bài tập toán

Ví dụ 1: (Bài 155 trang 76 SBT) Cho hình vuông ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC a) Chứng minh CE vuông góc với DF b) Gọi M giao điểm CE DF Chứng minhE AM = AD A B Hình vuông ABCD GT CE cắt DF M KL EA = EB; FB = FC a) CE DF b) AM = AD F D Phân tích M N K C a Học sinh cha cần tạo yếu tố phụ hình vẽ chứng minh đợc : ã ã BEC = CFD (c g c) => MCF = CDF ã ã ã ã ã Do MCF + CFD = CDF + CFD = 900 => CMF = 900 b Đối với trờng hợp này, giáo viên dẫn dắt học sinh phải kẻ đờng phụ nh sau: Để AM = AD tam giác AMD cân A, trung tuyến đồng thời đờng cao Vậy dẫn tới kẻ thêm đờng phụ phải mang yếu tố trung điểm vuông góc Từ phải xuất phát từ trung điểm K DC Lấy K trung điểm DC nối AK cắt DF N Ta Chứng minh cho AN trung tuyến, đờng cao tam giác ADM Lời giải a) Xét hai tam giác BEC CFD có : ã ã CD = BC (cạnh hình vuông), EBC = FCD = 1v , CF = BE ( = CD ) ã ã nên BEC = CFD (c g c) => MCF = CDF ã ã ã ã ã Do MCF + CFD = CDF + CFD = 900 => CMF = 900 Hay CE DF (1) b) Gọi K trung điểm CD, N giao điểm AK CD Tứ giác AECK hình bình hành AE // CK, AE = CK Suy AK // CE (2) Từ (1) (2) suy AK DF (3) Mà K trung điểm CD, AK // CE (c/m trên) nên ND = NM (4) Từ (3) (4) suy AN vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến tam giác ADM Do tam giác ADM cân A Hay AD = AM (đpcm) Phơng pháp : Biến đổi kết luận toán dạng tơng đơng Thực chất phơng pháp biến đổi kết luận (ở dạng cha thấy hớng giải) thành dạng tơng đơng có khả gợi hớng vẽ hình phụ từ đến hớng giải Đây phơng pháp đơn giản thờng đợc thử nghiệm Ví dụ : Dựng phía tam giác ABC hình vuông ABDE BCKF Chứng minh trung tuyến BM tam giác ABC F nửa đoạn thẳng DF D ABC GT KL Dựng hình vuông ABDE; BCKF MA = MC BM = DF K B E A M C Phân tích Ta thử biến đổi kết luận: N BM = DF(1) 2BM=DF(2) Vế trái đẳng thức (2) gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM ta thử tìm cách chứng minh BN = DF Nối NC, NA (nét đứt biểu yếu tố vẽ thêm) Hình bình hành ABCN cặp tam giác BDF = CNB (c.g.c) cho ta lời giải BN = DF hay BM = DF Chứng minh Lấy N đối xứng với B qua N Tứ giác ABNC có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng nê hình bình hành ã ã Từ suy NC = AB ABC + BCN = 1800 Mà AB = BD (cạnh ã ã hình vuông) ABC + DBF = 3600 - (90o + 90o ) = 180 ã ã nên BD = NC DBF = BCN ã ã Hai tam giác BDF CNB có BC = BF, BD = NC DBF , nên = BCN chúng theo trờng hợp c g c Vậy DF = BN hay DF = 2BM Phơng pháp 3: Vẽ hình phụ tỉ lệ với hình có kết luận Thực chất phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ bằng, tỉ lệ (hoặc có diện tích tỉ lệ) phụ thuộc vào yêu cầu toán với hình có kết luận dạng nhìn thấy hớng giải rõ Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, điềm M chạy cạnh CD Gọi P, Q R theo thứ tự chân đờng vuông góc hạ từ B, C, D xuống đờng thẳng AM Chứng minh BP = DQ + CR GT ABCD hình bình hành CR AM , M CD; A Q BP AM; QD AM KL B R C BP = DQ + CR P D C M R Phân tích : Ta thấy đoạn thẳng có đẳng thức KL cha có mối liên hệ trực tiếp Có thể nghĩ đến tạo đoạn thẳng trung gian đoạn thẳng đẳng thức kết luận hình vẽ, nên có hớng sau: Vẽ đoạn thẳng lớn BP đoạn thẳng DQ (hoặc CR) tìm cách cm phần lại đoạn thẳng thứ hai Kéo dài đoạn thẳng CR (hoặc DQ) đoạn thẳng đoạn thẳng ngắn thứ hai tìm cách c/m phần lại đoạn thẳng thứ hai Hớng thứ gợi cho ta hai cách vẽ hình phụ: a Để PC = CR (hoặc CC = PR) phải c/m BC = DQ ( Dễ dàng c/m đợc BCC = DQA trờng hợp cạnh huyền - góc nhọn) b Kẻ RR // BC => BR = CR Cần c/m PR = QD ta có cách vẽ tơng tự với hớng thứ hai Chứng minh Cách : Kẻ CC AM Tứ giác CRPC lcó ba góc vuông nên hình chữ nhật, suy CR = CP = C' = 900, AD = BC Xét hai tam giác vuông DQA BCC có Q ã ã ( cạnh đối hình bình hành, ADQ (góc có cạnh tơng ứng = C'BC song song) nên D ADQ = D CBC' (cạnh huyền góc nhọn) Suy DQ = BC Từ suy điều phải chứng minh Cách : Kẻ RR // BC, chứng minh RC = BR , DR/ = DQ Từ suy điều phải chứng minh Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích Nối A với trung điểm M cạnh BC, AM cắt đờng chéo BD O Tính diện tích tứ giác OMCD B M C N MB = MC O GT SABCD = AM BD = KL Tính SOMCD = ? I P A E D Phân tích Trên hình vẽ cần tạo có diện tích BOM tứ giác có diện tích (có thể tính đợc), cho tứ giác OMCD có mối liên hệ diện tích với tứ giác, tam giác nói trên, với hình bình hành ABCD Muốn từ B, trung điểm E AD D vẽ đờng // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành tứ giác Dễ dàng chứng minh đợc: SAMCE = S BCD ( = SABCD) SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = SBOM SOMCD = 5 SABCD = SABCD 12 Vì SABCD = => SOMCD = 12 Chứng minh Từ B, trung điểm E AD D vẽ đờng // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành tứ giác Dễ dàng chứng minh đợc: SAMCE = S BCD ( = SABCD) SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = SBOM SOMCD = 5 SABCD = SABCD 12 Vì SABCD = => SOMCD = 12 ... trung tuyến tam giác ADM Do tam giác ADM cân A Hay AD = AM (đpcm) Phơng pháp : Biến đổi kết luận toán dạng tơng đơng Thực chất phơng pháp biến đổi kết luận (ở dạng cha thấy hớng giải) thành dạng... chất phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ bằng, tỉ lệ (hoặc có diện tích tỉ lệ) phụ thuộc vào yêu cầu toán với hình có kết luận dạng nhìn thấy hớng giải rõ Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, điềm M chạy