Kiến thức bổ trợ môn toán

SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG TOÁN 11 GIỮA KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian làm bài: 75 phút TRƯỜNG THPT GIAO THỦY B Câu (3 điểm): Tìm giới hạn sau: 2x ( x + 1) b) lim x →−∞ x3 + x + −3 a) lim x →5 x − 25  x2 + x −  Câu (2 điểm): Cho hàm số y= f (x) =  x − x + x + a  ( x + 2x − x) c) xlim →−∞ x >1 x ≤1 a) Với a=-3, xét tính liên tục hàm số xo=1 b) Tìm a để hàm số liên tục tập xác định Câu (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh bên nhau, đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SO = a a) Chứng minh SO ⊥ ( ABCD ) b) Gọi H trực tâm ∆SBC Chứng minh OH ⊥ SB c) Tính góc SO ( SBC ) d) Gọi ( α ) mặt phẳng qua A vuông góc với SC, cắt SB M Tính tỉ số Câu (1 điểm): Chứng minh phương trình: x − sin π π x − cos x=0 2011 2011  −π π  có nghiệm thuộc  ; ÷  2 Hết SM SB ĐÁP ÁN ĐỀ THI TOÁN GIỮA KÌ II NĂM HỌC 2010 – 2011 Câu Đáp án a x + −3 = =xlim →5 x − 25 lim x →5 = lim x →5 = lim x →5 = 1b 1c (x ) ( x + + 3) ( x − 25) ( x + + 3) x + −3 x −5 − 25 ) ( x +4 +3 ( x + 5) ( x +4 +3 ) 0.25 ) 2x ( x + 1) 2x + 2x = lim x →−∞ x →−∞ x +1 x3 + 2+ x = lim x →−∞ 1+ x =2 0.25 0.25 lim lim ( x + 2x − x) = lim ( x + x →−∞ = lim (− x + x →−∞ lim x = −∞, x →−∞ 0,5 − x) x 2 − x) = lim x( − + − 1) x →−∞ x x lim ( − + x →−∞ − 1) = −2 x x →1 0.25 x →1 ⇒ hàm số không liên tục xo=1 * Khẳng định hàm số liên tục với x ≠ lim f (x) = lim+ ( x + ) = * Tại x=1 0.25 0.25 * lim− f (x) = lim− ( x + x − ) = −1 2b 0.25 0.25 * lim+ f (x) = lim+ ( x + ) = x →1 0.25 0.25 0.25 ⇒ kết +∞ * TXĐ D=R, xo∈ D x →1 0,25 0.25 60 x →−∞ 2a ( Biểu điểm x →1+ x →1 x →1− x →1 0.25 0.25 0.25 lim f (x) = lim− ( x + x + a ) = + a f ( 1) = a + 0.25 Hàm số liên tục x=1 a=1 0.25 3a 3b * Kết luận a=1 Ta có SA=SB=SC=SD ⇒ tam giác SAC, SBD cân 0.5 ⇒ SO ⊥ AC BD điều kiện 0.25 0.25 ⇒ SO ⊥ (ABCD) * AC ⊥ SO, BD ⇒ AC⊥ (SBD) 0.25 0.25 ⇒ AC⊥ SB Mà SB⊥CH ⇒ SB⊥(CHO) 0.25 ⇒ SB⊥ OH 3c 0.25 BC⊥ SH SO ⇒ BC ⊥ (SOH) ⇒ BC ⊥ OH 0.25 Mà OH ⊥ SB ⇒ OH ⊥ (SBC) 0.25 ⇒ hình chiếu SO lên (SBC) SH góc SO (SBC) góc OSH =ϕ 0.25 Gọi K trung điểm BC ⇒ OK = a/2 ⇒ tan ϕ= 3d 1 ⇒ ϕ = arctan 6 0.25 Kẻ AI qua A vuông góc với SC, cắt SC I 0.25 Trong (SBC) kẻ IM ⊥ SC cắt SB M Chứng minh tam giác SAC (Sử dụng Pitago, cạnh = a ) , SB=SC= a ⇒ AI trung tuyến ⇒ I trung điểm SC ⇒ SI = Trong tam giác SBC có cosS = SB2 + SC − BC = 2SB.SC Tam giác vuông SIM có cosS = SI 2a = ⇒ SM = SM SM = SB Đặt f(x)=VT ⇒ a 2 0.25 0.25 0.25 0.25  3 * f(x) liên tục 0;   2 0.25 −1 < 0,  π 3 1  π 3 f( ) = − sin  ÷+ − cos  ÷>  2011  2  2011  ⇒ f ( ) f( ) < f ( 0) = 0.25  3 ⇒ phương trình f(x)=0 có nghiệm thuộc  0; ÷  2    −π π  Mà  0; ÷ ⊂  ; ÷  2  2 0.25 ⇒ đpcm S I D H M C K O A B ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI TOÁN GIỮA KÌ II NĂM HỌC 2010 – 2011 Câu Đáp án a x + −3 = =xlim →5 x − 25 lim x →5 = lim x →5 =