GV: chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm 8 học sinh, phân công nhóm trởng
HS: Kiểm tra bút viết và giấy trong 2- Kiểm tra bài cũ
GV: Nêu câu hỏi
a.Tìm số thứ 2 để bất đẳng thức sau trở thành bình phơng của một tổng A = x2 + 4x
B = x2 + 3x C = 2x2 - 3x
Học sinh: Hai em lên bảng ( HS1 làm câu A,B HS2 làm câu C ) A = x2 + 2.x.2 vậy số thứ 2 là 2
B = x2 + 2.x.
2
3 vậy số thứ 2 là
2 3
C = 2( x2 -
2 3.x ) = 2( x2 - 2.x.
4
3) vậy số thứ 2 là
4 3
Sauy ra A = ( x + 2 )2 B = ( x +
2 3)2 C = 2( x -
4 3)2 b. Chứng minh rằng x2- 4x + 5 > 0
HS : Ta cã x2- 4x + 5
= x2- 2.x.2 + 22+ 1 = ( x – 2 )2+ 1 > 0 ∀x
GV : Với phơng pháp tìm số thứ 2 nh trên, bây giờ cùng các em dựa vào cách tính này để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức dạng
ax2+ bx + c
Ghi bảng Hoạt động của giáo - viên học sinh I LÝ thuyÕt–
A2 ≥ 0
⇔ A2+ m ≥ m
Dấu “=” xảy ra khi A = 0 m là giá trị nhỏ nhÊt khi A = 0
GV: Nhắc lại kiến thức cho học sinh
* Bất đẳng thức Côsi
* Bất đẳng thức Bu nhi a cops ki
* Bất đẳng thức khác
Phần lí thuyết giáo viên chiếu màn
- B2 ≤ 0 ⇔- B2+ M ≤ M
Dấu “=” xảy ra khi B = 0 M là giá trị lớn nhÊt khi B = 0
Phân loại bài tập Dạng 1:
Biểu thức có dạng ax2+ bx + c VÝ dô 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất f(x) = x2- 8x + 1 Lời giải
f(x) = x2- 2.x.4 + 42- 42 + 1
= (x- 4)2- 15 ≥-15 Dấu “=” xảy ra
⇔x – 4 = 0 ⇔x = 4 Min f(x) = -15 ⇔x = 4
VÝ dô 2:
Tìm chỗ sai trong lời giải sau P (x) = x + x- 5
= ( x)2+ 2 x.
4 5 1 4 1 2
1+ − −
= ( x+
2 1)2-
4 21 4
21≥−
VËy Min P(x) = -
4 21
Chú ý: Khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất cần phải tìm
+ Tìm giá trị tồn tại của biến
+ Trớc khi kiểm định giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất dấu “=” có xảy ra không?
hình cho học sinh quan sát
GV: Để tìm giá trị nhỏ nhất cho bài tập này ta làm nh thế nào?
Học sinh: Biến đổi f(x) về dạng A2 + m
? Nêu cách biến đổi
? Ta tìm số thứ 2 để đa đa thức thành bình phơng của tổng
Tách 8x = 2.x.4
GV: Gọi 1 học sinh lên bảng làm GV: Thu một số bài nhận xét và sửa sai rồi chiếu bài mẫu
GV: Nhận xét đánh giá chung GV: Đa ví dụ 2 cho học sinh thảo luËn nhãm
HS : NhËn xÐt
Sau khi tìm chỗ sai GV nhắc nhở các em tránh sai lầm và đa ra chú ý
HS: Nêu chú ý
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của A = - x2+ 3x – 5
= - (x2- 3x + 5)
= - (x2 - 2.x.
4 5 9 4 9 2
3+ + − )
= - ( x-
2 3)2-
4 11 4
11≤−
Dấu “=” xảy ra khi x-
2 0 3
2
3 = ⇔ x=
Max A =
2 3 4
11⇔ =
− x
Nhận xét biểu thức có dạng ax2+ bx + c
- Có giá trị nhỏ nhất ⇔ a > 0 - Có giá trị lớn nhất ⇔ a < 0
- Nếu a ≠ 1 nên đặt a làm nhân tử chung
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 ) Lời giải:
A = ( x+2 )( x+5 )( x+3)( x+4 )
= (x2 + 7x + 10).( x2 + 7x + 12)
Đặt x2 + 7x + 10 = T A = T.( T + 2 )
= T2 + 2T
= ( T + 1)2 – 1 ≥ - 1 Dấu ( = ) xảy ra ⇔ T = -1
⇔ x2 + 7x + 10 = -1
⇔ x2 + 7x + 12 = 0
⇔x2 + 2x.
2
7 + 11 -
2 7 = 0
⇔ ( x +
2
7)2 = -
12 13 vô lí
Vậy A không có giá trị nhỏ nhất
GV: việc tìm giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất có gì khác nhau. Ta nhận xÐt vÝ dô 3
? So sánh A và f(x) thì hệ số của ẩn x
2có giống nhau không HS : Trả lời
GV : Cho học sinh lên bảng làm
? NhËn xÐt
GV : Kết luận đa về dạng -B2+ M ≤ M
Kết luận : Về cách làm chung 2 dạng trên rồi đa nhận xét.
GV : Với đa thức bậc cao ta có thể
áp dụng cách làm trên không ? Ta xÐt vÝ dô 4:
GV: Hớng dẫn học sinh làm ví dụ 4 theo phơng pháp đặt ẩn phụ để đa bài toán về dạng
ax + bx + c
GV: gọi học sinh lên làm tiếp sau khi đã hỡng dẫn đến
A = T2 + 2T
Dạng 2:
Dạng phân thức
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2 42 1
x x x − +
Lời giải:
B = 22 42 12
x x
x x
x − +
= 1 4 12
x+ x
− (x≠0)
Đặt = x 1 T B = T2- 4T + 1
= ( T – 2 )2 – 3 ≥ -3 Dấu “ =” xảy ra khi T – 2 = 0
⇔T = 2
⇔ x 1 = 2
⇔x =
2 1 TM
Vâỵu Min B là -3 khi x =
2 1
GV : Cũng với phơng pháp đặt ẩn phụ các em cùng làm bài tập sau GV : Đa đề bài và nói với bài này có nhiều phơng pháp giải, tuy nhiên ph-
ơng pháp đa về dạng : ax2 + bx + c Là đơn giản nhất
? Vậy làm thế nào để đa về dạng ax2 + bx + c
GV : Hớng dẫn học sinh tách B thành 3 hạng tử là 3 phân thức có tử là hằng số còn mẫu giống nhau.Từ
đó hớng dẫn học sinh đặt ẩn phụ GV : Để học sinh lên bảng làm tiếp từ bớc này
? NhËn xÐt
GV : Kiểm tra bài một số học sinh bằng cách chiếu lên màn hình cho cả
lớp quan sát cùng sửa sai
GV : Ngoài cách trên ta có thể làm nh sau. GV đa bài chiếu lên màn hình cho học sinh quan sát B = 4 2 24 1 3 22
x x x
x x − + −
B = (2 ) 3 3
2 2
−
≥
− − x
x
Hoặc phơng pháp hàm số
x y x x − + =
2
2 4 1
HS : So sánh lựa chọn phơng pháp tèi u nhÊt
Dạng 3:
Sử dụng cho biểu thức nhiều hơn một biến Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 – 2xy + 2y2 + 2x – 10y + 17 Lời giải
B = ( x – y + 1 )2 + ( y – 4 )2 ≥0
Dấu “=” xảy ra khi
=
−
= +
− 0 4
0 1 y
y x
⇔
=
= 3
4 x y
Vậy Min B là 0 khi
=
= 4 3 y x
VÝ dô
Tìm chỗ sai Trong lời giải sau
C=x2 – 4xy + 4y2 + 2x2 – 4x + 2 + x2 + x –2
= ( x – 2y)2 + 2( x – 1 )2 + (
2 +1
x )2 -
4 9
VËy C
4
−9
≥
GV : Kết luận qua bài tập trên ta làm quen phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của bài tập có dạng là: ax2 + bx + c đặc biệt là biểu thức phân có mẫu là bình phơng 1 số. Vậy phơng pháp này có thể làm
đợc với đa thức nhiều biến không?
Ta xét dạng bài tập sau.
Với bài tập này ta phải biến đổi về dạng nào?
HS : A2 + B2 + m ≥ m
GV : Hớng dẫn học sinh tách thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức dạng ( a ± b )2
GV : Lu ý học sinh xét dấu “=” là phải tìm giá trị của biến thoả mãn nếu không thì bài toán không tìm đ- ợc giá trị nhỏ nhất, các em cùng xét vÝ dô sau
HS : Quan sát và chỉ ra sai lầm : Dấu
“=” không thể xảy ra vì không thể có
Dấu “=” xảy ra khi
= +
=
−
=
−
2 0 1
0 1
0 2
x x
y x
⇔
−
=
=
=
−
2 1 1
0 2
x x
y x
Min C =
4
− ⇔9
−
=
−
=
4 1 2 1 y x
−
=
= 2 1 1 x x
VËy 4
−9 không phải là giá trị nhỏ nhất của B
4. Củng cố
GV : đây là phơng pháp sử dụng tính chất nâng lên luỹ thừa vì vậy các em cần biến đổi thành thạo các bài tập về dạng (a±b)2
Trong quá trình làm các em cần lu ý đến điều kiện của ẩn và xét dấu bằng xảy ra. Lời giải phải rõ ràng lôgic.
5. Hớng dẫn về nhà
- Về nhà xem lại các ví dụ đã giải trong tiết học hôm nay biến đổi bài tập về dạng: ax2 + bx + c hoặc A2 + B2 + m
- Làm bài tập sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của
A = ( )2
2
1 5 3
− + + x
x x
B = ( )2
2
1 9 5 2
+
− + x
x x
C = 2x2 +2xy+5y2 −8x−22y