Nghiên cứu về bất biến Gauge

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS.TSKH Đào Vọng Đức người tận tình giúp đỡ em suốt q trình làm khóa luận tốt nghiệp Em xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy giáo, giáo khoa Vật Lý- Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em trình nghiên cứu, hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Thủy LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp: “ Nghiên cứu bất biến Gauge” hoàn thành nỗ lực thân hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đào Vọng Đức Tơi xin cam đoan kết nghiên cứu riêng tơi, khơng trùng lặp với đề tài Tất liệu đưa hồn tồn trung thực Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm kết nghiên cứu đề tài MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương I: Phương trình Lagrange cho hệ vật lý Xây dựng phương trình Lagrange Hàm Lagrange cho hệ vật lý Chương II: Đạo hàm hiệp biến 12 Định nghĩa đạo hàm hiệp biến 12 Tương tác trường vật chất trường Gauge 14 2.1 Trường Spinor 2.2 Trường vô hướng i i (i 1, p) .14 i 1, p .15 Chương III: Bất biến Gauge 17 Phá vỡ bất biến tự phát 20 Định lý Goldstone 23 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 Lý chọn đề tài MỞ ĐẦU Vật lý học môn khoa học tự nhiên nghiên cứu quy luật đơn giản tổng quát tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất cấu tạo chất quy luật vận động vật chất Trong vật lý, lý thuyết Gauge phần lý thuyết trường lượng tử, Lagrange bất biến theo biến đổi liên tục phép biến đổi local Lý thuyết gauge vật lý hạt thuyết miêu tả tương tác mạnh, tương tác yếu, lực điện từ hạt tạo nên vật chất Được phát triển vào năm đầu thập niên 1970, lý thuyết Gauge kết hợp học lượng tử với thuyết tương đối hẹp dựa sở đạo hàm hiệp biến chứng minh tính bất biến hàm Lagrange chuyển từ hệ quy chiếu sang hệ quy chiếu khác Ngày nay, hầu hết thí nghiệm kiểm chứng lực kể miêu tả mơ hình chuẩn dự đốn Vì vậy, tơi chọn đề tài “ Nghiên cứu bất biến Gauge” đề tìm hiểu rõ lý thuyết Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bất biến Gauge Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Lagrange, đạo hàm hiệp biến bất biến Gauge Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Lagrange - Nghiên cứu đạo hàm hiệp biến - Nghiên cứu bất biến gauge Phương pháp nghiên cứu: sử dụng phương pháp nghiên cứu: - Cơ học lượng tử - Lý thuyết nhóm Lie - Lý thuyết trường lượng tử Cấu trúc khóa luận: Chương I: Phương trình Lagrage cho hệ vật lý Chương II: Đạo hàm hiệp biến Chương III: Bất biến Gauge NỘI DUNG Chương I: Phương trình Lagrange cho hệ vật lý Xây dựng phương trình Lagrange: Ta xây dựng phương trình Lagrange loại II Xuất phát từ nguyên lý Dalamber- Lagrange:   N    Firi   mi wiri 0 N i1 (1.1) i1 thiết lập phương trình chuyển động hệ tọa độ suy rộng Giả sử có tọa độ suy rộng qk qk t, thông số thực  Khi 0 với t thời gian  xác định vị trí thực hệ qk qk t  không gian  Khi 0  qk qk xác định vị trí hệ phù t, hợp với liên kết đặt lên Với khác có vị trí khác hệ Giả sử thay đổi lượng , xét biến phân tọa độ suy rộng: q  t  t,  q t,   q  k q k k k   Biến phân ri ri  qk ,t là:   s s r q r   (1.2) k i ri  i    q k k 1 qk k i qk  (1.3) Thay (1.3) vào phương trình nguyên lý Dalambert- Lagrange (1.1):   s N  s N     ir r i i k k k 1 i1 F i   q qk m w k 1 i1 q 0 qk i (1.4)   ri i k   Đặt: F Q i1 qk N  ri  i mw Z i1 qk N (1.5) i k (1.6) Thay (1.5), (1.6) vào (1.4) ta được: s  Q k (1.7) Zk qk 0 k 1  Xét ý nghĩa vật lý Qk : Công lực chủ động dịch chuyển ảo:   A  Firi N (1.8) i1 Thay (1.3) vào (1.8):     i r    i A  F  q qk k 1 i1  s  Qkqk s N k (1.9) k 1 Vậy Qk lực suy rộng ứng với bậc tự thứ k A Q1q1 Q2q2   Qkqk  Cho: q1 q2  qk 1 qk 1  qs 0 A Qkqk  Xét ý nghĩa Zk :     (1.10) N k  i r d r r N i i Z  m w  i qk i    N r i1 d  m i N mi  d i1 ri i dt qk (1.11)   d r  i    mi  ri dt qk  qk  i i    r ,t d  r Vì r  q i r  i i k i d  t   d ri dq k  k 1d k d q t  d ri q dqk  ri k  ri dt t    d ri dt ri   r  dq s i t dqk k Thay(1.13) vào (1.12): s rdt i  i r (1.12) (1.13) qk   rdq (1.14) i k t dqk qk  dt   s   ri  ri  r i q t k 1 qk k 1 (1.15) k Lấy đạo hàm (1.15) theo  qk :  Từ ri ( taqk ri q k (1.16)    ir s   ir ri  q j  qk qk k 1 q j qk t   ri ri    d   qk dt  q k  Từ (1.17): (1.17)  Nếu xét biến đổi Glocal: D (3.3)    A  ' A  S S  L0   1 SA S  1  SD S 1  bất biến với điều kiện bắt buộc đơn giản Nếu tính bất biến L0  x không tồn   i  iga x  M a ' i   i e eig  a ( )   Ma  iga ( x) M a i  i  igb  x i (3.4) Mbe Từ (3.4) ta thấy số hạng động không bất biến Để L0 () bất biến ta đưa vào n trường Gauge A a a 1, nđối với nhóm n thơng số, đưa vào đạo hàm hiệp biến: D    igAa M a (3.5) Di  i igAa iM a Và đòi hỏi trường Gauge biến đổi để Dbiến đổi tương tự dưới tác dụng nhóm biến đổi G: D D   ' iga ( x)M a e  iD     i Đưa vào đại lượng Tenxo cường độ trường Gauge: Fa  Aa (x) Aa (x)  gf abc Ab (x)Ac (x) Ta có: (3.6) Fa Aa (x)  Aa (x) gf abc Ab (x) Ac (x) (3.7) (3.8)    Aa (x) Aa gf abc Ab (x) Ac (x)  Fa Thường người ta dùng đại lượng: F Fa M a  Aa M a Aa M a gf abc Ab (x) Ac (x)M a  A  A  A ig  M b , M c  AigAb (x) Ac (x)  M b M c M c M b  Ab (x) Ac (x)  A A  ig AA AA  A  A ig  A , A        Từ đạo hàm hiệp biến ta đưa Tenxo cường độ trường Gaug (3.9)  D, D    igA igA,    igA igA     igA igA    A igA ig  g A A           igA    igA g A A        ig A ig A, A  A   igF a Bây Ta xem xét tác dụng bất biến chân không tác dụng phép biến đổi Gauge Phá vỡ bất biến tự phát: Xét nhóm G= U(1) giả sử xét bất biến Glocal Xét trường vô hướng với Lagrange có dạng Lagrange hạt vơ hướng với khối lượng  với tương tác  sau:   2    2   L      (3.10) chưa có điều kiện bắt buộc cho số hạng   Phép biến đổi U(1) ( có thể phức)   '  eiQeiQ eiq Q vi tử U(1) q số  Nếu xem ,  tọa độ suy rộng số hạng (3.11) V ( )  2   2  mô tả tương tác hệ Giải thích dựa vào lý thuyết lượng tử cổ điển Ta có tenxơ xung lượng: T  L       L     g      L (3.12)   Mật độ lượng:    2   T00 0 0      (3.13)  Từ có V năng, biểu thức (3.11)  Ký hiệu: z   , z 0 V V z 2 z z V ''  Để V " có cực tiểu 0  2 0 (1)    0 (2) Với trường hợp (1): V z  có cực tiểu z 0 trường hợp (2): V z  có cực tiểu  nghĩa Vmi n  *  v  v , z  2 * cho v 0 2  0 Khi chuyển sang 2 trường lượng tử, điều có nghĩa trung bình chân khơng tốn tử trường bằng v : / / v Tương tự: / * /0  với v 0 * v Bây ta chứng minh: xảy trường hợp chân khơng khơng bất biến với U(1), hay: eiQ 0 Q 0 Chứng minh : giả sử Q 0 0 hay (3.14) eiQ 0 ta viết v   e i qv Nhưng q số (3.15) q  nên biểu thức (3.15) vô lý, điều giả sử (3.14) sai eiQ 0 Trong trường hợp toán tử trường có trung bình chân khơng khác khơng chân khơng khơng bất biến với phép biển đổi  Thay dùng ,  ta đưa vào tốn tử trường định nghĩa sau:  ( i) 2    1 i2  với 1,2 trường thực Vậy 1     2      và  ứng với hạt quan sát thực tế  Từ tốn tử trường thay đổi đến tham số pha thay đổi pha để v hoàn toàn thực ảo Chọn điều kiện để v ảo: v  iu 2 2 Vì v  2 , u  2 u     0  Lúc đó:  u  Các trường mà ta xét ban đầu trường vật lý trường vật lý có trung bình chân khơng khơng Ta chuyển sang xét trường và liên hệ với trường cũ sau: 1 (x) x  2 xu  x  Lúc ta có:  x 0 0 x0 0 Biểu thức liên hệ , và là:   i  u    (3.16) Biểu diễn Lagrange qua trường và  L       2  (3.17) Từ số hạng thứ tư biểu thức (3.17) số hạng chứa tích số trở lên, chúng miêu tả tương tác và Từ biểu thức (3.17) ta thấy: là trường vô hướng không khối lượng là trường vô hướng có khối lượng m 2 2  Đây nội dung định lý Goldstone Định lý Goldstone: Nội dung: Ứng với vi tử phá vỡ bất biến tự phát có trường vơ hướng khơng khối lượng, hạt tương ứng với trường hạt Goldstone Xét G= SU(2) Có trường vơ hướng lưỡng tuyến 1   2  Lagrange bất biến SU(2):   2   L         Xét (3.18)  2 có trường hợp có bất biến tự phát 0 Nếu xem ,  tọa độ suy rộng  V 2  2    Vmin z  2  Có nghĩa v,   v V có giá trị cực tiểu Ở  v1  cho  v   v v   v2  2 Có thể chọn trục phép quay không gian SU(2) cho: 0  v   ; v1 0, v2 v v Ở xem v túy thực: 0  0  v  v   v    Khi chuyển sang lý thuyết trường lượng tử điều có nghĩa 0 0   0    v    1  21  Ta chứng minh chân không không bất biến phép biến đổi SU(2) tác dụng vi tử SU(2) Gọi Ia ( a 1,2,3 ) vi tử SU(2) Ia 0 0 Vậy toán tử trường trước tốn tử trường khơng vật lý Khắc phục điều cách đưa vào trường 0    v  ta có 0 0 Vậy là trường vật lý  1    ; ,      2 (3.19) Theo (3.19) tương đương với trường thực Đưa cách thích hợp để trường trường không khối lượngtrường Goldstone Vì vậy, thay xét trường ta xét trường a   hay bằng  cách đặt:    i1     ; a 1,3 a    0       i     Biểu diễn Lagrange qua      L  22              4  2 2       2 4  (3.20) Vậy trường a trường , m không khối lượng   m0 trường Goldstone Còn 2 Như vậy, ứng với vi tử nhóm đối xứng phá vỡ đối xứng tự phát ta có trường Goldstone khơng có khối lượng Vậy chương cuối tìm Tenxo cường độ trường Gauge, đưa cách sơ lược phá vỡ bất biến tự phát nội dung định lý Goldstone để minh họa cho tác dụng bất biến Gauge với trường vật lý chân khơng KẾT LUẬN Trong q trình nghiên cứu, tìm hiểu hồn thành khóa luận “Nghiên cứu bất biến Gauge”, phần thấy tầm quan trọng lý thuyết bất biến Gauge với lĩnh vực hạt lý thuyết trường lượng tử Từ lý thuyết thấy trình vật lý diễn chuyển từ phép biến đổi sang phép biến đổi khác thông qua việc khảo sát tính bất biến hàm Lagrange hệ Trong đề tài tơi trình bày vấn đề sau: Xây dựng phương trình tổng quát động lực họcphương trình Lagrange, xây dựng dạng hàm Lagrange số hệ vật lý đơn giản Định nghĩa đạo hàm hiệp biến áp dụng vào để chứng minh tính bất biến số hạng động biểu thức hàm Lagrange Đưa lý thuyết bất biến Gauge dựa sở đạo hàm hiệp biến Như tơi hồn thành mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề ban đầu Tuy nhiên, kiến thức thời gian nghiên cứu hạn hẹp, khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp q báu thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt bản, NXB Thống kê, Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [3] Phạm Phúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt bản, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [4] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa (2007), Nhập mơn lý thuyết trường lượng tử, NXB Khoa Học Kỹ Thuật [5] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại Học Sư Phạm ... “ Nghiên cứu bất biến Gauge đề tìm hiểu rõ lý thuyết Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bất biến Gauge Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Lagrange, đạo hàm hiệp biến bất biến Gauge Nhiệm vụ nghiên. .. biến Gauge Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Lagrange - Nghiên cứu đạo hàm hiệp biến - Nghiên cứu bất biến gauge 5 Phương pháp nghiên cứu: sử dụng phương pháp nghiên cứu: - Cơ học lượng tử -... số hạng động không bất biến Vấn đề làm để số hạng động bất biến Giả sử ta xét nhóm G gồm n tham số a (a 1, n) Để bất biến ta đưa vào n trường Gauge A a nghĩa đạo hàm hiệp biến: D  