CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài Cho hàm số f ( x ) = x x − Vấn đề Tính đồng biến, nghịch biến hàm số b)Chứng minh phương trình x x − = 11 có nghiệm Bài Cho hàm số f ( x ) = sin x + cos x • Tính đơn điệu hàm số: + Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng (a;b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) + Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng (a;b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) • Chú ý + Điều kiện để tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c không đổi dấu y = f ( x) R: e) y= x− x b) đồng biến khoảng (a,b) d) y = x + y = 4− x f) a) Hàm số y= x a) b) m −1 x + m.x + (3m − 2).x đồng biến R Bài 13 Tìm m để hàm số (m + 1) x − 2mx − (m − m + 2) y= x−m nghịch biến tập xác định đồng biến khoảng xác Bài 14 Tìm m để hàm số − x2 − 2x + y= x +1 biến khoảng (1; +∞) nghịch biến khoảng xác định Bài Chứng minh hàm số sau đồng biến y = x − x + 17 x + y = x3 + x − cos x − Bài 11 Với giá trị a, hàm số Bài 12 Tìm m để hàm số định nó; b) Hàm số x π t anx > x + , ∀x ∈ (0; ) π t anx ≤ x, ∀x ∈ [0; ] π y = − x + x + (2a + 1) x − 3a + nghịch biến ¡ Bài Chứng minh x−2 y= x+2 π ;π ] π ] nghịch 3 Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y = x + x + b) y = x − x − y = x3 − x + x + biến đoạn [ a) với a ≤ x1 ≤ b ⇒ f (a ) ≤ f ( x1 ) ≤ f (b) c) a)Chứng minh hàm số đồng biến đoạn [0; [2; +∞) b)Chứng minh với m ∈ (−1;1) , phương trình sin x + cos x = m có nghiệm thuộc đoạn [0; π ] Bài 10 Chứng minh: a > f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ a < f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ + Hàm số a)Chứng minh hàm số f đồng biến nửa khoảng R: Bài Với giá tri m hàm số y = mx − x nghịch a)Chứng minh hàm số đồng biến nửa khoảng [0; π • Cực trị hàm số: + Hàm số y = f ( x ) đạt cực trị x0 y '( x0 ) = + Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x0 đạo hàm đổi dấu từ + sang – qua + Hàm số y = x3 + mx + x + đồng biến R Bài Cho hàm số f ( x ) = 2s inx + t anx − x y' π ) b)Chứng minh s inx + t anx > x, ∀x ∈ (0; ) Bài Tìm m để hàm số y = x + x + ( m + 1) x + 4m nghịch biến khoảng (-1;1) đồng Vấn đề Cực trị - GTLN, GTNN hàm số đoạn [ a; b ] y' biến R ? Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số x − 2mx + m + y= x−m y = f ( x) x0 đạt cực tiểu đổi dấu từ – sang + qua x0 đạo hàm x0 • Phương pháp tìm GTLN, GTNN: Cách 1: Lập bảng biến thiên hàm số đoạn [a;b] Cách 2: Tìm điểm cực trị thuộc đoạn [a;b] tính giá trị hàm số a, b điểm cực trị tìm để suy GTLN, GTNN • Chú ý Cách tìm cực trị hàm số: Dùng đạo hàm cấp 2: Nếu y ''( x0 ) < x0 điểm cực đại Nếu y ''( x0 ) < x0 điểm cực tiểu Bài Tìm cực trị hàm số sau: a) y = x − x + 12 x + Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y = sin x + cos x b) y = −5 x + x − x + b) y = + cos x + c) y = 3x − x − 24 x + 48 x − y = x −3+ x−2 x + x − 24 f ( x) = x2 − x f ( x) = x +4 f ( x) = x − x f ( x) = x − x + Bài Tìm m để hàm số sau có cực trị: d) e) g) h) i) 1 cos x + cos 3x π 0≤ x≤ c) y = x + cos x x π π d) y = + sin x, x ∈ − ; 2 a) x + 2m x + m y= x +1 b) y = (m + 2).x + x + m.x − x + 2mx − m c) y = x+m d) y = x + mx + ( m + 6).x − ( 2m + 1) Bài 10 Tìm m để hàm số f ( x ) = x − 3mx + 4m Bài Tìm cực trị hàm số sau: a) y = sin x − cos x, x ∈ [0; π ] b) y = 2s inx+cos2 x, x ∈ [0; π ] Bài Tìm hệ số a, b, c cho hàm số có y = x3 + ax + bx + c đạt cực tiểu điểm x = 1, f (1) = −3 đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Bài 11 Cho (Cm) : tung độ Bài Tìm số thực p q cho hàm số f ( x) = x + p + f (−2) = −2 q x +1 đạt cực đại điểm y = mx − 3mx + (2m + 1) x + − m x = −2 y = x + x − x + đoạn [-4;4] b) y = x − x + 16 đoạn [-1;3] x c) y = nửa khoảng (-2;4] x+2 d) y = x + x − đoạn [-3;1] e) y = x + + khoảng (1; +∞) x −1 a) f) Bài Tìm GTLN GTNN hàm số sau: a) y = cos3 x − 6cos x + cos x + c) b) y = cos 2 x − sin x cos x + y = sin x − cos2x + sin x + d) y = sin x + cos x + e) y = x − sin x đoạn [ − π ; π ] ) (1) (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị Bài 13 Tìm m để hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1) x + m đạt cực tiểu x = Bài 14 Tìm m để hàm số y = mx + 3mx − (m − 1) x − cực trị Bài 15 Tìm m để hàm số f ( x) = mx + (m − 1) x + (1 − 2m) có x 1− x + y 1− y Vấn đề Khảo sát vẽ đồ thị hàm số I Hàm số đa thức bậc ba: y = ax + bx + cx + d bậc bốn y = ax + bx + c , a ≠ điểm đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng y = m Bài Cho x,y > , x+y=1 Tìm GTNN • Các bước khảo sát hàm số đa thức: • Chú ý + Số nghiệm phương trình f ( x) = m số giao S= ( cực trị f ( x) = x − x có cực đại cực tiểu CMR đường thẳng qua CĐ CT qua điểm cố định Bài 12 Cho hàm số y = mx + m − x + 10 Bài Tìm GTLN GTNN hàm số sau: Tìm m để (Cm ) + Biến đổi đồ thị y = f ( x) y = f ( x ) Bài Cho hàm số y = x − 3mx − 6mx Bài Cho hàm số a)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=1/4 đường thẳng (d): biệt y = x − x + x − (C) Tìm m để y = mx − 2m − cắt (C) điểm phân y = x + (m − 1) x + x − m − (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt b)Tìm a để phương trình x − x − x = a có nghiệm phân biệt Bài Cho hàm số : c)Biện luận theo a số nghiệm phương trình: có hoành độ dương (Cm ) Tìm m để Bài Cho hàm số x − x − x − 4a = (Cm ) Tìm m để x4 Bài Cho hàm số y = − 3x + 2 Bài Cho hàm số a)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b)Tìm để phương trình sau có nghiệm phân biệt Tìm m để y = x − 3(m + 1) x + 2(m + 4m + 1) x − 4m(m + 1) (Cm ) (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn x − x + = m − 2m y = x − 3(m + 1) x + 6mx − (Cm ) cắt trục hoành điểm y = x − x − x + m (Cm ) Xác Bài Cho hàm số Bài Cho hàm số định m để y = x − 3mx + 2m(m − 4) x + 9m − m (Cm ) cắt trục hoành điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Bài Tìm m để đồ thị hàm số b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm tạo thành y = x − 3mx + (3m − 1) x + 6m − cắt trục hoành cấp số cộng ba điểm phân biệt có hoành độ 2 Bài Cho hàm số y = x − mx − x + m + x , x , x : x + x + x + x x x = 20 3 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân 2 biệt x1 , x2 , x3 : x1 + x2 + x3 > 15 Bài Cho hàm số y = 3x − 2(m + 1) x + 3m − 3 y = x − mx + (2m + 1) x − m − Bài 10 Cho hàm số Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định A trục hoành Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn hệ thức ; 2 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = OA OA 19 b) Tìm m cho đồ thị cắt trục hoành hai điểm A, ÷ + ÷ = OB OC 48 B cho AB = Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 11 Cho (C) : y = x x + x + − x = − x + 9x + m x3 Bài Cho hàm số y = − x + 3x + ( + d đường thẳng qua A(-1; ) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) ba điểm phân biệt Trong trường hợp này, tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng nối hai giao điểm lưu động k thay đổi (C) a.Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b.Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương trình : x − x + x + − m = Bài 12 Cho hàm số c Tìm m để phương trình: ) x − x + x + = 2m có ba nghiệm phân biệt y = − x4 + x2 − (C) a.Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b.Tìm m để phương trình x − x + = m có nghiệm thực phân biệt Bài 13 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − Tìm m để đồ thị cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có (C) đường thẳng hoành độ nhỏ d qua gốc tọa độ O có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) Bài 14 Cho hàm số y = − x + 2( m + 2) x − 2m − điểm phân biệt O, A, B cho AB = 17 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Bài Tìm m để đường thẳng d : y = x + cắt đồ thị Bài Cho hàm số (Cm) : y = x3 − 3x + x y = x + 2mx + (m + 4) x + ba điểm A(0;4) , B, C cho tam giác IBC có diện tích với I( 3;1) II Hàm số phân thức hữu tỉ : y = y= ax + b cx + d ax +bx+c dx + e f ( x) = g ( x) có nghiệm f '( x) = g '( x) y= x−2 x +1 a)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b)Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x + y= Bài Cho hàm số : x − 2x + x −1 (C) a)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b)Viết PTTT (C ) song song với đường thẳng x + y = Bài Cho hàm số : x2 − x + y= x −1 a)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ( C ) b)Tìm trục tung điểm từ vẽ tiếp tuyến đến (C) (2m − 1) x − m y= x −1 a)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = -1 b)Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x Bài Cho hàm số : y=x+ x (C) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b) Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) A cắt hai tiệm cận M N Tính diện tích tam giác IMN, với I giao điểm hai tiệm cận Bài Cho hàm số a)Khảo sát hàm số với m = -1 b)Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành? Bài Cho hàm số: 3− x y= 2x −1 (C) y = x +1+ x −1 (C) a)Khảo sát ( C ) b)Tìm điểm (C có hoành độ lớn cho tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi bé Bài 10 Cho hàm số : x + mx − y= x−m a)Khảo sát hàm số với m = b)Tìm m để đồ thị cắt trục hoành hai điểm phân biệt tiếp tuyến hai điểm vuông góc với Bài 11 Cho hàm số: c)Viết PTTT (C) qua điểm A(0;3) Bài Cho hàm số : x − mx + y= x +1 Bài Cho hàm số : • Các bước khảo sát hàm số phân thức: • Chú ý + Phương trình đường thẳng qua điểm M ( x0 , y0 ) có hệ số góc k + Điều kiện để hai đồ thị hàm số y = f ( x) y = g ( x) tiếp xúc với Bài Cho(C ): a)Khảo sát ( C) b)Từ gốc tọa độ vẽ tiếp tuyến đến (C) Tìm tọa độ tiếp điểm x + 2mx + m y= x−m (C) a)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = b)Tìm trục tung điểm mà từ vẽ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với ? Bài 12 Cho hàm số y= x+2 2− x (C) a) Khào sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm tiếp xúc với đồ thị (C) Bài 13 Cho hàm số y= x −1 x +1 M ( 3;4 ) (C) a) Khào sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( d1 ) : y = − x+ a) Khào sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai c)Viết phương trình đường thẳng qua điểm 6 M −3; ÷ tiếp xúc với đồ thị (C) 5 x − 3x + Bài Cho hàm số : y = (C) x −1 Vấn đề Các toán KSHS đề thi ĐH - CĐ Bài (ĐH – CĐA02) Cho hàm số: y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m3 − m (1), m Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + Bài 10 (ĐH – CĐ A 2005) Gọi ( Cm ) đồ thị hàm số: y = mx + x (1), m tham số tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 3 2 Tìm k để phương trình : − x + x + k − 3k = có ba nghiệm phân biệt Tìm m để hàm số (1) có cực trị khoảng cách từ điểm Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cực tiểu ( Cm ) đến tiệm cận xiên ( Cm ) Bài (ĐH – CĐ B 2002) Cho hàm số y = mx + (m − 9) x + 10 (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị Bài (ĐH – CĐ D 2002) Cho hàm số : (2m − 1) x − m y= x −1 (1) Bài 11 (ĐH – CĐ B 2005) Gọi ( Cm ) đồ thị hàm số x + ( m + 1) + m + y= x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Chứng minh với m bất kì, đồ thị ( Cm ) luôn có điểm cực tiểu, điểm cực đại khoảng cách hai điểm (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.bằng Bài (ĐH – CĐ A 2003) Cho hàm số: y= (1) (m tham số) mx + x + m x −1 20 Bài 12 (ĐH – CĐ D 2005) Gọi ( Cm ) đồ thị hàm số : y= mx x − + 3 (1) (1), (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = phân biệt hai điểm có hoành độ dương Bài (ĐH – CĐ B 2003) Cho hàm số Gọi M điểm thuộc ( Cm ) có hoành độ -1 Tìm m để y = x − x + m (1) (m tham số) tiếp tuyến ( C ) điểm M song song với đường thẳng m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 5x - y = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối Bài 13 (ĐH – CĐ A 2006) xứng qua gốc tọa độ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Bài (ĐH – CĐ D 2003) Khảo sát biến thiên vẽ đồ y = x3 + x + 12 x − thị hàm số Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : x2 − x + (1) y= Tìm m để đường thẳng x−2 d m : y = mx + − 2m hàm số (1) hai điểm phân biệt Bài (ĐH – CĐ A 2004) Cho hàm số: − x + 3x − y= 2( x − 1) (1) x + x + 12 x = m cắt đồ thịBài 14 (ĐH – CĐ B 2006) Cho hàm số x2 + x −1 y= x+2 (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Bài 15 (ĐH – CĐ D 2006) Cho hàm số : y = x − x + 2 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) hai Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho điểm A B cho AB = Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc Bài (ĐH – CĐ B 2004) Cho hàm số m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt y = x − x + 3x (1) có đồ thị (C) Bài 16 (ĐH – CĐ A 2007) Cho hàm số: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) x + 2(m + 1) x + m + 4m (1), m tham số Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C) điểm uốn y= x+2 chứng minh ∆ tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời Bài (ĐH – CĐ D 2004) Cho hàm số : điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành y = x − 3mx + x + (1) (m tham số) tam giác vuông O Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Bài 17 (ĐH – CĐ B 2007) Cho hàm số Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân y = − x + 3x + 3(m − 1) x − 3m − 2 (1) biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện (m tham số) x12 + x22 + x32 < Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực Bài 26 (ĐH – CĐ B 2010) Cho hàm số trị hàm số (1) cách gốc tọa độ O 2x x +1 y= 2x +1 x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) hai Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M (O gốc tọa độ) cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích Bài 27.(ĐH – CĐ D 2010) Cho hàm số : Bài 18 (ĐH – CĐ D 2007) Cho hàm số : y= y = − x − x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vuông Bài 19 (ĐH – CĐ A 2008) Cho hàm số: mx + (3m − 2) x − y= x + 3m (1), m tham số thực góc với đường thẳng y= x − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm giá trị m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) 450 Bài 20 (ĐH – CĐ B 2008) Cho hàm số y = x − x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(-1;-9) Bài 21 (ĐH – CĐ D 2008) Cho hàm số y = x − x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > -3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đông thời I trung điểm đoạn thẳng AB Bài 22 (ĐH – CĐ A 2009) Cho hàm số y= x+2 (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Bài 23 (ĐH – CĐ B 2009) Cho hàm số y = 2x4 − x2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Với giá trị m, phương trình x x − = m có nghiệm thực phân biệt? Bài 24 (ĐH – CĐ D 2009) Cho hàm số : y = x − (3m + 2) x + 3m có đồ thị ( Cm ), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị ( Cm ) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Bài 25 (ĐH – CĐ A 2010) Cho hàm số: y = x − x + (1 − m ) x + m (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = ... 10 (1 ) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1 ) m = Tìm m để hàm số (1 ) có ba điểm cực trị Bài ( H – CĐ D 2002) Cho hàm số : (2 m − 1) x − m y= x −1 (1 ) Bài 11 ( H – CĐ B 2005) Gọi (. .. mx x − + 3 (1 ) (1 ), (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1 ) m = -1 (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1 ) cắt trục hoành hai điểm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1 ) m = phân... thị hàm số (1 ) m = -1 Tìm m để đồ thị hàm số (1 ) tiếp xúc với đường thẳng y = x.bằng Bài ( H – CĐ A 2003) Cho hàm số: y= (1 ) (m tham số) mx + x + m x −1 20 Bài 12 ( H – CĐ D 2005) Gọi ( Cm ) đồ