Đường cong ghềnh và mặt cong

Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trƣớc hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô tổ hình học, khoa toán, trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội giúp đỡ em suốt trình làm luận văn Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô Đinh Thị Kim Thúy tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian hoàn thành khoá luận khả thân nhiều hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô, bạn đọc nhận xét đóng góp ý kiến để em rút kinh nghiệm khoá luận đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng năm 2011 Sinh viên thực Nguyễn Văn Hiền SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu dƣới bảo thầy cô giáo, đặc biệt hƣớng dẫn nhiệt tình cô Đinh Thị Kim Thuý Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài : “ Đường cong ghềnh mặt cong ” trùng lặp với khoá luận khác Hà nội, tháng năm 2011 Sinh viên thực Nguyễn Văn Hiền SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy MỤC LỤC Trang PHẦN 1: MỞ ĐẦU PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: ĐƢỜNG CONG GHỀNH 1.1 Khái niệm 1.2 Tiếp tuyến điểm 1.3 Độ dài, độ cong, độ xoắn cung E 1.4 Bài tập 13 1.5 Hƣớng dẫn giải tập 15 CHƢƠNG 2: MẶT CONG 21 2.1 Khái niệm 21 2.2 Tiếp diện 22 2.3 Các mặt thông thƣờng 24 2.4 Mặt bậc hai 30 2.5 Mặt kẻ, mặt khả triển 35 2.6 Bài tập 40 2.7 Hƣớng dẫn giải tập 43 PHẦN 3: KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học môn học có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính lôgic tính trừu tƣợng cao Có nhiều toán hình học cao cấp nói chung, toán có liên quan đến đƣờng cong ghềnh mặt cong mà việc tìm lời giải khó thƣờng lời giải toán thể phạm vi kiến thức học Do để làm đƣợc tập đòi hỏi ngƣời học phải hiểu sâu sắc lý thuyết biết vận dụng kiến thức phù hợp vào giải tập Chính em chọn đề tài nghiên cứu: “Đường cong ghềnh mặt cong” hội để tập nghiên cứu, học hỏi lần nghiên cứu làm chuyên đề cho thân Mục đích nghiên cứu Cung cấp số khái niệm, tính chất ví dụ minh hoạ, dạng tập có liên quan đến đƣờng cong mặt cong không gian Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu +) Đối tƣợng nghiên cứu: đƣờng cong mặt cong không gian +) Phạm vi nghiên cứu : không gian Euclid chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại cách đầy đủ rõ ràng khái niệm, tích chất, xây dựng hệ thống ví dụ, tập minh họa dễ hiểu đƣờng cong mặt cong không gian Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận, nghiên cứu sách giáo trình, sách tham khảo tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: ĐƢỜNG CONG GHỀNH 1.1 KHÁI NIỆM 1.1.1 Cung tham số hoá: Ta gọi ánh xạ f: I E ( t a f t ) , thuộc lớp C k cung tham số hoá thuộc lớp C k (Tuỳ theo f t xem nhƣ điểm vectơ, ta uuuur kí hiệu f t f t ) 1.1.2 Đƣờng cong ghềnh: E cung tham số hoá Quỹ đạo f phận Cho f: I f I f t ,t I E Ta nói f I đƣờng cong ghềnh nhận f làm biểu diễn tham số (BDTS) Một đƣờng cong ghềnh đƣợc định nghĩa hệ phƣơng trình Descartes F x, y, z G x, y, z Ví dụ: Đƣờng cong có biểu diễn tham số : x t y t2 z t hệ phƣơng trình Descartes y x2 z x3 *) Hình chiếu đƣờng cong ghềnh lên mặt phẳng toạ độ: x Giả sử x t đƣờng cong ghềnh có biểu diễn tham số: y y t ,t z hình chiếu z (Oxy) có biểu diễn tham số là: z t x x t y y t z Tƣơng tự nhƣ ta có biểu diễn tham số hình chiếu SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn I x , y Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy 1.1.3 Phép đổi tham số biểu diễn tham số hoá: Cho f: I E cung tham số hoá (thuộc lớp C k ) i) Mọi ánh xạ :J I , (J R) cho: +) thuộc lớp C k J +) song ánh +) thuộc lớp C k J gọi phép đổi tham số (thuộc lớp C k ) f ii) Mọi ánh xạ g : J (thuộc lớp C k ) E3, (J R) cho tồn phép đổi tham số f thoả mãn: g ,gọi biểu diễn tham số hoá chấp f0 nhận đƣợc (thuộc lớp C k ) f Nhận xét: i) Nếu f: I E cung tham số hoá (thuộc lớp C k ) :J I phép đổi tham số (thuộc lớp C k ) cung tham số hoá f f có quỹ đạo ii) Hai cung tham số hoá (thuộc lớp C k ) f, g C k tƣơng đƣơng tồn phép đổi tham số (thuộc lớp C k ) thoả mãn g f0 1.2 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM 1.2.1 Định nghĩa cung E : Định nghĩa: Hai cung tham số E r : I :J ta t E3 ua r u (I,J_khoảng R; , r _khả vi) gọi tƣơng đƣơng có vi phôi :J ta u I cho r0 t Mỗi lớp tƣơng đƣơng quan hệ tƣơng đƣơng gọi cung SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy Mỗi cung tham số lớp tƣơng đƣơng gọi tham số hoá cung Vi phôi gọi phép đổi tham số cung 1.2.2 Cung quy: a) Điểm thuộc cung: cung E xác định tham số hoá Cho E3 ( t a :J Gọi p (t ) ( J ) ảnh t ) Đồng điểm ( J ) , gọi tắt điểm điểm t (điểm xác định t với điểm (t ) ) b) Khái niệm cung quy: cung xác định tham số hóa E3 ( t a :J Điểm t0 ' mà t ) (t0 ) gọi điểm quy ( điểm không quy gọi điểm dừng hay điểm kì dị) Cung mà điểm thuộc cung điểm quy đƣợc gọi cung quy Ví dụ : Cung đinh ốc tròn ta E có tham số hóa t =(acost, asint, bt) ; a,b số, a > 0, b cung quy vì: uuuuur ' t r 0, t a sin t , a cos t , b E3 , :R R 1.2.3 Tiếp tuyến pháp diện cung: a) Tiếp tuyến: cung xác định tham số hóa điểm quy của Khi đƣờng thẳng ' t0 , :J uuuuuur ' t0 E3 ( t a t ), t gọi tiếp tuyến t0 Kí hiệu: T t0 b) Pháp diện, tiếp diện: Mặt phẳng qua (t0 ) vuông góc T t0 gọi pháp diện Mặt phẳng chứa T t0 gọi tiếp diện SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn t0 t0 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp Nhận xét: Tại t0 , GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy nhận pháp diện, nhận vô số tiếp diện c) Biểu thức toạ độ: Giả sử : t x t , y t ,z t +) Tiếp tuyến điểm quy t0 : x x t0 x ' t0 z z t0 y y t0 = z ' t0 y ' t0 +) Pháp diện: x ' t0 x x t0 y z ' t0 y ' t0 Ví dụ: Cung đinh ốc tròn y t0 E có tsh z z t0 :R E3 , t =(x(t)=acost, y(t)= asint, z(t)=bt) , a,b số, a>0, b Khi phƣơng trình tiếp tuyến x acost asint điểm là: y a sin t z bt = acost b Phƣơng trình pháp diện điểm là: (-asint)x + (acost)y + bz - b 2t =0 1.2.4 Cung định hƣớng vectơ tiếp xúc đơn vị: a) Cung định hƣớng: Hai cung tham số :J E r : I ta t E3 ua r u gọi tƣơng đƣơng định hƣớng có vi phôi bảo toàn hƣớng :J ta u ( 't 0, t J ) cho I t r0 Mỗi lớp tƣơng đƣơng quan hệ tƣơng đƣơng định hƣớng nói gọi cung định hƣớng E b) Trƣờng vectơ tiếp xúc đơn vị Cho cung quy định hƣớng xác định tham số hóa :J SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn E3 , t a t Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp Khi vectơ T: J GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy uuuuur ' t t , uuuuur ' t TE , t a T t = gọi trƣờng vectơ tiếp xúc đơn vị dọc 1.3 ĐỘ DÀI, ĐỘ CONG, ĐỘ XOẮN CỦA CUNG TRONG E 1.3.1 Độ dài cung Cho cung tham số liên tục E khả vi lớp C , : a, b ta t b có độ dài cung độ dài cung là: l a, b ' t dt a Ví dụ: Tính độ dài đƣờng cong không gian có biểu diễn tham số: x= cost, y= sint, z=-ln(cost), t Ta có : x ' Từ đó: '2 sin t , y ' x '2 y '2 z '2 tan t là: l 0; 4 cost,z'=tant , cos2t độ dài cung 0; ' t dt = 0 ' du u2 cost ln 0.881 (u=sint) 1.3.2 Tham số hoá cung quy Tham số hoá r : I r '( s) E ( s a r s ) cung quy 1, s I , đƣợc gọi tham số hoá tự nhiên mà: ( tham số hóa theo độ dài cung) 1.3.3 Độ cong cung quy E SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy cung quy có tham số hóa tự nhiên Cho E3 ( s a r s ) r:I Số k(s) = DT ds hàm số: I s = R, s Dr ' s gọi độ cong ds s Khi s thay đổi ta đƣợc k s , gọi hàm độ cong 1.3.4 Mặt phẳng mật tiếp cung song quy E a) Cung song quy: cung E có tham số hóa Điểm ứng với t :J E3 ( t a t ) uuuuur uuuuur ' t , '' t hệ độc lập tuyến tính đƣợc gọi hệ điểm song quy Cung mà điểm điểm song quy đƣợc gọi cung song quy Mệnh đề: i) Mọi cung song quy cung quy ii) Một cung quy đƣợc gọi cung song quy có độ cong khác điểm Thật vậy, uuuuur Ta có: r ' s cung quy, ta xét s a r s tham số hóa tự nhiên uuuuur T s uuuuur Vì T s Vậy uuuuur r '' s uuuuur T' s uuuur uuuuur uuuuur T ' s , s nên hệ r ' t , r '' t độc lập tuyến tính cung song quy uuuuur r '' s k s uuuuur r '' s r 0 b) Mặt phẳng mật tiếp Định nghĩa: cung E có tham số hóa điểm song quy SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn :J E3 ( t a Ta gọi mặt phẳng qua điểm 10 t ), t t0 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy uur u, v I ¡ ta có: u uuuuuur uuuuuur m ' u vm '' u ; u, v uuuuuur uuuuuur I , m ' u , m '' u độc lập u uur v uuuuuur m' u u, v điểm M(u,v) S quy v Hay tập hợp điểm không quy S I ¡ u, v * uuuuuur uuuuuur uuuuuur họ m ' u , m ' u , m '' u Hơn nữa, u, v I ¡ phụ thuộc tiếp diện * S khả triển u , v với mp qua u, v uuuuuur uuuuuur đƣợc định phƣơng m ' u , m '' u , mặt phẳng mật tiếp với m(u) Chú ý: Nếu S mặt khả triển thuộc lớp C , tồn đƣờng cong vẽ S, đƣợc goi gờ lùi S, cho S hợp tiếp tuyến với d)Ví dụ: x u v cos u 1)Mặt cong S có biểu diễn tham số (1) y v sin u , u, v z sin u u ¡ khả triển Thật vậy: uuuuur Từ (1) ta có : m(u)=(u,0,sinu), G u S có biểu diễn tham số dạng : ¡ cos u,sin u,1 ¡ E3 u, v a m u uuuuur vG u S mặt kẻ uuuuuur uuuuur Vì m ' u , G u độc lập u ¡ uuuuuur uuuuur uuuuuur det m ' u , G u , G ' u Vậy điểm S quy cos u sin u cos u uuuuuur uuuuur uuuuuur u ¡ , m ' u , G u , G ' u phụ thuộc SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 40 sin u cos u cos3 u cos u sin u cos u S khả triển Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy Nhận xét: Mọi mặt khả triển mặt kẻ (theo định nghĩa ) Điều ngƣợc lại sai, chẳng hạn, mặt đinh ốc thẳng mặt kẻ không khả triển x v cos u Vì từ biểu diễn tham số mặt đinh ốc thẳng S: y v sin u , (h ¡ z hu cos u sin u h uuuuuur uuuuur uuuuuur det m ' u ,G u ,G ' u Ta có : sin u cos u cố định) h S không khả triển x u v cos u y v sin u , u, v z sin u v 2) Mặt cong S ( khả triển) có biểu diễn tham số ¡ Tìm biểu diễn tham số gờ lùi S Giải: Nếu ta kí hiệu m: ¡ E3 ua ur G:¡ u , 0,sin u S nhận biểu diễn tham số :¡ ¡ ¡ ua uuuuuur uuuuur vG u uuuuuur 1, 0, cosu ; G' u sin u, cosu, uuuuuur uuuuur uuuuuur m ' u , G u , G ' u phụ thuộc Vì S khả triển ánh xạ , : I Ta tìm đƣợc cos u,sin u,1 E3 u, v a m u Ta có: m ' u u ¡ cho cos u, u u uuuuuur I, m' u uuuuur u G u uuuuuur u G' u sin u Gờ lùi S có biểu diễn tham số : u I a u, u m(u ) ( uuuuur u )G u x u sin u cos u tức y sin u z 2sin u SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 41 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy 2.6 BÀI TẬP Bài 1: Lập phƣơng trình Descartes mặt cong S có chứa mặt x u v w cong có biểu diễn tham số y u v w , uvw 1, u, v, w ¡ u v3 w z Bài 2: Lập phƣơng trình Descartes mặt cong S hợp x t2 đƣờng thẳng E cắt đƣờng cong có BDTS y t t , t ¡ ba điểm t4 t z Bài 3: Hãy xác định điểm quy tìm phƣơng trình Descartes tiếp diện điểm quy mặt cong S có biểu diễn tham số: u y v , u, v v u v z v u x u a) x u v y uv , u, v z ¡ b) u v3 ¡ Bài 4: Giả sử S mặt cong có biểu diễn tham số: x u u v v ;y u v ;z u v ; u, v ¡ 0, r Xác định điểm S tiếp diện song song với u 1,1,1 Bài 5: Lập phƣơng trình Descartes mặt trụ S có đƣờng sinh r song song với v đƣờng chuẩn trƣờng hợp sau: r a) v 1,0,1 , : x a cos t , y a sin t , z a sin t cos t , t ¡ , a ¡ * cố định r b) v 0,1,1 , : y z 1, x2 y z Bài 6: Lập phƣơng trình Descartes mặt trụ S có tiết diện thẳng xyz a : x y z a ,a ¡ * cố định SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 42 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy Bài 7: Lập phƣơng trình Descartes mặt nón S đỉnh chuẩn đƣờng ví dụ sau: a) 0, 0, , : x t , y t , z b) 1, 1, , Bài 8: Cho ¡ t3, t : y z 1, x y2 z đƣờng cong có hệ phƣơng trình a) Chứng tỏ x z 2z y 2z2 z parabol Hãy tìm mặt phẳng, đỉnh, trục b) Lập phƣơng trình Descartes mặt tròn xoay có đƣợc cách quay quanh trục Bài 9: Với mặt bậc hai sau, rõ: Một hệ quy chiếu trực chuẩn thuận, S nhận phƣơng trình thu gọn Một phƣơng trình thu gọn S Loại hình S a) x y z 2 xy xz 3x y z 0, b) x 2 y z xy 20 xz 16 yz 36 x 72 y 108 z 36 0, 2 c) x y2 z 2 xy 0, d) x x y z 0, Bài 10: Lập phƣơng trình Descartes mặt cong S sinh cách quay đƣờng thẳng D: z quanh đƣờng thẳng y x : y x z Bài 11: Chứng minh mặt cong S có biểu diễn tham số x cos u v sin u a) y sin u v cos u , u, v z u (u 2v) ¡ SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn khả triển 43 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy x 3u v ¡ b) y 2u 2uv , u, v z c) x z 2 khả triển gờ lùi u 3v x2 không khả triển y2 2.7 HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài 1: Dùng hàm số đối xứng sơ cấp Sk x k k v +w k , , ; u, v, w và: u v w uv vw+uw uvw Khi đó: y S2 z u k S3 3 x3 3xy z 0, 2 3 (1) phƣơng trình Descaartes mặt cong S Bài 2: Cho (d) đƣờng thẳng E Nếu d//(yOz) (d) nằm mp: x = a (P) +) a < (P) không cắt +) a = (P) cắt điểm (d) cắt không điểm +) a > (P) cắt điểm (d) cắt không điểm Vậy d//(yOz) (d) cắt (d) không cắt không điểm.( trái giả thiết) (d) không song song với (yOz) hệ phƣơng trình Descaartes (d) là: Một điểm M(t) d t at t t at t p t3 t at t4 t bt q y ax p , a, b, c, d z bx q ¡ ,(1) p 0, p t a SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn a2 b t 44 a p t ap q ; Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp Để (d) cắt GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy điểm hệ phƣơng trình (2) phải có nghiệm t hay phƣơng trình (*) có nghiệm t phân biệt hpt (2) có dạng : t at t p Hay a b t p t ap q = a a2 b a p ap q b a2 p a a2 a q Thay vào hệ (1) ta đƣợc : x y xz x y z 0, (3) phƣơng trình Descartes mặt cong S Bài 3: a) S có BDTS : ¡ uur Tính : u uur u u v, uv, u v3 E , u, v a uur u, v 1, v,3u ; v 1, u,3v u, v uur u, v , v u, v Vậy M(u,v) S điểm quy +) Gọi u độc lập u v v tiếp diện điểm quy S Khi phƣơng trình Descartes X Z u uv v X u v Y uv u v3 3(u v)Y : v u 3u 3v Z (2u 3u 2v 3uv 2v ) b) Có điểm không quy ứng với (u,v)=(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1) Phƣơng trình tiếp diện: SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 45 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy u v2 u v2 X uv u v Bài 4: S có BDTS : ¡ với u t, u u u v Z v u u v2 v u v v E3 , t, 0, Y a tcos , t sin , t 1 cos , v sin , t t t uur uur : t, , t, độc lập t điểm S quy r Mặt phẳng tiếp xúc với S M t , song song với u 1,1,1 uur uur r t, , t , , u phụ thuộc t cos sin 2t t sin tcos 1 x y Đƣờng cong giao S với tiếp diện có phƣơng trình : x y Bài 5: a) Từ giả thiết ta có biểu diễn tham số S x a cos t y a sin t z a sin t cos t Khử t , ; t, ¡ ta đƣợc phƣơng trình Descartes mặt trụ S là: a2 x z y a y a b)Tƣơng tự nhƣ phần a) ta có phƣơng trình Descartes mặt trụ S là: SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 46 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy 4x2 y z đƣờng cong phẳng , Bài 6: Vì y 4z thuộc mặt phẳng: x + y + z = a r đƣờng sinh S song song với u 1,1,1 x x0 Khi ta có biểu diễn tham số S : y y0 z z0 với x0 y0 z0 a3 x0 z0 y0 a ¡, , ,(2) x y z a 3x0 Từ (1) (2) ta có: y x z a y0 z x y a z0 27a , (3) 2x y z a y x z a 2z x y a (3) phƣơng trình Descartes S Bài 7: a) M x, y, z uuuur : M ¡ ,m t S x ,t uuuuuuur m t t ¡ 2: y t2 z t3 y2 xz Phƣơng trình Descartes S : y xz b)Tƣơng tự nhƣ phần a) ta có phƣơng trình Descartes S là: 2x2 xy Bài 8: a) Từ hệ phƣơng trình 2x y 5z y 2 xz x z 2z y 2z2 z yz x 3z 2x y 5z ( phƣơng trình Descartes ) SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 47 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy x t 2t ¡ y t t ,t là: z t biểu diễn tham số r uuuur r r r tu t v , u 2, 1,1 ; v 1, 2,0 ta có : OM M uuuur ¡ : OM t t 1r r u v t r uuuur phƣơng OM dần tới phƣơng v Khi t r trục r r đƣợc định phƣơng v hay i j +) Đỉnh điểm mà tiếp tuyến với trực giao với trục uuur dM điểm M(t) đƣợc định phƣơng , tức dt Tiếp tuyến với r r u 2tv uuur dM Ta có : dt Vậy r v r r r u 2tv v t đỉnh O(0,0,0) parabol đỉnh O trục đƣờng thẳng qua O đƣợc định r r phƣơng i j b) Phƣơng trình Descartes tổng quát đƣờng tròn C trục x 2y là: Ta có C x y z 2 , z ¡, , ¡ , M x, y , z SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 5z 2 z2 2z z ¡, với trục , 5z z S 48 z z2 5z E3, M 2z 2 , ¡ 2, M C , Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy x 2y ¡ : x2 , x xy y2 z2 2 y z x 12 y 0, Vậy (*) phƣơng trình Descartes mặt tròn xoay Bài 9: Kí hiệu Q ma trận dạng toàn phƣơng đƣợc xác định phần bậc hai phƣơng trình sở tắc ¡ Q đa thức đặc trƣng Q a) Đặt : F(x,y,z) = x Q 1 1 1 0 y2 z 2 xy xz 3x y z 1 1 Q 0 2 1 S mặt bậc hai có tâm Ta tìm tâm cách giải hệ phƣơng trình Fx' x, y, z Fy' x, y, z Fz' x, y, z y z x 2x y 2z 2x y 2x 2z 1 ,1, 2 r r r ; i, j , k , y Y z Z x Xét hệ quy chiếu R1 X Khi phƣơng trình S R1 : X2 Y2 Z 2 XY XZ Ma trận Q đƣợc chéo hoá thành Q PDP ,trong : SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 49 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy D 0 ,P 2,1 nghiệm phƣơng trình: (1 2 2 2 2 0) Q Một phƣơng trình S hệ quy chiếu trực chuẩn là: 2 1r r r r i j k; I r r r ur i j k; J 2 PT thu gọn S: a 2 ,b 2 a2 b2 c2 2 r ur uur ; I , J , K xác định bởi: Vậy hệ quy chiếu trực chuẩn thuận uuuur M r r r uur i j k; K 2 r j r k ,c Kết luận: S hypebôlôit hai tầng b) S parabôlôit hypebôlic c) S mặt trụ eliptic d) S mặt tru parabôlic Bài 10: Giả sử M X , Y , Z E3 Hệ phƣơng trình Descartes đƣờng tròn C M có trục x X x2 M CM D y2 z Z z2 qua M X2 Y2 Z2 toạ độ M nghiệm hệ phƣơng trình SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 50 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy z y x x X x2 z Z y2 z2 x y X2 Y2 X2 X X X Z2 XZ Y phƣơng trình Descartes S là: x Z Z2 Z Z X 2X xz Z X2 Y2 Z 2Z y2 z2 2x 2z S hypebôlôit tầng uuuuur vG u Bài 11: a) Một biểu diễn tham số S : u, v a m u uuuuur cos u,sin u, u ; G u sin u,cos u, 2u m u Khi ta nói S mặt kẻ uur +) u, v ¡ : u u, v uuuuuur uuuuuur m ' u vG ' u uur uuuuur uuuuuur Ta có: G u , G ' u độc lập M u, v uuuuur uuuuuur G u vG ' u , u S quy v uur v uuuuur G u u, v uur u, v , v độc lập u, v Tại điểm M(u,v) ( v ) S, tiếp diện với S đƣợc định phƣơng uuuuur uuuuuur G u , G ' u , không phụ thuộc vào v S khả triển b) Nếu ta kí hiệu m u Một BDTS S uuuuur 3u,3u ,0 ; G u : u, v a m u 1, 2u, u uuuuur vG u Điều chứng tỏ S mặt kẻ 6u 2u u 3u uuuuuur uuuuur uuuuuur u ¡ : det m ' u , G u , G ' u S khả triển SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 51 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp uuuuuur GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy uuuuuur 3,6u,0 ; G ' u +) m ' u uuuuuur uuuuur uuuuuur 3G u u G ' u Ta có u ¡ , m ' u u ¡, u 0, 2,3u 3, u u Gờ lùi có biểu diễn tham số: u ¡ a u, 4u, 4u , u u c) Ta tìm biểu diễn tham số S 2 x z x với D y x u ¡ : y x xz cos u xz sin u y u D:z ,y cos u x tan u 2 , , 2 Vậy biểu diễn tham số S là: x v , y v tan u , z Kí hiệu m u 0, 0, uuuuur ;G u cos u cos u 1, tan u , uuuuur Một biểu diễn tham số S là: u, v a m(u) vG(u) Vậy S mặt kẻ +) u, v D ¡ : tan u sin u cos 2u uuuuuur uuuuur uuuuuur det m ' u , G u , G ' u cos 2u sin u cos 2u 0 S không khả triển SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 52 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy PHẦN 3: KẾT LUẬN Nhƣ đề tài : “ Đường cong ghềnh mặt cong “ đƣa số khái niệm, tính chất, ví dụ minh họa, hệ thống dạng tập ứng dụng theo chƣơng có liên quan đến đƣờng cong mặt cong không gian Bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong thầy cô, bạn đóng góp ý kiến, trao đổi để luận văn hoàn thiện SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 53 Líp K33B Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Đạo Dõng (2002), Cơ sở hình học vi phân,NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Thúc Hào (1968), Hình học vi phân, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Hữu Quang, Ngô Đình Quốc,Nguyễn Văn Bồng (2008), Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội Đoàn Quỳnh (2001), Hình học vi phân, NXB Giáo dục, Hà Nội Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trƣơng Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục, Hà Nội Jean-Marie Monier (2006), Giáo trình Toán-Tập 7, NXB Giáo dục, Hà Nội SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn 54 Líp K33B [...]... hai mặt cong “nói chung” là một đƣờng cong Chẳng hạn, giao của một mặt cầu tâm O, bán kính R>0 với một mặt phẳng (cách O một khoảng ... hai mặt cong “nói chung” đƣờng cong Chẳng hạn, giao mặt cầu tâm O, bán kính R>0 với mặt phẳng (cách O khoảng