HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀ CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ HÌNH PHẲNG

t ne u ilie ta ox b w w w www.boxtailieu.net 01 MỤC LỤC • Đề kỳ • Bài viết chuyên đề luyện thi Nguyễn Thành Hiển-"Hệ trục tọa độ chứng minh yếu tố hình phẳng." Nguyễn Văn Phú - THPT Mỹ Đức A, Hà Nội-"Một vài mẹo nhỏ phương pháp liên hợp giải hệ phương trình." Công Dân Lương Thiện-"Sáng tạo từ bất đẳng thức bản." ne Ẩn Danh-"Dự đoán tính chất hình học toán Oxy." t Nguyễn Thành Hiển-"Phương trình - Bất phương trình đề thi thử 2015 (Phần 1)." Ẩn Danh-"Hệ phương trình giải phương pháp đánh giá." u Ngô Đình Tuấn-"Thứ tự biến để giải toán cực trị." ilie • Diễn đàn dạy học toán Trần Minh Quang-"Tính đơn điệu hàm số số sai lầm giải toán." ta Đỗ Viết Lân-"Phép Ravi bất đẳng thức Padoa." ox Nguyễn Minh Tuấn-"Sử dụng công thức lượng giác để xây dựng sột phương trình lượng giác dạng tích." b Trương Công Việt-"Ứng dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình." w w Nguyễn Thành Hiển-"Ứng dụng dãy tỷ số sáng tạo giải hệ phương trình (Phần 1)." – Đề số • Đấu Trường w • Hướng đến kỳ thi THPT 2015-2016 Ngô Minh Ngọc Bảo-Bài thách đấu số Trần Hưng-Bài thách đấu số Trần Quốc Việt-Bài thách đấu số NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 02 ĐỀ RA KỲ NÀY Câu : Giải phương trình √ √ x2 − 3x + 12 + 3x = √ x2 − 3x + + (Ngô Minh Ngọc Bảo - K41-ĐHSP TPHCM) Câu : Giải bất phương trình 3x2 + √ 2x2 − 3x + −3 x 7x2 − (Nguyễn Thế Duy) ne t Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH, phân giác góc BAH cắt BH điểm D (1; 1) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình đường thẳng qua C trung điểm AD (d) : x − 2y + = (Nguyễn Minh Tiến) Câu : Cho a, b, c ox ta ilie u Câu : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình đường tròn ngoại tiếp (C) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 50 Một đường tròn (C1 ) tiếp xúc với (C) tiếp√xúc với √ AB, AC P, Q Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trung điểm P Q I(2 − 4; − 4) điểm A có hoành độ dương (Ngô Đình Tuấn - Đại học An ninh Nhân dân) a + b + c = Chứng minh b(c + a) + c(a + b) √ 2abc w w b a(b + c) + (Nguyễn Trung Tín) w Câu : Cho a, b, c số thực dương a, b ∈ [1; +∞) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b + c + c2 √ − (ln a + ln b + 2)2 − a2 b2 − a2 + b2 + c4 − + − 2c (Nguyễn Minh Thành) Lưu ý : • Bài giải gõ Word Tex, trình bày rõ ràng gửi vào địa : nhomtoan@yahoo.com, inbox trực tiếp : https://www.facebook.com/HIEN.0905112810 • Cơ cấu giải thưởng công bố trao thưởng định kỳ số lần, số điểm tính số bạn hoàn thành, giải trọn vẹn tính điểm • Lời giải đăng số kèm với danh sách bạn làm tốt NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 03 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀ CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ HÌNH PHẲNG NGUYỄN THÀNH HIỂN A Kiến thức M trung điểm AB suy : xM = yA + yB xA + xB ; yM = 2 Cho điểm E thuộc đoạn thẳng AB thỏa : BE = k.AE, k > 0., đó, với M tùy ý ne t −−→ −−→ −−→ k.M A + 1.M B ME = 1+k ta ilie u Cho điểm M (x0 ; y0 ) đường thẳng d : ax + by + c = 0, a2 + b2 = Hình chiếu vuông góc H kẻ từ M xuống d có tọa độ  b(bx0 − ay0 ) − ac   x= a2 + b (∗) a(ay − bx0 ) − bc   y= a2 + b ox B Các ví dụ w w w b Ví dụ : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A, D trung điểm BC, E hình vuông góc D AC Biết F (4; −12) trung điểm DE, đường thẳng BE có phương trình 2x − 5y − 48 = A thuộc d : x − y + 12 = Tìm tọa độ A Hướng dẫn : • Chọn hệ trục Dxy với : D(0; 0); C(c; 0); B(−c; 0); A(0; a) • Từ (*) suy E a2 c c2 a ; a2 + c2 a2 + c2 • F trung điểm DE nên suy F a2 c c2 a ; 2(a2 + c2 ) 2(a2 + c2 ) −−→ −→ 2a4 c2 + a2 c2 −2a4 c2 − a2 c2 • Cuối : BE.AF = + =0 2(a2 + b2 )2 2(a2 + b2 )2 suy BE ⊥ AF • Đường thẳng AF qua F (4; −12) vuông góc BE có phương trình 5x + 2y + = Suy tọa độ A(−4; 8) NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 04 Ví dụ :[Đề thi THPT 2015] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vuông góc A cạnh BC, D điểm đối xứng B qua H, K hình chiếu vuông góc C đường thẳng AD Giả sử H(−5; −5); K(9; −3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thăng x − y + 10 = Tìm tọa độ đỉnh A Hướng dẫn : • Chọn hệ trục Axy với : A(0; 0); C(c; 0); B(0; b) • Từ (*) suy H b2 c c2 b ; b2 + c b2 + c 2b2 c bc2 − b3 ; b2 + c b2 + c • Gọi M trung điểm AC suy M c ;0 ne t • H trung điểm BD nên suy D u −−→ −−→ b2 c − c b4 −b2 c4 c2 b4 • Vậy: HM AD = + = 0, suy (b2 + c2 )2 (b2 + c2 )2 AD ⊥ HM ilie • Gọi M (m; m+10), m ∈ R Từ M H = M K suy m = 0, suy M (0; 10) ox ta • Đường thẳng AD qua K(9; −3) vuông góc với HM có phương trình x + 3y = • A giao điểm đường thẳng AD đường tròn ngoại b tiếp tứ giác AHKC, suy A(−15; 5) w w w Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB AD lấy E F FA EB = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết đường thẳng BD có phương trình cho EA FD 25 x + 2y − = 0, đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF (C) : (x − 11/2)2 + (y − 5/2)2 = , K(11; −2) thuộc AD điểm A có hoành độ nhỏ Hướng dẫn : EB FA • Đặt = = k EA FD NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) • Chọn hệ trục Hxy với : H(0; 0); D(d; 0); A(0; a) a x y • Phương trình đường thẳng AB : − + − = Suy a d d a2 tọa độ B(− ; 0) d −−→ −−→ −−→ k.HA + HB a2 ka • Ta có HE = = − ; k+1 d(k + 1) k + −−→ −−→ −−→ k HC + HA a kd HF = = ; k+1 k+1 k+1 www.boxtailieu.net 05 −−→−−→ • Vậy : HF HE = −a2 kd ka a + = 0, suy HF ⊥ HE d(k + 1) k + k + k + −−→ −−→ b2 c4 − c2 b4 −b2 c4 c2 b4 • Vậy: HM AD = + = 0, suy AD ⊥ HM (b + c2 )2 (b + c2 )2 • Tứ giác AEHF nội tiếp nên H giao điểm (C) BD Viết phương trình đường thẳng AH qua H vuông góc với BD • Tọa độ A giao điểm (C) AH • Đáp số : A(5; 4); B(10/3; 7/3); C(; ); D(10; −1) C Bài tập tương tự ilie u ne t Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có D(8; −2) chân đường vuông góc kẻ từ A Các điểm K P đối xứng với D qua cạnh AC AB Gọi E(6; 0) F (19/2; −1/2) giao điểm KP với AC AB Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác Hướng dẫn : Chứng minh E, F chân đường cao tam giác ABC Đs : A(8; 4); B(10; −2); C(5; −2) .b ox ta Trong oxy, cho hình vuông ABCD có điểm B thuộc đường thẳng 5x + 3y − 10 = Gọi M điểm đối xứng với D qua C, H K(1; 1) hình chiếu D C lên AM Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết phương trình đường thẳng qua H tâm I hình vuông d1 : 3x + y + = Hướng dẫn : Chứng minh BHI = HBK = 900 Đs : A(−2; 5/2); B(1/2; 5/2); C(1/2; 0); D(−2; 0) w w w Trong oxy, cho hình vuông ABCD có đường tròn đường kính AM cắt BC B M (5; 7), cắt đường chéo BD N (6; 2).Đỉnh C thuộc đường thẳng d : 2x − y − = Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết xC nguyên xA < Hướng dẫn : Chứng minh tam giác NAM vuông cân N Đs : A(1; 1); C(7; 7) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC) Điểm E(−2; 3) thuộc cạnh AD thỏa DE = 2AE Trên cạnh DC lấy hai điểm F (−3; 0) K cho DF = CK (F nằm D K) Đường thẳng vuông góc với EK K cắt BC M Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D hình chữ nhật, biết M thuộc đường thẳng 4x + y − 10 = 0, diện tích hình chữ nhật ABCD 30 điểm D có tung độ dương Hướng dẫn : Chứng minh EF vuông góc với FM Đs : A(−1; 4); B(4; −1); C(1; −4); D(−4; 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có A(5; 5) M, N (7; 3) P thứ tự trung điểm cạnh AB, BD AC Đường thẳng vuông góc với MP P cắt đường trung trực cạnh DC E(9; 5/2) Biết điểm D thuộc đường thẳng x + 2y − = 0, tìm tọa độ đỉnh lại hình thang ABCD Hướng dẫn : Chứng minh MN vuông góc NE Đs : D(4; 1); C(14; 1); B(10; 5) NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 06 Một vài mẹo nhỏ để xử lí phần sau liên hợp giải hệ phương trình Nguyễn Văn Phú,12A3,THPT Mỹ Đức A-Hà Nội *Nhận xét:Thông thường,với số toán hệ phương trình,chúng ta sử dụng phép liên hợp để tìm mối liên hệ ẩn,thông thường xuất phát từ phương trình hệ.Nhưng sau liên hợp,phần sinh chúng không dương điều kiện xác định,vì cần tìm điều kiện chặt hệ,từ dễ dàng chứng minh phần sau dương dương u ne t Phần 1: Phương pháp.:Ta tìm điều kiện chặt từ phương trình lại hệ số cách sau:  d   x  b  d ilie 1.Đưa phương trình elip: ( x  b)2  (  y c)  d ,từ ta có:     d   y  c  d ta Lưu ý:ngoài d biểu thức chứa biến x,y .b ox 2,Đưa phương trình bậc hai ẩn x,y,dùng điều kiện để phương trình bậc có nghiệm ax  bx  c  0, b  4ac  w w 3,Sử dụng bất đẳng thức: Thường Cô –si Sau đây,chúng ta vào ví dụ điển hình để minh chứng cho điều noi w  x  3x  x  22  y  y  y , (1) Ví dụ 1:( (A-2012): Giải hệ phương trình sau  2  x  y  x  y  ,(2)  Chú ý: Do phương trình (2) có dạng phương trình bậc 2,ta dễ dàng nhóm phương trình elip,từ tìm điều kiện có nghiệm hệ Lời Giải:   1  x    x   1  2 Phương trình (2)  ( x  )2  ( y  )     2  1  y    3  y  2   NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 07 Phương trình (1)  ( x  1)  12( x  1)  ( y  1)3  12( y  1)  (x   y 1)[( x  1)2  ( x  1)( y  1)  (y 1)  12]  x  y    (x  y 2)(x  xy  y  x  y  11)    2  x  xy  y  x  y  11  0(*)    x  1 27  ,do (*) vô nghiệm Do  :nên x  xy  y  x  y  11       11  4 2   y  2 3  y 2 (TM ) 1  y 2 t  x  y   x   Từ có hệ :  2 1 x   x  y  x  y   3 1  ), ( , )   2 2  u ne Kết luận:Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : (x, y)  ( , ilie  x2  ( y  6)2  y  13 x  27,(1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:   x  (2 x  3)( x  y)  xy  y, (2) b ox ta Chú ý: Phương trình (1) dạng phương trình bậc tính  không phương nên chuyển hướng sang phương trình (1),nhẩm thấy x=y hai vế nên dự đoán ghép liên hợp phương trình (2) có nhân tử ( x  y ) f ( x )  x, y  Lời Giải: Điều kiện:  w w 9 x  (2 x  3)( x  y)  ,do x  y  không nghiệm hệ,nên cần xét x, y  Khi đi,phương trình (2) w  x2  (2 x  3)( x  y)  y  xy  y   x  (2 x  3)( x  y)  y 2 x  (2 x  3)( x  y)  y  y ( x  y) 0 x y x  y  )0 y  ( x  y )(  11x  y    0, (*) x y x2  (2 x  3)( x  y)  y  x  (2 x  3)( x  y )  y x y   11x  y  y Từ phương trình (1):  11x  y   x2  x   (y 6)  y 31  11x  y   ( x  1)2  ( y  2)2   0x, y  R  11x  y    (*),VN NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 08  13  151 x y   x  ( y  6)  y  13x  27  (TM )  Ta có hệ mới:  x  y  13  151 x  y   2  13  151 13  151 13  151 13  151  , ), ( , ) 2 2   Kêt luận: Vậy hệ cho có nghiệm : (x, y)  ( Vi dụ 3: (Đặng Thành Nam):Giải hệ phương trình sau: (x  y  xy )( y  x) x  1, (1)    xy  ( y  x)(x  xy  4)  y  x  x  x , (2) y  x  Lời giải: Điều kiện:  ilie 2 xy  ( y  x)(x  xy  4)  u ne t Chú ý: Từ (2),ta dự đoán có nhân tử chung (x-y) tiên hành liên hợp,cái hay phần sau liên hợp,chúng ta vào lời giải chi tiết cho toán xy  ( y  x)(x  xy  4)  x2 ox  ta  xy  ( y  x)(x  xy  4)  x  y  x  x   b xy  ( y  x)(x  xy  4)  x Phương trình (2)  ( y  x)( y  2x 0 yx x 3x  xy  )0 yx x w w xy  ( y  x)(x  xy  4)  x  w  y  2x   y  2x  3x  xy     0(*)  yx  x xy y x xy x      ( )(x 4)  Từ phương trình (1) ( x, y )  (1, 2) 1  3x  xy   x  y  4 ( y  x) x ( y  x) x2  3x  ( y  x  )   3x       x  xy   x ( y  x) x  (*), VN  x  y  xy  NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 09 (Bất đẳng thức Cô-si sử dụng với số không âm).Do đó,ta có hệ:  y  2x x   y  x   ( x, y  0)    (x  y xy )( y  x) x   x  y  Kết luận:Vậy hệ cho có nghiệm : (x, y)  (1, 2) Nhận xét: Một toán hay khó,nó khó bước đánh giá (*) vô nghiệm,đòi hỏi có mắt tinh tế để thông qua bất đẳng thức Cô-si,chứng minh 3x  xy   ne t Qua ví dụ đề cập trên,chắc hẳn bạn đọc có nhìn cho loại hệ xử lí phần sau liên hợp,để xử lí tốt dạng này,chúng ta cần quan sát kĩ phương trình lại hệ,sử dụng lưu ý nêu phần Lý thuyết,sau số tập để bạn vận dụng  x2  (4 x  9)( x  y)  xy  y 1,  u Giải hệ phương trình sau: ,Đáp số: ( x, y)  (1,1)  ,Đáp số: ( x, y )  (6, 6) w w  x  16( y  x )  y  xy  17  17  , ) 2  b x  x   y   y 3,  ta ( x  1)(y xy  x(1  x))   ,Đáp số: ( x, y)  (1,1), ( ox  xy  ( xy  2)( x  y)  x  y  y 2,  ilie 4 ( x  2)( y  x)  3( x  3)  x2  x(2 y 3)   3x  2( y  x)  11  x  y  4,  w  x( x  y)  y ( y  2)   x  Gợi ý:Phương trình (1) có nhân tư chung x  y  ,đáp số ( x, y )  (1, 2) Hết NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 40 Chứng minh Từ điều kiện abc = 1, ta có a = x y z ,b = ,c = với x, y, z > Bất đẳng y z x thức cho trở thành x z −1+ y y y x −1+ z z z y −1+ ≤ x x Bất đẳng thức tương đương với xyz ≥ (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y) Bài toán chứng minh ne t Bài toán (IMO 1983) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 b(a − b) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ ilie Sau khai triển rút gọn ta thu u Chứng minh Đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y với x, y, z > Thay vào bất đẳng thức cho (y + z)2 (z + x)(y − x) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ y √ z √ x √ √ y+√ z+√ x y z x ≤ (y+z+x) x2 y z + + y z x b Suy điều phải chứng minh x2 y z + + ≥ x + y + z y z x ox Mặt khác, ta có (x+y+z)2 = ta x3 z + y x + z y ≥ x2 yz + xy z + xyz ⇔ w w w Bài toán (IMO 1961) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có diện tích S Chứng minh √ a2 + b2 + c2 ≥ 3S Chứng minh Đặt p = a+b+c Bất đẳng thức cho tương đương với (a2 + b2 + c2 )2 ≥ 48S = 48p(p − a)(p − b)(p − c) Đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y với x, y, z > Thay vào bất đẳng thức ta ((y + z)2 + (z + x)2 + (x + y)2 )2 ≥ 48(x + y + z)xyz Bất đẳng thức ((y + z)2 + (z + x)2 + (x + y)2 )2 ≥ (4yz + 4zx + 4xy)2 = 16(xy + yz + zx)2 ≥ 16.3(xy.yz + yz.zx + zx.xy) = 48xyz(x + y + z) Bài toán chứng minh NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 41 Một số tập khác: Bài tập Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có diện tích S Chứng minh √ 2ab + 2bc + 2ca − (a2 + b2 + c2 ) ≥ 3S Bài tập Cho a1 , b1 , c1 độ dài cạnh tam giác A1 B1 C1 có diện tích S1 a2 , b2 , c2 độ dài cạnh tam giác A2 B2 C2 có diện tích S2 Chứng minh w w w b ox ta ilie u ne t a21 (a22 + b22 − c22 ) + b21 (b22 + c22 − a22 ) + c21 (c22 + a22 − b22 ) ≥ 16S1 S2 NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 42 SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG TÍCH Nguyễn Minh Tuấn - Shirunai Okami-K62CLC Toán - Tin, ĐHSPHN u Sử dụng công thức sin 2x = sin x cos x ta có toán sau ne t Lời nói đầu Xuất phát từ ý tưởng đơn giản, ta nhân thêm lượng nhân tử vào hai phương trình để xuất công thức lượng giác áp dụng, tạo nên lớp phương trình hay khó Các toán có hướng dẫn giải không đạt lời giải cuối cùng, bạn đọc tự kiểm định lại lời giải Và đọc xong viết, tác giả hy vọng bạn tự sáng tác phương trình đẹp "tự sướng" với thân Mọi ý kiến đóng góp xin gửi địa facebook : Popeye Nguyễn ilie Bài toán Giải phương trình ta cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x = 32 ox Hướng dẫn Nhận thấy sin x = không nghiệm Nhân hai vế với sin x ta b sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x = sin 32x = 32  k2π  x = 31 ⇔ π + x= 33 w w w ⇔ sin x 32 sin x 32 k2π 33 Sử dụng công thức cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) ta có toán sau Bài toán Giải phương trình √ 16 2(sin x + cos x) sin 2x cos 4x cos 8x cos 16x = Hướng dẫn Nhân hai vế với sin x − cos x sau kiểm tra xem có khác không hay không ta √ 16 2(sin x − cos x)(sin x + cos x) sin 2x cos 4x cos 8x cos 16x = sin x − cos x √ ⇔16 cos 2x sin 2x cos 4x cos 8x cos 16x = cos x − sin x √ √ π  −x ⇔ sin 32x = sin π k2π  x = 132 + 33 ⇔ 3π k2π x= + NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) 124 31 www.boxtailieu.net 43-2 Sử dụng công thức sin 3x = sin x(3 − sin x), cos 3x = cos x(4 cos2 x − 3) ta có toán sau Bài toán Giải phương trình cos x(3 − sin2 2x)(3 − sin2 6x)(3 − sin2 18x) = Hướng dẫn Biến đổi phương trình sin x cos x(3 − sin2 2x)(3 − sin2 6x)(3 − sin2 18x) = sin x ⇔(3 sin 2x − sin3 2x)(3 − sin2 6x)(3 − sin2 18x) = sin x ⇔ sin 6x(3 − sin2 6x)(3 − sin2 18x) = sin x ⇔ sin 54x = sin x  k2π  x = 53 ⇔ k2π π + x= 55 55 ne t tan x ta có toán sau − tan2 x Sử dụng công thức tan 2x = u Bài toán Giải phương trình ilie cot x(1 − tan2 x)(1 − tan2 2x)(1 − tan2 4x) = Hướng dẫn Biến đổi phương trình cho thành − tan2 x tan x − tan2 x b cot x tan x = ox Tương đương − tan2 2x ta cot x = w w Tương đương − tan2 4x − tan2 2x = tan 8x ⇔ x = − tan2 4x π π +k 32 tan x(3 − tan2 x) ta có toán sau − tan2 x Bài toán Giải phương trình √ (3 − tan2 x)(3 − tan2 3x) = 3(1 − tan2 x)(1 − tan2 3x) w Sử dụng công thức tan 3x = Hướng dẫn Khi nhân tử vế phải phương trình không thỏa mãn Phương trình biến đổi thành tan x − tan2 x − tan2 x Tương đương √ − tan2 3x − tan2 3x = √ π π +k 27 Tất nhiên nhiều toán hay khác nữa, cuối tập tan 9x = 3⇔x= Bài tập Bài Giải phương trình cos 9x(3 − sin2 x)(3 − sin2 3x) = NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 44 Bài Giải phương trình cos x sin 3x = + sin 3x Bài Giải phương trình (1 − tan2 x)(1 − tan2 2x)(1 − tan2 4x) = cot 8x Bài Giải phương trình (cot x − cot 3x)(4 cos2 x − 3) = Bài Giải phương trình cos x tan 3x = + sin x Bài Giải phương trình cos 5x(2 cos 4x + cos 2x + 1) = Bài Giải phương trình (16 sin4 x − 20 sin2 5x + 5)(16 sin4 5x − 20 sin2 5x + 5) = √ ne (3 − tan2 x)(3 − tan2 3x) = t Bài Giải phương trình tan 9x(1 − tan2 x)(1 − tan2 3x) u Bài Giải phương trình ilie (cot x − cot 3x)(2 cos 4x − cos 2x + 1) = Bài 10 Giải phương trình ta (2 cos 8x − cos 4x + 1) = w w w b ox 1 − sin x sin 3x NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 45 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRƯƠNG CÔNG VIỆT Ví dụ Giải phương trình: √ 4x − + √ 4x2 − = Giải: ilie u ne t Đk: x ≥ √ √ Đặt f (x) = 4x − + 4x2 + 4x Ta có f (x) = √ +√ > 0, ∀x ∈ ; +∞ 4x − 4x2 − √ √ ; +∞ , nên phương trình f (x) = có Do hàm số f (x) = 4x − + 4x2 + đồng biến nghiệm nghiệm 1 = nên x = nghiệm phương trình cho Hơn nữa, f 2√ √ √ √ Ví dụ Giải phương trình: x + x − + x + + x + 16 = 14 Giải: w w b ox ta Đk: x ≥ √ √ √ √ Đặt: f (x) = x + x − + x + + x + 16 1 1 Ta có: f (x) = √ + √ + √ + √ > 0, ∀x ∈ [5; +∞) x √ x− √5 x√+ √x + 16 Do hàm số f (x) = x + x − + x + + x + 16 đồng biến [5; +∞) Hơn nữa, f (9) = 14 nên x = nghiệm phương trình √ √ √ 3 Ví dụ Giải phương trình: 2x + + 2x + + 2x + = Giải: √ √ √ 2x + + 2x + + 2x + 2 + + > 0, ∀x = − , −1, − Ta có: f (x) = 2 3 (2x + 1)2 (2x + 2)2 (2x + 3)2 Do hàm số f (x) đồng biến √ √ = −1 + −2, f (−1) = 0, f − = + Mà f − 2 lim f (x) = ±∞ nên suy x = −1 nghiệm phương trình cho x→±∞ √ √ √ Giải phương trình: 2x3 + 3x2 + 6x + 16 = + − x (2.2) Ví dụ Giải: w Đặt: f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 16 ≥ (x + 2) (2x2 − x + 8) ≥ ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤ 4−x≥0 4−x≥0 √ √ √ + 3x2 + 6x + 16 − Khi (2.2) ⇔ 2x√ 4− x=2 √ Xét hàm số f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − − x [−2; 4] (x2 + x + 1) + √ Ta có: f (x) = √ > 0, ∀x ∈ (−2; 4) 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − x Đk: NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net √ 46 2x3 √ 3x2 Do hàm số√f (x) = + + 6x + 16 − − x đồng biến [−2; 4] Mà f (1) = nên x = nghiệm phương trình 10 Ví dụ Giải phương trình: + =4 (2.3) 2−x 3−x Giải: 2−x>0 ⇔ 3−x>0 Đk: x 0, ∀x ∈ (−2; 4) 2x + 3x + 6x + 16 − x Do hàm số √ đồng biến [−2; 4] Mà f (1) = nên x = nghệm phương trình Ví dụ 11 Giải phương trình: −2x −x + 2x−1 = (x − 1)2 (2.10) Đk: Giải: w w w b ox ta ilie u ne t Phương trình (2.10) ⇔ −2x −x + 2x−1 = x2 − 2x + ⇔ 2x−1 + x − = 2x −x + x2 − x (2.11) Xét hàm số f (t) = 2t + t phương trình (2.11) phương trình f (x − 1) = f (x2 − x) Ta có f (t) = + 2t ln > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t) = 2t + t đồng biến R Do từ f (x − 1) = f (x2 − x) ⇔ x − = x2 − x ⇔x=1 Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập tự giải: Giải √ phương √ trình sau: √15 − x + √3 − x = ĐS: x = −1 √ ĐS: x = 3x −√5 + 2x + = + 12 − x 3 √ 3x − − 4x = − x√ ĐS: x = 2 ĐS: x = 2x + 23 = 4x √ − + 2x + √ (2x + 1) + 4x2 + 4x + + 3x + 9x2 + = ĐS: x = − 51 NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 50 ỨNG DỤNG DÃY TỶ SỐ TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH (2015) (PHẦN 1) NGUYỄN THÀNH HIỂN Một tính chất đơn giản toán học, biết cách khai thác tạo vô số toán Hệ phương trình hay độc đáo Xin gửi tặng thành viên group Nhóm Toán viết nhỏ "Dãy tỷ số nhau", hướng giải câu hệ mà đăng khoảng thời gian vừa qua ! A Tính chất dãy tỷ số Nếu tồn f (x, y) g(x, y) = h(x, y) k(x, y) t n n = a.(f (x, y))n b.(h(x, y))n a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n = = , với a, b = a.(g(x, y))n b.(k(x, y))n a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n ne h(x, y) a.f (x, y) b.h(x, y) a.f (x, y) + b.h(x, y) f (x, y) = = = = , với a, b = g(x, y) k(x, y) a.g(x, y) b.k(x, y) a.g(x, y) + b.k(x, y) u f (x, y) h(x, y) = , g(x, y) k(x, y) ilie B Sáng tạo hệ phương trình • Bước : Chọn dãy tỷ số cho tìm nghiệm x y dễ dàng (dùng wolframalpha cho tiện !) f (x, y) h(x, y) = g(x, y) k(x, y) ox ta T = Phương trình (1) : f (x, y).k(x, y) = h(x, y).g(x, y) .b • Bước : Sử dụng dãy tỷ số [1] [2] để tạo phương trình (2) w w Mức độ dễ : a.f (x, y) + b.h(x, y) = T.(a.g(x, y) + b.k(x, y)) Ví dụ Xét dãy tỷ số w Mức độ khó : a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n = T n (a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n ) Ta nhận nghiệm (x; y) = √ x x−1 √ = = y+1 x+1 √ √ 1+2 2−2 + 2; √ √ • Phương trình (1) : xy + x = x + x − √ • Mức độ dễ : chọn a = x + + y ; b = −1, ta hệ phương trình sau √ √ xy + x = √ x + x − (1) √ (x, y ∈ R ) (x − 2y ) x + + xy + 2y = 2x + x − (2) • Mức độ khó : chọn n = 3; a = 1; b = −x2 , ta hệ phương trình sau √ √ x + x − (1)√ xy + x = NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) x2 [1 + (2y + 2)3 ] = 8(x + 1) x + (2) www.boxtailieu.net (x, y ∈ R ) C Các ví dụ minh họa 51 Ví dụ Giải hệ phương trình  √  x y + − y x2 − y = x2 − y (1) √ x2 + √  y y + + x x2 − y = √ − y + (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : √ √ x2 − y y+2 = Chọn a = y + 2; b = x2 − y, ta có • Dễ thấy x = y = 1, (1) ⇔ y+1 x √ x2 − y x2 + y+2 = = √ y+1 x (y + 1) y + + x x2 − y (y + 1) y + + x x2 − y  √  √  y= y+2= √ 3(y + 1) ⇔  x2 − y = 3x  x= √ t = √ ( 13 − 5) √ 1 − 13 ne x2 + ilie • Vậy √ u • Từ (2) ⇔ Ví dụ Giải hệ phương trình (x, y ∈ R ) ox ta √ x3 + 2x2 y√= (2x + 1) 2x + y (1) 2x3 + 2y 2x + y = 2y + xy + 3x + (2) b Hướng dẫn : w w (2x + 1) (x + 2y) = • (1) ⇔ √ , chọn a = y; b = x + 1, ta có x2 y + 2x w 2x2 + 2y + xy + 3x + (2x + 1)(x + 1) y(x + 2y) √ √ = = x2 (x + 1) y y + 2x y 2x + y + x3 + • Từ (2) ⇔ 2x2 + 2y + xy + 3x + √ = y 2x + y + x3 + (x + 2y) (2x + 1) • Vậy √ = = 2, suy (x, y) = x2 y + 2x √ (1 − 3); ? ; √ (1 + 3); ? Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ (x + 3) x + y + 5√− (y + 1) x + 11 = xy − (1) √ 3y x + y + + x x + 11 = x2 + 6y + 6x + 3y (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : √ √ x+y+5+1 x + 11 + x • (1) ⇔ = , chọn a = 3y; b = x, ta có y+1 x+3 NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) √ √ √ √ x+y+5+1 x + 11 + x 3y x + y + + 3y + x x + 11 + x2 = = y+1 x+3 3y + x2 + 3x + 3y www.boxtailieu.net 52 √ √ 3y x + y + + 3y + x x + 11 + x2 = 3y + x2 + 3x + 3y √ √ x+y+5+1 x + 11 + x = = 2, suy (x, y) = • Vậy y+1 x+3 • Từ (2) ⇔ √ ( 21 − 11); ? Ví dụ 4.Giải hệ phương trình 8x6 + 12x4 + 30x2 + 71x + y + 57 = (1) √ 2x3 + 4x2 + = (x + 1)( x − y − 1) (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : √ √ 2x + x−y • (2) ⇔ (2x + 1)(x + 2) = (x + 1) x − y ⇔ = , chọn n = 3; a = 1; b = −1, ta có x+1 x+2 √ 3 2x2 + x−y (2x2 + 1)3 − x + y = = x+1 x+2 (x + 1)3 − (x + 2)3 (2x2 + 1)3 − x + y = (x + 1)3 − (x + 2)3 √ 2x2 + x−y • Vậy = = x+1 x+2 B Bài tập u ne t • Từ (1) ⇔ (x, y ∈ R ) ta ilie Câu Giải hệ phương trình √ √ √ x( x + − y − x − 1) = 3(x + y x + 1) (1) √ 2 9x − 6xy + 9y = 2x y − x − + y (2) ox Câu Giải hệ phương trình √ √ x( x + + y√+ 1) = (x + 1)(y + 1) (1) √ x(3 y + − x + 1) = 2x2 + y − x (2) √ √ √ √ x3√ ( x + 2y − x + 1) + y(x − 6) = xy + y − √ 8( x + + 1) = x2 ( x + 2y − x) (2) xy + 2y + 8x (1) (x, y ∈ R ) w Câu w w b (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ 2y(√ x − + x) = x2 √(1) 4x x − + (2x − 5y) x + = x2 (2) Câu Giải hệ phương trình √ 2y( √ x − + x) = x2 (1) 2x(2 x − + y) = x2 + 5y (2) (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ x + = 3y xy + x √ √x + (1) √ √ x + 5x + + 2y x + + 2x + = x 5x + 15 + y 5x + (2) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ xy + x x + 1√= 3y x +√2 (1) √ 8x + 14 + 2y x + = x 5x + 10 + y 5x + (2) NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net (x, y ∈ R ) 53 THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI ĐỀ SỐ (Thời gian làm : 180 phút) Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − Câu 2(1,0 điểm) Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − m + 1)x + đạt cực tiểu x = Câu 3(1,0 điểm) a) Giải phương trình log(x − 1) + log(3 − x) = log(3x − 5) b) Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa |2iz − 1| = 2|z + 3| ln Câu 4(1,0 điểm) Tính tích phân I = √ ex − dx ne t Câu 5(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; −1; 3) u a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M vuông góc với đường thẳng OM ilie b) Chứng tỏ đường thẳng OM song song với đường thẳng d : x−1 y−1 z−1 = = −2 −3 ox ta Câu 6(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với AB = a, BC = 2a ABC = 600 Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SC tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách SA BC theo a .b Câu 7(1,0 điểm) w w a) Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = AD Biết tan BDC = , tính giá trị lượng giác BAD w b) Trường THPT 11ANTT có 15 học sinh Đoàn viên ưu tú, khối 12 có nam nữ, khối 11 có nam nữ, khối 10 có nam nữ Đoàn trường chọn nhóm gồm học sinh Đoàn viên ưu tú để tham gia lao động Nghĩa trang liệt sĩ Tính xác suất để nhóm chọn có nam nữ, đồng thời khối có học sinh nam Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC CD lấy hai điểm E DF CE = Cạnh BD cắt AF H(11/2; 15/2), cắt AE I(8; 5) Biết điểm A thuộc F cho EB FC đường thẳng 3x + y − 15 = diện tích tam giác AF E 15 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D Câu 9(1,0 điểm) Giải hệ phương trình √ x3 + 2x2 y√= (2x + 1) 2x + y (x, y ∈ R ) 2x3 + 2y 2x + y = 2y + xy + 3x + Câu 10(1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c = 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3(a2 + b2 + c2 ) + 4abc NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) NGUYỄN THÀNH HIỂN www.boxtailieu.net 54 BÀI TOÁN THÁCH ĐẤU Bài số 1: • Tác giả : Ngô Minh Ngọc Bảo • Giải hệ phương trình √ √ √ 2x + y + + x = x + y − + y + √ x3 + y + (x2 + 1)3 + y y + = 3x + 15 √ Bài số 2: t • Tác giả : Trần Hưng     ne • Giải hệ phương trình x−y−1 ilie u y+2 +√ =1 x2 + y − y + 3x y−3 x+1   +√ =0  √ x +1 3x2 + x ta Bài số 3: ox • Tác giả : Trần Quốc Việt Lưu ý : w w b • Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x4 + y + z xy + xz + yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ √ √ √ √ ( xy + yz + xz + xyz)( xy + yz + xz) + P = 4(xy + xz + yz) xyz 2(x + yz)(y + xz)(z + xy) w • Bài giải gõ Word Tex, trình bày rõ ràng gửi vào địa : nhomtoan@yahoo.com, inbox trực tiếp : https://www.facebook.com/HIEN.0905112810 • Lời giải đăng số kèm với danh sách bạn làm tốt • Thời hạn nhận : trước ngày 25 hàng tháng NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net [...]... hình nhiều lần với các bài toán có yếu tố di động trong các trường hợp không phải là “đặc biệt” để dự đoán cho chính xác w Sau đây xin trình bày ví dụ và bài tập: Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , I là giao điểm của AC và BD , K  0;2  thuộc đoạn IA , M và N theo thứ tự là trung điểm của AB , CD và cùng nằm trên đường thẳng d : x  1  0 Q là giao điểm của KM và. .. 0 và điểm D có hoành độ dương Tìm tọa độ điểm D Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AB  2 AD , hai điểm M và N lần lượt thuộc cạnh AB , AD sao cho AM  AN , đường thẳng qua A và vuông góc với  16  4  BN cắt BD tại K  ; 1 , đường thẳng qua M và vuông góc với BN cắt BD tại H  ;1 Biết 9  3  A thuộc đường thẳng 2 x  y  5  0 và có hoành độ nguyên, tìm tọa. ..  2 và điểm A có tung độ dương, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 25 Giải: Dự đoán: AD // BC từ đó cũng suy ra IM  AD (Đề bài cho tam giác ABC không có đặc điểm gì đặc biệt, thêm nữa nhìn vào hình vẽ cũng không cho thấy có góc gì đó đặc biệt, nhưng có vẻ như yếu tố song song là có khả năng nhất với cặp đường thẳng AD và BC ) Chứng minh: Nhìn vào hình. .. B  4;1 , C 1;6  **** Hi vọng qua hai bài toán này, các bạn sẽ có thêm niềm tin để tiếp tục hành trình tiên tri dự đoán các bài toán hình phẳng Oxy của mình Chúc các bạn thành công! Sau đây là một số bài tập rèn luyện khả năng dự đoán của các bạn: Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A  0;2  , H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng AC , E là điểm... Tìm tọa độ các đỉnh A, B , C , D biết đường thẳng NQ đi qua điểm H  4;8 Giải: Dự đoán:Gọi P là giao điểm của IB và NQ , khi đó K và P đối xứng với nhau qua MN (Ở đây các bạn thắc mắc tại sao lại dự đoán như vậy, có lẽ do trực giác mách bảo, vì khi gặp những bài toán “lạ” như thế này thì chỉ có cách nhìn tổng quát hình vẽ và dự đoán, sau đó kiểm nghiệm tính chất bằng cách đo đạc trực tiếp trên hình. .. dụng biến đổi u   EMF  , mà ta lại có: góc và tính chất góc nội tiếp để chứng minh Để AD // BC thì ADF   (tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung), suy ra chỉ cần chứng minh ADF  EAF ta ilie   EMF  , điều này hiển nhiên do A, E , F , M cùng thuộc một đường tròn Vậy ta chứng minh EAF xong và bắt đầu khai thác dữ kiện đề bài IM  AD , biết tọa độ M , biết phương trình đường thẳng AD nên... được các đỉnh của hình vuông bằng cách cho đường tròn tâm I bán kính IA giao với hai đường thẳng IK và IP đã biết Việc còn lại của ta bây giờ là chứng minh dự đoán hay PB KA đi chứng minh Ta thấy QB // IN nên ta  PI KI PB QB “biến đổi ngay” (1) Theo cách như trên ta  PI IN KA , để cũng lợi dụng định lý Ta-lét để biến đổi tỉ số KI làm được điều này ta lợi dụng hai đường thẳng song song có sẵn là MI và. .. được hai điểm I là 1;1 và 1; 3 nhưng do I và N nằm cùng phía so với KP nên I 1;1 , suy ra IA  IB  IC  ID  2 IN  2 2 Phương trình IK : x  y  2  0  tọa w x y 2  0  kết hợp với điều kiện K nằm giữa A và I nên độ A , C là nghiệm của hệ:  2 2  x  1   y  1  8 A  1;3  , C  3; 1 Tương tự: B  3;3 , D  1; 1 Bài toán 2:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác... 23 DỰ ĐOÁN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ OXY ẨN DANH ne t Kể từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ra đề thi chung xét tuyển vào đại học – cao đẳng, bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy đã chiếm một vai trò quan trọng trong đề thi môn Toán Đặc biệt những năm trở lại đây, nó được xếp ở vị trí câu số 8 trong đề thi và ngày càng trở nên khó khăn hơn với các thí sinh để giải quyết... nguyên, tìm tọa độ A Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC , D , E , F lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C , đường thẳng EF có phương trình y  2  0 M  2; 1 là trung điểm của CF , H  3;0 là hình chiếu vuông góc của D lên AB Biết điểm F có hoành độ âm, tìm tọa w w w b ox ta ilie u ne t độ A, B, C NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 27 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ... điểm • Lời giải đăng số kèm với danh sách bạn làm tốt NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) www.boxtailieu.net 03 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀ CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ HÌNH PHẲNG NGUYỄN THÀNH HIỂN A Kiến thức M trung điểm... đề luyện thi Nguyễn Thành Hiển- "Hệ trục tọa độ chứng minh yếu tố hình phẳng. " Nguyễn Văn Phú - THPT Mỹ Đức A, Hà Nội-"Một vài mẹo nhỏ phương pháp liên hợp giải hệ phương trình." Công Dân Lương... trọng phải vẽ hình nhiều lần với toán có yếu tố di động trường hợp “đặc biệt” để dự đoán cho xác w Sau xin trình bày ví dụ tập: Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD