80 bài hình học 9 luyện thi vào lớp 10

TUYN TP 80 BI TON HèNH HC LP Bi Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O) Cỏc ng cao AD, BE, CF ct ti H v ct ng trũn (O) ln lt ti M,N,P Chng minh rng: T giỏc CEHD, ni tip Bn im B, C, E, F cựng nm trờn mt ng trũn AE.AC = AH.AD ; AD.BC = BE.AC H v M i xng qua BC Xỏc nh tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF Bi Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), cỏc ng cao AD, BE, ct ti H Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AHE Chng minh t giỏc CEHD ni tip Bn im A, E, D, B cựng nm trờn mt ng trũn Chng minh ED = BC Chng minh DE l tip tuyn ca ng trũn (O) Tớnh di DE bit DH = cm, AH = cm Bi Cho na ng trũn ng kớnh AB = 2R T A v B k hai tip tuyn Ax, By Qua im M thuc na ng trũn k tip tuyn th ba ct cỏc tip tuyn Ax, By ln lt C v D Cỏc ng thng AD v BC ct ti N Chng minh AC + BD = CD ã Chng minh COD = 900 Chng minh AC BD = AB 4 Chng minh OC // BM Chng minh AB l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh CD Chng minh MN AB Xỏc nh v trớ ca M chu vi t giỏc ACDB t giỏ tr nh nht Bi Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), I l tõm ng trũn ni tip, K l tõm ng trũn bng tip gúc A, O l trung im ca IK Chng minh B, C, I, K cựng nm trờn mt ng trũn Chng minh AC l tip tuyn ca ng trũn (O) Tớnh bỏn kớnh ng trũn (O) Bit AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bi Cho ng trũn (O; R), t mt im A trờn (O) k tip tuyn d vi (O) Trờn ng thng d ly im M bt kỡ ( M khỏc A) k cỏt tuyn MNP v gi K l trung im ca NP, k tip tuyn MB (B l tip im) K AC MB, BD MA, gi H l giao im ca AC v BD, I l giao im ca OM v AB Chng minh t giỏc AMBO ni tip Chng minh nm im O, K, A, M, B cựng nm trờn mt ng trũn Chng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chng minh OAHB l hỡnh thoi Chng minh ba im O, H, M thng hng TUYN TP 80 BI TON HèNH HC LP Tỡm qu tớch ca im H M di chuyn trờn ng thng d Bi Cho tam giỏc ABC vuụng A, ng cao AH V ng trũn tõm A bỏn kớnh AH Gi HD l ng kớnh ca ng trũn (A; AH) Tip tuyn ca ng trũn ti D ct CA E Chng minh tam giỏc BEC cõn Gi I l hỡnh chiu ca A trờn BE, Chng minh rng AI = AH Chng minh rng BE l tip tuyn ca ng trũn (A ; AH) Chng minh BE = BH + DE Bi Cho ng trũn (O; R) ng kớnh AB K tip tuyn Ax v ly trờn tip tuyn ú mt im P cho AP > R, t P k tip tuyn tip xỳc vi (O) ti M Chng minh rng t giỏc APMO ni tip c mt ng trũn Chng minh BM // OP ng thng vuụng gúc vi AB O ct tia BM ti N Chng minh t giỏc OBNP l hỡnh bỡnh hnh Bit AN ct OP ti K, PM ct ON ti I; PN v OM kộo di ct ti J Chng minh I, J, K thng hng Bi Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn (M khỏc A, B) Trờn na mt phng b AB cha na ng trũn k tip tuyn Ax Tia BM ct Ax ti I ; tia phõn giỏc ca gúc IAM ct na ng trũn ti E ; ct tia BM ti F tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K 1) Chng minh rng: EFMK l t giỏc ni tip 2) Chng minh rng: AI2 = IM IB 3) Chng minh BAF l tam giỏc cõn 4) Chng minh rng : T giỏc AKFH l hỡnh thoi 5) Xỏc nh v trớ M t giỏc AKFI ni tip c mt ng trũn Bi Cho na ng trũn (O ; R) ng kớnh AB K tip tuyn Bx v ly hai im C v D thuc na ng trũn Cỏc tia AC v AD ct Bx ln lt E, F (F gia B v E) Chng minh AC AE khụng i ã ã Chng minh ABD = DFB Chng minh rng CEFD l t giỏc ni tip Bi 10 Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn cho AM < MB Gi M l im i xng ca M qua AB v S l giao im ca hai tia BM, MA Gi P l chõn ng vuụng gúc t S n AB Gi S l giao im ca MA v SP Chng minh rng PSM cõn Chng minh PM l tip tuyn ca ng trũn Bi 11 Cho tam giỏc ABC (AB = AC) Cnh AB, BC, CA tip xỳc vi ng trũn (O) ti cỏc im D, E, F BF ct (O) ti I , DI ct BC ti M Chng minh rng : Tam giỏc DEF cú ba gúc nhn DF // BC T giỏc BDFC ni tip BD BM = CB CF Bi 12 Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R cú hai ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi Trờn on thng AB ly im M (M khỏc O) CM ct (O) ti N ng thng vuụng gúc vi AB ti M ct tip tuyn ti N ca ng trũn P Chng minh : T giỏc OMNP ni tip T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh CM CN khụng ph thuc vo v trớ ca im M Khi M di chuyn trờn on thng AB thỡ P chy trờn on thng c nh no Bi 13 Cho tam giỏc ABC vuụng A (AB > AC), ng cao AH Trờn na mt phng b BC cha in A , V na ng trũn ng kớnh BH ct AB ti E, Na ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F Chng minh AFHE l hỡnh ch nht BEFC l t giỏc ni tip AE AB = AF AC Bi 14 Cho im C thuc on thng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm V v mt phớa ca AB cỏc na ng trũn cú ng kớnh theo th t l AB, AC, CB v cú tõm theo th t l O, I, K ng vuụng gúc vi AB ti C ct na ng trũn (O) ti E Gi M N theo th t l giao im ca EA, EB vi cỏc na ng trũn (I), (K) 1.Chng minh EC = MN 2.Chng minh MN l tip tuyn chung ca cỏc na ng trũn (I), (K) 3.Tớnh MN 4.Tớnh din tớch hỡnh c gii hn bi ba na ng trũn Bi 15 Cho tam giỏc ABC vuụng A Trờn cnh AC ly im M, dng ng trũn (O) cú ng kớnh MC ng thng BM ct ng trũn (O) ti D, ng thng AD ct ng trũn (O) ti S Chng minh ABCD l t giỏc ni tip Chng minh CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB Gi E l giao im ca BC vi ng trũn (O) Chng minh rng cỏc ng thng BA, EM, CD ng quy Chng minh DM l tia phõn giỏc ca gúc ADE Chng minh im M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE Bi 16 Cho tam giỏc ABC vuụng A.v mt im D nm gia A v B ng trũn ng kớnh BD ct BC ti E Cỏc ng thng CD, AE ln lt ct ng trũn ti F, G Chng minh rng : Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EBD T giỏc ADEC v AFBC ni tip AC // FG Cỏc ng thng AC, DE, FB ng quy Bi 17 Cho tam giỏc u ABC cú ng cao l AH Trờn cnh BC ly im M bt kỡ (M khụng trựng B, C, H ) ; t M k MP, MQ vuụng gúc vi cỏc cnh AB, AC Chng minh APMQ l t giỏc ni tip v hóy xỏc nh tõm O ca ng trũn ngoi tip t giỏc ú Chng minh rng MP + MQ = AH Chng minh OH PQ Bi 18 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB Trờn on thng OB ly im H bt kỡ (H khụng trựng O, B) ; trờn ng thng vuụng gúc vi OB ti H, ly mt im M ngoi ng trũn ; MA v MB th t ct ng trũn (O) ti C v D Gi I l giao im ca AD v BC Chng minh MCID l t giỏc ni tip Chng minh cỏc ng thng AD, BC, MH ng quy ti I Gi K l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc MCID Chng minh KCOH l t giỏc ni tip Bi 19 Cho ng trũn (O) ng kớnh AC Trờn bỏn kớnh OC ly im B tu ý (B khỏc O, C ) Gi M l trung im ca on AB Qua M k dõy cung DE vuụng gúc vi AB Ni CD, K BI vuụng gúc vi CD Chng minh t giỏc BMDI ni tip Chng minh t giỏc ADBE l hỡnh thoi Chng minh BI // AD Chng minh I, B, E thng hng Chng minh MI l tip tuyn ca (O) Bi 20 Cho ng trũn (O; R) v (O; R) cú R > R tip xỳc ngoi ti C Gi AC v BC l hai ng kớnh i qua im C ca (O) v (O) DE l dõy cung ca (O) vuụng gúc vi AB ti trung im M ca AB Gi giao im th hai ca DC vi (O) l F, BD ct (O) ti G Chng minh rng : T giỏc MDGC ni tip Bn im M, D, B, F cựng nm trờn mt ng trũn T giỏc ADBE l hỡnh thoi B, E, F thng hng DF, EG, AB ng quy MF = 1/2 DE MF l tip tuyn ca (O) Bi 21 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB Gi I l trung im ca OA V ng tron tõm I i qua A, trờn (I) ly P bt kỡ, AP ct (O) ti Q Chng minh rng cỏc ng trũn (I) v (O) tip xỳc ti A Chng minh IP // OQ Chng minh rng AP = PQ Xỏc nh v trớ ca P tam giỏc AQB cú din tớch ln nht Bi 22 Cho hỡnh vuụng ABCD, im E thuc cnh BC Qua B k ng thng vuụng gúc vi DE, ng thng ny ct cỏc ng thng DE v DC theo th t H v K 1 Chng minh BHCD l t giỏc ni tip Tớnh gúc CHK Chng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyn trờn cnh BC thỡ H di chuyn trờn ng no? Bi 23 Cho tam giỏc ABC vuụng A Dng ngoi tam giỏc ABC cỏc hỡnh vuụng ABHK, ACDE Chng minh ba im H, A, D thng hng ng thng HD ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti F Chng minh FBC l tam giỏc vuụng cõn ã Cho bit ABC > 450 ; gi M l giao im ca BF v ED Chng minh im B, K, E, M, C cựng nm trờn mt ng trũn Chng minh MC l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC = 450 V ng trũn ng kớnh AC cú Bi 24 Cho tam giỏc nhn ABC cú B tõm O, ng trũn ny ct BA v BC ti D v E Chng minh AE = EB Gi H l giao im ca CD v AE Chng minh rng ng trung trc ca on HE i qua trung im I ca BH 3.Chng minh OD l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip BDE Bi 25 Cho ng trũn (O), BC l dõy bt kỡ (BC < 2R) K cỏc tip tuyn vi ng trũn (O) ti B v C chỳng ct ti A Trờn cung nh BC ly mt im M ri k cỏc ng vuụng gúc MI, MH, MK xung cỏc cnh tng ng BC, AC, AB Gi giao im ca BM, IK l P ; giao im ca CM, IH l Q Chng minh tam giỏc ABC cõn Cỏc t giỏc BIMK, CIMH ni tip Chng minh MI2 = MH.MK Chng minh PQ MI Bi 26 Cho ng trũn (O), ng kớnh AB = 2R V dõy cung CD AB H Gi M l im chớnh gia ca cung CB, I l giao im ca CB v OM K l giao im ca AM v CB Chng minh rng : KC AC = KB AB ã AM l tia phõn giỏc ca CMD T giỏc OHCI ni tip Chng minh ng vuụng gúc k t M n AC cng l tip tuyn ca ng trũn ti M Bi 27 Cho ng trũn (O) v mt im A ngoi ng trũn Cỏc tip tuyn vi ng trũn (O) k t A tip xỳc vi ng trũn (O) ti B v C Gi M l im tu ý trờn ng trũn ( M khỏc B, C), t M k MH BC, MK CA, MI AB Chng minh : T giỏc ABOC ni tip ã ã BAO = BCO MIH MHK MI.MK = MH2 Bi 28 Cho tam giỏc ABC ni tip (O) Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC; E l im i xng ca H qua BC; F l im i xng ca H qua trung im I ca BC Chng minh t giỏc BHCF l hỡnh bỡnh hnh E, F nm trờn ng trũn (O) Chng minh t giỏc BCFE l hỡnh thang cõn Gi G l giao im ca AI v OH Chng minh G l trng tõm ca tam giỏc ABC Bi 29 V BC l mt dõy cung ca ng trũn (O ; R) (BC 2R) im A di ng trờn cung ln BC cho O luụn nm tam giỏc ABC Cỏc ng cao AD, BE, CF ca tam giỏc ABC ng quy ti H Chng minh tam giỏc AEF ng dng vi tam giỏc ABC Gi A l trung im ca BC, Chng minh AH = 2OA Gi A1 l trung im ca EF, Chng minh R.AA1 = AA OA Chng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy v trớ ca A tng EF + FD + DE t giỏ tr ln nht Bi 30 Cho tam giỏc ABC ni tip (O; R), tia phõn giỏc ca gúc BAC ct (O) ti M V ng cao AH v bỏn kớnh OA Chng minh AM l phõn giỏc ca gúc OAH > C Chng minh OAH ã C Gi s B = B ã ã Cho BAC = 600 v OAH = 200 Tớnh: v C ca tam giỏc ABC a) B b) Din tớch hỡnh viờn phõn gii hn bi dõy BC v cung nh BC theo R ã Bi 31 Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip (O; R), bit BAC = 600 Tớnh s o gúc BOC v di BC theo R V ng kớnh CD ca (O; R); gi H l giao im ca ba ng cao ca tam giỏc ABC Chng minh BD // AH v AD // BH Tớnh AH theo R Bi 32 Cho ng trũn (O), ng kớnh AB = 2R Cỏt tuyn MN quay quanh trung im H ca OB Chng minh MN di ng , trung im I ca MN luụn nm trờn mt ng trũn c nh T A k Ax MN, tia BI ct Ax ti C Chng minh t giỏc CMBN l hỡnh bỡnh hnh Chng minh C l trc tõm ca tam giỏc AMN Khi MN quay quanh H thỡ C di ng trờn ng no Cho AM AN = 3R2 , AN = R Tớnh din tớch phn hỡnh trũn (O) nm ngoi tam giỏc AMN Bi 33 Cho tam giỏc ABC ni tip (O; R), tia phõn giỏc ca gúc BAC ct BC ti I, ct ng trũn ti M Chng minh OM BC Chng minh MC2 = MI.MA K ng kớnh MN, cỏc tia phõn giỏc ca gúc B v C ct ng thng AN ti P v Q Chng minh bn im P, C , B, Q cựng thuc mt ng trũn Bi 34 Cho tam giỏc ABC cõn (AB = AC), BC = Cm, chiu cao AH = Cm, ni tip ng trũn (O) ng kớnh AA Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn (O) K ng kớnh CC, t giỏc CACA l hỡnh gỡ? Ti sao? K AK CC t giỏc AKHC l hỡnh gỡ? Ti sao? Tớnh din tớch phn hỡnh trũn (O) nm ngoi tam giỏc ABC Bi 35 Cho ng trũn (O), ng kớnh AB c nh, im I nm gia A v O cho AI = AO K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I, gi C l im tu ý thuc cung ln MN cho C khụng trựng vi M, N v B Ni AC ct MN ti E Chng minh t giỏc IECB ni tip Chng minh tam giỏc AME ng dng vi tam giỏc ACM Chng minh AM2 = AE.AC Chng minh AE AC - AI.IB = AI2 Hóy xỏc nh v trớ ca C cho khong cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc CME l nh nht Bi 36 Cho tam giỏc nhn ABC , K cỏc ng cao AD, BE, CF Gi H l trc tõm ca tam giỏc Gi M, N, P, Q ln lt l cỏc hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn AB, BE, CF, AC Chng minh : Cỏc t giỏc DMFP, DNEQ l hỡnh ch nht Cỏc t giỏc BMND; DNHP; DPQC ni tip Hai tam giỏc HNP v HCB ng dng Bn im M, N, P, Q thng hng Bi 37 Cho hai ng trũn (O) v (O) tip xỳc ngoi ti A K tip tuyn chung ngoi BC, B (O), C (O) Tip tuyn chung ti A ct tip tuyn chung ngoi BC I Chng minh cỏc t giỏc OBIA, AICO ni tip ã Chng minh BAC = 900 Tớnh s o gúc OIO Tớnh di BC bit OA = 9cm, OA = 4cm Bi 38 Cho hai ng trũn (O) ; (O) tip xỳc ngoi ti A, BC l tip tuyn chung ngoi, B(O), C (O) Tip tuyn chung ti A c tip tuyn chung ngoi BC M Gi E l giao im ca OM v AB, F l giao im ca OM v AC Chng minh : Chng minh cỏc t giỏc OBMA, AMCO ni tip T giỏc AEMF l hỡnh ch nht 3 ME.MO = MF.MO OO l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh BC BC l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh OO Bi 39 Cho ng trũn (O) ng kớnh BC, dy AD vuụng gúc vi BC ti H Gi E, F theo th t l chõn cỏc ng vuụng gúc k t H n AB, AC Gi ( I ), (K) theo th t l cỏc ng trũn ngoi tip tam giỏc HBE, HCF Hóy xỏc nh v trớ tng i ca cỏc ng trũn (I) v (O) ; (K) v (O) ; (I) v (K) T giỏc AEHF l hỡnh gỡ ? Vỡ ? Chng minh AE AB = AF AC Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai ng trũn (I) v (K) Xỏc nh v trớ ca H EF cú di ln nht Bi 40 Cho na ng trũn ng kớnh AB = 2R T A v B k hai tip tuyn Ax, By Trờn Ax ly im M ri k tip tuyn MP ct By ti N Chng minh tam giỏc MON ng dng vi tam giỏc APB Chng minh AM BN = R2 S MON R Tớnh t s S AM = APB Tớnh th tớch ca hỡnh na hỡnh trũn APB quay quanh cnh AB sinh Bi 41 Cho tam giỏc u ABC , O l trung in ca BC Trờn cỏc cnh AB, AC ln ã lt ly cỏc im D, E cho DOE = 600 1) Chng minh tớch BD CE khụng i 2) Chng minh hai tam giỏc BOD; OED ng dng T ú suy tia DO l tia phõn giỏc ca gúc BDE 3) V ng trũn tõm O tip xỳc vi AB Chng minh rng ng trũn ny luụn tip xỳc vi DE Bi 42 Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú cnh ỏy nh hn cnh bờn, ni tip ng trũn (O) Tip tuyn ti B v C ln lt ct AC, AB D v E Chng minh : BD2 = AD.CD T giỏc BCDE ni tip BC song song vi DE Bi 43 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB, im M thuc ng trũn V im N i xng vi A qua M, BN ct (O) ti C Gi E l giao im ca AC v BM Chng minh t giỏc MNCE ni tip Chng minh NE AB Gi F l im i xng vi E qua M Chng minh FA l tip tuyn ca (O) Chng minh FN l tip tuyn ca ng trũn (B; BA) Bi 44 AB v AC l hai tip tuyn ca ng trũn tõm O bỏn kớnh R (B, C l tip im ) V CH vuụng gúc AB ti H, ct (O) ti E v ct OA ti D Tuyển tập 80 toán hình học lớp Chng minh CO = CD Chng minh t giỏc OBCD l hỡnh thoi Gi M l trung im ca CE, BM ct OH ti I Chng minh I l trung im ca OH Tip tuyn ti E vi (O) ct AC ti K Chng minh ba im O, M, K thng hng Bi 45 Cho tam giỏc cõn ABC ( AB = AC) ni tip ng trũn (O) Gi D l trung im ca AC; tip tuyn ca ng trũn (O) ti A ct tia BD ti E Tia CE ct (O) ti F Chng minh BC // AE Chng minh ABCE l hỡnh bỡnh hnh Gi I l trung im ca CF v G l giao im ca BC v OI ã ã So sỏnh BAC v BGO Bi 46: Cho ng trũn (O) v mt im P ngoi ng trũn K hai tip tuyn PA, PB (A ; B l tip im) T A v tia song song vi PB ct (O) ti C (C A) on PC ct ng trũn ti im th hai D Tia AD ct PB ti E a Chng minh EAB ~ EBD b Chng minh AE l trung tuyn ca PAB Bi 47: Cho ABC vuụng A Ly trờn cnh AC mt im D Dng CE vuụng gúc BD a Chng minh ABD ~ ECD b Chng minh t giỏc ABCE l t giỏc ni tip c Chng minh FD vuụng gúc BC, ú F l giao im ca BA v CE ã d Cho ABC = 600; BC = 2a; AD = a Tớnh AC; ng cao AH ca ABC v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip t giỏc ADEF ã Bi 48: Cho ABC vuụng ( ABC = 900; BC > BA) ni tip ng trũn ũng kớnh AC K dõy cung BD vuụng gúc AC H l giao im AC v BD Trờn HC ly im E cho E i xng vi A qua H ng trũn ng kớnh EC ct BC ti I (I C) a Chng minh CI CE = CB CA b Chng minh D; E; I thng hng c Chng minh HI l mt tip tuyn ca ng trũn ng kớnh EC H ct (O; R) Bi 49: Cho ng trũn (O; R) v mt ng thng (d) c nh khụng H OH (d) (H d) M l mt im thay i trờn (d) (M H) T M k tip tuyn MP v MQ (P, Q l tip im) vi (O; R) Dõy cung PQ ct OH I; ct OM K a Chng minh im O, Q, H, M, P cựng nm trờn ng trũn b Chng minh IH.IO = IQ.IP ã c Gi s PMQ = 600 Tớnh t s din tớch tam giỏc: MPQv OPQ Bi 50: Cho na ng trũn (O), ng kớnh AB =2R Trờn tia i ca tia AB ly im E (E A) T E, A, B k cỏc tip tuyn vi na ng trũn Tip tuyn k t E ct hai tip tuyn k t A v B theo th t ti C v D Su tm Tuyển tập 80 toán hình học lớp a Gi M l tip im ca tip tuyn k t E ti na ng trũn Chng minh t giỏc ACMO ni tip c mt ng trũn b Chng minh EAC ~ EBD, t ú suy DM CM = DE CE c Gi N l giao im ca AD v BC Chng minh MN // BD d Chng minh: EA2 = EC.EM EA.AO ã e t AOC = Tớnh theo R v cỏc on AC v BD Chng t rng tớch AC.BD ch ph thuc giỏ tr ca R, khụng ph thuc vo Bi 51: Cho ABC cú gúc nhn Gi H l giao im ca ng cao AA 1; BB1; CC1 a Chng minh t giỏc HA1BC1 ni tip c ng trũn Xỏc nh tõm I ca ng trũn y b Chng minh A1A l phõn giỏc ca ãB1A1C1 c Gi J l trung im ca AC Chng minh IJ l trung trc ca A1C1 d Trờn on HC ly im M cho MH = So sỏnh din tớch ca tam MC giỏc: HAC v HJM Bi 52: Cho im C c nh trờn mt ng thng xy Dng na ng thng Cz vuụng gúc vi xy v ly trờn ú im c nh A, B (A gia C v B) M l mt im di ng trờn xy ng vuụng gúc vi AM ti A v vi BM ti B ct ti P a Chng minh t giỏc MABP ni tip c v tõm O ca ng trũn ny nm trờn mt ng thng c nh i qua im gia L ca AB b K PI Cz Chng minh I l mt im c nh c BM v AP ct H ; BP v AM ct K Chng minh rng KH PM d Cho N l trung im ca KH Chng minh cỏc im N; L; O thng hng z Bi 53: Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB v K l im chớnh gia ca cung AB Trờn cung AB ly mt im M (khỏc K; B) Trờn tia AM ly im N cho AN = BM K dõy BP song song vi KM Gi Q l giao im ca cỏc ng thng AP, BM a So sỏnh hai tam giỏc: AKN v BKM b Chng minh: KMN vuụng cõn c T giỏc ANKP l hỡnh gỡ ? Vỡ ? Bi 54: Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R, cú hai ng kớnh AB, CD vuụng gúc vi M l mt im tu ý thuc cung nh AC Ni MB, ct CD N a Chng minh: tia MD l phõn giỏc ca gúc AMB b Chng minh:BOM ~ BNA Chng minh: BM.BN khụng i c Chng minh: t giỏc ONMA ni tip Gi I l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc ONMA, I di ng nh th no? Bi 55: Cho ABC cõn (AB = AC) ni tip mt ng trũn (O) Gi D l trung im ca AC; tia BD ct tip tuyn ti A vi ng trũn (O) ti im E; EC ct (O) ti F a Chng minh: BC song song vi tip tuyn ca ng trũn (O) ti A b T giỏc ABCE l hỡnh gỡ? Ti sao? Su tm 10 Tuyển tập 80 toán hình học lớp c Gi I l trung im ca CF v G l giao im ca cỏc tia BC; OI So sỏnh ã ã vi BAC BGO ã d Cho bit DF // BC Tớnh cos ABC Bi 56: Cho ng trũn (O) v (O) ct ti hai im A v B Cỏc ng thng AO ; AO ct ng trũn (O) ln lt ti cỏc im C; D v ct (O) ln lt ti E ; F a Chng minh: C; B; F thng hng b Chng minh: T giỏc CDEF ni tip c c Chng minh: A l tõm ng trũn ni tip BDE d Tỡm iu kin DE l tip tuyn chung ca (O) v (O) Bi 57: Cho ng trũn (O; R) cú ng kớnh c nh AB CD a) Chng minh: ACBD l hỡnh vuụng b) Ly im E di chuyn trờn cung nh BC (E B; E C) Trờn tia i ca tia ã EA ly on EM = EB Chng t: ED l tia phõn giỏc ca AEB v ED // MB c) Suy CE l ng trung trc ca BM v M di chuyn trờn ng trũn m ta phi xỏc nh tõm v bỏn kớnh theo R C thng v phớa Bi 58: Cho ABC u, ng cao AH Qua A v mt ng ngoi ca tam giỏc, to vi cnh AC mt gúc 40 ng thng ny ct cnh BC kộo di D ng trũn tõm O ng kớnh CD ct AD E ng thng vuụng gúc vi CD ti O ct AD M a Chng minh: AHCE ni tip c Xỏc nh tõm I ca ng trũn ú b Chng minh: CA = CM c ng thng HE ct ng trũn tõm O K, ng thng HI ct ng trũn tõm I N v ct ng thng DK P Chng minh: T giỏc NPKE ni tip Bi 59: BC l mt dõy cung ca ng trũn (O; R) (BC 2R) im A di ng trờn cung ln BC cho O luụn nm ABC Cỏc ng cao AD; BE; CF ng quy ti H a Chng minh:AEF ~ ABC b Gi A l trung im BC Chng minh: AH = 2.AO c Gi A1 l trung im EF Chng minh: R.AA1 = AA.OA d Chng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.S ABC Suy v trớ im A tng (EF + FD + DE) t GTLN Bi 60: Cho ng trũn tõm (O; R) cú AB l ng kớnh c nh cũn CD l ng kớnh thay i Gi () l tip tuyn vi ng trũn ti B v AD, AC ln lt ct () ti Q v P a Chng minh: T giỏc CPQD ni tip c b Chng minh: Trung tuyn AI ca AQP vuụng gúc vi DC c Tỡm hp cỏc tõm E ca ng trũn ngoi tip CPD < 900), mt cung trũn BC nm bờn Bi 61: Cho ABC cõn (AB = AC; A ABC tip xỳc vi AB, AC ti B v C Trờn cung BC ly im M ri h cỏc ng vuụng gúc MI, MH, MK xung cỏc cnh tng ng BC, CA, AB Gi Q l giao im ca MB, IK a Chng minh: Cỏc t giỏc BIMK, CIMH ni tip c ã b Chng minh: tia i ca tia MI l phõn giỏc HMK Su tm 11 Tuyển tập 80 toán hình học lớp c Chng minh: T giỏc MPIQ ni tip c PQ // BC Bi 62: Cho na ng trũn (O), ng kớnh AB, C l trung im ca cung AB; N l trung im ca BC ng thng AN ct na ng trũn (O) ti M H CI AM (I AM) a Chng minh: T giỏc CIOA ni tip c ng trũn b Chng minh: T giỏc BMCI l hỡnh bỡnh hnh ã ã c Chng minh: MOI = CAI d Chng minh: MA = 3.MB = 600 ni tip ng trũn (O), ng cao AH ct Bi 63: Cho ABC cú A ng trũn D, ng cao BK ct AH E ã ã a Chng minh: BKH = BCD ã b Tớnh BEC c Bit cnh BC c nh, im A chuyn ng trờn cung ln BC Hi tõm I ca ngtrũn ni tip ABC chuyn ng trờn ng no ? Nờu cỏch dng ng ú (ch nờu cỏch dng) v cỏch xỏc nh rừ nú (gii hn ng ú) d Chng minh : IOE cõn I Bi 64: Cho hỡnh vuụng ABCD, phớa hỡnh vuụng dng cung mt phn t ng trũn tõm B, bỏn kớnh AB v na ng trũn ng kớnh AB Ly im P bt k trờn cung AC, v PK AD v PH AB Ni PA, ct na ng trũn ng kớnh AB ti I v PB ct na ng trũn ny ti M Chng minh rng: a I l trung im ca AP b Cỏc ng PH, BI v AM ng quy c PM = PK = AH d T giỏc APMH l hỡnh thang cõn Bi 65: Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R K tia tip tuyn Bx, M l im thay i trờn Bx; AM ct (O) ti N Gi I l trung im ca AN a Chng minh: T giỏc BOIM ni tip c ng trũn b Chng minh : IBN ~ OMB c Tỡm v trớ ca im M trờn tia Bx din tớch tam giỏc AIO cú GTLN Bi 66: Cho ABC u, ni tip ng trũn (O; R) Gi AI l mt ng kớnh c nh v D l im di ng trờn cung nh AC (D A v D C) ã a Tớnh cnh ca ABC theo R v chng t AI l tia phõn giỏc ca BAC b Trờn tia DB ly on DE = DC Chng t CDE u v DI CE c Suy E di ng trờn ng trũn m ta phi xỏc nh tõm v gii hn d Tớnh theo R din tớch ADI lỳc D l im chớnh gia cung nh AC Bi 67: Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a Trờn AD v DC, ngi ta ly cỏc a im E v F cho : AE = DF = a So sỏnh ABE v DAF Tớnh cỏc cnh v din tớch ca chỳng b Chng minh AF BE c Tớnh t s din tớch AIE v BIA; din tớch AIE v BIA v din tớch cỏc t giỏc IEDF v IBCF = 450 V cỏc ng cao BD v CE Bi 68: Cho ABC cú cỏc gúc u nhn; A Gi H l giao im ca BD, CE Su tm 12 Tuyển tập 80 toán hình học lớp a Chng minh: T giỏc ADHE ni tip c ng trũn.; b Chng minh: HD = DC c Tớnh t s: DE BC d Gi O l tõm ng trũn ngoi tip ABC Chng minh: OA DE Bi 69: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú nh D nm trờn ng trũn ng kớnh AB H BN v DM cựng vuụng gúc vi ng chộo AC Chng minh: a T giỏc CBMD ni tip c ng trũn ã ã b Khi im D di ng trờn ng trũn thỡ ( BMD + BCD ) khụng i c DB.DC = DN.AC Bi 70: Cho ABC ni tip ng trũn (O) Gi D l im chớnh gia cung nh BC Hai tip tuyn ti C v D vi ng trũn (O) ct ti E Gi P, Q ln lt l giao im ca cỏc cp ng thng AB v CD ; AD v CE Chng minh: a BC // DE b Cỏc t giỏc CODE, APQC ni tip c c T giỏc BCQP l hỡnh gỡ? Bi 71: Cho ng trũn (O) v (O) ct ti A v B; cỏc tip tuyn ti A ca cỏc ng trũn (O) v (O) ct ng trũn (O) v (O) theo th t ti C v D Gi P v Q ln lt l trung im ca cỏc dõy AC v AD Chng minh: a ABD ~ CBA ã ã b BQD = APB c T giỏc APBQ ni tip Bi 72: Cho na ng trũn (O), ng kớnh AB T A v B k tip tuyn Ax v By Qua im M thuc na ng trũn ny, k tip tuyn th ba, ct cỏc tip tuyn Ax v By ln lt E v F a Chng minh: AEMO l t giỏc ni tip c b AM ct OE ti P, BM ct OF ti Q T giỏc MPOQ l hỡnh gỡ? Ti sao? c K MH AB (H AB) Gi K l giao im ca MH v EB So sỏnh MK vi KH d.Cho AB = 2R v gi r l bỏn kớnh ng trũn ni tip EOF Chng minh: r < < R Bi 73: T im A ngoi ng trũn (O) k tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn AKD cho BD//AC Ni BK ct AC I a Nờu cỏch v cỏt tuyn AKD cho BD//AC b Chng minh: IC2 = IK.IB ã c Cho BAC = 600 Chng minh: Cỏt tuyn AKD i qua O Bi 74: Cho ABC cõn A, gúc A nhn ng vuụng gúc vi AB ti A ct ng thng BC E K EN AC Gi M l trung im BC Hai ng thng AM v EN ct F a Tỡm nhng t giỏc cú th ni tip ng trũn Gii thớch vỡ sao? Xỏc nh tõm cỏc ng trũn ú ã b Chng minh : EB l tia phõn giỏc ca AEF c Chng minh: M l tõm ng trũn ngoi tip AFN Su tm 13 Tuyển tập 80 toán hình học lớp Bi 75: Cho na ng trũn tõm (O), ng kớnh BC im A thuc na ng trũn ú Dng hỡnh vuụng ABED thuc na mt phng b AB, khụng cha nh C Gi F l giao im ca AE v na ng trũn (O) K l giao im ca CF v ED a Chng minh: Bn im E, B, F, K nm trờn mt ng trũn b BKC l tam giỏc gỡ ? Vỡ ? c Tỡm qu tớch im E A di ng trờn na ng trũn (O) Bi 76: Cho ABC vuụng ti C, cú BC = AB Trờn cnh BC ly im E (E khỏc B v C) T B k ng thng d vuụng gúc vi AE, gi giao im ca d vi AE, AC kộo di ln lt l I, K ã a Tớnh ln gúc CIK b Chng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE AC.CK c Gi H l giao im ca ng trũn ng kớnh AK vi cnh AB Chng minh : H, E, K thng hng d Tỡm qu tớch im I E chy trờn BC Bi 77: Cho ABC vuụng A Na ng trũn ng kớnh AB ct BC ti D Trờn cung AD ly mt im E Ni BE v kộo di ct AC ti F a Chng minh : CDEF ni tip c ã b Kộo di DE ct AC K Tia phõn giỏc ca CKD ct EF v CD ti M v N ã Tia phõn giỏc ca CBF ct DE v CF ti P v Q T giỏc MPNQ l hỡnh gỡ? Ti sao? c Gi r, r1, r2 theo th t l bỏn kớnh cỏc ng trũn ni tip cỏc tam giỏc ABC, ADB, ADC Chng minh: r2 = r12 + r22 Bi 78: Cho ng trũn (O;R) Hai ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi E l im chớnh gia ca cung nh BC; AE ct CO F, DE ct AB M a Tam giỏc CEF v EMB l cỏc tam giỏc gỡ? b Chng minh: T giỏc FCBM ni tip Tỡm tõm ng trũn ú c Chng minh: Cc ng thng OE, BF, CM ng quy Bi 79: Cho ng trũn (O; R) Dõy BC < 2R c nh v A thuc cung ln BC (A khỏc B, C v khụng trựng im chớnh gia ca cung) Gi H l hỡnh chiu ca A trờn BC; E, F th t l hỡnh chiu ca B, C trờn ng kớnh AA a Chng minh: HE AC b Chng minh: HEF ~ ABC c Khi A di chuyn, chng minh: Tõm ng trũn ngoi tip HEF c nh Bi 80: Cho ABC vuụng A K ng cao AH Gi I, K tng ng l tõm cỏc ng trũn ni tip ABH v ACH 1) Chng minh ABC ~ HIK 2) ng thng IK ct AB, AC ln lt ti M v N a) Chng minh t giỏc HCNK ni tip c mt ng trũn b) Chng minh AM = AN c) Chng minh S AMN Su tm S , ú S, S ln lt l din tớch ABC v 14 Tuyển tập 80 toán hình học lớp Su tm 15 [...]... E ca ng trũn ngoi tip CPD à < 90 0), mt cung trũn BC nm bờn trong Bi 61: Cho ABC cõn (AB = AC; A ABC tip xỳc vi AB, AC ti B v C Trờn cung BC ly im M ri h cỏc ng vuụng gúc MI, MH, MK xung cỏc cnh tng ng BC, CA, AB Gi Q l giao im ca MB, IK a Chng minh: Cỏc t giỏc BIMK, CIMH ni tip c ã b Chng minh: tia i ca tia MI l phõn giỏc HMK Su tm 11 Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 c Chng minh: T giỏc MPIQ ni... IBCF à = 450 V cỏc ng cao BD v CE Bi 68: Cho ABC cú cỏc gúc u nhn; A Gi H l giao im ca BD, CE Su tm 12 Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 a Chng minh: T giỏc ADHE ni tip c trong 1 ng trũn.; b Chng minh: HD = DC c Tớnh t s: DE BC d Gi O l tõm ng trũn ngoi tip ABC Chng minh: OA DE Bi 69: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú nh D nm trờn ng trũn ng kớnh AB H BN v DM cựng vuụng gúc vi ng chộo AC Chng minh: a T...Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 c Gi I l trung im ca CF v G l giao im ca cỏc tia BC; OI So sỏnh ã ã vi BAC BGO ã d Cho bit DF // BC Tớnh cos ABC Bi 56: Cho 2 ng trũn (O) v (O) ct nhau ti hai im A v B Cỏc ng thng AO ;... F a Tỡm nhng t giỏc cú th ni tip ng trũn Gii thớch vỡ sao? Xỏc nh tõm cỏc ng trũn ú ã b Chng minh : EB l tia phõn giỏc ca AEF c Chng minh: M l tõm ng trũn ngoi tip AFN Su tm 13 Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 Bi 75: Cho na ng trũn tõm (O), ng kớnh BC im A thuc na ng trũn ú Dng hỡnh vuụng ABED thuc na mt phng b AB, khụng cha nh C Gi F l giao im ca AE v na ng trũn (O) K l giao im ca CF v ED a Chng... thng IK ct AB, AC ln lt ti M v N a) Chng minh t giỏc HCNK ni tip c trong mt ng trũn b) Chng minh AM = AN c) Chng minh S AMN Su tm 1 S , trong ú S, S ln lt l din tớch ABC v 2 14 Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 Su tm 15 ... ng trũn ú c Chng minh: Cc ng thng OE, BF, CM ng quy Bi 79: Cho ng trũn (O; R) Dõy BC < 2R c nh v A thuc cung ln BC (A khỏc B, C v khụng trựng im chớnh gia ca cung) Gi H l hỡnh chiu ca A trờn BC; E, F th t l hỡnh chiu ca B, C trờn ng kớnh AA a Chng minh: HE AC b Chng minh: HEF ~ ABC c Khi A di chuyn, chng minh: Tõm ng trũn ngoi tip HEF c nh Bi 80: Cho ABC vuụng A K ng cao AH Gi I, K tng ng l tõm cỏc... ct AD M a Chng minh: AHCE ni tip c Xỏc nh tõm I ca ng trũn ú b Chng minh: CA = CM c ng thng HE ct ng trũn tõm O K, ng thng HI ct ng trũn tõm I N v ct ng thng DK P Chng minh: T giỏc NPKE ni tip Bi 59: BC l mt dõy cung ca ng trũn (O; R) (BC 2R) im A di ng trờn cung ln BC sao cho O luụn nm trong ABC Cỏc ng cao AD; BE; CF ng quy ti H a Chng minh:AEF ~ ABC b Gi A l trung im BC Chng minh: AH = 2.AO c ... song song vi tip tuyn ca ng trũn (O) ti A b T giỏc ABCE l hỡnh gỡ? Ti sao? Su tm 10 Tuyển tập 80 toán hình học lớp c Gi I l trung im ca CF v G l giao im ca cỏc tia BC; OI So sỏnh ã ã vi BAC BGO... tm 12 Tuyển tập 80 toán hình học lớp a Chng minh: T giỏc ADHE ni tip c ng trũn.; b Chng minh: HD = DC c Tớnh t s: DE BC d Gi O l tõm ng trũn ngoi tip ABC Chng minh: OA DE Bi 69: Cho hỡnh bỡnh... bỏn kớnh R (B, C l tip im ) V CH vuụng gúc AB ti H, ct (O) ti E v ct OA ti D Tuyển tập 80 toán hình học lớp Chng minh CO = CD Chng minh t giỏc OBCD l hỡnh thoi Gi M l trung im ca CE, BM ct OH