II- Phân loại các bài tập và ví dụ minh họa
3. Tìm cực trị vận dụng bất dẳng thức trong đờng tròn
- Trong 1 đờng tròn đờng kính là dây cung lớn nhất - Dây cung lớn hơn tơng đơng dây đó gần cung hơn - Cung lớn hơn tơng đơng dây trờng cung lớn hơn - Cung lớn hơn tơng đơng góc ở tâm lớn hơn 3.2 Các ví dụ áp dụng
O
B
A H C
VÝ dô 1:
Cho ∆ ABC đều nội tiếp đờng tròn bán kính R. Một điểm M chạy trên cung nhỏ AB. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ M đến A và B không lớn hơn đờng kính của đờng tròn.
Lời giải V× M thuéc cung nhá AB
nên góc CAM > góc ACM.
Trong ∆AMC có ∠CAM > ∠ACM nên AM < MC. LÊy D ∈ MC sao cho MD = MA Do đó ∆MDA cân tại M.
Mặt khác có ∠AMC = ∠ ABC = 600 ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Vậy ∆MDA đều
suy ra AM = AD và ∠MAD = 600hay ∠A1 + ∠A2 = 600 ( 1 ) Vì ∆ABC đều nên ∠A1 + ∠A3 = 600 ( 2 ) Tõ ( 1 ) ( 2 ) suy ra ∠A1 = ∠A3
Xét ∆AMB và ∆ADC có ∠ A1 = ∠A3 ( CMT ) MA = MD ( CMT )
AB = AC ( vì∆ ABC đều ) VËy ∆AMB = ∆ADC ( c.gc)
Suy ra MB = DC
VËy MA + MB = MD + DC = MC
Mà MC là dây cung nên lớn hơn đờng kính
VÝ dô 2:
Cho đờng tròn ( O ) và một điểm M nằm trong đờng tròn đó ( M ≠ O ), xác định vị trí của dây cung AB của đờng ( O ) qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất
Lời giải:
Ta có dây AB ⊥ OM tại M là dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Thật vậy: Qua M vẽ dây A,B, bất kỳ của (O)
1 2 3
A
O D
B
C M
A
O
A’ M B’
B
M’
A,B,không vuông góc với OM.
Vẽ OM' ⊥ A'B'.M’∈ A'B'; M' ≠ M
⇒ OM' ⊥ MM' ⇒ OM > OM' , AB < A' B'
( theo định lí khoảng cách từ tâm đến dây).
3.3 Bài tập vận dụng Bài 1:
Cho ∆ ABC nh trên trong đờng tròn (O, R), M∈(O). Xác định vị trí M đó MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2:
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, đờng thẳng d không giao với đờng tròn. Dựng
điểm M thuộc d sao cho tia MA, MB cắt đờng tròn ở D,E và DE nhỏ nhất 4.Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số
4.1 Kiến thức bổ sung
+ Bất đẳng thức CauChy cho 2 số không âm + Bất đẳng thức Bu nhi a cops ki
+ Một số bất đẳng thức quen thuộc khác 4.2 Ví dụ ứng dụng
VÝ dô 1:
Cho A cố định nằm ngoài đờng tròn (O,R). Qua A vẽ đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) tại 2 điểm B,C. Xác định vị trí d để AB + AC đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Vẽ cát tuyến ADE qua O
xét ∆ABE và ∆ACD có góc A chung
∠AEB = ∠ACD
( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD) Do đó ∆ ABE đồng dạng ∆ADC
E d C B
⇒ AC AE AD
AB = ⇔AB.AC = AE.AD Mà AE.AD = (OA + OE)(OA-OE) = OA2- OE2
= OA2- R2
Ta cã AB + AC = (AB + AC - 2 AB.AC + 2 AB.AC ) = ( AB- AC)2+ 2 AB.AC ≥2 AB.AC
≥2 OA2 −R2
Không đổi
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
⇔AB = AC ⇔B≡C
⇔d là tiếp tuyến ( O,R) VÝ dô 2:
Cho ∆ABC nhọn, BC cố định, AK là đờng cao, H là trực tâm ∆ABC. Tìm giá trị lớn nhất của AK.HK
Lời giải:
Xét ∆KBH và ∆KAC cã ∠BKH = ∠AKC = 900
∠KBH = ∠KAC
( Góc có cạnh tơng ứng vuông góc) Vậy ∆KBH đồng dạng ∆KAC (g.g) Suy ra
KC KH =
KA KB
⇔KH.KA = KB.KC
áp dụng Bất đẳng thức côsi ta có KB.KC ≤
4 4
2 2
BC KC
KB =
+
KH.KA≤ 2
4
KB+KC =
4 BC2
VËy KH.KA≤ 4
BC2 ( không đổi vì BC cố định)
B
A
K H
C
Dấu “=” sảy ra khi KB = KC ⇔ ∆ABC cân tại A. Vậy giá trị lớn nhất KH.KA là 4
BC2 khi ∆ABC cân tại A 4.3 Bài tập ứng dụng Bài 1:
Cho (O,R) đờng kính AB, M là điểm chuyển động trên đờng tròn. Xác định vị trí của M trên đờng tròn để MA + 3MB đạt giá trị lớn nhất
Bài 2:
Cho đờng tròn (O,R) dựng đờng tròn (O,,R,) sao cho O nằm trên (O,,R,). Dây AB của đờng tròn (O) di động và tiếp xúc với đờng tròn ( O,) tại C. Xác định vị trí của dây AB để tổng AC2+ BC2 đạt giá trị lớn nhất.
PhÇn III
Những sai lầm thờng gặp khi tìm cực trị
1. Sai lầm thờng gặp khi vận bất đẳng thức rất phổ biến + Điều kiện tồn tại bất đẳng thức
+ Dấu bằng của BĐT không xảy ra với giá trị tìm đợc VÝ dô 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = 2x + 3y biÕt 2x2+ 3y2 ≤ 5 Lời giải sai:
Gọi B = 2x2+ 3y2, ta có B ≤ 5 XÐt A + B = 2x + 3y + 2x2+ 3y2 = 2(x2+ x) + 3( y2+ y) = 2(x +
2
1 )2+ 3(y +
2 1)2-
4 5 ≥ -
4 5 (1) Vì B ≤ 5 nên - B ≥ (- 5) (2)
Cộng (1) với (2) ta đợc A≥
4
−25
MinA =
4
−25 ⇔x = y =
2
−1
Học sinh sai lầm ở chỗ với x = y =
2
−1 thì chỉ xảy ra dấu “=” ở (1) còn dấu “=”
ở (2) không xảy ra.
ThËt vËy víi x = y =
2 1 th×
B = 2(
2
−1 )2+ 3(
2
−1 ) = 5
4 3 2 1+ ≠
VÝ dô 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x+ x
Lời giải sai:
M = 4
1 4 1 2 1 4
1 4
1 2 − ≥−
+
=
−
x+ x + x
Vậy M là
4
−1
Học sinh sai lầm là sau khi chứng minh M
4
−1
≥ , cha chỉ ra trờng hợp M = 4
−1 tức là dấu “=” xảy ra khi
2
−1
=
x vô lí Sai lầm là học sinh không tìm điều kiện để tồn tại x