Chuyên đề BĐT => ÔN 10

2 Kiến thức cần nắm vững 2.1 Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b ta nói a b a -b a b a -b 2.2 Tính chất: a > b ; b >c a > c a >b a + c > b + c a > b ; c > ac > bc a > b ; c < ac < bc a > b ; c > d a + c > b + d a>b;c bd a > b > ; < c < d a b > c d a > b > an > bn a > b an > bn (n lẻ) a b an > bn ( n chẵn ) Nếu m > n >0 a >1 am > an a =1 am = an < a < am = an 10 a > b , ab > 1 < a b 2.3 Các bất đẳng thức: a2 với a Dấu xẩy a = a với a Dấu xẩy a = a a với a Dấu xẩy a a + b a + b với a,b Dấu xẩy ab a b a - b với a,b Dấu xẩy ab > a b II Nội dung: Phơng pháp sử dụng định nghĩa: 1.1 Phơng pháp giải: Muốn chứng minh A > B xét A - B Nếu A - B dơng khẳng định đợc A > B bất đẳng thức cần chứng minh 1.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a,b,c > chứng minh (a + b + c) ( Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) ( =( 1 + + )9 a b c 1 + + )-9 a b c a b a c b c + - 2) + ( + - 2) + ( + - 2) b a c a c b 2 = ( a b) + ( a c) + ( b c) ab ac bc Do a,b,c > H Theo định nghĩa bất đẳng thức: (a + b + c) ( 1 + + ) a b c Dấu = xẩy H = a = b = c 3 Ví dụ2: Cho a > 0, b > chứng minh rằng: a + b a + b 3 Giải: Xét hiệu: A = a + b a + b 3 Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta đợc: A = (a + b) (a - b)2 Vì a > , b > a + b > mà (a - b)2 A Theo định nghĩa a3 + b3 a +b Dấu xẩy a = b 1.3 Bài tập tơng tự: Bài 1: Chứng minh: a b + với ab > b a Bài 2: Chứng minh: x2 + y2 + z2 2xy + 2yz - 2x Bài 3: Cho a,b,c > chứng minh: a2 b2 + c2 + b2 c2 + a2 + c2 a 2 b+c a +b + b + c c+a a+b Phơng pháp sử dụng tính chất 2.1 Phơng pháp giải: Sử dụng hay nhiều tính chất nêu 2.2 để biến đổi Từ khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh 2.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a, b > Chứng minh ab > a + b Giải: Ta có: a > , b > ab > 2b (1) (Tính chất 3) b > , a > ab > 2a (2) (Tính chất 3) Từ (1) (2) 2ab > (a + b) (Tính chất 4) ab > a + b (Tính chất 3) Ví dụ 2: Cho x 0, y 0, z Chứng minh rằng: (x + y) (y + z) (z + x) 8xyz Giải: Ta có: (x-y)2 x2 - 2xy +y2 x2 + 2xy +y2 4xy (Tính chất 2) (x+y)2 4xy (1) Tơng tự ta có: (y+z)2 4yz (2) (x+z)2 4xz (3) Nhân vế (1),(2),(3) [(x+y)(y+z)(x+z)]2 (8xyz )2 (Tính chất 6) (x+y)(y+z)(x+z) 8xyz (Tính chất 8) 2.3 Bài tập tơng tự: Bài 1: Cho a + b > Chứng minh a4 +b4 > 2 Bài 2: Chứng minh rằng: a + b + c c + b + a b c a b a c Bài 3: Cho x + y = Chứng minh : x4 + y4 Phơng pháp phân tích: ( Biến đổi tơng đơng) 3.1 Phơng pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi tơng đơng với bất đẳng thức khác mà ta biết từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 3.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 (a2 + b2) với a , b Giải: (a + b)2 2(a2 + b2) (1) a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 -(a2 - 2ab + b2) -( a - b)2 (2) Bất đẳng thức (2) bất đẳng thức (1) (đpcm) Ví dụ 2: Cho số a, b thoả mãn: a + b = Chứng minh: a3 + b3 +ab Giải: (1) a3 + b3 +ab - 2 (1) (a + b) (a2- ab + b2) +ab - a2- ab + b2 + ab a2 + b2 - 2 (vì a + b = 1) 2a2 + 2b2 - 2a2 + 2(1 - a)2 - ( b = - a) (a - )2 (2) Bất đẳng thức (2) mà phép biến đổi tơng đơng (1) Dấu xảy a = =b 3.3 Bài tập tơng tự Bài 1: Với a, b chứng minh a4 + b4 a3b + ab3 Bài 2: Cho a > 0, b > Chứng minh Bài 3: Chứng minh x4 + y4 a b a b b a x6 y + với x 0, y y2 x2 Phơng pháp tổng hợp 4.1 Phơng pháp giải: Từ bất đẳng thức biết đúng, dùng phép biến đổi tơng đơng biến đổi bất đẳng thức bất đẳng thức cần chứng minh Phơng pháp giải làm cho học sinh thấy khó chỗ nên bất đẳng thức nhng biết phơng pháp giải ngợc với phơng pháp phân tích dễ tìm bất đẳng thức xuất phát 4.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a, b Chứng minh a+b ab (Bất đẳng thức Côsi) Giải: Theo giả thiết a, b ab Ta có: ( a - b)2 a2 - 2ab +b2 a2 + 2ab +b2 4ab ( a - b)2 a+b 4ab ab (vì a + b a+b ab (đpcm) 0) ab xác định Dấu = xảy a = b Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: ( a + c) + ( b + d ) a2 + b2 + c2 + d Giải: Ta có: (ad - bd)2 a2d2 - 2adbc + b2c2 a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 a2c2 + 2acbd + b2d2 a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) (ac + bd)2 (a )( ) + b c + d ac + bd ( ac + bd > 0) (a a2 + b2 + (a ( 2 )( )( ) + b c + d )2 a2 + b2 + c2 + d Dấu = xảy ) + b c + d + c2 + d2 2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2 (a + c)2 + (b + d)2 ( a + c ) + ( b + d ) (đpcm) a c = b d Chú ý: với a, b, c, d >0 phép biến đổi cách giải tơng đơng 4.3 Bài tập tơng tự: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca với a, b Bài 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2 3(x2 + y2+z2) với x, y, z 3 Bài 3: a + b a + b với a > , b > Phơng pháp phản chứng: 5.1 Phơng pháp giải: Nếu toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A B ( A < B) ta giả sử A < B (hoặc A B) Từ điều mà ta vừa giả sử với giả thiết toán ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết với kiến thức học Cuối ta khẳng định kết luận toán A B ( A < B) Giải nh gọi phơng pháp phản chứng 5.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a2 + b2 Chứng minh: a + b Giải: Giả sử: a + b > a2 + 2ab + b2 > (1) Ta có: (a - b) a - 2ab + b 2ab a2 + b2 a2 + b2 + 2ab 2(a2 + b2) Mặt khác theo giả thiết ta có: a2 + b2 2(a2 + b2) Suy ra: a2 + b2 + 2ab (2) mâu thuẫn với (1) Vậy phải có a + b Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > a > 0, b > 0, c > Giải: giả sử a Nếu a = abc = trái với giả thiết abc > Nếu a < : a + b + c > nên b + c > Do abc > nên bc < a(b + c) + bc < Hay ab + ac + bc < trái với giả thiết ab + ac + bc > Vậy a > Tơng tự ta chứng minh đợc b > 0, c > 5.3 Bài tập tơng tự: Bài 1: cho số a, b, c , m, n, p thoả mãn: ap - 2bn + cm = ac - b2 = chứng minh mp - n2 Bài 2: chứng minh rằng: Nếu a 3; b 3; a2 + b2 25 a + b Bài 3: Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b Phơng pháp quy nạp toán học 6.1 Phơng pháp giải: Nếu vế bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào đối số tự nhiên n dùng phơng pháp quy nạp toán học Khi đòi hỏi phải chứng minh: + Bất đẳng thức với n = (hoặc với n = n giá trị tự nhiên bé thừa nhận đợc n theo yêu cầu đề bài) + Thừa nhận bất đẳng thức với n = k (k > k > n 0) chứng minh bất đẳng thức với n = k + 6.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên n 2n > 2n + (1) Giải: Với n= ta có 23 = 8,; 2n + = 2n > 2n + với n = Giả sử (1) với n = k (k N , k ) Tức 2k > 2k + Ta phải chứng minh (1) với n = k+1 hay 2k+1 > 2(k+1) +1 hay 2k+1 > 2k+3 (2) 2 Thật vậy: hay 2k+1 =2.2k mà 2k > 2k +1 2k+1 > (2k +1) = (2k+3)+(2k-1) > 2k+3 (vì 2k -1>0) (2) với k Vậy 2n > 2n + với n nguyên dơng n Ví dụ 2: chứng minh với số tự nhiên n > (n+1)(n+2)(n+3).2n > 2n (1) Giải: Với n = (1) với n = k (k N, k 2) tức (k+1)(k+2)(k+3).2k > 2k Ta phải chứng minh (1) với n = k+1 tức phải chứng minh (k+2)(k+3)(k+4)2(k+1) > 2k+1 Hay (k+2)(k+3)(k+4)(2k+2) > 2k+1 Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có: (k+2)(k+3)(k+4)2k > 2k (k +1)(k+2)(k+3)(2k)(2k+1) > 2k 2(k +1)(k+2)(k+3)(2k)(2k+1) > 2.2k (k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2) > 2k+1 Vậy bất đẳng thức (1) với số tự nhiên n >1 nghĩa là: (n+1)(n+2)(n+3).2n > 2n 6.3 Bài tập tơng tự Bài 1: Cho a 0, b 0, n N Chứng minh n an + bn a +b Bài 2: Chứng minh với số nguyên dơng n n2 > n + Bài 3: Chứngminh vớimọi số nguyên dơng n 1 + + + >1 n +1 n + 3n + Phơng pháp xét khoảng giá trị biến 7.1 Phơng pháp giải: Có toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > mà không cho thêm giả thiết ta suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết đợc dạng tổng hạng tử nx(x-a) ta xét khoảng giá trị biến x chẳng hạn nh x a x < a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x a x a hay x < a x -a < Trong trờng hợp bất đẳng thức cần chứng minh cha có dạng A(x) > hay A(x) < trớc hết ta chuyển vế để đa dạng 7.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh x10 -x9 +x4 - x+ >0 Giải: Xét A = x10 -x9 +x4 - x+ = x9(x-1) + x(x3 -1) +1 (1) Hoặc A = x10 + x4(1-x5) +(1-x) (2) + Nếu x x9 > 0; x-1 0; x3+1 Nên từ (1) A > + Nếu x < 1-x5 > 0; 1-x > mà x10 x4 nên từ (2) A > Ví dụ 2: Chứng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 >0 Giải: xét B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 (1) Hoặc B= 10(x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3 -3x (2) + Nếu x từ (1) B > ( x4 + x3 +x2 +x+1 >0 tơng tự ví dụ 2x4 +x2 > 0; -2x3 -3x > ( x (đpcm) 7.3 Bài tập tơng tự Bài 1: chứngminh x8 +x4 +1 > x7 + x Bài 2: Chứngminh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + > Bài 3: Chứng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + >0 Phơng pháp làm trội ( làm giảm) 8.1 Phơng pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) chứng minh C B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A B) Tơng tự phơng pháp làm giảm 8.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A= 1 1 + + + < n Giải: Làm trội phân số A cách giảm mẫu Ta có: 1 1 < = = k k k k k ( k 1) k ( k + 1) ( Do đó: A < Đặt C = = ) 1 1 1 + + + = + + + ( n 1) n( n + 1) 2 3 n n 1.2.3 2.3.4 1 + + + 1.2.3 2.3.4 ( n 1) n( n + 1) 1 1 1 + + + 1.2 2.3 2.3 3.4 ( n 1) n n( n + 1) = Vậy: 1 1 = < n( n + 1) 2n( n + 1) 1 1 + + + < n Ví dụ 2: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 1+ + + + 0 a > >0 b+c áp dụng bất đẳng thức côsi cho số b+c a2 ta có b+c a2 b+c a2 b + c a + = = a b+c b+c a2 b+c a b+c Tơng tự ta có: b b a + c a+c c2 a+b c a+b Cộng vế bất đẳng thức ta đợc: a2 b2 c2 a+b+c a+b+c + + (a + b + c) = b+c a+c a+b 2 2 Vậy a + b + c a + b + c b+c a+c a+b (đpcm) Ví dụ 2: Cho a, b, c số không âm a+b+c=1 Chứng minh rằng: a+b+ b+c+ c+a Giải: a, b, c a+b 0; b+c 0; c+a a+b, b+c, c + a có nghĩa áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với số: a1=1, a2=2, a3=3, b1= a + b , b2 b + c , b3= c + a ta có: (1 a + b +1 b + c +1 c + a )2 (1+1+1)(a+b+b+c+c+a) ( a + b + b + c + c + a ) 3.2 (vì a+b+c=1) ( a+b + b+c + c+a (đpcm) *Lu ý: + Việc chứng minh bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hớng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức biết khác + Khi sử dụng bất đẳng thức côsi cần ý số áp dụng phải có điều kiện bất đẳng thức Bunhiacôpxki không cần điều kiện số nhng phải áp dụng cho số + Ngoài bất đẳng thức hay sủ dụng cho học sinh THCS nêu em sử dụng số bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác 9.3 Bài tập tơng tự: Bài 1: cho a, b, c >0 Chứng minh a + b+c b + a+c c >2 a+b Bài 2: Cho a+b = Chứng minh a4+b4 10.Phơng pháp tam thức bậc hai 10.1 Phơng pháp giải: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức Định lý dấu tam thức bậc hai: Định lý dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0) = b2 - 4ac - Nếu < f(x) dấu với a với giá trị x (nghĩa a.f(x) > 0) - Nếu =0 f(x) dấu với a với giá trị x, trừ x= a.f(x) 0, af(x) = x= b f(x) = (nghĩa 2a b ); 2a - Nếu > f(x) dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm (x1, x2) khác dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm 10.2 Ví dụ áp dụng a + b = c + d = Ví dụ 1: Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn hệ điều kiện Chứng minh rằng: c2 + d2-2ac -2bd 18 - (1) Giải: c + d = d = 6- c Khi bất đẳng thức (1) có dạng: c2+ (6-c)2 -2ac -2b(6-c) -18+ (2) Quan niệm vế trái (2) tam thức bậc hai c, ta có: ( ' = ( a + b ) 12b 18 + 2 ) = - (a+b)2 + 12(a+b) + -12 Do a2+b2 =1 a + b (3) Xét tam thức bậc hai f(x) = -x2 +12x+2-12 Ta có bảng xét dấu sau: x f(x) - + 12- - Do a + b nên từ (3) bảng xét dấu ' Theo định lý dấu tam thức bậc hai (2) với c Đó điều phải chứng minh a + b = a = b = a+6b c = c = d = Dấu = xảy Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki nêu phần Giải: Xét tam thức bậc hai F(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+.+(bnx - an)2 Ta thấy f(x) với x Ta viết f(x) dới dạng sau F(x) =( b 12 +b22 + + bn2 ) x2 - 2(a1b1+a2b2++anbn)x + ( a12 + a 22 + + a n2 ) Do f(x) với x nên từ (1) suy ra: ( )( )(b ) ' = ( a1b1 + a b2 + + a n bn ) a12 + a 22 + + a n2 b12 + b22 + + bn2 ( ( a1b1 + a b2 + + a n bn ) a12 + a 22 + + a n2 + b22 + + bn2 ) Dấu = xảy ' = phơng trình f(x) =0 có nghiệm kép a a1 a = = = n b1 b2 bn * Nhận xét: sử dụng phơng pháp tam thức bậc hai để chứngminh bất đẳng thức nh ví dụ 1, ví dụ nêu học sinh cần biết định lí dấu tam thức bậc hai nhng kiến thức cha đợc thức giới thiệu bậc THCS nên khó em Vì xin giới thiệu ví dụ để HS tham khảo không yêu cầu em tự làm tập phần 11 Phơng pháp đồ thị hình học 11.1 Phơng pháp giải: Vận dụng kiến thức hình học để chứng minh toán bất đẳng thức đại số 11.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với a, b ta có: a + b < a + b B Giải: Xét ABC có Â = 900, AB = a , AC = b Theo định lý Pi ta go ta có: BC = a + b Trong ABC ta có: BC < AB + AC a+b A b C a + b < a + b (đpcm) Ví dụ 2: Cho a,b,c,d > Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d ( a + c) + ( b + d ) Giải: Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, trục Oy đặt liên tiếp OC = b, CD = d Xét hình chữ nhật COAE DOBF Theo định y lý pitago ta có: OE = a + b EF = c + d OF = ( a + c ) + ( b + d ) D Mà OE + EF OF d C b O a2 + b2 + c2 + d ( a + c) Dấu xảy OAE + (b + d ) EFG a c = b d F G E a Ac B x Ví dụ 3: Cho x, y 2số thoả mãn: x + y x y y x Chứng minh: x2 + y2 y Giải: Gọi I(x;y) điểm mặt phẳng Oxy x, y thoả mãn đề Tập hợp điểm I(x,y) miền ặt phẳng giới hạn tam giác ABC Nh muốn chứng minh x2 + y2 ta cần chứng minh : OI2 Mà OH C A -4 AB; OI OH 1 = + 2 OH OA OB O -2 HB x Vậy OH2 = 4 OI2 5 Hay x2 + y2 11.3 Bài tập tơng tự Bài 1: Chứngminh với a > b > a b < a b Bài 2: Chứng minh với x, y, z, t > (x )( ) + z2 y2 + z2 + (x )( ) + t y + t ( x + y )( z + t ) Bài 3: Chứng minh rằng: x x + 34 x x + 10 [...]... Bunhiacôpxki thì không cần điều kiện các số 0 nhng phải áp dụng cho 2 bộ số + Ngoài 2 bất đẳng thức hay sủ dụng cho học sinh THCS đã nêu ở trên thì các em có thể sử dụng một số bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác 9.3 Bài tập tơng tự: Bài 1: cho a, b, c >0 Chứng minh a + b+c b + a+c c >2 a+b Bài 2: Cho a+b = 2 Chứng minh a4+b4 2 10. Phơng pháp tam thức bậc hai 10. 1 Phơng pháp giải:... 0) = b2 - 4ac - Nếu < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi giá trị của x (nghĩa là a.f(x) > 0) - Nếu =0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi giá trị của x, trừ khi x= a.f(x) 0, af(x) = 0 khi x= b thì f(x) = 0 (nghĩa là 2a b ); 2a - Nếu > 0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm (x1, x2) và khác dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm 10. 2 Ví dụ áp dụng a 2 + b 2 = 1 c +... khi sử dụng phơng pháp tam thức bậc hai để chứngminh bất đẳng thức nh ví dụ 1, ví dụ 2 của đã nêu ở trên thì học sinh cần biết định lí về dấu của tam thức bậc hai nhng kiến thức đó cha đợc chính thức giới thiệu ở bậc THCS nên hơi khó đối với các em Vì thế tôi xin giới thiệu 2 ví dụ để HS tham khảo chứ không yêu cầu các em tự làm bài tập ở phần này 11 Phơng pháp đồ thị và hình học 11.1 Phơng pháp... EFG a c = b d F G E a Ac B x Ví dụ 3: Cho x, y là 2số thoả mãn: 2 x + y 2 0 2 x y 2 0 2 y x 4 0 Chứng minh: x2 + y2 4 5 y Giải: Gọi I(x;y) là điểm trên mặt phẳng Oxy trong đó x, y thoả mãn đề bài Tập hợp các điểm I(x,y) là miền ặt phẳng giới hạn bởi tam giác ABC 4 Nh vậy muốn chứng minh x2 + y2 5 ta cần chứng minh : OI2 Mà OH C A 2 -4 4 5 AB; OI OH 1 1 1 = + 2 2 OH OA OB 2 O -2 HB 1 x... rằng với a > b > 0 thì a b < a b Bài 2: Chứng minh rằng với x, y, z, t > 0 thì (x 2 )( ) + z2 y2 + z2 + (x 2 )( ) + t 2 y 2 + t 2 ( x + y )( z + t ) Bài 3: Chứng minh rằng: x 2 6 x + 34 x 2 6 x + 10 4 ... A > + Nếu x < 1-x5 > 0; 1-x > mà x10 x4 nên từ (2) A > Ví dụ 2: Chứng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x +10 >0 Giải: xét B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x +10 (1) Hoặc B= 10( x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3... để đa dạng 7.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh x10 -x9 +x4 - x+ >0 Giải: Xét A = x10 -x9 +x4 - x+ = x9(x-1) + x(x3 -1) +1 (1) Hoặc A = x10 + x4(1-x5) +(1-x) (2) + Nếu x x9 > 0; x-1 0; x3+1... + b+c + c+a (đpcm) *Lu ý: + Việc chứng minh bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hớng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức biết khác + Khi