hoc sinh gioi tinh ( HAY)

Chuyên đề: Bất đẳng thức Tác giả : Nguyễn Văn Thủy su tập biên soạn năm 2000 chỉnh sửa năm :2007 Bác tặng cháu - chúc cháu thành công A- Mở đầu: Bất đẳng thức mảng kiến thức khó toán học phổ thông Nhng thông qua tập chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ sâu sắc giải biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên hệ yếu tố tam giác tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Trong trình giải tập , lực suy nghĩ , sáng tạo học sinh đợc phat triển đa dang phong phú tập bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc khuôn mẫu Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách lôgíc có hệ thống Cũng toán bất đẳng thức cách giải mẫu , không theo phơng pháp định nên học sinh rât lúng túng giải toán bất đẳng thức học sinh không theo hơng Do hầu hết học sinh làm toán bất đẳng thứcvà vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Trong thực tế giảng dạy toán trờng THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức vào giải tập có liên quan công việc quan trọngvà thiếu đợc ngời dạy toán ,thông qua rèn luyện T lôgic khả sáng tạo cho học sinh Để làm đợc điều ngời thầy giáo phải cung cấp cho học sinh số kiến thức số phơng pháp suy nghĩ ban đầu bất đẳng thức Chính lí nên tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt Danh mục chuyên đề S.t.t Nội dung Phần mở đầu trang Nội dung chuyên đề Các kiến thức cần lu ý Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức Phơng pháp 1:dùng định nghiã Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc 8 Phơng pháp 4:dùng tính chất bắc cầu 10 Phơng pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số 12 10 Phơng pháp 6: dùng phơng pháp làm trội 14 11 Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác 16 12 Phơng pháp 8: dùng đổi biến 17 13 Phơng pháp 9: Dùng tam thức bậc hai 14 Phơng pháp 10: Dùng quy nạp toán học 18 19 15 Phơng pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng 21 16 Các tập nâng cao 23 17 28 18 ứng dụng bất dẳng thức Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 19 Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng trình 31 20 Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên 33 21 Tài liệu tham khảo 29 B- nội dung Phần : kiến thức cần lu ý 1- Định nghĩa 2- Tính chất 3-Một số bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa 2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phơng pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phơng pháp làm trội 7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phơng pháp đổi biến số 9- Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phơng pháp quy nạp 11- Phơng pháp phản chứng Phần :các tập nâng cao PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên Phần I : kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa 2-tính chất A B A B A B A B + A>B B < A + A>B B >C A > C + A>B A+C >B + C + A>B C > D A+C > B + D + A>B C > A.C > B.C + A>B C < A.C < B.C + < A < B < C B > A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > A > A m > A n + m > n > 1 > A B 3-một số bất đẳng thức + A với A ( dấu = xảy A = ) + An với A ( dấu = xảy A = ) + A với A (dấu = xảy A = ) + -A 0) + A B A B ( dấu = xảy A.B < 0) Phần II : số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A B > Lu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z - xy yz - zx = ( x y ) + ( x z ) + ( y z ) với x;y;z R = ( x + y + z - xy yz zx) [ ] Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z - ( 2xy 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz 2yz =( x y + z) với x;y;z R Vậy x + y + z 2xy 2xz + 2yz với x;y;z R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z +3 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a2 + b2 a + b a) ;b) c) Hãy tổng quát toán a2 + b2 + c2 a + b + c 3 giải a +b a+b a2 + b2 a + 2ab + b = 4 = 2a + 2b a b 2ab = ( a b) a2 + b2 a + b Vậy a) Ta xét hiệu ( ) ( ) Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu a2 + b2 + c2 a + b + c 3 2 = ( a b) + ( b c) + ( c a ) [ a2 + b2 + c2 a + b + c Vậy 3 ] Dấu xảy a = b =c c)Tổng quát a12 + a 22 + + a n2 a1 + a + + a n n n Tóm lại bớc để chứng minh A B tho định nghĩa Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +.+(E+F) Bớc 3:Kết luận A B Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải: m2 m2 m2 m2 mn + n + mp + p + mq + q + m + 2 2 m m m m n + p + q + (luôn đúng) m n =0 m p=0 Dấu xảy m q =0 m = m n = m m=2 p = n = p = q = m q = m = 22 Bài tập bổ xung phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đợc chứng minh Chú ý đẳng thức sau: ( A + B ) = A + AB + B ( A + B + C ) = A + B + C + AB + AC + BC ( A + B ) = A + A B + AB + B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh b2 ab b) a + b + ab + a + b c) a + b + c + d + e a( b + c + d + e ) a) a + Giải: b2 ab 4a + b 4ab 4a 4a + b ( 2a b ) (bất đẳng thức đúng) a) a + b2 ab (dấu xảy 2a=b) b) a + b + ab + a + b 2( a + b + ) > 2(ab + a + b) a 2ab + b + a 2a + + b 2b + (a b) + ( a 1) + (b 1) Bất đẳng thức cuối 2 Vậy a + b + ab + a + b Vậy a + Dấu xảy a=b=1 c) a + b + c + d + e a( b + c + d + e) 4( a + b + c + d + e ) 4a( b + c + d + e ) a 4ab + 4b + a 4ac + 4c + a 4ad + 4d + a 4ac + 4c ( a 2b ) + ( a 2c ) + ( a 2d ) + ( a 2c ) ( ) ( ) ( ) ( Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ( a10 + b10 )( a + b ) ( a + b )( a + b ) Giải: (a 10 )( ) ( )( + b10 a + b a + b a + b ) ) a 12 + a 10 b + a b10 + b12 a 12 + a b + a b + b12 ( ) ( ) a 8b a b + a 2b b a a2b2(a2-b2)(a6-b6) a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x.y Chứng minh x2 + y2 2 x y Giải: x +y 2 :x y nên x- y x2+y2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 x+ 2 y x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh 2 Ví dụ 4: 2 1)CM: P(x,y)= x y + y xy y + x, y R a2 + b2 + c2 a + b + c 2)CM: (gợi ý :bình phơng vế) 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z = 1 + + < x+ y+z x y z Chứng minh :có ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z 1 x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + ) > (vì + + < x+y+z theo gt) số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dơng Nếủ trờng hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trờng hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x + y xy 2 b) x + y xy dấu( = ) x = y = c) ( x + y ) xy a b b a d) + 2)Bất đẳng thức Cô sy: a1 + a + a3 + + a n n a1 a a3 a n n Với > 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (a 2 ) + a22 + + an2 ( x12 + x22 + + 2n ) ( a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: abc A B C abc Nếu A B C a=b=c Dấu xảy A = B = C Nếu aA + bB + cC a + b + c A + B + C 3 aA + bB + cC a + b + c A + B + C 3 b/ ví dụ ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x + y ) xy Tacó ( a + b ) 4ab ; ( b + c ) 4bc ; ( c + a ) 4ac ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 64a b c = ( 8abc ) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu = xảy a = b = c ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 a+b+c=1 2)Cho x,y,z>0 x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 1 CMR: a + b + c (403-1001) CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y )(1 z ) a b c + + b+c c+a a+b 4)Cho x ,y thỏa mãn x y = 10 ;CMR: x+y Giải Ta thấy BĐT (1) với n=1 Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có a+b (1) k +1 a k +1 + b k +1 k a+b a+b a k +1 + b k +1 (2) 2 a k + b k a + b a k +1 + ab k + a k b + b k +1 a k +1 + b k +1 Vế trái (2) = 2 k +1 k +1 k +1 k k k +1 a +b a + ab + a b + b a k b k ( a b ) (3) ( ) Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b giả thiết cho a -b a b k a k b bk (a (a k ) b k ( a b ) k (+) Giả sử a < b theo giả thiết - a , ab+bc+ac > , abc > Chứng minh a > , b > , c > Giải : Giả sử a từ abc > a a < Mà abc > a < cb < Từ ab+bc+ca > a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) > b + c < a < b +c < a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > tơng tự ta có b > , c > Ví dụ 2: Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: , c < 4d a < 4b Giải : Giả sử bất đẳng thức : a < 4b , c < 4d cộng vế ta đợc a + c < 4(b + d ) (1) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) 24 Từ (1) (2) a + c < 2ac hay ( a c ) < (vô lý) Vậy bất đẳng thức a < 4b c < 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > xyz = Chứng minh Nếu x+y+z > 1 + + có ba số lớn x y z Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 x y z =x + y + z ( + + ) xyz = theo giả thiết x+y +z > 1 + + x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dơng Thật ba số dơng x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Vậy có ba số x , y,z lớn Phần iii : tập nâng cao 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = a > 36 Chứng minh Giải Ta có hiệu: a2 + b2+c2- ab- bc ac a2 a2 = + + b2+c2- ab- bc ac 12 25 a2 + b2+c2> ab+bc+ac a2 a2 + b2+c2- ab ac+ 2bc) + 3bc 12 a a 36abc =( -b- c)2 + 12a a a 36abc =( -b- c)2 + >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên 12a = ( Vậy : a2 + b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chứng minh a) x + y + z + x.( xy x + z + 1) b) với số thực a , b, c ta có a + 5b 4ab + 2a 6b + > a + 2b 2ab + 2a 4b + c) Giải : a) Xét hiệu H = x + y + z + x y + x xz x = ( x y ) + ( x z ) + ( x 1) H ta có điều phải chứng minh b) Vế trái viết H = ( a 2b + 1) + ( b 1) + H > ta có điều phải chứng minh c) vế trái viết H = ( a b + 1) + ( b 1) H ta có điều phải chứng minh Ii / Dùng biến đổi tơng đơng 1) Cho x > y xy =1 Chứng minh (x ) + y2 ( x y) Giải : Ta có (x x + y = ( x y ) + xy = ( x y ) + 2 +y ) = ( x y) 2 + 4.( x y ) + Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( x y ) + 4( x y ) + 8.( x y ) ( x y ) 4( x y ) + 26 (vì xy = 1) a >0 ) [( x y ) ] 2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy Chứng minh 1 + 2 1+ x 1+ y + xy Giải : 1 + 2 1+ x 1+ y + xy 1 1 + 2 + x + y + y + xy Ta có xy x xy y + + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) x ( y x) y( x y) + + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y x ) ( xy 1) (1 + x ).(1 + y ).(1 + xy ) BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chứng minh a + b + c Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta có (1.a + 1.b + 1.c ) (1 + + 1).( a + b + c ) ( a + b + c ) 3.( a + b + c ) 27 a2 + b2 + c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c số dơng 1 Chứng minh ( a + b + c ). + + a Giải : c b a a b b c c b c a c a a a b a c b c 3+ + + + + + b a c a c b x y áp dụng BĐT phụ + Với x,y > y x (1) + + + + + + + + Ta có BĐT cuối Vậy ( a + b + c ). + + a b c (đpcm) Iv / dùng phơng pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c a + b3 Vậy a + b < + a b Tơng tự ta có b3 + c < + b 2c a3 + c3 < + c 2a 2a + 2b + 2c < + a 2b + b c + c a (đpcm) 2) So sánh 31 11 17 14 Giải : 11 Ta thấy 3111 < 3211 = ( 25 ) = 255 < 256 Mặt khác 256 = 24.14 = ( 24 ) = 1614 < 1714 Vởy 31 11 < 17 14 (đpcm) 14 V/ dùng tính chất tỉ số 1) Cho a ,b ,c ,d > Chứng minh : 28 (1) 2< Giải : a+b b+c c+d d +a + + + nên ta có a+b a+b a +b+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d b + +c b+c b+c+a < < a+b+c+d b+c+d a+b+c+d d +a d +a d +a+c < < a+b+c+d d +a+b a+b+c+d (1) (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức ta có : 2< a+b b+c c+d d +a + + + , y > Ta có x + x = y x + x = y x = y2 x > Đặt x = k (k nguyên dơng x nguyên dơng ) Ta có k (k + 1) = y 2 Nhng k < k ( k + 1) < ( k + 1) k < y < k +1 Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên dơng Nên cặp số nguyên dơng thoả mãn phơng trình x = y = Vậy phơng trình có nghiệm : Tài liệu tham khảo ************ 1- toán nâng cao chuyên đề đại số -nxb giáo dục 1998 36 Tác giả : Nguyễn Ngọc Đạm Nguyễn Việt Hải Vũ D ơng Thụy 2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10 -nxb Đại học quốc gia hà nội 1998 Tác giả : Phan Duy Khải toán bồi dỡng học sinh đại số -nhà xuất hà nội Tác giả : Vũ Hữu Bình Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều sách giáo khoa đại số 8,9,10 -nxb giáo dục 1998 toán nâng cao đại số 279 toán chọn lọc -nhà xuất trẻ 1995 Tác giả : Võ Đại Mau Giáo trình đại số sơ cấp trờng đhsp i hà nội &&& - 37 [...]... có (1 -a) .(1 -b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1 -a) .(1 -b) > 1-a-b (1 ) Do c 0 ta có (1 -a) .(1 -b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1 -a) .(1 -b) ( 1-c) .(1 -d) > (1 -a-b-c) (1 -d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1 -a) .(1 -b) ( 1-c) .(1 -d) > 1-a-b-c-d ( iều phải chứng minh) ví dụ 4 1- Cho 0 ad+bc ( iều phải chứng minh) ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = Chứng minh 5 3 1 1 1 1 + + < a b c abc Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+ 2( ab ac bc) 0 1 2 2 2 ( a +b +c ) 2 5 1 1 1 ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có + 6 a b c ac+bc-ab 1 abc ví dụ 3 Cho 0 < a,b,c,d 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1 -a) .(1 -b)... minh rằng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có 0 < a < b + c 0 < b < a + c 0 < c < a + b a 2 < a (b + c) 2 b < b( a + c ) c 2 < c ( a + b) Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta có a > b-c a 2 > a 2 (b c) 2 > 0 b > a-c b 2 > b 2 (c a) 2 > 0 c > a-b c 2 > c 2 (a b) 2 > 0 Nhân vế... 4(b + d ) (1 ) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2 ) 24 Từ (1 ) và (2 ) a 2 + c 2 < 2ac hay ( a c ) 2 < 0 (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2 < 4b và c 2 < 4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng Nếu x+y+z > 1 1 1 + + thì có một trong ba số này lớn hơn 1 x y z Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 1 x 1 y 1 z =x + y + z ( + + ) vì ... ( a 2b ) + ( a 2c ) + ( a 2d ) + ( a 2c ) ( ) ( ) ( ) ( Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ( a10 + b10 )( a + b ) ( a + b )( a + b ) Giải: (a 10 )( ) (. .. minh (1 -a) .(1 -b) ( 1-c) .(1 -d) > 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1 -a) .(1 -b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1 -a) .(1 -b) > 1-a-b (1 ) Do c 0 ta có (1 -a) .(1 -b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1 -a) .(1 -b) (. .. y + xy Ta có xy x xy y + + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) x ( y x) y( x y) + + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y x ) ( xy 1) (1 + x ) .(1 + y ) .(1 + xy ) BĐT cuối xy > Vậy ta