Quy hoạch toàn phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Mai Anh Phương QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Mai Anh Phương QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trịnh Công Diệu Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Lời Cảm Ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trịnh Công Diệu người tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học toán giải tích khóa 21, cảm ơn thầy cô ban giám hiệu phòng sau đại học trường Đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè bên cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tp Hồ Chí Minh, năm 2012 Nguyễn Mai Anh Phương Mục Lục Lời Nói Đầu Một Số Kí Hiệu Chương 1: MỞ ĐẦU 1.1 Một số kiến thức bổ sung 1.1.1 Tập lồi .4 1.1.2 Hàm lồi 1.1.3 Ma trận nửa xác định dương, nửa xác định âm 1.2 Một số kết lý thuyết tối ưu 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 10 1.3 Định nghĩa toán quy hoạch toàn phương 11 1.3.1 Định nghĩa hàm toàn phương 11 1.3.2 Định nghĩa toán quy hoạch toàn phương 11 1.3.3 Các dạng quy hoạch toàn phương 13 Chương 2: TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG 14 2.1 Điều kiện tồn nghiệm 14 2.1.1 Định lý Frank-Wolfe .14 2.1.2 Định lý Eaves 20 2.2 Tính chất tập nghiệm toán quy hoạch toàn phương 28 2.2.1 Tính bị chặn tập nghiệm 28 2.2.2 Tính đóng tập nghiệm .31 2.2.3 Tính hữu hạn tập nghiệm 32 2.2.4 Tính lồi đa diện tập nghiệm 33 2.2.5 Tính chất tập Sol ( P ) ∩ int ∆ 34 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG 35 3.1 Điều kiện Kuhn-Tucker 35 3.2 Thuật toán giải quy hoạch toàn phương lồi 37 3.2.1 Thuật toán Wolfe 38 3.2.2 Ví dụ minh họa 45 Kết Luận 52 Tài Liệu Tham Khảo .53 Lời Nói Đầu Lý thuyết tối ưu (ta thường gọi toán Quy hoạch) có nhiều áp dụng thực tế Trong chương trình học đại học có giáo trình Quy hoạch tuyến tính trình bày phương pháp giải toán Quy hoạch tuyến tính Tuy nhiên, xây dựng mô hình toán cho vấn đề thực tế lúc ta có mô hình tuyến tính Chẳng hạn, Harry Markowitz mô hình hóa trình lựa chọn danh mục đầu tư chứng khoán (nhờ nhận giải Noben kinh tế năm 1990) dạng toán Quy hoạch mà hàm mục tiêu tuyến tính Mục tiêu toán Markowitz tìm tỉ trọng chứng khoán danh mục đầu tư cho giảm tới mức tối thiểu phương sai (rủi ro) danh mục mà đạt mức thu nhập định Giải liên tiếp toán với mức thu nhập mục tiêu người ta xác định tập hợp danh mục đầu tư có hiệu Từ nhà đầu tư lựa chọn danh mục nằm tập hợp dựa quan điểm việc đánh đổi thu nhập rủi ro Mô hình toán học sau: min= ( x) S p2 f= n n ∑∑ x x s =i =j i j ij với ràng buộc: n ∑xr = r, i =1 i i n ∑x i =1 i = 1, ≤ xi ≤ (i = 1, 2, , n) Trong đó, • S p2 phương sai thu nhập danh mục đầu tư • xi tỉ trọng chứng khoán i danh mục đầu tư gồm n chứng khoán • ri thu nhập kỳ vọng chứng khoán i • r thu nhập dự tính toàn danh mục đầu tư Cũng có nhiều vấn đề thực tế mô hình hóa lên có dạng tương tự trường hợp nghiên cứu lý thuyết tối ưu có hướng nghiên cứu dành cho lớp toán có dạng này: min{xT Qx + cT x + α | x ∈ ∆} với Q ∈  nS×n (là ma trận đối xứng cấp n), c ∈  n , α ∈  ∆ ∈  n tập lồi đa diện Người ta gọi lớp toán Quy hoạch có dạng toán Quy hoạch toàn phương Đó đối tượng khảo sát luận văn: Quy hoạch toàn phương Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Mở đầu Trình bày số khái niệm tính chất giải tích lồi, lý thuyết tối ưu định nghĩa toán quy hoạch toàn phương • Chương 2: Tính chất toán Quy hoạch toàn phương Trình bày định lý tồn nghiệm tính chất tập nghiệm toán quy hoạch toàn phương • Chương 3: Phương pháp giải toán Quy hoạch toàn phương Chương đề cập đến phương pháp giải Quy hoạch toàn phương lồi dựa mở rộng phương pháp đơn hình Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Tp Hồ Chí Minh, năm 2012 Nguyễn Mai Anh Phương Một Số Kí Hiệu Kí hiệu Nghĩa kí hiệu n Không gian vec tơ n chiều  n×m Không gian ma trận cấp n × m  nS×m Không gian ma trận đối xứng cấp n × m xT Vectơ chuyển vị vectơ x ( x ma trận cột tọa độ) AT Ma trận chuyển vị ma trận A 〈.,.〉 Tích vô hướng hai vectơ affM Bao affine tập M extrM Tập điểm cực biên M domf Miền hữu hiệu hàm f epif Trên đồ thị hàm f ∆ ( A, b ) Tập ràng buộc toán Quy hoạch toàn phương (QHTP) xác định Ax ≥ b Sol ( P ) Tập nghiệm toán QHTP loc( P ) Tập nghiệm cực tiểu địa phương toán QHTP  Kết thúc chứng minh Chương 1: MỞ ĐẦU 1.1 Một số kiến thức bổ sung 1.1.1 Tập lồi 1.1.1.1 Tập affine Cho x1 , x hai điểm  n Tập hợp tất điểm x ∈  n cho: x= λ x1 + (1 − λ ) x , ∀λ ∈  gọi đường thẳng qua x1 x Tập M ⊆  n gọi tập affine M chứa trọn đường thẳng qua hai điểm M , tức là: ∀x1 , x ∈ M , λ ∈  ⇒ λ x1 + (1 − λ ) x ∈ M Ta gọi điểm x ∈  k ∑λ i =1 i k n có dạng x = ∑ λi x i với λ1 , λ2 , , λk ∈  i =1 = tổ hợp affine điểm x1 , x , , x k ∈  n Mệnh đề 1.1 Tập M ⊆  n , khác rỗng tập affine M= x + L x ∈ M , L ⊆  n không gian Khi đó, L gọi không gian song song với tập affine M Số chiều tập affine M số chiều L Bao affine tập E ⊆  n giao tất tập affine chứa E Đó tập affine nhỏ chứa E , ký hiệu affE Số chiều tập M số chiều bao affine nó, ký hiệu dim M Cho tập M ⊆  n có dim M < n Một điểm a ∈ M gọi điểm tương đối M tồn hình cầu mở B (a, ε ) cho ( B (a, ε ) ∩ affM ) ⊂ M Phần tương đối tập M , ký hiệu riM tập chứa tất điểm tương đối M 1.1.1.2 Tập lồi điểm cực biên Cho hai điểm x1 , x thuộc  n Tập tất điểm có dạng: x= λ x1 + (1 − λ ) x , ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng nối x1 , x Ký hiệu: [ x1 , x ] Tập M ⊆  n gọi tập lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó, tức là: ∀x1 , x ∈ M ,0 ≤ λ ≤ ⇒ λ x1 + (1 − λ ) x ∈ M k Ta gọi điểm x ∈  có dạng x = ∑ λi x với λ1 , , λk ≥ n i i =1 k ∑λ i =1 i = tổ hợp lồi điểm x1 , x , , x k ∈  n Nếu λi > với i = 1, 2, , k ta nói x tổ hợp lồi chặt điểm x1 , x , , x k ∈  n Mệnh đề 1.2 Một tập M ⊂  n tập lồi chứa tất tổ hợp lồi phần tử thuộc Mệnh đề 1.3 Nếu M , N tập lồi, α ∈  M + N , α M tập lồi Bao lồi tập E ⊂  n giao tất tập lồi chứa E ký hiệu convE Đó tập lồi nhỏ chứa E Cho tập lồi M ⊂  n Một điểm x ∈  n gọi điểm cực biên M x biểu diễn dạng tổ hợp lồi chặt hai điểm phân biệt M Số điểm cực biên tập lồi hữu hạn vô hạn Khi tập lồi có hữu hạn điểm cực biên chúng thường gọi đỉnh Mệnh đề 1.4 Một tập lồi đóng khác rỗng M ⊂  n có điểm cực biên không chứa trọn đường thẳng Định lý 1.1 (định lý Krein-Milman) Một tập lồi đóng, bị chặn  n bao lồi điểm cực biên 1.1.1.3 Nón lồi, phương lùi xa, phương cực biên Tập M ⊂  n gọi nón x ∈ M , λ ≥ ⇒ λ x ∈ M Nếu M vừa tập lồi vừa nón M gọi nón lồi 39 ma trận xác định dương, thuật toán viết dạng dài không yêu cầu điều kiện 3.2.1.1 Thuật toán Wolfe dạng ngắn Để có nghiệm chấp nhận ban đầu ta cộng vào ràng buộc tuyến tính (3.4), m + 2n biến giả: s = ( s1 , , sm ) T w1 = ( w11 , , w1n ) T w2 = ( w12 , , wn2 ) T Khi đó, hệ (3.4) viết dạng: 2Qx + AT aˆ − a + w1 − w2 =−c Ax + y + s = b (3.6) x, y, a , aˆ , s, w1 , w2 ≥ Ta viết dạng ma trận khối sau:  2Qn×n   Am×n 0n×m I m×m AnT×m 0m×m − I n×n 0m×n I n×n 0m×n − I n×n 0m×n x y    aˆ  0n×m     −c    a  =   I m×m     b  w    w2     s (3.7) đó, x, y, a , aˆ , w1 , w2 , s ≥ Một nghiệm chấp nhận toán (3.7) thỏa điều kiện (3.5) chứa m + n biến có giá trị 0:= x 0,= aˆ 0,= a 0,= y với j hai biến w1j , w2j Khi đó, sở đầu chứa biến = si b= 1, , m với j ta chọn hai biến w1j , w2j vào sở theo i, i cách sau: • Nếu c j < chọn w1j = −c j vào sở, w2j = 40 • Nếu c j > chọn w2j = c j vào sở, w1j = • Nếu c j = chọn hai biến vào sở Ta có bảng đơn hình xuất phát (được cho bảng sau) Trong đó, M= n + m , N= 3n + 3m Cột bảng cho ta hệ số biến sở Cột thứ hai cho ta biết biến sở Cột thứ ba cho ta giá trị biến sở Cột = α j , j 1, , 2n + 2m cho ta biến thực Cột α j , j = 2n + 2m + 1, , N cho ta biết biến giả t ∈ {1;2} Các α ij hệ số biến tương ứng z hàng cuối M tính z = ∑ cBi xBi z j = − cj i =1 biến giả biến khác M ∑c i =1 Bi α ij − c j , c j = ứng với 41 42 Sau tiến hành thuật toán đơn hình hai pha mở rộng (thuật toán Wolfe) sau: • Pha thuật toán Wolfe dạng ngắn tìm nghiệm tối ưu toán f ( s ) = m ∑c i =1 s , cBi = 1,∀i = 1, , m với miền ràng buộc (3.6) aˆ = , Bi i a = Do đó, aˆi , a j không chọn vào sở Kết thúc pha 1, ta tìm nghiệm sở thỏa mãn m ∑s i =1 i = Khi đó, cột si , wtj không nằm sở ta di chuyển khỏi bảng Đặt w = ( w1 , , wn ) cho w j w1j w2j , việc chọn phụ thuộc vào T biến sở cuối pha Đặt E ma trận hệ số vectơ w, E ma trận đường chéo với phần tử chéo +1 –1 phụ thuộc vào w j = w1j w j = w2j Vậy, kết thúc pha ta tìm nghiệm sở chấp nhận hệ: 2Qx + AT aˆ − a + Ew =−c Ax + y + s = b x, y, s, w ≥ 0, a = aˆ = (3.8) thỏa điều kiện phi tuyến (3.5) Kết thúc pha 1, ta chuyển sang pha • Pha thuật toán Wolfe dạng ngắn tìm nghiệm tối ưu toán f ( w) = n ∑c j =1 Bj w j , cB j = 1,∀j = 1, , n với miền ràng buộc (3.8) thỏa điều kiện (3.5) Sau tiến hành thuật toán đơn hình với nhận xét:  Khi thực phép xoay không cho biến a p x p sở  Tương tự, biến aˆ p y p không sở Kết thúc pha 2, ta tìm nghiệm cực tiểu toán cho n ∑w j =1 j = Khi đó, nghiệm (3.8) với w = vừa tìm nghiệm (3.4), 43 (3.5) nghiệm toán quy hoạch toàn phương ban đầu (3.3) Nếu ta không xét điều kiện c = Q ma trận xác định dương toán tìm nghiệm tối ưu pha không tìm n ∑w j =1 j > Định lý sau cho ta kết c = Q ma trận xác định dương tìm nghiệm tối ưu toán pha thỏa n ∑w j =1 j = Cho xB biến sở, nghiệm nhận cuối pha x = ( xB , xN ) xN = Đặt a B thành phần a a N thành phần dương a Ta có, a = ( a B , a N ) xT a = xBT a B + xTN a N = Gọi k n-vectơ, q, d n-vectơ R ma trận cấp n × n Khi ta có định lý sau: Định lý 3.1 Giả sử k nghiệm toán quy hoạch tuyến tính qT k với miền ràng buộc: d 2Qx + AT aˆ − a + Rk = Ax = b x, a , aˆ , k , w ≥ 0, a B , xN = Khi đó, tồn r n-vectơ cho= Ar 0, = Qr 0,= qT k d T r Chứng minh Xem [6], trang 22-26 Áp dụng định lý (3.1) cho hệ (3.8) pha với: k=w qT = (1, ,1) R = E , d = −c Ta có nghiệm cuối pha thỏa mãn giả thiết định lý (3.1), suy tồn r n-vectơ với Qr = 0, ∑ w j = −cT r Do đó, Q ma trận xác định dương Qr = ⇒ r = ⇒ ∑ w j = Nếu c = ∑ w j = −cT r = 44 3.2.1.2 Thuật toán Wolfe dạng dài Thuật toán Wolfe dạng dài bao gồm ba pha, hai pha đầu tương ứng với hai pha dạng ngắn Vì vậy, dạng dài bắt đầu cách áp dụng dạng ngắn với c thay vectơ phương trình: 2Qx + AT aˆ − a + w1 − w2 =−c thay 2Qx + AT aˆ − a + w1 − w2 = Bây ta bắt đầu tiến hành pha 1, pha giống dạng ngắn Kết thúc pha 2, biến w bị di chuyển khỏi bảng Vậy, ta có nghiệm sở hệ: 2Qx + AT aˆ − a + vc = Ax + y = b x, y, a , aˆ , v ≥ (3.9) với v = Do đó, để tiện cho việc tính toán ta đưa biến v vào trước thực pha Nghĩa là, hệ phương trình: 2Qx + AT aˆ − a + w1 − w2 =−c thay hệ 2Qx + AT aˆ − a + w1 − w2 + vc = Sau tiến hành pha 1, với ý biến v không vào sở suốt pha đầu, tức v = Sau kết thúc pha 2, ta có nghiệm hệ (3.9) với v = thỏa mãn (3.5) Để có nghiệm (3.4) v phải (3.5) thỏa mãn Để đạt điều này, pha thuật toán Wolfe dạng dài áp dụng thuật toán đơn hình tìm nghiệm tối ưu toán: − v với miền ràng buộc (3.9) điều kiện (3.5) Có hai trường hợp xảy ra: • −v không bị chặn • Giá trị tối ưu toán − v hữu hạn 45 Nếu trường hợp xảy ra, tức giá trị tối ưu toán hữu hạn áp dụng định lý (3.1) cho dạng dài với w = suốt pha 3, với n = Ta có: k = v, q = −1 , qT k = −v, R = c, d = Khi đó, theo định lý (3.1) ta có: − v= qT k= d T r= Suy ra: bước lặp đơn hình thỏa mãn điều kiện (3.5) Trong trường hợp hàm mục tiêu không bị chặn toán nghiệm Nếu trường hợp xảy ra, nghĩa −v không bị chặn dưới, số biến sở hữu hạn nên dãy nghiệm sở nhận pha hữu hạn ( x j , a j , aˆ j , v j ) với j = 1, , g Nghiệm ( x1 , a1 , aˆ1 , v1 ) nhận bảng đơn hình pha 3, với= v1 0,= x1 ( x1 , , xn ) tất xi sở có giá trị giữ bảng, giá trị lại Áp dụng tương tự cho a1 , aˆ1 Nghiệm ( x , a , aˆ , v ) bảng đơn hình thứ hai xác định tương tự Cứ tiếp 2 2 tục trình trên, sau hữu hạn bước ta có = v1 < v < < v g với x1 , x , , x g nghiệm sở Nghiệm nhận với v = kết hợp tuyến tính hai nghiệm Có hai trường hợp sau: • Nếu v g ≥ chọn số j ,1 ≤ j ≤ g − cho v j < ≤ v j +1 Ta có: v j +1 − j 1− v j = x x + j +1 x j +1 j +1 j j v −v v −v • Nếu v g < x= x g −1 + (1 − v g −1 ) x g 3.2.2 Ví dụ minh họa Giả toán quy hoạch toàn phương sau: 46 f ( x) = x12 + x22 + x1 x2 − x1 − x2 v.d k x1 + x2 ≤ x1 + x2 ≤ x1 , x2 ≥ Giải Ta có: f ( x) = x12 + x22 + x1 x2 − x1 − x2 v.d k x1 + x2 ≤ x1 + 3x2 ≤ x1 , x2 ≥  −6  4 4 1 1 1  c = , 2Q  = , A = , b   Suy ra:=     −3 4 6  3 4 Do đó, Q ma trận nửa xác định dương Ta cộng biến bù y1 , y2 vào ràng buộc Khi đó, miền ràng buộc viết dạng: x1 + x2 + y1 = x1 + x2 + y2 = x1 , x2 , y1 , y2 ≥ Điều kiện Kuhn-Tucker cho toán phát biểu dạng: 2Qx + AT aˆ − a =−c Ax + y = b x, y, a , aˆ ≥ a T x = aˆ T y = Để có nghiệm sở chấp nhận ta cộng vào điều kiện tuyến tính biến giả: 47 s = ( s1 , s2 ) T w1 = ( w11 , w12 ) T w2 = ( w12 , w22 ) T viết chúng dạng ma trận sau: 4 4  1  2 0 0 0 1 0 −1 −1 0 0 0 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0  x1  x   2  y1     y2   aˆ1    aˆ −6      a −3      a  =   21  1   w     11     w2   2  w1   w22     s1   s2     v  Áp dụng thuật toán đơn hình hai pha mở rộng (thuật toán Wolfe dạng dài) Ta có, bảng đơn hình xuất phát sau: Coeff B.V B.V xB x1 x2 y1 y2 aˆ1 aˆ2 a1 a2 w12 w22 s1 s2 v w11 4 0 -1 -1 0 -6 w 0 -1 -1 0 -3 s1 1 1 0 0 0 0 s2 0 0 0 zj 1 0 0 0 48 Trong pha ta xét hàm mục tiêu f ( s ) = ∑ si Từ bảng đơn hình ta i =1 có x2 biến vào sở w12 biến khỏi sở Sau thực phép xoay, ta bảng đơn hình Chú ý, biến aˆ , a , v không vào sở suốt pha Sau bước lặp kết thúc pha Coeff B.V B.V xB x1 x2 y1 y2 aˆ1 aˆ2 a1 a2 w12 w22 s1 s2 v w11 0 -1 -1 0 -4 x2 0 0 − s1 1 − − 6 1 s2 0 − − 2 zj 1 − 0 − Tiếp đến y1 biến vào sở s1 biến khỏi sở Coeff B.V B.V xB x1 x2 y1 y2 aˆ1 aˆ2 a1 a2 w12 w22 s1 s2 v w11 0 -1 -1 0 -4 x2 0 0 − y1 1 − − 6 1 s2 0 − − 2 zj 0 − Sau bước y2 biến vào s2 biến khỏi sở − 49 Coeff B.V B.V xB x1 x2 y1 y2 aˆ1 aˆ2 a1 a2 w12 w22 s1 s2 v w11 0 -1 -1 0 -4 x2 0 0 − y1 1 − − 6 1 y2 0 − − 2 − − zj Vì tất si rời khỏi sở nên pha kết thúc Để tiến hành pha 2, ta đặt w = w= w11 Dựa vào bảng đơn hình cuối pha 1, ta viết bảng đơn hình xuất phát pha 2, với hàm mục tiêu xét f ( w) = w1 Coeff B.V B.V xB x1 x2 y1 y2 aˆ1 aˆ2 a1 a2 v w1 0 -1 -4 x2 0 0 y1 1 − − y2 0 − − 2 zj − − -1 Trong pha 2, ta chọn biến vào sở phải thỏa điều kiện= xT a 0,= yT aˆ Do đó, ta chọn x1 biến vào w1 biến khỏi sở Khi đó, ta có bảng đơn hình sau: 50 Coeff B.V B.V xB x1 x2 y1 y2 aˆ1 aˆ2 a1 a2 v x1 0 − -3 x2 0 0 y1 0 − − y2 0 − − 2 2 − zj Vì biến w1 rời khỏi sở nên pha hoàn thành Ta tiếp tục thực pha với hàm mục tiêu là: − v Dựa vào bảng đơn hình cuối pha 2, ta chọn v biến vào x2 biến ra, áp dụng thuật toán đơn hình ta được: Coeff B.V B.V xB x1 x2 y1 y2 aˆ1 aˆ2 a1 a2 v x1 0 1 − -1 v 0 0 3 − y1 -1 − -1 − 0 y2 -1 − -2 − zj Ta tiếp tục chọn a2 biến vào y1 biến khỏi sở 51 Coeff B.V B.V xB x1 x2 y1 y2 aˆ1 aˆ2 a1 a2 v x1 1 1 0 0 0 -1 v 0 − − a2 -2 − -2 0 y2 -2 0 − zj − Từ bảng đơn hình trên, suy thuật toán kết thúc với v g= < Do đó, nghiệm toán có dạng: x= ( x1 , x2 )= x g −1 + (1 − v g −1 ) x g = (0;0) + (1 − 0).(1;0) = (1;0) Suy ra:= x1 1;= x2 nghiệm tối ưu toán Khi đó, giá trị mục tiêu tối ưu tính bởi: f ( x) = x12 + x22 + x1 x2 − x1 − x2 = 2.12 + 3.02 + 4.1.0 − 6.1 − 3.0 = −4 52 Kết Luận Luận văn trình bày lại số kết toán Quy hoạch toàn phương thông qua việc nghiên cứu tài liệu [3], [5], [6]: • Điều kiện tồn nghiệm toán Quy hoạch toàn phương • Một số tính chất định tính tập nghiệm toán Quy hoạch toàn phương: tính bị chặn, tính đóng, tính hữu hạn, tính lồi đa diện, tính chất tập Sol ( P ) ∩ int ∆ • Phương pháp giải toán Quy hoạch toàn phương lồi Đồng thời luận văn đưa số ví dụ minh họa để làm rõ vấn đề Nhân xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tác giả tài liệu tham khảo cung cấp tài liệu quý để giúp hoàn thành luận văn 53 Tài Liệu Tham Khảo [1] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương (2003), Quy hoạch tuyến tính, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Các phương pháp tối ưu – Lý thuyết thuật toán, NXB Bách khoa Hà Nội [3] Gue Myung Lee, Nguyen Nang Tam, Nguyen Dong Yen (2005), Quadratic programming and affine variational inequalities, Springer [4] Hoang Tuy (1998), Convex analysis and global optimization, Kluwer [5] Martina Vankova (2004), Algorithms for the solution of the quadratic programming problem, University of Port Elizabeth [6] Philip Wolfe (1959), The simplex method for quadratic programming [...]... nếu ma trận D trong hàm mục tiêu của bài toán quy hoạch toàn phương là ma trận xác định dương thì bài toán được gọi là quy hoạch toàn phương lồi 1.3.3 Các dạng quy hoạch toàn phương Tập ràng buộc ∆ của bài toán quy hoạch toàn phương là tập lồi đa diện Nên ∆ có thể được biểu diễn qua các hệ phương trình, hệ bất phương trình Do đó, bài toán quy hoạch toàn phương có thể được phát biểu dưới các dạng sau:... bài toán quy hoạch tuyến tính là lớp con của lớp các bài toán quy hoạch toàn phương Nếu f là hàm lồi thì bài toán min { f ( x) | x ∈ ∆} được gọi là quy hoạch toàn phương lồi Nếu f không là hàm lồi thì bài toán min { f ( x) | x ∈ ∆} được gọi là quy hoạch toàn phương không lồi Nếu ta bỏ đi hằng số α trong công thức của hàm f thì ta vẫn không làm thay đổi tập nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương ban... 2 Ví dụ: xét hàm toàn phương f ( x) =+ x12 x22 , xT = ( x1 , x2 ) ∈  2 Ta có: f ( x) =  2 0   x1  1 ( x1 , x2 )  .  2  0 2   x2  1.3.2 Định nghĩa bài toán quy hoạch toàn phương Định nghĩa: Bài toán min { f ( x) | x ∈ ∆} trong đó hàm mục tiêu f là hàm toàn phương, tập ràng buộc ∆ ⊂  n là tập lồi đa diện được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương (hay quy hoạch toàn phương) Nếu D là ma... 2.2 Tính chất tập nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương Xét bài toán quy hoạch toàn phương: ( P) 1 T   min  f ( x)= x Dx + cT x : x ∈  n , Ax ≥ b, Cx= d  2   trong đó D ∈  nS×n , A ∈  m×n , C ∈  s×n , b ∈  m , d ∈  s Đặt: ∆= {x ∈  n : Ax ≥ b, Cx= d } , I= {1, , m} , J= {1, , s} Ký hiệu: Sol ( P ) là tập các nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương (P) 2.2.1 Tính bị chặn của tập nghiệm... TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG 2.1 Điều kiện tồn tại nghiệm Xét bài toán quy hoạch toàn phương: 1 T  f ( x) : x Dx + cT x  min = 2  v.d k x ∈  n , Ax ≥ b (2.1) trong đó D ∈  m×n , c ∈  n , b ∈  m Tập ràng buộc và giá trị tối ưu của bài toán được viết dưới dạng: ∆( A, b) :=∈ { x  n : Ax ≥ b} θ : inf { f ( x) : x ∈ ∆( A, b)} = Nếu ∆ ( A, b) = ∅ thì θ = +∞ (quy ước) Nếu ∆( A, b)... Định lý 1.11 Nếu tập D là tập compact và hàm f là hàm liên tục trên D thì cả hai bài toán ( P1 ) và ( P2 ) đều có nghiệm tối ưu 11 1.3 Định nghĩa bài toán quy hoạch toàn phương 1.3.1 Định nghĩa hàm toàn phương Hàm f :  n →  được gọi là hàm toàn phương nếu tồn tại ma trận D ∈  n×n và tồn tại vectơ c ∈  n và số thực α sao cho: f ( x )= T Ta có x= Dx 1 T 1 x Dx + cT x + α = 〈 x, Dx〉 + 〈 c, x〉 + α ∀x... nhưng hàm f ( x) = { x ∈  : x ≥ 1} là 1 không phải là hàm toàn phương x 1  1  Ta có, = θ inf  : x ∈ , x= ≥ 1 0 nhưng bài toán min  : x ∈ , x ≥ 1 x  x  không có nghiệm Mặt khác, do ∆ là tập lồi đa diện nên ta có thể phát biểu định lý dưới dạng: Nếu một hàm toàn phương bị chặn dưới trên một tập lồi đa diện thì bài toán min của hàm toàn phương trên tập lồi đa diện đó sẽ có nghiệm 2.1.2 Định... ∈ D được gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương án chấp nhận được 10 Điểm x∗ ∈ D mà f ( x* ) ≤ f ( x), ∀x ∈ D được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm toàn cục tối ưu, hoặc nghiệm cực tiểu toàn cục, hoặc đơn giản là nghiệm của bài toán ( P1 ) Người ta còn gọi một nghiệm tối ưu là một phương án tối ưu Điểm x∗ ∈ D được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục chặt của bài toán ( P1 ) nếu: f ( x* ) ... D hàm mục tiêu toán quy hoạch toàn phương ma trận xác định dương toán gọi quy hoạch toàn phương lồi 1.3.3 Các dạng quy hoạch toàn phương Tập ràng buộc ∆ toán quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện... toán quy hoạch toàn phương • Chương 2: Tính chất toán Quy hoạch toàn phương Trình bày định lý tồn nghiệm tính chất tập nghiệm toán quy hoạch toàn phương • Chương 3: Phương pháp giải toán Quy hoạch. .. quy hoạch toàn phương Vì vậy, điều kiện Kuhn-Tucker quan trọng việc giải toán quy hoạch toàn phương sở cho thuật toán giải quy hoạch toàn phương 3.2.1 Thuật toán Wolfe Xét toán quy hoạch toàn phương