Đường cong ghềnh và mặt cong

Cho là một cung chính quy có tham số hóa tự nhiên là cung trong E3có tham số hóa 3 Điểm ứng với t của tại đó ' t , '' t uuuuur uuuuur là hệ độc lập tuyến tính đƣợc gọi là hệ điểm song

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trong tổ hình học, khoa toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô Đinh Thị Kim Thúy đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Do điều kiện thời gian hoàn thành khoá luận và khả năng bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thầy cô, các bạn đọc nhận xét và đóng góp ý kiến để em rút kinh nghiệm

và khoá luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên thực hiện Nguyễn Văn Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của tôi dưới sự chỉ bảo của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của cô Đinh Thị Kim Thuý

Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài : “ Đường cong ghềnh và mặt cong ” không có sự trùng lặp với các khoá luận khác

Hà nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên thực hiện Nguyễn Văn Hiền

MỤC LỤC

Trang

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 4

PHẦN 2: NỘI DUNG 5

CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG CONG GHỀNH 5

1.1 Khái niệm 5

1.2 Tiếp tuyến tại một điểm 6

1.3 Độ dài, độ cong, độ xoắn của cung trong 3 E 9

1.4 Bài tập 13

1.5 Hướng dẫn giải bài tập 15

CHƯƠNG 2: MẶT CONG 21

2.1 Khái niệm 21

2.2 Tiếp diện 22

2.3 Các mặt thông thường 24

2.4 Mặt bậc hai 30

2.5 Mặt kẻ, mặt khả triển 35

2.6 Bài tập 40

2.7 Hướng dẫn giải bài tập 43

PHẦN 3: KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là môn học có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính lôgic và tính trừu tượng cao Có nhiều bài toán trong hình học cao cấp nói chung, các bài toán có liên quan đến đường cong ghềnh và mặt cong mà việc tìm ra lời giải là rất khó và thường thì lời giải của bài toán thể hiện ngay trong phạm vi kiến thức đã học Do đó để làm được các bài tập này đòi hỏi người học phải

hiểu sâu sắc lý thuyết và biết vận dụng kiến thức phù hợp vào giải bài tập

Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu: “Đường cong ghềnh và mặt cong” là một cơ hội để tập nghiên cứu, học hỏi và cũng là một lần nghiên

cứu làm chuyên đề cho bản thân mình

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp một số khái niệm, tính chất và các ví dụ minh hoạ, các dạng bài tập cơ bản có liên quan đến đường cong và mặt cong trong không gian

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng nghiên cứu: đường cong và mặt cong trong không gian +) Phạm vi nghiên cứu : không gian Euclid 3 chiều

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lại một cách đầy đủ và rõ ràng các khái niệm, tích chất, xây dựng hệ thống các ví dụ, bài tập minh họa dễ hiểu về đường cong và mặt cong trong không gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận, nghiên cứu sách giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG CONG GHỀNH 1.1 KHÁI NIỆM

1.1.1 Cung tham số hoá:

I E (ta f t ) , thuộc lớp k

C là cung tham số hoá thuộc lớp k

C (Tuỳ theo f t xem như một điểm hoặc một vectơ, ta có thể

y x

z x

*) Hình chiếu của một đường cong ghềnh lên các mặt phẳng toạ độ:

1.1.3 Phép đổi tham số và biểu diễn tham số hoá:

C ) thì các cung tham số hoá f và f0 có cùng quỹ đạo

ii) Hai cung tham số hoá (thuộc lớp k

1.2 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM

1.2.1 Định nghĩa cung trong 3

E : Định nghĩa: Hai cung tham số 3

:

t a t ua r u

(I,J_khoảng trong R; , r_khả vi)

gọi là tương đương nếu có vi phôi : J I sao cho r0

ta u t

Mỗi cung tham số của lớp tương đương đó còn gọi là một tham số hoá của cung Vi phôi gọi là phép đổi tham số của cung

1.2.2 Cung chính quy:

a) Điểm thuộc cung:

Cho là một cung của 3

E xác định bởi tham số hoá

3

Gọi ( )J là ảnh của Đồng nhất điểm của xác định bởi t với điểm

p t J , gọi tắt điểm này là điểm t (điểm ( )t )

b) Khái niệm cung chính quy:

cung xác định bởi tham số hóa

Ví dụ : Cung đinh ốc tròn trong 3

ta t =(acost, asint, bt) ; a,b là hằng số, a > 0, b 0

là một cung chính quy vì: ' t a sin , cos ,t a t b 0, t R

1.2.3 Tiếp tuyến và pháp diện của cung:

a) Tiếp tuyến: cung xác định bởi tham số hóa 3

: J E (ta t ), t0là điểm chính quy của Khi đó đường thẳng ' t0 , ' t0

uuuuuur

gọi là tiếp tuyến của tại t0 Kí hiệu: T t0

b) Pháp diện, tiếp diện:

Mặt phẳng đi qua ( )t0 và vuông góc T t0 gọi là pháp diện của tại t0 Mặt phẳng chứa T t0 gọi là tiếp diện của tại t0

Nhận xét: Tại t0, nhận duy nhất một pháp diện, và nhận vô số tiếp diện

t =(x(t)=acost, y(t)= asint, z(t)=bt) , a,b là hằng số, a>0, b 0

Khi đó phương trình tiếp tuyến của tại mỗi điểm là:

ost sin asint acost

b) Trường vectơ tiếp xúc của đơn vị

Cho là một cung chính quy định hướng xác định bởi tham số hóa

Khi đó vectơ T: 3

J TE , t a T t = , '

'

t t

t

uuuuur uuuuur gọi là trường vectơ tiếp

xúc đơn vị dọc

1.3 ĐỘ DÀI, ĐỘ CONG, ĐỘ XOẮN CỦA CUNG TRONG 3

E 1.3.1 Độ dài cung

Cho là một cung chính quy có tham số hóa tự nhiên

là cung trong E3có tham số hóa 3

Điểm ứng với t của tại đó ' t , '' t

uuuuur uuuuur

là hệ độc lập tuyến tính đƣợc gọi là hệ điểm song chính quy của

Cung mà mọi điểm của nó đều là điểm song chính quy đƣợc gọi là cung song chính quy

Mệnh đề:

i) Mọi cung song chính quy đều là cung chính quy

ii) Một cung chính quy đƣợc gọi là cung song chính quy khi và chỉ khi nó

có độ cong khác 0 tại mọi điểm

Thật vậy, là cung chính quy, ta xét s a r s là tham số hóa tự nhiên

Ví dụ: Lập một phươngtrình Descartes của mặt phẳng mật tiếp tại mọi

điểm của cung có biểu diễn tham số : ta t ( t

e , t

e , t 2) Tính: ' t e t, e t, 2

uuuuur

, '' t e e t, t, 0 uuuuur

c) Pháp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến , mặt phẳng trực đạc

Cho t là một điểm song chính quy của cung

Mỗi đường thẳng đi qua t và vuông góc với tiếp tuyến của tại gọi

là một pháp tuyến của tại điểm đó

Pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng mật tiếp gọi là trùng pháp tuyến Pháp tuyến nằm trong mặt phẳng mật tiếp gọi là pháp tuyến chính Mặt phẳng chứa tiếp tuyến và trùng pháp tuyến gọi là mặt phẳng trực đạc

1.3.5 Trường mục tiêu Frenet và độ xoắn của cung

, gọi là trường vectơ pháp tuyến

chính dọc Ta có: DT kN

ds

ii) Trường vectơ trùng pháp tuyến

Cho là cung song chính quy định hướng trong 3

E , T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc , N là trường vectơ pháp tuyến chính dọc Trường vectơ đơn vị dọc là: B T N, gọi là trường vectơ trùng pháp tuyến

iii) Trường mục tiêu Frenet:

Bộ ba {T,N,B} gồm ba trường vectơ đơn vị dọc cung song chính quy định hướng được gọi là trường mục tiêu Frenet dọc

b) Độ xoắn của cung

Cho là cung song chính quy định hướng trong E3 và {T,N,B}là

trường mục tiêu Frenet Ta gọi số s trong hệ thức: DB

ds

Xét cung song chính quy có tham số hóa 3

: J E (ta t )

:

r I E (s a r s ) của Khi có ta có phép đổi tham số : J I để r0

Gọi {T,N,B}là trường mục tiêu Frenet dọc , coi nó là trường mục tiêu

dọc cung tham số r và coi độ cong, độ xoắn của là hàm số dọc r, thì công

Ta có: ' t Rsin 2 , cos 2 , cost R t R t

'' t 2 cos 2 , 2 sin 2 ,R t R t Rsint

''' t 4 sin 2 , 4 cos 2 ,R t R t Rcost

Độ cong của cung : k = ' ''3

Bài 1: Cho cung đinh ốc tròn xác định bởi ta t =(acost, asint, bt); a,b là

hằng số, a > 0, b 0 trong toạ độ Đecac Oxyz của E3

a) Viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, mặt phẳng mật tiếp, pháp diện, mặt phẳng trực đạc của nó tại mỗi điểm

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của nó nghiêng một góc không đổi với mặt phẳng Oxy còn các pháp tuyến chính luôn cắt trục Oz

Bài 2: Xác định các điểm thuộc 3 2

b) Lập một phương trình Descartes của mặt cong là hợp của các dây ấy

a) Xác định các mặt phẳng mật tiếp với và đi qua A

b) Lập một phương trình Descartes của quỹ tích các điểm A sao cho tồn tại hai mặt phẳng mật tiếp với , đi qua A và cắt mp Oxy theo hai đường thẳng trực giao

Bài 6:Tìm cung song chính quy trong 3

E mà các mặt phẳng mật tiếp : a) Thẳng góc với một phương cố định

b) Song song với một đường thẳng cố định ( và các tiếp tuyến không song song với đường thẳng đó)

Bài 7: Xác định hàm số khả vi f:R R để cung xác định bởi tham số hóa :

t a (x=acost, y=asint, z=f(t)), trong hệ toạ độ Đecac vuông góc Oxyz trong 3

( a, b là hằng số, a > 0), e tuuuur cost ir sint jr và r r ri j k, , là một cơ sở trực chuẩn thuận của 3

E

uur

Hãy tính độ cong và độ xoắn của cung

Bài 9: Khảo sát định lượng đường đinh ốc tròn có bước không đổi

:

ost y=rsint , z=ht

Mặt phẳng trực đạc là mặt phẳng chứa tiếp tuyến và trùng pháp tuyến nên

nó có vectơ pháp tuyến là: nr uur uur1 u2 ,

trong đó : uur1 a sin ,t acos ,t b là vectơ chỉ phương của tiếp tuyến

uuur2 bsin ,t bcos ,t a là vectơ chỉ phương của trùng pháp tuyến Khi đó nr cos ,sin , 0t t

Phương trình mặt phẳng trực đạc: (cost)x + (sint)y – a = 0

không đổi không đổi

(*) Chứng minh pháp tuyến chính luôn cắt trục Oz

Giao của pháp tuyến chính và Oz là nghiệm hệ:

0 0

b t

b t x b t y az abt x

pháp tuyến chính luôn cắt trục Oz tại điểm M(0,0,bt)

Bài 2: Giả sử xác định bởi 3 2

Đó là hợp của hai mặt bậc hai

Bài 5: a) Giả sử xác định bởi 2 3

Các vết của t1 và t2 trên Oxy trực giao t t1 2 1 0 t t1 2 1

Gỉa sử phương trình (1) có 3 nghiệm : t t t1, ,2 3 Khi đó:

Mặt phẳng mật tiếp của thẳng góc với một phương cố định

nr: vectơ hằng đơn vị, là vectơ chỉ phương chung của mọi mặt phẳng mật tiếp (trùng pháp tuyến có phương cố định)

là cung phẳng (độ xoắn của cung phẳng bằng 0)

( vì các tiếp tuyến không song song với đường thẳng nên N s auuuuur r 0

Bán kính xoắn của tại M(s) là: T r2 h2

h

CHƯƠNG 2: MẶT CONG 2.1 KHÁI NIỆM

2.1.1 Định nghĩa: Ta gọi mọi ánh xạ 3

E Ta cũng nói rằng U là một mặt cong nhận làm biểu diễn tham số (BDTS)

u x=u

x y

Nhận xét:

i) Giao của hai mặt cong “nói chung” là một đường cong Chẳng hạn, giao của một mặt cầu tâm O, bán kính R>0 với một mặt phẳng (cách O một khoảng <R) là một đường tròn

ii) Mỗi đường cong có thể xem như là giao của hai mặt cong Chẳng hạn,

x t y t z t t ¡ là giao của hai

mặt cong có phương trình Descartes:

C , S= U , M(u,v) là một điểm chính quy của S

Tiếp diện với S tại M(u,v) là mặt phẳng đi qua M(u,v) và được định phương bởi 'u u v, , 'v u v,

uuuuuuuuur uuuuuuuuur

Ví dụ: Chứng minh rằng điểm A ứng với các tham số (u=1,v=1) của

x u v

z uv

, là một điểm chính quy của S, và lập

phương trình Descartes của tiếp diện với S tại A

độc lập nên A là điểm chiính quy của S

Một phương trình Descartes của tiếp diện với S tại A là:

Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tiếp diện của S tại M được gọi

là pháp tuyến của S tại M ( Có duy nhất một pháp tuyến của S tại M) Tiếp tuyến của S tại M là mọi đường thẳng đi qua M và nằm trong tiếp diện của S tại M ( Có vô số tiếp tuyến của S tại M)

2.2.2 Tiếp tuyến tại một điểm của một mặt cong được cho bằng một phương trình Descartes

'x 'y 'z 0

2.2.3 Giao của hai mặt cong:

Định lý: Cho R, S là hai mặt cong, R S A, Ta giả thiết A là điểm chính quy của R và S, các tiếp diện R, S tại A với R, S khác nhau Khi

đó A là 1 điểm chính quy của và tiếp tuyến tại A với là R S

2.3 CÁC MẶT THÔNG THƯỜNG

2.3.1 Mặt trụ:

a) Định nghĩa: Cho là một phương đường thẳng và là một đường cong

Mặt trụ với đường chuẩn và phương đường

sinh là hợp S của các đường thẳng của 3

E

có phương và cắt Với mỗi điểm M của

mặt trụ S, đường sinh của M ( trên S) là đường

thẳng đi qua M và có phương

+) Thiết diện thẳng của mặt trụ S là giao của

S với một mặt phẳng trực giao với

Nhận xét:

i) Mỗi điểm của mặt trụ nhận một và chỉ đường sinh

ii) Mặt trụ nhận vô số đường chuẩn

+) Cho ur là một vectơ định phương và 3

:

m I E ta m t là một biểu diễn tham số của Khi đó một BDTS của mặt trụ S có đường chuẩn và

2 2 3

2, ,3

x t

z t

¡

b) Mệnh đề: Tiếp diện tại một điểm chính quy của mặt trụ chứa đường sinh

của điểm ấy

uur

r

, nên tiếp diện với S tại M t, chứa đường thẳng đi qua M

và được định phương bởi ur, tức là đường sinh của M

Nhận xét: Mọi điểm của mặt trụ S đều là điểm chính quy Hơn nữa,

tiếp diện với S tại M là mặt phẳng đi qua M và chứa đường sinh của M và tiếp

tuyến với tại m

M (trên S) là đường thẳng ( M)

Nhận xét:

ii) Đỉnh của mặt nón S không có đường sinh

iii) Trừ một số trường hợp đặc biệt, một mặt nón nhận một và chỉ một đỉnh

và vô số đường chuẩn

:

m I E ta m t là một biểu diễn tham số của

Khi đó một biểu diễn tham số của mặt nón S đỉnh và đường chuẩn là:

3

uuuuuuur a

tức là nếu kí hiệu M t, là điểm chạy của S thì : M t, m t

0 1

y z

b) Mệnh đề: Tiếp diện tại một điểm chính quy của mặt nón thì chứa đường

sinh của điểm ấy

Chứng minh:

uuuuuuur a

:

m I E là một biểu diễn tham số của , thuộc lớp 1

C và là đỉnh của S

định phương đường sinh của M ,

Mặt khác : tiếp diện của S tại M định phương bởi t, , t,

ii) Đỉnh của mặt nón S là một điểm không chính quy của S

Trong thực hành, đỉnh của mặt nón thường là điểm duy nhất không chính quy của S Điều này cho phép, trong các ví dụ, tìm được đỉnh của mặt nón từ một phương trình Descartes

+) Tìm đỉnh x y z, , là đi tìm điểm không chính quy của S

là điểm không chính quy

Định nghĩa: Ta gọi mặt S nhận được bằng cách quay một đường cong

quanh một đường thẳng là mặt tròn xoay Ta nói là trục của S, giao

của S với nửa mp giới hạn bởi là kinh tuyến ( nửa kinh tuyến) của S Các

đường tròn trục và cắt là vĩ tuyến của S

Nhận xét:

i) Trừ ngoại lệ, một mặt tròn xoay có một trục duy nhất

ii) S là hợp của các vĩ tuyến của nó

Ví dụ:

Mặt xuyến là mặt cong S có được bằng cách cho quay một đường tròn

quanh một đường thẳng thuộc mặt phẳng của đường tròn ấy

Chú ý: Ta nhận biết một mặt S là mặt tròn xoay khi nó nhận một

phương trình Descartes có dạng f P, 0 ( (P)_mặt phẳng, _mặt cầu) Hơn nữa, trục của S là đường thẳng qua tâm của và vuông góc (P)

Ví dụ, cho mặt S có phương trình Descartes:

a) Định nghĩa: Ta gọi mọi mặt có phương trình Descartes F(x,y,z)=0, (trong

đó F là một đa thức bậc hai ) là mặt bậc hai

b) Nhận xét:

iii) Mọi mặt cầu là một mặt bậc hai

iv) Hợp của hai mặt phẳng là một mặt bậc hai

v) Giao của một mặt bậc hai với một mặt phẳng là hoặc là một đường cônic

2.4.2 Tìm tâm đối xứng (nếu có)

Bài toán: Giả sử S là một mặt bậc hai có phương trình Descartes:

Khi đó S được gọi là mặt bậc hai có tâm

ii) Nếu Q không khả nghịch thì hệ phương trình (2) vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

Chẳng hạn:

+)Mặt bậc hai có phương trình Descartes: 2

2 0

x y (mặt trụ parabolic) không có tâm đối xứng

+)Mặt bậc hai có phương trình Descartes: 2 2

0

x y (mặt trụ tròn xoay) có vô

số tâm đối xứng

2.4.3 Mặt bậc hai có tâm

Ta đi nghiên cứu tiếp phần 2) trong trường hợp Q khả nghịch

Trong R' ; , ,i j kr r r , S có phương trình Descartes:

Ax 2Bxy 2Cxz Dy 2Eyz Fz J 0,J ¡

Ma trận Q là ma trận thực nên chéo hóa được nhờ phép đổi cơ sở trực chuẩn,

do đó tồn tại các ma trận P, D sao cho: 1

0 0

t t

t

U P DPU J UDU J

Ta kí hiệu I J Kr ur uur, , là cơ sở suy từ r r ri, j,k bằng ma trận chuyển P