ĐH Hinh GT

Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT I TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ r ur ur A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với với ba vectơ đơn vị i , j , k (i= r r ur ) j = k =1 uur ur ur uur uur uuuuur ur uur uur B a ( a1; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1i + a2 j + a3 k ; M(x;y;z)⇔ OM = xi + y j + zk r r C Tọa độ vectơ: cho u ( x; y; z ), v( x '; y '; z ') r r u = v ⇔ x = x '; y = y '; z = z ' z r r u ± v = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ') r ku = (kx; ky; kz ) r k ( 0;0;1) ur r u.v = xx '+ yy '+ zz ' r r u ⊥ v ⇔ xx '+ yy '+ zz ' = r j ( 0;1;0 ) r u = x + y + z O r r  y z z x x y  ; ; ÷ = ( yz '− y ' z; zx '− z ' x; xy '− x ' y ) u ∧ v =  ÷  y' z' z' x' x' y'  ur r r r r u, v phương⇔ [u, v] = ur r rr u.v cos u , v = r r ( ) y x r i ( 1;0;0 ) u.v D Tọa độ điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) uuur AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 3.G trọng tâm tam giác ABC ta có: x + xB + xC y + yB + yC z + z B + zC xG= A ;yG= A ; zG= A 3 x − kxB y − ky B z − kz B ; yM = A ; zM = A ; M chia AB theo tỉ số k: xM = A 1− k 1− k 1− k x + xB y + yB z + zB ; yM = A ; zM = A Đặc biệt: M trung điểm AB: xM = A 2 uuur uuur r uuur uuur ABC tam giác⇔ AB ∧ AC ≠ S= AB ∧ AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB ∧ AC , AD , VABCD= S BCD h (h đường cao ABCD tứ diện⇔ AB ∧ AC AD ≠0, VABCD= tứ diện hạ từ đỉnh A) phẳngI Mặt ( ) II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT r Mặt phẳng α xác định bởi: {M(x0;y0;z0), n = ( A; B; C ) } Phương trình tổng quát mặt phẳng α: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0 hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0  số mặt phẳng thường gặp: a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0 r uuur uuur b/ Mặt phẳng qua ba điểm A,B,C: có n ( ABC ) = [ AB, AC ] uur uur uur uur uur uur uur uur c/ α//β⇒ nα = nβ d/ α⊥β⇒ nα = uβ ngược lại e/ α//d⇒ uα = ud f/ α⊥d⇒ nα = ud II Đường thẳng Đường congIV III Góc- Kh/C uur Đường thẳng ∆ xác định bởi: {M(x0;y0;z0), u∆ =(a;b;c)}  x = x0 + at  i.Phương trình tham số:  y = y0 + bt ;  z = z + ct  x − x0 y − y0 z − z0 = = ii.Phương trình tắc: a b c  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:   A2 x + B2 y + C2 z + D2 = uur uur uur uuruur n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) hai VTPT VTCP u∆ = [n1 n2 ] x = y = x = †Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:  ; Oy:  ; Oz:  z = y = z = uu r uu r uur uur r uuur b/ (AB): u AB = AB ; c/ ∆1//∆2⇒ u∆ = u∆ ; d/ ∆1⊥∆2⇒ u∆ = n∆ Góc hai đường thẳng ur uur u.u ' *cos(∆,∆’)=cosϕ= r uur ; u u' Góc hai mp ur uur n.n ' *cos(α,α’)=cosϕ= r uur ; n n' Góc đường thẳng mp ur r n.u *sin(∆,α)=sinψ= r r n.u KHOẢNG CÁCH r Cho M (xM;yM;zM), α:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M0(x0;y0;z0), u ∆ }, uur ∆’ {M’0(x0';y0';z0'), u '∆ } AxM + ByM + CZ M + D * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M,α)= A2 + B + C uuuuur r [ MM , u ] r * Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)= u r uur uuuuuuuur [u , u '].M M '0 uur uur * Khoảng cách hai đường thẳng: d(∆,∆’)= [u , u '] III PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R} Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S) Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 R= a + b2 + c − d d(I, α)>R: α ∩ (S)=∅ d(I, α)=R: α ∩ (S)=M (M gọi tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α tiếp diện mặt cầu (S) M uur uuur nα = IM ) Nếu d(I, α)