Sáng tạo của group bất phương trình

August 4, 2015 Sáng tạo Group   1.(Văn Tuân Ngô) Cho số dương x, y, z thỏa y  x  z  xz  x  z  Tìm giá trị nhỏ x2 2z y2     y2 y 2 xz biểu thức: P   x 3  z 3  x zx z Giải: y   x  z   xz  x  z              y y y y  y   y   Đặt a  3 x z 2 ; b    a  b3   9ab  a  b      a  b    a  b    a  b     a  b    y y   a  b  ab  ab  P  2a  1  2b    2 4ab  Đặt t  ab , t   0;  f 't   2    a b  1  2 ab  4ab 4ab   P  2t   f  t   t 2   y   P f   x  z   t   0;   t 2  2  2 2.(Nguyễn Công Hoan) Cho số thực dương a, b, c thỏa 3a  3b  c   a  b   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  4c   a  b   6ab  6c  3c 2 ab   Giải: Theo giả thiết c   a  b    3a  3b  c   a  b    a  b    a  b  1  c2   a  b    a  b    a  b 1  c  a  b  P 3c  6ab   c   a  b    4c   a  b   6ab  3c 3c     2 2 6c ab 6c ab   c 1 ab c   a  b 3c  6ab  3a  3b3 3c 3c  2   2 2 6c ab 2c ab abc 3c ab 3c  2   2c ab c ab a  b  c 2c 2  3c 2 ab Sáng tạo Group August 4, 2015 Đặt t  c t  5 , t   P  3t        t      ab 2t  2t  2 2 Vậy MinP  a  b  1; c  3.(Ôn Cẩm Lê) Cho số thực dương a, b, c, d thỏa a  b  c  d  Tim giá trị nhỏ biểu   thức: P  a  b3  c  d  27 8abcd  a  b  c  d  a  b  c  d  Giải: Áp dụng AM-GM abcd  Và a  4  16 1 1   a  a 8 8 Tương tự ta có b3  1   b 8 1 c3    c 8 Cộng vế theo vế ta a  b3  c  d   Vậy P   1 d    d 8 3  a  b  c  d    a  b3  c  d  2 27  31 Dấu  a  b  c  .2 16 4.(Phạm Văn Huy) Cho số không âm a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  Giải: P   2abc a  b2  c2 1  2abc   2abc   2abc 2 a b c   ab  bc  ca   a  b  c    ab  bc  ca  1   2.0  Dấu  xảy  2.0 P  2  2abc  a b c  a b  c  2 a  a  9a   f a 3a  6a  2 abc     a; b; c    3; 0;0  hoán vị a  b  c  ab  bc  ca   b  c  a 2  2a    a  a 3  a   2 August 4, 2015 Sáng tạo Group   a  1 a  3   a   1 a  f ' a      a   0     a  2a    a  2a   2     a   a  2a  3  33  a   a   0;3 Vẽ bảng biến thiên  P  f 1  Vậy MinP  MaxP  a  b  c   a; b; c    3;0;0  hoán vị a  b  c  .(Phạm Văn Huy) Cho số không âm a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  a  b  c  2abc Giải: Không tính tổng quát, giả sử a  max a; b; c  a   2;6  a  a   a    2 2 P  a  b  c  2abc  a   b  c   2bc  2abc  a   b  c   2abc  a   b  c   a  b  c  2 2  P  2a    a   a   a   a  8a  12a  72  a  a   a    72  72  MaxP  36  a; b; c    6;0;0  hoán vị 2 P  a   b  c    a  1 bc  a   b  c   a    a   a   a 2  18  MinP  18  a; b; c    3;3;0  hoán vị 6.(Phạm Văn Huy) Cho số thực không âm x; y; z thỏa x; y  x  y   z Tìm giá trị lớn  biểu thức: P   z      x2      4z 1 y  Giải: Theo giả thiết, ta có z  x  y   z   0;3 xy   x  y 2   z  1  xy  TH1: z   0; 2  P  1  z  1  x  y    z  z  1  2 1   4 z 42 Sáng tạo Group August 4, 2015 TH2: z   2;3 Ta chứng minh BĐT: 1 x  1 y 2 1     2 2 1 x 1 y  xy  xy 1 x 1 x   1   1  0        2   x  y  xy    x  y  xy   x  y   xy  1   xy   1  x 1  y  1  xy  1  xy  1  x 1  y  0  x  y     x  y   xy  1   1  x 1  y  1  xy  1  xy   P   z  2  xy 2 2  x  y 1  x2 1  y   1  xy   z  2  4 z  1  z  z  1  1  x 1  y   (đúng) 2  z  2 1   4 z 4 z z  2z 1 z2 2   f z z 1 4 z f ' z   2  z  1  4  z 4 z  z   2;3  f  z  đồng biến  2;3  P  f     Vậy MaxP   x  y  1; z  (Phạm Văn Huy) Cho số thực không âm x; y; z thỏa x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1 x  1 y  z2 1 Giải: Theo giả thiết  z   0;3 P 1 x  2 5 z 2  1 y  z2 1  z2 1  1  x 1  y  2  z2 1  2 2 x  y  z2 1 August 4, 2015 t   z , t  1; 2  P  Sáng tạo Group 2   t  f t  t   t3  6  t  2 2t f 't       t    t   t  12  2t 2 2 t 6t t 6t t   t  2t     t  Lập bảng biến thiên thấy MinP  f    2 Dấu = xảy x  y  0; z  (Nkok Iu Bé) Cho số thực dương a; b; c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 4c 4c 9c 1  a  9c 1  b  c P     a b a b 3ab 2 4c 4c 9c 1  a  9c 1  b  c c 1 1 Giải: P       13c     9c  a  b    36c a b a b 3ab 3ab a b 2 16c 9c  a  b  4c 16c 9c 1  c  4c     36c     36c  f  c  2 ab 1 c 3 a  c 1  c  Đến em tự làm tiếp nhé! (Phạm Văn Huy) Cho số thực không âm x; y; z thỏa x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Giải: Đặt a  1   1 x 1 y z 1 0 1 1   a3  x  1  3a   3a  a3  x  1 x 1 x 1 x 1 Ta có  y 1  a  y  1  3a  y 1  P  a  x  y    a   z    3a  a  y  1 y 1 4  2a  6a   a  x  y    2a  6a z 1 z 1  2a  a  f  z  z 1 August 4, 2015 f ' z   a3 z 3 z   z  1 Sáng tạo Group   f  z  đồng biến 0;   P  f     a  a  6a   P  Vậy MinP   x  y  1  a  2a  6a     2 3 1 ;z  10 (Trần Nguyên) Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  c   4b   a    64  2c   2a  b  64 b  2 Giải: Ta có:  a  c   4b  a  7 P 2  a  2b  c   2 b  6  2  c  1 2a  b    2a  b  c  1   a   2  64  16  a   2.2 b   b  b6 a7  2 a7 b6 Vậy MinP  a  1; b  2; c  11.(Trần Nguyên) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  40  P   a  b   a4  b4    72ab   a  b     Giải: Ta có a  b  a  b  2 ; a b c  a  b  c  ab  bc  ca  a   b2  2   a  b  40   a  b    a  b  40   a  b   a  b  a  b     20   2   16  a  b    a  b     2  a  b  c  ab  bc  ca    3 abc  3  abc    9abc  ab c  24 ab  12  a  b   a  b  c  ab  bc  ca  August 4, 2015  a  b Nên P   12  a  b   20 16 Đặt t  a  b, t   P  f 't   Sáng tạo Group t6  12t  20  f (t ) 16 3t  12   t  Lập bảng biến thiên  P  f (2)  Vậy MinP  a  b  c  12.(Đào Anh Tuấn) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c P     3 b c a 3abc  ab  bc  ca  a  b  c  2 3 a b c a b c      3 Giải: P       a a b b c b  1 1 b c a b c a      3    a  b  c c b c a a a a b c Đặt x  a b c ; y  ; z  ; x, y, z  xyz   x  y  z  b c a  P  x  y  z    x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx  Đặt t  x  y  z, t   P  t  f '  t   2t  2  t  3t   t  3t   3t   t  3t   P  f  3   Vậy MinP   t  3t   2t  3 4t  6t t  a  b  c  x  y  z  3 x  y  z    f (t ) 4t  t  3t   t  3t    6t    t  3t   t  3t    f (t ) đồng biến  3;   3   t  3t    6t  t  3t   t  3t  August 4, 2015 Sáng tạo Group 13.(Lê Đức Việt)Cho a, b, c số thực thuôc [1; 5] thỏa a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu  83 a  b  c  ab  bc  ca  7abc   thức: P  ln    3a  15b  5c   2 Giải:   a  b  c2  a2  b2  c2    ab  bc  ca2  7abc  P  ln   3a  15b2  5c      ab  bc  ca  ln 1  ab  bc  ca   7abc  3a2  15b2  5c2 Ta có: a2 10a  25   a2  10a  25  3a2  30a  75 Tương tự: b2  2b    b2  2a 1  15a2  30a 15 c2  6c    c2  6c   5a2  30c  45 Như vậy: ab  bc  ca P  ln 1  ab  bc  ca  ab  bc  ca  7abc  30(a  b  c) 135  7abc  135  ln 1  ab  bc  ca  Mặt khác, ta có: a, b, c thuộc [1; 5] nên:   a 1b 1c 1  abc  (ab  bc  ca)  (a  b  c) 1       a  5b  5c  5  abc  5(ab  bc  ca)  25(a  b  c) 125        abc  (ab  bc  ca)     abc  (ab  bc  ca)  (a  b  c)       abc  5(ab  bc  ca) 100   abc  5( ab  bc  ca )  25( a  b  c )  125      (ab  bc  ca)   5(ab  bc  ca) 100   abc  (ab  bc  ca)      abc  5(ab  bc  ca) 100     23  ab  bc  ca Ngoài ra:  ab  bc  ca   a  b  c  81  ab  bc  ca  27 Vậy đặt t = ab + bc + ca 23  t  27 abc  t  Ta có: Sáng tạo Group August 4, 2015 ab  bc  ca 7abc  135 5 t 7abc t 7t  56  ln(1  t )    135  ln(1  t )    135 5 5 P  ln 1  ab  bc  ca  Xét hàm f (t )  ln(1  t )   t 7t  56   135 (23  t  27) 5 f '(t )   hàm f(t) đồng biến [23; 27] Suy P  f (23)  ln 24  Vậy P = ln 24  2t     t  [23;27] 1 t 5 1309 1309 a = 5, b = 1, c = 14.(Văn Tuân Ngô) Cho số thực x; y; z thỏa x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  y  z  xy  yz  zx  512 2 2 Giải: x  y  z    yz  x   y  z    x  y  z   12  yz  12   y  z  P  y  z   y  z 2  12 Đặt t   y  z  , t   x  y  z  2 512 P t2   f t  t  12 512  t    t  28t  256  f '(t )  0t 4 256  t  12  Vẽ bảng biến thiên  P  f    x  2; y  z  32 15.(Ren Bi cuồng Nu’est) Cho a, b, c số thực không âm thỏa b  c  0; ab  3ac  5bc  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  bc  ab  3ac  5bc b  c August 4, 2015 Giải: Sự xuất b  c Sáng tạo Group b  c khiến ta liên tưởng đến Cauchy số Việc ta phải làm tìm số k cho ab  3ac  5bc  k  a  b  c  đấy, biểu thức P là: P bc bc 4 16      33 k k 25k bc bc bc b  c b  c  k  bc  k  bc    Dấu =  a  b  c  Và   MinP  3 16 ab  3ac  5bc  k   25k   bc   k Vậy để chọn k cho dấu = xảy “đẹp” MinP số hữu tỉ ta nghĩ k   Ta cần chứng minh ab  3ac  5bc  5  a  b  c   5a  5b  5c  6ab  10bc  2ac    a  b  c  2ab  2bc  2ca    b  c  2bc   4a  4ab  2   a  b  c    b  c   4a  4ab  (đúng a  ) P b  c  5a  b  c Vậy MinP   b  c  b  c  4 4 12     3  5 5 bc bc bc bc bc 12 a  0; b  c  16.(Đức Minh) Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  3ac  a  2b  8c   2bc   c  a  b   c Giải: P  3ac  a  2b  8c   2bc   c  a  b   c   a  3c 4a  2b  8c    b  2c    c  a  b   c 3 11 3  a  b   c  3c  c    c   c  3c  3c  6c   3  c  1   6 2 2 Vậy MinP  6 a  3; b  2; c  17.(Nguyễn Hoài Danh) Cho số dương a, b, c thỏa abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 10 Sáng tạo Group August 4, 2015 P a2 b2 c2      a3b  a 3c b  c b3c  b3a c  a c3a  c3b a  b 1 b2 c2     a        3 3 3   a ba c b cb a c ac b bc ca ab Giải: P   1   2  a2   a2 b2 c2  P  b  c      ab  ca bc  ab ca  bc   b  c c  a a  b    1 1      a b c   a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c   abc abc abc      a  b  c ab  bc  ca  a  b  c a b c  a  b  c  ab  bc  ca         ab  bc  ca  2  ab  bc  ca  2  6  abc  3 Vậy MinP  a  b  c  18.(Trang Trung Hoang Phuc) Cho số thực dương x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  y  xy   x  xy   x  xy  y   Giải: Áp dụng 2  x y x  a   b    a  b ta có: y  xy   x  xy     y  xy  8    x  xy    y  xy  x   P   y  xy  x   x  xy  y     x  y   32  2x  y    12   Đặt u  x  y;3 ; y  x  y ;1  u      u  v  uv  11  x  y  32  2  x y x 2  x y x x  2y  2x  y  2     32 ; v  12   x  y   u  v   12   3x  y   42  3x  y   3x  y   16 Sáng tạo Group August 4, 2015 Và  2  8   4      x y x 2x  2x  x  y  3x  y  x y  P  1  33  3x  y 3x  y  4        2 1 3x  y  3x  y 3x  y  3x  y 4  2   2 1  1 3x  y 3x  y Vậy MinP   x  y  19.(Cao Việt) Cho x, y số thực thỏa  x, y  Tìm giá trị nhỏ của: P x  3y 3x  y  x  y  y  4x   x   x  x  1 x  3    y   y  y  1 y    Theo giả thiết  x, y    P x  3y y  3x 4x  y x y 1     1  1  4x  y  4x  y  4x  y  x  y 1 x  y 1 111 Vậy MinP  x  y  20.(Văn Tuân Ngô) Cho số thực x; y; z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y 16   3x  y  z 2 x  2y y  2x Ta chứng minh 3x   x x  Xét hàm số f  x   3x  x  có f '  x   3x.ln   3.ln    f  x  đồng biến 1;    f  x   f 1   3x  x  Tương tự ta có y   y y  Áp dụng Bất đẳng thức: x y   x  2y y  2x2 12 1   ab  2  a  b  ab 1 2    2 2y 2x  xy  x  y 1 1 x y August 4, 2015 P 2 Sáng tạo Group  16 16  2   x  y  1      x  y  1    x  y   1 x  y  1 x  y  2 16 76  x  y  1  1     1 x  y 9 Vậy MinP  13 76 x  y  [...]... 2  16 Sáng tạo của Group August 4, 2015 Và  1 4 2 2 1  8 8 2   4      x y x 2x  4 2x  x  y  3x  y  x y  P  1  33  3x  y 3x  y  4 8 2 4 2 4 2        2 2 1 2 3x  y  2 3x  y 3x  y  3x  y 4 2 4 2  2 2  6 2  2 2 1  8 2 1 2 3x  y 3x  y Vậy MinP  8 2  1 khi x  y  1 19.(Cao Việt) Cho x, y là các số thực thỏa 1  x, y  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P.. .Sáng tạo của Group August 4, 2015 P 1 a2 1 b2 1 c2      a3b  a 3c b  c b3c  b3a c  a c3a  c3b a  b 2 1 1 1 b2 c2     a        3 3 3 3 3 3   a ba c b cb a c ac b bc ca ab Giải:... cũng có 3 y  1  2 y y  1 Áp dụng Bất đẳng thức: x y   2 x  2y y  2x2 12 1 1 2   ab  1 2 2 1  a 1  b 1  ab 1 1 2 2    2 2 2y 2x 1  2 xy 1  x  y 1 1 x y August 4, 2015 P 2 Sáng tạo của Group  16 2 16  2 2  2  x  y  1      x  y  1    x  y  2  1 x  y 9  1 x  y 9  9 2 2 16 76  x  y  1  1  1  2   1 x  y 9 9 9 Vậy MinP  13 76 khi x  y  1 9... Ngô) Cho các số thực x; y; z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y 16   3x  3 y  z 2 2 x  2y y  2x 9 Ta sẽ chứng minh 3x  1  2 x x  1 Xét hàm số f  x   3x  2 x  1 có f '  x   3x.ln 3  2  3.ln 3  2  0  f  x  đồng biến trên 1;    f  x   f 1  0  3x  2 x  1 Tương tự ta cũng có 3 y  1  2 y y  1 Áp dụng Bất đẳng thức: x y   2 x  2y y  2x2 12 1 1 2  ... ab  bc  ca        2  ab  bc  ca  2 2  ab  bc  ca  2 2  6 6  abc  3 2 3 Vậy MinP  3 khi a  b  c  1 18.(Trang Trung Hoang Phuc) Cho các số thực dương x  y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  4 y 2  5 xy  9  x 2  xy  1  4 x 2  4 xy  y 2  1  Giải: Áp dụng 4 2 2  x y x 1  a  1  b  1  1  a  b ta có: 4 y 2  5 xy  9  x 2  xy  1  1   4 y 2  5 xy  8 ... ta có y   y y  Áp dụng Bất đẳng thức: x y   x  2y y  2x2 12 1   ab  2  a  b  ab 1 2    2 2y 2x  xy  x  y 1 1 x y August 4, 2015 P 2 Sáng tạo Group  16 16  2   x ... vị a  b  c  ab  bc  ca   b  c  a 2  2a    a  a 3  a   2 August 4, 2015 Sáng tạo Group   a  1 a  3   a   1 a  f ' a      a   0     a  2a   ...  1  xy  TH1: z   0; 2  P  1  z  1  x  y    z  z  1  2 1   4 z 42 Sáng tạo Group August 4, 2015 TH2: z   2;3 Ta chứng minh BĐT: 1 x  1 y 2 1     2 2 1 x 1