Nghiên cứu về bất biến gauge

Trong vật lý, lý thuyết Gauge là một phần của lý thuyết trường lượng tử, trong đó Lagrange là bất biến theo một biến đổi liên tục của phép biến đổi local.. Được phát triển vào những năm

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS.TSKH Đào Vọng Đức - người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận tốt nghiệp này

Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn của mình tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lý- Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên

Nguyễn Thị Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp: “ Nghiên cứu về bất biến Gauge” được hoàn thành dưới nỗ lực của bản thân tôi và sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Đào Vọng Đức

Tôi xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, không trùng lặp với bất kì đề tài nào Tất cả những dữ liệu tôi đưa ra là hoàn toàn trung thực

Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu trong đề tài của mình

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 5

Chương I: Phương trình Lagrange cho một hệ vật lý 5

1 Xây dựng phương trình Lagrange: 5

2 Hàm Lagrange cho một hệ vật lý 7

Chương II: Đạo hàm hiệp biến 12

1 Định nghĩa đạo hàm hiệp biến 12

2 Tương tác giữa trường vật chất và trường Gauge: 14

2.1 Trường Spinor i (i1, )p 14

2.2 Trường vô hướng i i1,p 15

Chương III: Bất biến Gauge 17

1 Phá vỡ bất biến tự phát: 20

2 Định lý Goldstone: 23

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những quy luật đơn giản và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và cấu tạo của các chất và những quy luật vận động của vật chất

Trong vật lý, lý thuyết Gauge là một phần của lý thuyết trường lượng

tử, trong đó Lagrange là bất biến theo một biến đổi liên tục của phép biến đổi local Lý thuyết gauge của vật lý hạt cơ bản là thuyết miêu tả về tương tác mạnh, tương tác yếu, lực điện từ cũng như các hạt cơ bản tạo nên vật chất

Được phát triển vào những năm đầu của thập niên 1970, lý thuyết Gauge đã kết hợp cơ học lượng tử với thuyết tương đối hẹp dựa trên cơ sở của đạo hàm hiệp biến chứng minh tính bất biến của hàm Lagrange khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về 3 lực kể trên miêu tả bởi mô hình chuẩn đều đúng như những gì đã dự đoán Vì vậy, tôi chọn đề tài “ Nghiên cứu về bất biến Gauge” đề tìm hiểu rõ hơn về lý thuyết này

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về bất biến Gauge

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu hàm Lagrange, đạo hàm hiệp biến và bất biến Gauge

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về hàm Lagrange

- Nghiên cứu về đạo hàm hiệp biến

- Nghiên cứu về bất biến gauge

5 Phương pháp nghiên cứu: sử dụng các phương pháp nghiên cứu:

- Cơ học lượng tử

- Lý thuyết nhóm Lie

- Lý thuyết trường lượng tử

6 Cấu trúc khóa luận:

Chương I: Phương trình Lagrage cho một hệ vật lý

Chương II: Đạo hàm hiệp biến

Chương III: Bất biến Gauge

NỘI DUNG Chương I: Phương trình Lagrange cho một hệ vật lý

1 Xây dựng phương trình Lagrange:

Ta đi xây dựng phương trình Lagrange loại II Xuất phát từ nguyên

 Khi   0 q k q t k  xác định vị trí thực của cơ hệ trong không gian

 Khi   0 q k q t k , xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó Với các  khác nhau có các vị trí khả dĩ khác nhau của cơ hệ

Giả sử  thay đổi một lượng là , xét biến phân của tọa độ suy rộng:

q q

2

1

12

1

.

N

i

i i i

 Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực thế

U q

2 Hàm Lagrange cho một hệ vật lý:

Để đơn giản, ta đi tìm hàm Lagrange của một hạt tự do (hạt không chịu một lực nào tác dụng lên nó) Xuất phát từ nguyên lý Hamilton, đối với mỗi một cơ hệ có tồn tại một tích phân S gọi là hàm tác dụng Hàm này

có giá trị cực trị đối với chuyển động thực của hệ, nghĩa là S 0 Chúng

ta sẽ tìm hàm tác dụng S và Lagrange của hạt tự do

Trước hết, ta chỉ ra rằng hàm Lagrange được xác định theo nguyên lý biến phân Hamilton S 0 là không đơn giá

Giả sử một cơ hệ có hai hàm Lagrange L q q t k, .k, 

  và

'

k k

thời điểm tương ứng t v t , 1 à 2  là một hằng số nào đó đặc trưng cho hạt đang xét

Mặt khác, hàm tác dụng S được viết dưới dạng:

2 1

t

t

S Ldt (1.26) Với L là hàm Lagrange của hạt So sánh các vế phải của (1.25) và (1.26) ta nhận được hàm Lagrange của hạt tự do:

2 2

 (1.28) Trong đó   m0 và f c t2  m c t0 2 Đại lượng m là khối 0

lượng của hạt không phụ thuộc vào vận tốc v của nó trong cơ học cổ điển,

nó được gọi là khối lượng tĩnh hay khối lượng nghỉ của hạt Vì hàm Lagrange được xác định sai khác nhau một đạo hàm toàn phần theo thời

gian của một hàm của tọa độ và thời gian nên ta bỏ qua một số hạng df

dt

Hàm Lagrange của hạt tự do (1.28) bây giờ được viết lại như sau:

2 2

L m c

c

   (1.29) Đối với các hệ vật lý khác nhau thường người ta dùng nguyên lý tương đối, các tính chất đối xứng của không gian và thời gian, các tính chất của hàm Lagrange và các đòi hỏi vật lý khác đối với các hệ vật lý cụ thể để tìm hàm Lagrange

Hàm Lagrange của một hệ A chuyển động trong trường ngoài có dạng:

có thể phụ thuộc vào thời gian Nếu U không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì trường ngoài là không đổi

Như vậy, trong chương I này chúng ta đã xây dựng được phương trình Lagrange và tìm hàm Lagrange cho một vài hệ vật lý đơn giản Các hàm Lagrange đặc trưng cho các trạng thái chuyển động của cơ hệ, tổng quát ta

xây dựng được hàm Lagrange dưới dạng L= T – U; trong đó T là động năng và U là thế năng của hệ

Chương II: Đạo hàm hiệp biến

1 Định nghĩa đạo hàm hiệp biến

Mỗi phép biến đổi được đặc trưng bởi các thông số biến đổi a

 Nếu  a  a( )x nghĩa là tham số biến đổi không phụ thuộc không thời gian thì ta có phép biến đổi Glocal

 Nếu  a  a x thì phép biến đổi là Local

Như đã biết L0( ) là Lagrangian tự do của một trường nào đó, bao giờ cũng chứa số hạng động năng chứa đạo hàm theo không thời gian của trường  :  Nếu xét phép biến đổi Glocal thì L0( ) bất biến với điều kiện bắt buộc đơn giản

Tuy nhiên nếu  a  a( )x thì tính bất biến của L0( ) không tồn tại nữa Chẳng hạn dưới tác dụng của nhóm biến đổi nào đó các hàm trường biến đổi như sau:

Rõ ràng số hạng động năng không bất biến Vấn đề là làm thế nào để

số hạng động năng bất biến Giả sử ta đang xét nhóm G gồm n tham số a

(a1, )n Để bất biến ta đưa vào n trường Gauge Aa (a1, )n và định nghĩa đạo hàm hiệp biến:

D   igA Ma a (2.3)

Di  iigAa(M a)i (2.4)

Và đòi hỏi các trường Gauge biến đổi thế nào để D Biến đổi tương

tự  dưới tác dụng của nhóm biến đổi G:

A' i S x( ) S 1( )x S x A x S( ) ( ) 1( )x

g

       (2.6) (số hạng động năng sẽ bất biến nếu nó biến đổi tương tự hàm trường)

Lint( , A)igA   Ag2A A  (2.10) Trong chương II, chúng ta đã định nghĩa được đạo hàm hiệp biến và

áp dụng đạo hàm hiệp biến vào chứng minh tính bất biến của số hạng động năng trong Lagrange của hệ khi chuyển sang các phép biến đổi khác nhau Đồng thời chúng ta cũng đưa ra tương tác của các trường vật chất và trường

Gauge, từ đó thấy được từ lý thuyết bất biến Gauge ta suy ra tương tác của trường Gauge và các trường khác một cách đơn giá

Chương III: Bất biến Gauge

Giả sử có một nhóm đối xứng G có n thông số, các vi tử T a a1,nthỏa mãn hệ thức giao hoán:

T T a, bifabc c T 3.1) Với fabc là hằng số cấu trúc nhóm

Giả sử ta có một p đa tuyến các hạt thực hiện d biểu diễn của G khi:

g là thực

Nếu chỉ xét biểu diễn Unita thì M a M a là các ma trận Hecmitic

Chứng minh: trong biểu diễn Unita       '

M 

(a là các ma trận Gell- manm)

Tác dụng 3: Nhóm G= SU(m), ithực hiện biểu diễn chính quy

Nếu    x ta có phép biến đổi Glocal

   x phép biến đổi Local

Nếu phép biến đổi đối xứng ta đưa vào khái niệm đạo hàm hiệp biến

Ta có L0  là Lagrange tự do của một trường nào đó Lagrange chứa

số hạng động năng chứa đạo hàm theo không gian và thời gian của trường

Nếu    x thì tính bất biến của L0  không tồn tại nữa

Từ (3.4) ta thấy số hạng động năng không bất biến

Để L0( ) bất biến ta đưa vào n trường Gauge Aa a1,n- đối với nhóm nthông số, và đưa vào đạo hàm hiệp biến:

Và đòi hỏi trường Gauge biến đổi thế nào để D biến đổi tương tự

 dưới tác dụng của nhóm biến đổi G:

Xét nhóm G= U(1) và giả sử xét bất biến Glocal Xét trường vô hướng

 với Lagrange có dạng Lagrange của hạt vô hướng với khối lượng 2

là thế năng mô tả tương tác của hệ

Giải thích dựa vào lý thuyết lượng tử cổ điển Ta có tenxơ năng xung lượng:

Với trường hợp (1): V z chỉ có một cực tiểu tại   z0

trường hợp (2): V z có cực tiểu tại  

2

02



  nghĩa là Vmin khi  v, * v* sao cho

2 2

02



   Khi chuyển sang trường lượng tử, điều này có nghĩa là trung bình chân không của toán tử trường  bằng v:

0 / / 0 v

Tương tự: * *

0 / / 0 v với v0Bây giờ ta sẽ chứng minh: nếu xảy ra trường hợp này thì chân không không bất biến với U(1), hay:

ei Q 0  0 Q 0 0

Chứng minh : giả sử rằng

Q 0 0 0 0 (3.14) hay

1  

12

    

2  

12

    

 và 

không phải ứng với các hạt quan sát được trên thực tế

Từ trên các toán tử trường có thể thay đổi đến một tham số pha vì vậy

có thể thay đổi pha để v hoàn toàn thực hoặc ảo

Chọn điều kiện để v thuần ảo:

1( )x  x

2 x  u  x

Lúc đó ta có:

 là trường vô hướng không khối lượng

 là trường vô hướng có khối lượng m2  22

Đây chính là nội dung của định lý Goldstone

2 Định lý Goldstone:

Nội dung: Ứng với một vi tử phá vỡ bất biến tự phát thì có một

trường vô hướng không khối lượng, hạt tương ứng với trường đó là hạt Goldstone

Xét G= SU(2) Có một trường  vô hướng là một lưỡng tuyến

2  2

L           (3.18) Xét 0 và 2 0 vì chỉ có trường hợp này mới có bất biến tự phát Nếu xem , 

là các tọa độ suy rộng thì

2  2

V        

Vì vậy, thay vì xét trường  ta xét 3 trường a và hayvà bằng cách đặt:

Vậy 3 trường a không khối lượng m 0là 3 trường Goldstone Còn

,m 2

    Như vậy, ứng với một vi tử của nhóm đối xứng phá

vỡ đối xứng tự phát ta có một trường Goldstone không có khối lượng

Vậy trong chương cuối cùng này chúng ta đã tìm ra được Tenxo cường độ trường Gauge, đưa ra được một cách sơ lược về phá vỡ bất biến

tự phát và nội dung định lý Goldstone để minh họa cho tác dụng của bất biến Gauge với các trường vật lý trong chân không

KẾT LUẬN

Trong quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và hoàn thành khóa luận

“Nghiên cứu về bất biến Gauge”, tôi đã phần nào thấy được tầm quan trọng của lý thuyết bất biến Gauge với lĩnh vực hạt cơ bản và lý thuyết trường lượng tử Từ lý thuyết này đã thấy các quá trình vật lý diễn ra như nhau khi chuyển từ phép biến đổi này sang phép biến đổi khác thông qua việc khảo sát tính bất biến của hàm Lagrange của cơ hệ Trong đề tài này tôi đã trình bày được các vấn đề sau:

1 Xây dựng được phương trình tổng quát của động lực học- phương trình Lagrange, xây dựng được dạng của hàm Lagrange trong một số hệ vật lý đơn giản

2 Định nghĩa được đạo hàm hiệp biến và áp dụng vào để chứng minh tính bất biến của số hạng động năng trong biểu thức của hàm Lagrange

3 Đưa ra được lý thuyết bất biến Gauge dựa trên cơ sở của đạo hàm hiệp biến

Như vậy tôi đã hoàn thành mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề ra ban đầu Tuy nhiên, do kiến thức và thời gian nghiên cứu hạn hẹp, khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt cơ bản, NXB Thống