nếu một q trình (bài tốn) có thể thực hiện được k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho ... Nhận xét: 1) Điều kiện để xảy hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt 2) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có thứ tự tổ hợp khơng TQĐ VII Phƣơng pháp giải tốn đếm:... tốn trường hợp, trường hợp lại phân thành giai đoạn Bƣớc Tùy giai đoạn cụ thể giả thiết tốn để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hốn vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bƣớc Đáp án tổng kết trường hợp Phƣơng... n! = 1.2…n Chỉnh hợp: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n   Mỗi cách chọn k   k  n  phần tử X xếp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần