DE TAI TNSP TOAN

Đề tài nghiệp vụ s phạm Một số phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nhóm : gồm thành viên nhiệm vụ cụ thể 1- Ngô Thị Thu Hà - Nhóm trởng - Trần Thị Sáu - Lê Na - Nguyễn Thị Hiên - Lê Thị Kim Thắm - Nguyễn Thị Loan A.Mở đầu ( Chung nhóm ) B Nội dung Phần 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức đại số ( chung nhóm ) I Kiến thức Định nghĩa, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Các bớc tiến hành để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ II.Một số phơng pháp ví dụ Phơng pháp dựa vào tổng bình phơng ( Ngô Thị Thu Hà ) Phơng pháp đánh giá ( Trần Thị Sáu ) Phơng pháp miền giá trị ( Nguyễn Thị Hiên) Phơng pháp đồ thị hàm số ( Nguyễn Thị Loan ) Phần 2:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học(Lê Na) I Kiến thức II Một số toán thờng gặp III Phần III: Những sai lầm thờng mắc tìm cực trị C Thực nghiệm s phạm ( Lê Thị Kim Thắm ) D Kết thực ( Lê Thị Kim Thắm ) E Tài liệu tham khảo ( chung nhóm ) Mục lục A.Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ đề tài 4.Phạm vi đề tài Đối tợng nghiên cứu Phơng pháp tiến hành Dự kiến kết đề tài B Nội dung Phần 1: Một số phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số I Kiến thức Định nghĩa 2.Các bớc tién hành giải toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn II Phơng pháp Phơng pháp dựa vào tổng bình phơng Phơng pháp đánh giá Phơng pháp miền giá trị Phơng pháp đồ thị hàm số Phàn 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học I Kiến thức II Một số dạng toán thờng gặp C Thực nghiệm s phạm D Kết thực E Tài liệu tham khảo a mở Lí chọn đề tài Bài học toán học có vai trò quan trọng môn toán, để phát huy tác dụng tập toán học trớc hết cần nắm vững yêu cầu lời giải Đối với số toán cần tồn phơng pháp giải Phơng pháp có tính chất tìm đoán nh quy lạ quen, khái quát hoá, tơng tự hoá, tìm lời giải toán Trong thực tiễn dạy học tập đợc sử dụng với dụng ý khác phơng pháp Muốn giải tập học sinh cần có phơng pháp giải dạng tập Trong chơng trình toán phổ thông T.H.C.S nhiều mảng kiến thức sách giáo khoa đề cập đến nhng trình học lại gặp nhiều học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa gặp dạng toán lúng túng với phạm vi đề tài muốn đề cập đến vấn đề mà không chúng ta, ngời thầy trăn trở băn khoăn Trong chơng trình toán T.H.C.S loại baì tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mảng kiến thức khó mà ứng dụng rộng rãi, có mặt môn đại số mà đóng góp vai trò quan trọng phân môn hình học Không T.H.C.S mà phần quan trọng T.H.P.T Vì dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ gây khó khăn cho học sinh nói chung mà với học sinh giỏi nhiều bối rối, không tìm đợc phơng pháp giải sách giáo khoa Tuy nhiên mảng tập quyến rũ học sinh say mê môn toán học giỏi môn toán đòi hỏi phải t duy, tìm tòi sáng tạo Để giải số toán cực trị cấp T.H.C.S yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức bản, biết biến đổi thành thạo biểu thức đại số sử dụng nhiều đẳng thức Thông qua tập học sinh linh hoạt, sáng tạo biến đổi biết vận dụng bất đẳng thức áp dụng toán cực trị vào giải phơng trình, hệ phơng trình, chứng minh yếu tố hình học Ngoài việc học sinh nắm vững kiến thức học sinh biết phơng pháp giải với dạng tập học sinh giỏi làm tập mà học sinh trung bình làm tốt Tóm lại qua nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu, qua năm dạy toán T.H.C.S lớp 8,9 rút vài kinh nghiệm nhỏ, đặc biệt học rút sau năm đào tạo trờng s phạm, mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu với tựa đề là: Một phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ T.H.C.S Chúng ta nghiên cứu bổ sung cho hoàn chỉnh Mục đích kiến thức Đề tài có tác dụng giúp học sinh học tốt môn toán nói chung việc giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nói riêng có đờng lối phơng pháp rõ ràng Tháo gỡ cho học sinh phần khó khăn Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao t tạo thêm hứng thú cho học sinh học tập môn toán, kích thích đam mê tự học, tự nghiên cứu Cho học sinh thấy dạng toán ta có cách giải không cảm thấy bế tắc, chán nản trớc toán - Rèn luyện khả giải tập nói chung để ứng phó với tình mẻ không lệ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn - Giúp thân giáo viên có kinh nghiệm phục vụ cho trình giảng dạy nâng cao chất lợng dạy học Nhiệm vụ đề tài Đa số kiến thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phù hợp với học sinh T.H.C.S Trang bị cho học sinh số phơng pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Chọn lọc hệ thống tập mang tính tiêu biểu phù hợp với phơng pháp Cho học sinh thấy sai lầm làm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phạm vi đề tài Phát triển t học sinh lớp 6,7,8 5.Đối tợng nghiên cứu Đề tài áp dụng chủ yếu học sinh lớp 8,9 nhiên có số tập cho học sinh lớp Bài tập phần luyện tập, ôn tập cuối năm , cuôí kì, luyện học sinh giỏi, luyện thi tuyển vào 10 6.Phơng pháp tiến hành Giáo viên trang bị kiến thức bản, học sinh phân tích vận dụng định hớng giải tập, sau kiểm tra đánh giá thảo luận tập thể 7.Dự kiến kết đề tài áp dụng đề tài tháo gỡ cho học sinh khó khăn việc giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, tạo cho học sinh sở niềm tin giải toán B nội dung phần I Một số phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ bất đẳng thức I- yêu cầu 1- Với giáo viên: - Xây dựng sở lí thuyết để giải toán cực trị phơng pháp giải cho dạng toán - Phân loại tập từ dễ đến khó - Rèn luyện nâng cao khả t sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức nghiên cứu 2- Với học sinh - Trong trình giảng dạy, phải ý tìm vớng mắc sai xót mà học sinh hay mắc phải làm tập - Hiểu đợc chất loại toán - Nhận dạng đợc loại tập vận dụng phơng pháp hợp lí dạng giải toán - Phát huy khả t sáng tạo giải toán, biết suy luận từ dễ đến khó với cách giải hay II- Một số kiến thức Định nghĩa: Cho biểu thức f(x) xác định D a Ta nói M = Const giá trị lớn f(x) D hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn 10 f(x) M x D 20 Tồn x0 D cho f(x0) = M Kí hiệu max f(x) = M b Ta nói m = const giá trị nhỏ f(x) D thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau 10 f(x) m x D 20 Tồn x0 D cho f(x0) = m Kí hiệu Min f(x) = m Các bớc tiến hành giải toán cực trị Bớc 1: Chứng minh bất đẳng thức f(x) m f(x) M x D Bớc 2: Chỉ giá trị x0 D để f(x0) = m f(x0) = M Bớc 3: Kết luận: Với giá trị x0 D f(x) đạt Max f(x) = M Min f(x) = m x0 D x0 D Chú ý: 1.Nếu chứng minh đợc f(x) m f(x) M x D cha đủ kết luận GTLN, GTNN Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x-1)2 + ( x- 3)2 Lời giải Ta có ( x-1)2 0x ( x- 3)2 0x Suy A 0x nhng kết luận MinA = không xảy đồng thời hai bất đẳng Một biểu thức có GTNN, GTLN có hai giá trị III- Một số phơng pháp ví dụ Phơng pháp 1: Dựa vào tổng bình phơng ( tính chất lũy thừa bậc chẵn) 1.1 Nội dung phơng pháp * A x ( x biến bất phơng trình A) Suy A k x * - B (x biến phơng trình B) Suy - B k 0x Nhiệm vụ giáo viên phải cho học sinh A k +m m m giá trị nhỏ A = B k + m M M giá trị giá trị lớn B = 1.2 Kiến thức bổ sung Học sinh vận dụng đẳng thức ( A + B ) ( A B ) để đa bất phơng trình dạng A k + m M B k 1.3 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A = x + x + Lời giải: Ta có A = ( x + x + 1) + = ( x + 1) + ( x + 1) 2 Dấu = xảy x + = x = Vậy Min A = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ B = 3x x + Lời giải: B = 3( x x + 2) = 3( x x + 25 25 + 2) 36 36 25 = 3( x ) + 12 47 47 = 3( x ) + 12 12 Dấu = xảy 3( x ) = x = Vậy Min B = 47 x = 12 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn C = x + x + Lời giải: C = ( x x 5) [ = [(2 x 1) C = (2 x) 2.2 x + 6 ] ] = (2 x 1) Dấu = xảy x = x= Vậy giá trị lớn C x = Chú ý f ( x) = ax + bx + c + Có giá trị nhỏ a > + Có giá trị lớn a < + Nếu a nên đặt a làm nhân tử chung nh câu B trừ trờng đặc biệt nh C + Nếu a < nên đặt dấu - để tiện biến đổi nh C ( Với học sinh trung bình khá) Việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ không dừng lại đa thức biến mà ta gặp ví dụ sau Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ D= x2 x +1 với ( x 1) x 2x + Các em lúng túng gặp bất phơng trình Nhng tập đặt phần phơng pháp khiến em nghĩ đến việc đa D dạng ax + bx + c cách đổi biến x 2x + + x D= = ( x 1) ( x 1) + x + ( x + 1) ( x 1) =1+ 1 + x ( x 1) Đặt y = , ( y 0) x D = 1+ y + y2 Đến học sinh dễ dàng tìm giá trị nhỏ D với ẩn y nh ví dụ Qua ta thấy quan trọng việc đổi biến đa toán phức tạp toán đơn giản Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ E = y + x xy + y + Lời giải: ( ) ( ) E = y xy + x + y + y + + = ( y x ) + ( y + 2) + Dấu = xảy y 2x = x = y + = y = Vậy giá trị nhỏ E = x = y = Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn f ( x, y ) = x + xy y + x + 10 y + Lời giải: ( = [ x f ( x, y ) = x xy + y x 10 y ) + y + xy x + y + y 12 y [ ( ) ] = - ( x y 1) + y y + 18 = 18 ( x y 1) 3( y ) 18 2 10 ] Dấu = sảy KB = KC ABC cân A Vậy giá trị lớn KH.KA BC ABC cân A 4.3 Bài tập ứng dụng Bài 1: Cho (O,R) đờng kính AB, M điểm chuyển động đờng tròn Xác định vị trí M đờng tròn để MA + MB đạt giá trị lớn Bài 2: Cho đờng tròn (O,R) dựng đờng tròn (O , ,R , ) cho O nằm (O , ,R , ) Dây AB đờng tròn (O) di động tiếp xúc với đờng tròn ( O , ) C Xác định vị trí dây AB để tổng AC + BC đạt giá trị lớn Phần III Những sai lầm thờng gặp tìm cực trị Sai lầm thờng gặp vận bất đẳng thức phổ biến + Điều kiện tồn bất đẳng thức + Dấu BĐT không xảy với giá trị tìm đợc Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A = 2x + 3y biết 2x + 3y Lời giải sai: Gọi B = 2x + 3y , ta có B Xét A + B = 2x + 3y + 2x + 3y = 2(x + x) + 3( y + y) = 2(x + 5 ) + 3(y + ) - - (1) 2 4 Vì B nên - B (- 5) (2) Cộng (1) với (2) ta đợc A 25 MinA = 25 x=y= 31 Học sinh sai lầm chỗ với x = y = xảy dấu = (1) dấu = (2) không xảy Thật với x = y = 2 B = 2( ) + 3( ) = + Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ M = x+ x Lời giải sai: 1 1 M = x + x + = x + 4 4 Vậy M 4 Học sinh sai lầm sau chứng minh M , cha trờng hợp M= tức dấu = xảy x = vô lí Sai lầm học sinh không tìm điều kiện để tồn x Sai lầm việc lập luận Ví dụ:Tìm giá trị lớn biểu thức A= x x + 17 Lời giải sai Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn mẫu có giá trị nhỏ Ta có x - 6x + 17 = ( x-3 ) + Min (x - 6x + 17) = x = Vậy Max A = x=3 Học sinh mắc sai lầm cha đa nhận xét tử mẫu số dơng Ví dụ: Xét B = với lập luận nh x 32 Ta có max = x=0 4 Điều không giá trị lớn B chẳng hạn x = B = 1 > Mắc sai lầm học sinh không nắm vững tính chất bất đẳng thức máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có t mẫu số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu số nguyên Sai lầm khảo sát gián tiếp không tìm điều kiện ẩn phụ Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ y= x + x+ + x > x x Lời giải sai: x =T2 x2 Đặt x + = T x + + x2 + = T 2 x Vậy y = T 2 T + y = T2 - T + 2 y = ( T2 )2 + Dấu = xảy T = T = Vậy Max y x+ T = 1 = x Học sinh sai lầm không tìm điều kiện T không xảy dấu = Vài ý giải toán cực trị 1- Khi giải toán cực trị ta thờng biến đổi tơng đơng điều kiện đại lợng thành điều kiện cực trị đại lợng khác 33 2- Nhiều toán cực trị có liên quan đến toán tìm tập hợp điểm, hợp hình có chung tính chất ta cố định yếu tố không đổi hình, điểm lại hình, chuyển động đờng cố định, theo dõi vị trí tìm đợc cực trị toán * Tình hình thực tiễn Trên giới thiệu với bạn số phơng pháp tìm cực trị , kết thu đợc rõ ràng vận dụng nhiều dạng toán ứng dụng toán Nếu nh rèn luyện cho học sinh dạng toán trang bị cho em lợng kiến thức nhỏ Trong chơng trình toán phổ thông nhiều phơng pháp nữa, trình bày số phơng pháp thông dụng chơng trình trung học sở Tuy nhiên với dạng toán đối tợng tiếp thu cách dễ dàng, giáo viên phải khéo léo lồng vào tiết dạy nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho học sinh Đây vấn đề hoàn toàn mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho em làm quen dần Dạng toán có tác dụng tơng hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết t sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung sáng tạo vấn đề Khảo sát trớc áp dụng đề tài a Kết Qua kết khảo sát, kiểm tra trớc áp dụng đề tài với 38 học sinh thấy kết tiếp thu toán cực trị nh sau: Điểm dới SL 20 % 50 % Điểm 5-6 SL 14 Điểm 7-8 % 35 % SL % 12,5 % Điểm 9-10 SL % 2,5 % b Nguyên nhân thực tiễn Đây dạng toán tơng đối lạ khó với học sinh, học sinh cha đợc trang bị phơng pháp giải, nên việc suy luận hạn chế nhiều lối thoát dẫn đến kết thấp đặc biệt học sinh trung bình em khó giải 34 Điểm dới SL % 12,5 % Điểm 5-6 SL 20 Điểm 7-8 % 50 % SL 10 % 25 % Điểm 9-10 SL % 12,5 % Nhận xét: Sau áp dụng đề tài thấy chất lợng qua kiểm tra đợc nâng lên đáng kể, đặc biệt học sinh trung bình chất lợng nâng lên rõ rệt Kết luận: Việc nghiên cứu triển khai phơng pháp Tìm cực trị nói riêng phần nói chung theo bồi dỡng học sinh giỏi, trớc hết làm đợc Việc áp dụng cách làm điều kiện khả thi, ngời thầy thờng xuyên đầu t thảo đáng Trớc hết khâu chuẩn bị tài liệu nắm vững lợng kiến thức lớn Vì lợi toán thực chuyên đề cần quan tâm đến nhiều, thực đa dạng phong phú đề cập đến nhiều kiến thức trờng phổ thông, có tính tổng hợp cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức lúc vào giải vấn đề Trên phơng pháp giải toán cực trị mà áp dụng giảng dạy thực tế trờng T.H.C.S cho học sinh đại trf nh trình ôn luyện, bồi dỡng học sinh giỏi Tôi đồng nghiệp thu đợc kết sau: + Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập yêu thích môn toán + Học sinh tránh đợc sai sót bản, có kĩ vận dụng thành thạo nh phát huy đợc tính tích cực học sinh Tuy nhiên để đạt đợc kết nh mong muốn, đòi hỏi ngời giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức , từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức học sinh ngời thầy cần phát huy trọng tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh từ em có nhìn nhận bao quát, toàn diện định hớng giải toán đắn Làm đợc nh góp phần nâng cao chất lợng giáo dục nhà trờng 35 Trong đề tài chắn không tránh khỏi hạn chế định Vậy chúng em mong đợc giúp đỡ nh góp ý thầy, cô giáo để chúng em rút kinh nghiệm trình giảng dạy năm học sau Để hoàn thành đề tài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy chúng em nhận đợc giúp đỡ đồng nghiệp, thầy cô giáo tổ toán trờng Đ.H.S.P Hà Nội, đặc biệt giúp đỡ thầy giáo cô giáo trực tiếp hớng dẫn chúng em hoàn thành đề tài Chúng em xin chân thành cảm ơn! Nam Định, ngày 18tháng 10 năm 2009 Đại diện nhóm Nhóm trởng ngô thị thu hà 36 Giáo án tiết dạy Ngời soạn: Ngô Thị Thu Hà Lớp toán KI - Đại học từ xa Nam Định Bài soạn: Một phơng pháp tìm cực trị bất đẳng thức đại số I- Mục tiêu - Học sinh biết sử dụng bất đẳng thức đại số để giải toán cực trị hình học Muốn trớc hết học sinh phải biết đa yếu tố đại số vào toán hình học, từ để giải toán cực trị hình học ta giải toán cực trị đại số ( biết cách làm) - Học sinh có kĩ đặt đại lợng hình học làm ẩn, vận dụng kiến thức học vào giải tập - Thông qua việc giải toán t sáng tạo cho học sinh II- Chuẩn bị GV: Chọn lựa tập phổ biến ôn thi lớp HS: Nắm vững kiến thức + Cách giải toán cực trị + Các hđt + Các bất đẳng thức III-Tiến trình dạy học 1- ổn định GV: chia lớp thành nhóm, nhóm học sinh, phân công nhóm trởng 37 HS: Kiểm tra bút viết giấy 2- Kiểm tra cũ GV: Nêu câu hỏi a.Tìm số thứ để bất đẳng thức sau trở thành bình phơng tổng A = x + 4x B = x + 3x C = 2x - 3x Học sinh: Hai em lên bảng ( HS1 làm câu A,B HS2 làm câu C ) A = x + 2.x.2 số thứ B = x + 2.x C = 2( x - 3 số thứ 2 x ) = 2( x - 2.x 3 ) số thứ 4 Sauy A = ( x + ) B = ( x + )2 C = 2( x - ) b Chứng minh x - 4x + > HS : Ta có x - 4x + = x - 2.x.2 + 2 + = ( x )2 + > x GV : Với phơng pháp tìm số thứ nh trên, em dựa vào cách tính để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dạng ax + bx + c Ghi bảng I Lí thuyết Hoạt động giáo - viên học sinh GV: Nhắc lại kiến thức cho học sinh A2 * Bất đẳng thức Côsi A2 + m m * Bất đẳng thức Bu nhi a cops ki Dấu = xảy A = m giá trị nhỏ * Bất đẳng thức khác Phần lí thuyết giáo viên chiếu A = 38 - B2 - B2 + M M hình cho học sinh quan sát Dấu = xảy B = M giá trị lớn B = Phân loại tập Dạng 1: Biểu thức có dạng ax + bx + c Ví dụ 1: GV: Để tìm giá trị nhỏ cho Tìm giá trị nhỏ tập ta làm nh nào? f(x) = x - 8x + Học sinh: Biến đổi f(x) dạng Lời giải A2 + m f(x) = x - 2.x.4 + - + ? Nêu cách biến đổi = (x- 4) - 15 -15 ? Ta tìm số thứ để đa đa thức thành Dấu = xảy bình phơng tổng x4=0 x=4 Tách 8x = 2.x.4 Min f(x) = -15 x = GV: Gọi học sinh lên bảng làm GV: Thu số nhận xét sửa sai chiếu mẫu GV: Nhận xét đánh giá chung Ví dụ 2: Tìm chỗ sai lời giải sau GV: Đa ví dụ cho học sinh thảo P (x) = x + x - luận nhóm = ( x )2 + x + =( x+ 21 21 ) 4 21 Vậy Min P(x) = Chú ý: Khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn cần phải tìm + Tìm giá trị tồn biến + Trớc kiểm định giá trị lớn hay giá trị nhỏ dấu = có xảy không? 39 HS : Nhận xét Sau tìm chỗ sai GV nhắc nhở em tránh sai lầm đa ý HS: Nêu ý Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn A = - x + 3x = - (x - 3x + 5) GV: việc tìm giá trị nhỏ giá trị lớn có khác Ta nhận = - (x - 2.x + + ) = - ( x- ) - xét ví dụ 11 11 4 ? So sánh A f(x) hệ số ẩn x 3 Dấu = xảy x- = x = 2 Max A = HS : Trả lời GV : Cho học sinh lên bảng làm 11 x= ? Nhận xét Nhận xét biểu thức có dạng GV : Kết luận đa dạng ax + bx + c -B + M M - Có giá trị nhỏ a > Kết luận : Về cách làm chung dạng - Có giá trị lớn a < đa nhận xét - Nếu a nên đặt a làm nhân tử chung GV : Với đa thức bậc cao ta áp dụng cách làm không ? Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ Ta xét ví dụ 4: A=(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) GV: Hớng dẫn học sinh làm ví dụ Lời giải: theo phơng pháp đặt ẩn phụ để đa A = ( x+2 )( x+5 )( x+3)( x+4 ) toán dạng = (x + 7x + 10).( x + 7x + 12) 2 ax + bx + c Đặt x + 7x + 10 = T GV: gọi học sinh lên làm tiếp sau A = T.( T + ) hỡng dẫn đến = T + 2T A = T2 + 2T = ( T + 1)2 - Dấu ( = ) xảy T = -1 x2 + 7x + 10 = -1 x2 + 7x + 12 = x2 + 2x (x+ có giống không 7 + 11 - = 2 13 ) =vô lí 12 Vậy A giá trị nhỏ 40 Dạng 2: Dạng phân thức GV : Cũng với phơng pháp đặt ẩn Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ phụ em làm tập sau x 4x + B= x2 GV : Đa đề nói với có Lời giải: ơng pháp đa dạng : B= nhiều phơng pháp giải, nhiên ph- x 4x + 2 x x x = + x x ax2 + bx + c Là đơn giản ( x 0) ? Vậy làm để đa dạng ax2 + bx + c Đặt = T x GV : Hớng dẫn học sinh tách B B = T2- 4T + thành hạng tử phân thức có tử = ( T )2 -3 số mẫu giống nhau.Từ Dấu = xảy hớng dẫn học sinh đặt ẩn phụ T2=0 GV : Để học sinh lên bảng làm tiếp T=2 từ bớc =2 x ? Nhận xét GV : Kiểm tra số học sinh x= TM Vâỵu Min B -3 x = cách chiếu lên hình cho lớp quan sát sửa sai GV : Ngoài cách ta làm nh sau GV đa chiếu lên hình cho học sinh quan sát x x + 3x B= x2 x B= ( x) x2 Hoặc phơng pháp hàm số x 4x + =y x2 HS : So sánh lựa chọn phơng pháp tối u 41 GV : Kết luận qua tập ta làm quen phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn tập có dạng là: ax2 + bx + c đặc biệt biểu thức phân có mẫu bình phơng số Vậy phơng pháp làm đợc với đa thức nhiều biến không? Dạng 3: Sử dụng cho biểu thức nhiều biến Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x2 2xy + 2y2 + 2x 10y + 17 Ta xét dạng tập sau Với tập ta phải biến đổi dạng nào? HS : A2 + B2 + m m Lời giải GV : Hớng dẫn học sinh tách thêm B = ( x y + ) + ( y )2 bớt hạng tử để xuất đẳng Dấu = xảy thức dạng ( a b )2 x y + = y = GV : Lu ý học sinh xét dấu = phải tìm giá trị biến thoả mãn y = x = không toán không tìm đ- Vậy Min B ợc giá trị nhỏ nhất, em xét x = y = ví dụ sau Ví dụ Tìm chỗ sai Trong lời giải sau C=x2 4xy + 4y2 + 2x2 4x + + x2 + x = ( x 2y)2 + 2( x )2 + ( x + Vậy C ) HS : Quan sát sai lầm : Dấu = xảy có 42 x y = Dấu = xảy x = x + = x = x = Vậy x y = x = x = giá trị nhỏ B x= Min C = y = 4 Củng cố GV : phơng pháp sử dụng tính chất nâng lên luỹ thừa em cần biến đổi thành thạo tập dạng (a b) Trong trình làm em cần lu ý đến điều kiện ẩn xét dấu xảy Lời giải phải rõ ràng lôgic Hớng dẫn nhà - Về nhà xem lại ví dụ giải tiết học hôm biến đổi tập dạng: ax2 + bx + c A2 + B2 + m - Làm tập sau: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn 43 A= B= x + 3x + ( x 1) 2 x + 5x ( x + 1) C = x + xy + y x 22 y III- Kết thực Khi cha áp dụng đề tài nhận thấy học sinh lúng túng gặp không khó khăn trí không để làm toán tìm cực trị Bớc đầu học sinh có niềm tin khả học tập môn toán Bảng thống kê kết kiểm tra dạng toán cực trị đến học kỳ II năm học 2008-2009 Năm học Đề Tài Giỏi Khá T.B Yếu Kém 2007-2008 Cha áp dụng 2% 8% 30% 27% 23% 2008-2009 Đã áp dụng 13% 20% 40% 17% 10% 44 Phụ lục sách tham khảo Vũ Hữu Bình: Nâng cao phát triển toán 8,9 tập 1, nhà xuất giáo dục năm 2007 Nguyễn Ngọc Đạm Vũ Dơng Thụy: 255 toán chọn lọc hình học nhà xuất giáo dục năm 1996 Nguyễn Đức Đồng Nguyễn Văn Vinh : 1001 toán sơ cấp nhà xuất giáo dục năm 2005 Nguyễn Vĩnh Cận ( Biên tập) toán cực trị Nhà xuất giáo dục Nguyễn Ngọc Đạm Vũ Dơng Thụy: Nâng cao chuyên đề đại số 8,9 tập 1,2 nhà xuất giáo dục năm 2004 Nguyễn Anh Dũng: Bài toán chọn lọc hình học THCS : nhà xuất giáo dục năm 199 Nguyễn Đức Tấn : Chuyên đề bất đẳng thức cực trị hình học phẳng nhà xuất giáo dục năm 2002 45 [...]... ở D,E và DE nhỏ nhất 4.Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số 4.1 Kiến thức bổ sung + Bất đẳng thức CauChy cho 2 số không âm + Bất đẳng thức Bu nhi a cops ki + Một số bất đẳng thức quen thuộc khác 4.2 Ví dụ ứng dụng Ví dụ 1: Cho A cố định nằm ngoài đờng tròn (O,R) Qua A vẽ đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) tại 2 điểm B,C Xác định vị trí d để AB + AC đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải: Vẽ cát tuyến ADE qua O ... AB, đờng thẳng d không giao với đờng tròn Dựng điểm M thuộc d cho tia MA, MB cắt đờng tròn D,E DE nhỏ 4.Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số 4.1 Kiến thức bổ sung + Bất đẳng thức CauChy cho... cắt đờng tròn (O) điểm B,C Xác định vị trí d để AB + AC đạt giá trị nhỏ Lời giải: Vẽ cát tuyến ADE qua O d xét ABE ACD có góc A chung C AEB = ACD ( góc nội tiếp chắn cung BD) B Do ABE đồng