CHƯƠNG VI sử DỤNG MAPINFO để tạo bản đồ CHUYÊN đề

ÄMỘT SỐ CÂU TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN CAO CẤP A3PHẦN I: Phép tính vi phân hàm nhiều biến Câu 1: Tím vi phân cấp một của hàm z = x2 + 4y.. cz có điểm dừng nhưng không có cực trị... bz đạt cực

Trang 1

ÄMỘT SỐ CÂU TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN CAO CẤP A3

PHẦN I: Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Câu 1: Tím vi phân cấp một của hàm z = x2 + 4y

dx dy dz

−

)(

2 x y

dy dx dz

−

)(

2 x y

dx dy dz

dz

−+

+

)(

1 x y

dy dx dz

−+

−

)(

1 x y

dx dy dz

−+

−

)(

1 x y

dy dx dz

−+

z '' =2 +2 d) Các kết quả trên đều đúng.

Câu 8: Tìm vi phân cấp hai z d2 của hàm hai biến z = y ln x

Câu 9: Tìm vi phân cấp hai z d2 của hàm hai biến z =x2 +xsin2 y

a) d2z=2cos2ydxdy−2x.sin2ydy2 b) d2z =2dx2 +2sin2ydxdy+2x.sin2ydy2

c) d2z=2dx2 −2sin2 ydx2 −2x.cos2ydy2 d) d2z =2dx2 +2sin2y.dxdy+2x.cos2y.dy2

Câu 10: Tìm vi phân cấp hai z d2 của hàm hai biến z =x2 +xcos2 y

a) d2z=2cos2xdxdy−2x.sin2y.dy2 b) d2z =2dx2 +2sin2ydxdy+2x.sin2ydy2

c) d2z=2dx2 −2sin2ydxdy−2x.cos2ydy2 d) d2z =2dx2 −2sin2ydxdy+2x.cos2ydy2

Câu 11: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z= x2y3

a) d2z=2y3dx2 +12xy2dxdy+6x2ydy2 b) d2z =2y3dx2 −12xy2dxdy+6x2ydy2

c) d2z= y3dx2 +6x2ydy2 d) d2z =(2xy3dx+3x2y2dy)2

Câu 12: Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M(x0;y0).Đặt

),(''),

,(''),

,('' x0 y0 B f x0 y0 C f x0 y0f

A= xx = xy = yy , ∆=B2 −AC

Khẳng định nào sau đây đúng?

a)Nếu ∆<0 và A > 0 thì f đạt cực đại tại M b)Nếu ∆<0 và A < 0 thì f đạt cực đại tại M.c)Nếu ∆ >0 và A > 0 thì f đạt cực tiểu tại M d)Nếu ∆>0 và A < 0 thì f đạt cực tiểu tại M.Câu 13: Cho hàm z= x2 −2x+ y2.Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 2

a)z đạt cực đại tai M(1, 0) b)z đạt cực tiểu tại M(1, 0).

c)z có một cực đại và một cực tiểu d)z không có cực trị

Câu 14: Cho hàm z= x4 −8x2 + y2 +5.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tại I(0, 0) b)z đạt cực tiểu tại J(-2, 0) và K(2, 0).c)z chỉ có hai điểm dừng là I(0, 0) và K(2, 0) d)z không có cực trị

Câu 15: Cho hàm z= x2 −2xy+1.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tai M(0, 0) b)z đạt cực tiểu tại M(0, 0)

c)z có một cực đại và một cực tiểu d)z có một điểm dừng là M(0, 0).Câu 16: Cho hàm z= x2 +xy+ y2.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tại O(0, 0) b)z không có cực trị

c)z đạt cực tiểu tại O(0, 0) d)Các khẳng định trên sai

Câu 17: Cho hàm z= x2 −y2 +2x−y+1.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tại M(−1,−12) b)z đạt cực tiểu tại M(−1,−12).c)z không có cực trị d)Các khẳng định trên sai

Câu 18: Cho hàm z= x3 +27x+ y2 +2y+1.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z có hai điểm dừng b)z có hai cực trị

c)z có một cực đại và một cực tiểu d)z không có cực trị

Câu 19 : Cho hàm z=2x2 −6xy+5y2 +4.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tại M(0, 0) b)z đạt cực tiểu tại M(0, 0)

c)z không có cực trị d)z có một cực đại và một cực tiểu.Câu 20 : Cho hàm z=x3 +y3 −12x−3y.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tại M(2, 1) b)z đạt cực tiểu tại N(-2, 1)

c)z có đúng 4 điểm dừng d)z có đúng 2 điểm dừng.Câu 21 : Cho hàm z=x4 − y4 −4x+32y+8.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tại M(1, 2) b)z đạt cực tiểu tại M(1, 2)

c)z không có điểm dừng d)z không có điểm cực trị

Câu 22 : Cho hàm z=3x2 −12x+2y3 +3y2 −12y.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z có một cực đại và một cực tiểu b)z chỉ có một điểm cực đại

c)z không có điểm dừng d)z chỉ có một cực tiểu

Câu 23 : Cho hàm z=x3 −y2 −3x+6y.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tại M(1, 3) b)z đạt cực tiểu tại N(-1, 3)

c)z có hai điểm dừng d)Các khẳng định trên đều đúng.Câu 24 : Cho hàm z=x6 −y5 −cos2 x−32y.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tại M(0, 2) b)z đạt cực tiểu tại N(0, -2)

c)z không có điểm dừng d)z có một cực đại và một cực tiểu.Câu 25 : Cho hàm z=x2 −4x+4y2 −8y+3.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực tiểu tại M(2, 1) b)z đạt cực đại tại M(2, 1)

c)z có một điểm dừng là N(1, 2) d)z không có cực trị

Câu 26 : Cho hàm z=−x2 +4xy−10y2 −2x+16y.Khẳng định nào sau đây đúng?a)z đạt cực tiểu tại M(1, 1) b)z đạt cực đại tại M(1, 1)

c)z đạt cực tiểu tại N(-1, -1) d)z đạt cực đại tại N(-1, -1)

Câu 27 : Cho hàm z=x3 −2x2 +2y3+7x−8y.Khẳng định nào sua đây đúng?

a)z có 4 điểm dừng b)z không có điểm dừng

c)z có điểm dừng nhưng không có cực trị d)z có hai cực đại và hai cực tiểu.Câu 28 : Cho hàm z=−2x2 −2y2 +12x+8y+5.Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 3

a)z đạt cực tiểu tại M(0, 0) b)z đạt cực đại tại M(0, 0).

c)z có điểm dừng nhưng không có cực trị d)z không có điểm dừng

Câu 29 : Cho hàm z=−3x2 +2e y −2y+3.Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 30 : Cho hàm z=x2 − y−lny −2.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực tiểu tại M(0, -1) b)z đạt cực đại tại M(0, -1)

c)z luôn có các đạo hàm riêng trên R2 d)z có điểm dừng nhưng không có cực trị

Câu 31 : Cho hàm z=3x3 +y2 −2x2 +2x+4y+2.Khẳng định nào sau đây đúng?

c)z đạt cực tiểu tại M(-1, -2) d)z đạt cực đại tại M(-1, -2)

Câu 32 : Cho hàm z=−2x2 +8x+4y2 −8y+3.Khẳng định nào sau đây đúng?

c)z có một điểm dừng là N(1, 2) d)z không có cực trị

Câu 33 : Cho hàm z=x2 +4xy+10y2 +2x+16y.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt cực đại tại M(-1, 1) b)z đạt cực tiểu tại M(-1, 1)

c)z đạt cực đại tại N(1, -1) d)z đạt cực tiểu tại N(1, -1)

Câu 34 : Cho hàm z=x3 −2x2 +2y3+x−8y.Khẳng định nào sau đây đúng?

c)z có điểm dừng nhưng không có cực trị d)z có hai cực đại và hai cực tiểu

Câu 35 : Cho hàm z=−x2 +2y2 +12x+8y+5.Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 36 : Cho hàm z=x.e y +x3 +2y2 −4y.Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 37 : Cho hàm z=2x2 −4x+siny−y/2u7với x∈R,−π < y<π.Khẳng định nào sau đây đúng?a) đạt cực đại tại M(1,π 3) b) đạt cực tiểu tại M(1,−π 3)

c) đạt cực tiểu tại M(1,π 3) d) có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.Câu 38 : Cho hàm z=lnx−x+ln y −y2 /2.Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z không có cực trị b)z có hai điểm cực đại

c)z có hai điểm cực tiểu d)z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.Câu 39 : Tìm cực trị của hàm z =ln(x2 −2y) với điều kiện x – y – 2 = 0 Khẳng định nào sau đây đúng ?

a)z đạt cực đại tại M(1, -1) b)z đạt cực tiểu tại M(1, -1)

c)z không có cực trị d)Các khẳng định trên đều sai

Câu 40 : Tìm cực trị của hàm z =ln1+x2y với điều kiện x – y – 3 = 0 Khẳng định nào sau đây

đúng ?

a)z không có cực trị b)z có hai điểm dừng là A(0, -3) và D(3, 0)

c)z đạt cực đại tại A(0, -3) và B(2, -1) d)z đạt cực tiểu tại A(0, -3) và đạt cực đại tại B(2, -1).Câu 41 : Tìm cực trị của hàm z =x2(y−1)−3x+2 với điều kiện x – y + 1 = 0 Khẳng định nào sau đây đúng ?

a)z đạt cực đại tại A(-1, 0) và B(1, 2)

b)z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, 2)

c)z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, 2)

d)z đạt cực đại tại A(-1, 0) và đạt cực tiểu tại B(1, 2)

Trang 4

Câu 42 : Tìm cực trị của hàm z =2x2 + y2 −2y−2 với điều kiện –x + y + 1 = 0 Khẳng định nào sau đây đúng ?

a)z đạt cực tiểu tại A(2 3;−13) b)z đạt cực đại tại A(2 3;−13)

c)z đạt cực đại tại M(1, 0) và N(13;−2 3) d)z đạt cực tiểu tại M(1, 0) và N(13;−2 3)

Câu 43 : Tìm cực trị của hàm z =x2(y+1)−3x+2 với điều kiện x + y + 1 = 0 Khẳng định nào sau đây đúng ?

a)z đạt cực đại tại A(-1, 0) và B(1, -2) b)z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, -2).c)z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, -2) d)z không có cực trị

Câu 44 : Tìm cực trị của hàm z =x3 3−3x+ y với điều kiện –x2 + y = 1 Khẳng định nào sau đây đúng ?

a)z đạt cực đại tại M(-3, 10) và N(1, 2) b)z đạt cực tiểu tại M(-3, 10) và N(1, 2).c)z đạt cực đại tại M(-3, 10) và cực tiểu tại N(1, 2) d)Các khẳng định trên sai

Câu 45 : Cho hàm z=−x+2y+3 xét trên miền D=[ ] [ ]0,1× 0,1 Khẳng định nào sau đây đúng ?a) z đạt giá trị lớn nhất tại M(0, 1) b) z đạt giá trị nhỏ nhất tại M(1, 0)

c) z không có điểm dừng trong ( ) ( )0,1 × 0,1 . d) các khẳng định trên đều đúng.

Câu 46 : Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm z= x2y2 trong miền

.11

,

1

1≤ ≤ − ≤ ≤

a)m = -1, M = 0 b)m = -1, M = 1 c)m = 0, M = 1 d)Các kết quả trên đều sai

Câu 47 : Tìm gái trị nhỏ nhất m của hàm z=lnx−2y trong miền : 12≤ x≤1,0≤ y≤1

a) m=−ln2−2 b) m=ln2−2 c) m=−ln2 d) m=−2

Câu 48 : Cho hàm z= f(x,y)=x+2xy+3y−6 xét trên miền D=[ ] [0,1× −1,2] Khẳng định nào sau đây đúng?

a)z đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại M(1, 2) b)Z đạt giá trị nhỏ nhất bằng -9 tại N(0, -1)

c)Điểm P(−3 2,−12) là điểm dừng d)Các khẳng định trên đều đúng

Câu 49: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất n của hàm z=x2 +2x+2y+4 trong miền

.11

I ( , ) trong đó D là miền giới hạn bởi các đường:

2,

dy y x f dx I

2 0

2 2

),(

c) =∫ x∫+x

x

dy y x f

+

x x

dy y x f dx I

2 1

),(

Câu 52: Xác định cận của tích phân: =∫∫

D

dxdy y x f

x

dy y x f

dx

x

dy y x f dx I

3 9

),(c) =∫ ∫

y

dx y x f

y

dx y x f dy I

3

3 0

),(

Trang 5

D

dxdy y x f

42,

−

x x

dy y x f dx

4

1

),

2

),(

x x

dy y x f dx I

c) ∫ ∫−

+ +

−

x x

dy y x f dx

1

4

),

2

),(

x x

dy y x f dx I

D

dxdy y x f

x

dy y x f dx I

2 2 0

),(

c) =∫ ∫x

x

dy y x f

y

dx y x f dy

I ( , )4

0Câu 55: Xác định cận của tích phân: =∫∫

D

dxdy y x f

0

x

dy y x f

0

x

dy y x f dx I

1

x

dy y x f

1

x

dy y x f dx I

D

dxdy y x f

3,

3

2 1

2

),(

x

dy y x f dx I

3

1 2

2

),(

x

dy y x f dx I

D

dxdy y x f

0123,0423

x

dy y x f dx

2 1 3

5 3

),(

x

dy y x f dx I

y

dy y x f dx

3 1 3

5 3

),(

y

dy y x f dx I

D

dxdy y x f

0,0,1:x2 +y2 ≤ x≥ y≥

D

a) =∫ ∫−

2 1

0

1

0

),(

y

dy y x f dx

0

1 0

),(x y dy f

dx

2 1 0

1 0

),(

x

dy y x f dx I

d) Các kết quả trên đều sai

Trang 6

D

dxdy y x f

0,1,

),(

x

dy y x f dx I

),(x y dy f

dx I

D

dxdy y x f

4,

2

),(

x

dy y x f dx

),(

x

dy y x f dx I

x

dy y x f dx

),(x y dy f

dx I

D

dxdy y x f

I ( , ) trong đó D là hình tròn:

dx

1

4 0

),(x y dy f

dx I

x x

dy y x f dx

dy y x f dx I

4 3 4 3

4 0

2

),(

D

dxdy y x f

0

x

dy y x f

dx

x

dy y x f dx I

2

),(1

0c) =∫ ∫1

0

1

0

),(x y dy f

dx

D

dxdy y x f

I ( , ) trong đó D là elíp 1

94

2 2

≤+ y

3

2

),(

x

dy y x f dx

),(x y dy f

dx I

−

=

2 4

x

dy y x f dx

Câu 64: Trên miền lấy tích phân D:a≤x≤b,c≤ y≤d, viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng định nào sau đây đúng?

a) ∫∫ ( , ) =∫ ( ) ∫d ( , )

c

b

a D

dy y x f dx x f dxdy

dy y f dx x f dxdy y x f

c) ∫∫ [ ( )+ ( )] =∫ ( ) +∫d ( )

c

b

a D

dy y g dx x f dxdy x g

dy y g dx x f dxdy y g x f

Trang 7

Câu 65: Đổi thứ tự tính tích phân ( , )

I Kết quả nào sau đây đúng?

dy

2 2

4 / 1 2 / 1 4 / 1

dy

2 4 / 1

2 4

4 2

2

∫ −

= dx x f x y dy I

3

∫ −

= dy y f x y dx I

dy

1 4

1 1

0 1

dy y x f dx I

∫

=

y e

dx y x f dy I

1 ln

dy y x f dx I

1 ln

2 2 ln

∫

=

x e

dy y x f dx I

ln 0

∫

=

y e

dx y x f dy I

ln 0

Trang 8

Câu 72: Cho tích phân: ( , )

2 2

I Thay đổi thứ tự tính tích phân ta được:

2

1 1

1

− +

=

y

dx y x f dy

2 1

2 2

x x

x

ln 0

I Thay đổi thứ tự tính tích phân ta được:

1 0

1

∫

= dy f x y dx I

Câu 75: Thay đổi thứ tự tính tích phân: ( , )

2 1 0

2

2 1

2

2 1 1

4 1

2

4 1

4

2 1

2

4 1

2 4

4 2 2

16 8

y x f dx

4 16 4 1

y x f dx I

2 2

2 / 2

4 2

y x f dy

2 2 /

4 2 1

y x f dy I

Trang 9

2 1

2 2

2 0

2 1

1 0

y x f dy

2 2 0

2 1 0

dx y x f dy dx

y x f dy I

Câu 80: Đặt =∫∫

D

dxdy y x f

I ( , ) , trong đó D là tam giác có các đỉnh là O(0, 0); A(1, 0) và B(1, 1) Khẳng định nào sau đây là đúng?

1 1 0 0

y x f dx

1

1 0 0

dx y x f dy dy

y x f dx I

1 0

1 1

=

x y

dy y x f dx dx

y x f dy I

D

dxdy y x f

1 1 0

dx y x f dy dy

y x f dx

0

1 0

1 1

y x f dx I

0

1 0

y x f dy

1 1 0

1 1

=

x y

dy y x f dx dx

y x f dy I

D

dxdy y x f

1

1 0

y x f dy

1 0

dy y x f dx dx

y x f dy I

1 0

dx y x f dy dy

y x f dx

1 0

dx y x f dy dy

y x f dx I

D

dxdy y x f

I ( , ) , trong đó D là tam giác có các đỉnh là A(0, 1); B(1, 0) và C(1, 1) Khẳng định nào sau đây là đúng?

1

1 0

y x f dy

1 0

1 1

y x f dy I

1 1

1 0

dx y x f dy dy

y x f dx

1 0

dx y x f dy dy

y x f dx I

Câu 84: Chuyển tích phân sau sang toạ độ cực: =∫∫

D

dxdy y x f

I ( , ) , trong đó D là hình tròn

0

2 /

0

ϕ ϕ

ϕϕ

Trang 10

Câu 85: Cho tích phân =∫∫

D

dxdy y x f

I ( , ) Đẳng thức nào sau đây đúng?

a) Với D là hình tròn x2 +y2 ≤R2(R>0)ta có:

τϕϕ

ϕ

π

rd r

r f d I

R

)sin,cos(0

r f d I

a

)sin,cos(cos 0

2 / 2 /

ϕϕ

r f d I

b

)sin,cos(sin 0 0

ϕϕ

d) Các khẳng định trên đều đúng

Câu 86: Chuyển tích phân sang hệ toạ độ cực =∫∫ +

D

dxdy y

x f

2 /

∫

=π ϕ c) I rf(r)dr

1 0

∫

=π d) I d f(r)dr

1 0

2 /

0

.3

y

xy dx e y dy I

a) I = 2 – e b) I = 0 c) I = e – 2 d) I = e + 2

Câu 88: Tính tích phân I =∫dx∫x x+y dy

2 0

1 0

)(3a) I = 3 b) I = -3 c) I = -4 d) I = 4

Câu 89: Tính tích phân =∫ ∫

x

ydy x

dx I

0 0

sin.3π

a) I =π2 −4 b) I =π2 −2 c) I =π2 +4 d) I =π2 +2

Câu 90: Tính tích phân = ∫ ∫ +

y y

e dy I

0

1 02a) I =e2 +e b) I =e2 +e−2 c) I =e2 −e d) I =e2 −2e+1

Câu 91: Tính tích phân = ∫ ∫ +

y

dx y x dy

I

0

2 / 0

)sin(

ln 0

2 16a) I = 0 b) I = 1 c) I = 3 d) I = 5

Câu 93: Tính tích phân kép: =∫∫ +

D

dxdy y x

I (sin 2cos ) trong đó D là hình chữ nhật

x

trong đó D là hình chữ nhật −m≤x≤m;0≤y ≤1,

m là hằng số thực dương

a) I = 0 b) I = 2m c) I = 2m2 d) I = 3m2

Trang 11

Câu 96: Tính tích phân : =∫∫

D xydxdy

I trong đó D là hình chữ nhật 0≤x≤1;0≤y≤2a) I = 1 b) I = 2 c) I = 1/2 d) I = 1/4

D

ydxdy y

I sin5 cos10 trong đó D là hình chữ nhật4

/0

x I

12

I (sin cos ) trong đó miền D định bởi

y

I cos trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường2

/,

0,

D ydxdy x

I ln trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường

e y y x

I ( ) trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường2

,0,0

I trong đó D là miền định bởi D:0≤x≤a,0≤y≤ x

D

dxdy x

I trong đó D là miền định bởi D:1≤y≤2,0≤x≤lny

a) I = ½ b) I = 1 c) I = e – 1 d) I = e2

Trang 12

D ydxdy

I sin trong đó D là miền định bởi D:π≤x≤3π,π≤y≤x

a) I =2π b) I =−2π c) I =0 d) I =1

Câu 112: Tính tích phân : =∫∫ +

D

dxdy y x

I ( ) trong đó D là miền định bởi D:0≤y ≤1,0≤0≤y

Câu113: Tính tích phân : =∫∫

D ydxdy x

I 2 2 trongđó Dlà tamgiác vớicác đỉnh O(0, 0); A(1, 0); B(1, 1)

Câu114: Tính tích phân : =∫∫ +

D

dxdy x

I (3 2) trong đó Dlà tamgiác OAB vớiO(0, 0); A(1, 0); B(1, 1)

Câu115:Tính tích phân : =∫∫ +

D

dxdy y x

I 2( ) trong đó Dlà tamgiác OAB với O(0, 0); A(1, 0); B(0, 1)

Câu 116: Tính tích phân : =∫∫ +

D

dxdy y x

I cos( ) trong đó D là miền giới hạn bởi các đường

I trong đó D là tam giác với các đỉnh O(0, 0); A(0, 1); B(1, 0)

D xydxdy

I 2 trong đó D là miền giới hạn bởi đường thẳng y=x và parabol y = x a)

I trong đó D là miền giới hạn bởi đường thẳng y = x và parabol2

2

1

trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x2 và

x x

y =− 2 −2

a) I =−61 b) I =61 c) I =65 d) I =−65

D dxdy

I π trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x và

2

2 trong đó D là hình trònx2 +y2 ≤9

Trang 13

a) I =3π b) I =6π c) I =9π d) I =18π

Câu 126: Tính tích phân kép: =∫∫ +

D

dxdy y

2 2 1

0

)(

y

dx y x dy I

a) I =π/6 b) I =2π c) I =π/4 d) I =π/8

Câu 128: Tính tích phân bội hai: =∫∫ +

D

dxdy y

2 0

x

x dy dx

I a)I =π/8 b) I =2π c) I =π/4 d) I =π

D

dxdy y x

I trong đó D là miền định bởi

0,0,:x2 +y2 ≤R2 x≥ y ≥

2

)(e4 e2

4

)(e4 e2

4

)1( 3 −

= e e

2

)1( 3 −

dx

2

2 1 0

dy S

1 0

Câu 137: Tính diện tích S của miền giới hạn bởi các đường: y =3x2 +x+1;7x−y+1=0

Trang 14

a)S = e – 2 + 1/e b)S = e – 2 – 1/e c)S = e + 2 + 1/e d)S = e – 1/e

Câu 141: Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi các đường: x=2y;x=y2/3 Ta có:

Câu 145: Tính khối lượng M của hình vuông D:0≤x≤1,0≤y ≤1, có khối lượng riêng là

.)

D

πδ

1 2

1

)()

()

,,

1 2

1

)()

()

()()

h y g

1 2

1

)(

xdx dxdydz

z y

Ω

2

1 2

Câu 148: Xác định cận của tích phân ∫∫∫

Ω

dxdydz z

y x

f( , , ) trong đó Ωlà miền giới hạn bởi các mặt

1 0

),,(x y z dz f

dy dx I

dy dx

I

x

d) =∫ ∫ −∫−

y x

dz z y x f dy dx I

2 1 1

2 0

2 1

),,(

Câu 149: Xét tích phân bội ba ∫∫∫

Ω

dxdydz z

y x

f( , , ) trong đó Ωlà miền trong không gian được giới hạn bởi các mặt: x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2 Đẳng thức nào sau đây đúng?

2 0

),,(x y z dz f

dy dx I

x

c) =∫ ∫− −∫−

y x x

dz z y x f dy dx

I

2 0

y x x

0

2 0

),,(

Trang 15

Ω

dxdydz z

y x

f( , , ) trong đó Ωlà miền trong không gian được giới hạn bởi các mặt: x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 và z = x2 + y2 Đẳng thức nào sau đây đúng?

a) =∫ ∫ ∫+

2 2

y x

dz z y x f dy

dx

0

1 0

),,(x y z dz f

dy dx I

dy

dx

Ω

dxdydz z

y x

f( , , ) trong đó Ωlà miền trong không gian được giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, y = 0, z = 0, z = 2 và y + x = 1 Đẳng thức nào sau đây đúng?

a) =∫ ∫ −∫

y

dx z y x f dy

dz

I

1 0

x

dy z y x f dz dx I

1 0

2 0

1 0

),,(

dx dy

I

y

d) Các đẳng thức trên đều đúng

Câu 152: Xét tích phân bội ba ∫∫∫Ω f(x,y,z)dxdydztrong đó Ωlà miền trong không gian được giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, x = 2, y = 0, z = 0 và y + z = 1 Đẳng thức nào sau đây đúng?

a) =∫ ∫ −∫

y

dx z y x f dy

dz

I

1 0

x

dz z y x f dx dy I

1 0

2 0

1 0

),,(c) =∫ −∫ ∫

2 0

dz dy

I

y

d) Các đẳng thức trên đều sai

Câu 153: Xác định cận của tích phân ∫∫∫Ω f(x,y,z)dxdydztrong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt: x + y + z – 5 = 0, x = 0, y = 0, z = 0

a) =∫ ∫ ∫

5 0

dz

dy

z y y

dx z y x f dz dy I

5 0

),,( c) =∫ ∫− −∫−

z z y

dx z y x f dz dy

I

5 0

y x z

5 0

5 1

),,(

Câu 154: Xét tích phân ∫∫∫Ω f(x,y,z)dxdydztrong đó Ωlà tứ diện được giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 Đẳng thức nào sau đây đúng?

a) =∫ ∫− −∫−

y x x

dz z y x f dy dx

I

1 0

z y y

1 0

),,(c) =∫ ∫− −∫−

x z z

dy z y x f dx dz

I

1 0

, 1 0

Trang 16

Câu 157: Tính tích phân bội ba: ∫∫∫

Ω

dxdydz xye z

, trong đó Ω là miền:

4 ln 2

ln , 2 2

, 2 / 0

, trong đó Ω là miền:

3 ln 0

, 2 0

x )(11 )10

, trong đó Ω là miền định bởi

0

, 0

, 1

, 2

I c)I = 2ln(e + 1) + ln2 d)Các kết quả trên đều sai

Câu 163: Cho Ω là miền x2 +y2 ≤4;0≤z ≤2 Tính ∫∫∫Ω x2 +y2

2 2cos

y x

dxdydz y

,2/0

Trang 17

Câu 169: Xác định cận của tích phân ∫∫∫

Ω

dxdydz z

y x

f( , , ) trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt: x + 2y = 2, z = 1, z = 2, x = 0, y = 0

a) =∫ ∫ ∫

2 1

dy

dx

2 1

2 / 1 0

2 0

),,(x y z dz f

dy dx I

c) =∫ −∫ ∫2

1

2 / 1

0

2

0

),,(x y z dz f

dy dx

I

x

d) =∫ −∫ − ∫−

2 / 1 1

2 / 1 0

2 0

),,(

x y x

Câu 170: Tính tích phân I =∫∫∫Ω xycoszdxdydz, trong đó Ω là hình hộp

2/0

,20

,4/0

,4

2

dz z r

r f dr d

I

r

ϕϕ

ϕ

π

b) = ∫ ∫ −∫

2 4 0

2 0

),sin.,cos.(

r

dz z r

r f rdr d

2 4 0

4 0 2 2

0

),sin.,cos.(sin

r

dz z r

r f dr r d

2 4 0

4 0

2 0

),sin.,cos.(

r

dz z r

r f rdr d

r

rdz r

dr d

3 0

2

cos

r

rdz r

dr d I

πϕc) = ∫ ∫ −∫

8 1

dr d

3 0

2 0

cos rdz r

dr d I

πϕ

Trang 18

Bài 177: Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ: ∫∫∫

Ω

++

r

dz r

dr d

2 0

)1ln(r dz r

dr d I

πϕ

r

dz r

r dr d

2

)1ln(

r

dz r

r dr d I

πϕ

Bài 178: Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân: ∫∫∫

0

dz dr r d

2 0

dz rdr d

I

πϕ

/

0

dz dr r d

2 / 0

dz rdr d

I

πϕ

Bài 179: Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân: ∫∫∫

Ω

= f x y z dxdydz

I ( , , ) , trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt: z=x2 +y2 và z = 4

r

dz z r

r f dr d

2

4

2 0 0

),sin,cos(

r

dz z r

r f rdr d

r

dz z r

r f dr d

r

dz z r

r f rdr d

f dr d

1

1 0

2 0

),sin.,cos

f rdr d

c) = ∫ ∫ ∫4

1

1 0

2

0

),sin.,cos.(

1

1 0

2 0

),sin.,cos

f rdr d

0

2

0

),sin,cos(

r

dz z r

r f rdr d

2

0

1 0

2 0

),sin,cos(

r

dz z r

r f rdr d

r

dz z r

r f rdr d

2 / 0

),sin,cos(

r

dz z r

r f rdr d

Trang 19

Câu 182: Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân:

a) I = ∫d R∫rdr∫R f r z dz

0 2 2

/ 0

2

0

),(

R

dz z r f rdr d

I

2 2

),( 2

2 / 0

2 0

πϕ

2 2

),( 2

2 / 3 0

2

0

r R

r R R

R

dz z r f rdr d

R

dz z r f rdr d

I

2 2

),( 2

2 / 3 0

2 0

πϕCâu 183: Tính tích phân: I =∫∫∫Ω xy4z5dxdydz

, trong đó Ω làphần chung của hai hình cầu:

2 2

/ 0

2

0

)(

sinθ θ ρ ρ ρ

ϕπ

π

d f

d d

0

2 2 2

/ 0 0

)(

sinθ θ ρ ρ ρ

ϕπ

π

d f

d d

I

c) =∫ ∫ ∫2

0

2 2 4

/ 0

0

)(

sinθ θ ρ ρ ρ

ϕπ

π

d f

d d

0

2 2 4

/ 0

2 0

)(ρ ρρ

θ

ϕπ

π

d f

d d I

Câu 185: Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác định cận tích phân:

0

sin d dr

r d

0

2 1 2 2

0

sin d dr

r d I

0

π π

4 2

0

.

dr r d I

Câu 186: Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác định cận tích phân:

∫∫∫

Ω

++

0

sin d dr

r d

0

2 0

sin d dr

r d I

2 / 0

2

0

2 0

.sin

π π

θθ

d

2 / 0

2 0 3 2

0

.sin

π π

θθ

d I

Câu 187: Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác định cận tích phân: ∫∫∫

Trang 20

a) I = ∫d ∫ d ∫R f d

0 2 2

/ 0

2

/

0

)cos,cossin(

2

/

0

)cos,cossin(

2

/

0

)cos,cossin(

d d

I π ϕπ sinθ θ ρ2 (ρsinθcosϕ,ρcosθ) ρ

2 / 0

/ 0

2

0

)cos,sin(

0

)cos,sin(

d d

I π ϕπ θ θ ρ ρ θ ρ θ ρ

π

)cos,sin(

2

4

/ 0

2

4

/ 0

2

/

4

ϕπ

π

=

= ∫ ∫ ∫ d) Các khẳng định trên đều đúng

Câu 190: Gọi V là thể tích miền Ω phần nằm trong mặt nón z = x2 +y2 được giới hạn bởi mặt cầu x2 +y2 +z2 =a2, khẳng định nào sau đây đúng?

a

d d

d

V

0 2 2

/ 0

2

0

.sinθ θ ρ ρ

d V

0 2 4

/ 0

2 0

.sinθ θ ρ ρ

ϕππ

d

V

0 2 4

/ 4 /

2

0

.sinθ θ ρ ρ

d V

0 2 2

/ 4 / 0

.sinθ θ ρ ρ

ϕππ π

Câu 191: Gọi V là thể tích miền Ω được giới hạn bởi các mặt x2 +y2 +z2 =a2,

)0

(2 2

d

V π ϕπ θ θ ρ2 ρ

4 / 0

/ 4 /

2 0

.sin

a

d d

d

2 / 0

d d

d

4 / 0 0

.sinCâu 192: Tính thể tích V của vật thể: Ω:0≤x≤1,0≤y≤2x,0≤z≤y

a) V = 2/3 b) V = 1 c) V = 1/2 d) V = 1/6

Câu 193: Tính thể tích V của vật thể: Ω:0≤x≤1,0≤y≤1−x,0≤z≤1−2y

a) V = 1 b) V = 1/2 c) V = 1/3 d) V = 1/6

Trang 21

Câu 194: Tính thể tích V của vật thể: Ω:0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z ≤1−x2

a) V = 2/3 b) V = 3/2 c) V = 2 d) V = 1/2

Câu 195: Tìm giá trị trung bình của hàm số f(x,y,z)=(xyz)2trên hình hộp

21

,30

,1

a) f =−3/2 b) f =1 c) f =3/2 d) f =2/3

Câu 197: Tính khối lượng M của khối lập phương Ω:−1≤x≤0,−1≤y ≤0,0≤z ≤1

Có khối lượng riêng là δ(x,y,z)=xyz

a) M = 1/4 b) M = 1 c) M = 1/6 d) M = 1/8

Câu 198: Tính khối lượng M của khối lập phương Ω:0≤x≤1,0≤y ≤2,0≤z ≤3

Có khối lượng riêng là δ(x,y,z)=x+y+z

Câu 199: Tính khối lượng M của vật thể Ω, trong đó Ω là phần hình cầu x2 +y2 +z2 ≤2 thuộc tam diện toạ độ thứ nhất có khối lượng riêng là δ(x,y,z)= 2

a) M =4 2/3 b) M =2π/3 c) M =2π 2/3 d) M =8π 2/3

CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT

A Tích phân đường loại 1

Câu 200: Tính tích phân đường =∫ +

C

dl y x

I ( ) , trong đó C có phương trình x+y =1,0≤x≤1.a) I = 2 b) I =1 c) I =1/2 d) I =2

C

dl y x

I ( )2 , trong đó C có phương trình x+y =a,0≤x≤a.a) I =a2 b) I =2a2 c) I =a2 2 d) I =a3 2

Câu 202: Tính tích phân đường =∫ −

C

dl y x

I ( ) , trong đó C có phương trình x+y =1,0≤x≤1.a) I =1 b) I =− 2 c) I =0 d) I = 2

C

dl y x

I ( ) , trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm O(0, 0) và A(2, 2)

a) I =− 2 b) I = 2 c) I =2 d) I =0

Câu 204: Tính tích phân đường =∫

C

dl y x

I sin 5 , trong đó C có phương trình y =x,0≤x≤2π.a) I = 2 b) I =0 c) I =− 2 d) I = 2/6

K

dl y x

I ( ) , trong đó K là đoạn thẳng nối các điểm O(0, 0) và M(1, 2) a) I = 5 b) I =− 5 c) I = 5/2 d) I =− 5/2

dl

I , trong đó K là đoạn thẳng nối các điểm A(3, 0) và B(0, 3)

Trang 22

I (6 6 2) , trong đó C có phương trình

10

x

I (6 6 3) , trong đó C có phương trình

10

I (26 8 ) , trong đó C là đoạn thẳng có phương trình0

I ( ) , trong đó C là đoạn thẳng nối A(0, 1) và B(1, 2) a) I =2 b) I =−2 c) I =−2 2 d) I =2 2

C

dl y x

I ( )2 , trong đó C là đoạn thẳng nối A(2, 0) và B(0, 2) a) I =4 b) I =8 c) I =4 2 d) I =8 2

C

dl y x

I ( 2 )2 , trong đó C là đoạn thẳng nối O(0, 0) và B(2, 2) a) I =24 b) I =48 c) I =24 2 d) I =48 2

C

dl x

x I

241

I ( ) , trong đó C là đường biên của hình vuông

20

,

2

0≤x≤ ≤ y≤

Trang 23

a) I = 8 b) I = 16 c) I = 24 d) I = 36

C

dl y x

I ( ) , trong đó C là đường biên của tam giác với các đỉnh O(0, 0); A(1, 0) và B(0, 1)

I ( 2 2)

, trong đó C là 1/4 đường tròn

0,0,16

+

=

δ

Trang 24

a) M = 2/a b) M =a 2 c) M = 2 d) M =2 2

B Tích phân đường loại hai

Câu 236: Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường

dy y

xy dx

x xy

I

AB

)142()142

đi từ điểm A(2, 1) đến B(2, 0)

Câu 238: Cho điểm A(0, 1) và B(1, 0), tính tích phân đường I y x dx y dy

AB

)1()12

= lấy theo đường x + y = 0 gốc

toạ độ O đến A

Câu 240: Tính tích phân đường I xy dx yx dy

OA

)3(

)1

14

= ∫ ở đây OA là cung parabol y

= x2/4 từ O(0, 0) đến A(2, 1)

Câu 245: Tính I y xy dx xy x dy

OA

)2

()2

2)(

14

= ∫ ở đây OA là cung parabol y

= x2/4 từ O(0, 0) đến A(2, 1) a) I = 0 b) I = 4 c) I = 8 d) I = 12

Câu 248: Tính tích phân đường loại 2: I y x dx y x dy

OA

)4()2

= ∫ ở đây OA là cung y3 = x từ O(0, 0) đến A(1, 1) a) I = -4 b) I = 4 c) I = 8 d) I = 0

Trang 25

Câu 249: Tính tích phân đường loại 2: I x y dx y x dy

OA

)3

()2

= ∫ ở đây OA là cung y2 = 2x từ O(0, 0)

4sin

= ∫ lấy theo đường y =4x2 −3x+1 từ A(0, 1) đến B(1, 2) a)I = 0 b)I = 25 c)I = 17 d)Các kết quả trên đều sai.Câu 254: Tính tích phân đường I ydx xdy

xy dx

y x

I ( 2 3) (2 3 2)a) I =2π b) I =3π c) I = 2 d) I = 3

Câu 260: Cho C là đường tròn tâm O bán kính R Đặt:

=

C

dy y

x dx y

x

I (2 2 5) d) =∫∫ − +

D

dxdy y

I ( 4 2)

Câu 261: Cho C là đường tròn tâm O bán kính R Tính tích phân: =∫ + + +

C

dy y

x dx y x

dx x y

I ( 3sin ) (2 cos )a) I =−π b) I =π c) I =−16π d)I =16π

Câu 263: Cho C là hình tròn x2 + y2 = 9 Tính tích phân đường loại hai:

Trang 26

∫ +

=

C

xdy ydx I

dx x y

I (3 4cos ) (4 5cos )a) I =0 b) I =π c) I =4π d)I =−4π

Câu 265: Cho C là hình tròn (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 Tính tích phân đường loại hai:

dx x y

I (5 4cos ) (4 5cos )a) I =0 b) I =−4π c) I =10π d) I =−20π

Câu 267: Cho C là biên của hình chữ nhật 1≤x≤3,0≤y ≤3 Tính tích phân đường loại 2:

=

C

dy y x dx y

2 2

=+ y

x Tính tích phân đường loại 2: =∫ + + −

C

dy y x dx y x

I (2 ) (3 2 ) a) I =−24π b) I =−12π c) I =12π d)I =24π

Câu 269: Cho C là elíp 1( , 0)

94

2 2

=+ y

x Tính tích phân đường: =∫ + + −

C

dy x x

dx x

y

I (sin 1) ( cos ) a) I =6π b) I =36π c) I =0 d)I =π

Câu 271: Cho C là nửa đường tròn tâm O bán kính 2 nằm phía trên trục hoành Ox từ A(-2, 0) đến B(2,0) Tính tích phân đường =∫ +

C

dy y dx x

yx dx

x xy

Trang 27

dy x y dx x

y

I

OA

)4()3

xdy ydx I

Câu 277: Tính tích phân đường = ∫− +

) 4 , 3 ( ) 1 , 0 (

ydy xdx

))(

(x y dx dy I

Câu 279: Tính tích phân = ∫ −

) 2 , 1 ( ) 1 , 2 (

222

x

xdy ydx

I theo đường không cắt trục Oy

Câu 280: Tính tích phân = ∫ + + −

) 3 , 2 ( ) 1 , 0 (

)()(y x dx x y dy I

Câu 281: Cho biết hàm U =x3 +y3 +2xy+4x+1 có vi phân toàn phần là

dy x y

dx y

)2

Trang 28

a) = ∫ + + + −

AB

dy x y y

dx x xy

I (4 3 2 ) ( 4 2 )

AB

dy x y y

dx x xy

I (4 3 2 ) ( 4 2 )

AB

dy y

x y dx x

x y

dx x

c) = ∫ −

AB

dx y dy

xtg x dx y x tg y tgy

AB

dy ytgx y

AB

dy ytgx y

AB

dy ytgx y

xy dx

y x

I (2 3 2 2) (4 1)

AB

dy y

xy dx

y x

I (2 3 2 2) (4 1)

AB

ydy x

dx y x

AB

ydy y

dx x y y

I (cos cos ) sin

Câu 288: Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc vào các đường trơn từng khúc nối hai điểm

Trang 29

A và B?

AB

dy y

x dx y x

I (2 3 3 ) (3 1)

AB

dy y

x dx y x

I (2 3 3 ) (3 1)

AB

ydy x

dx x y

AB

ydy dx

x y

I (cos cos ) sin

A và B?

AB

dy x y

x dx y x y

I (cos sin ) ( sin sin )

AB

dy y y

tg x dx x tgy

I ( 1 cos ) ( (1 2 ) sin )

AB

ydy x

dx x y

I (cos sin ) cos

AB

ydy dx

y y

I (sin cos ) cos

A và B?

AB

dy y

x y dx xy

x y

dx xy

e

C Tích phân mặt loại 1

Câu 292: Tính tích phân mặt loại một: =∫∫

I (2 2 ) , trong đó S là mặt 2x−2y+z−2=0,1≤x≤2,0≤y ≤2

, trong đó S là mặt2

0,10

Trang 30

I ( ) , trong đó S là mặt

0,0,4,

012

I ( 4 2 ) , trong đó S là mặt x+4y+2z−2=0,1≤x2 +y2 ≤2.a) I =π 21 b) I =π 21/2 c) I =−π 21/2 d) I =2π

Câu 303: Tính: =∫∫ + +

S

ds z y x

I ( 2 ) , trong đó S là mặt x+2y+z−2=0,x+y≤1,x≥0,y ≥0.a) I = 6 b) I = 6/2 c) I =2 6 d) I = 6/4

Câu 304: Tính: =∫∫ − +

S

ds z y x

I (3 4 ) , trong đó S là mặt 3x−4y+z−3=0,x2 +y2 ≤1.a) I =3π 26 b) I =15π 26 c) I =2π 26 d) I =π 26

xz y x

Trang 31

I ( ) , trong đó S là mặt của hình lập phương [0,1]x[0,1]x[0,1]

I ( ) , trong đó S là mặt1

0,10

,10

,0,0,

I (2 2 ) , trong đó S là mặt2

0,20

,22

2x+ y+z= ≤x≤ ≤y≤

a) I = 3 b) I =2 3 c) I =8 d) I =24

Trang 32

Câu 318: Tính tích phân mặt loại một: =∫∫ + +

S

ds z y x y

I (2 2 ) , trong đó S là mặt2

0,10

,22

2

2 164

1 , trong đó S là mặt4

Định dạng
Số trang	65
Dung lượng	6,56 MB