TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề số 17) I PHẦN CHUNG: Câu 1: 2x − x +1 Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(- 3;0) N(- 1; - 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = Câu 2: 3x Giải phương trình: 4cos4x – cos2x − cos4x + cos = x x Giải phương trình: 2x = + 2x + Câu 3: Tính tích phân: K = π + s inx ∫ 1+cosx ÷e dx x Câu 4: Cho hình chóp tam gíac S.ABC độ dài cạnh bên Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Câu 5: x−2 y z−4 = = hai điểm A(1;2; - 1), B(7;-2;3) Tìm (d) −2 điểm M cho khoảng cách từ đến A B nhỏ II PHẦN RIÊNG: 1) Theo cương trình chuẩn: Câu 6a: 1.Năm đoạn thẳng có độ dài 2cm, 4cm, 6cm, 8cm, 10cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng năm đoạn thẳng Tìm xác suất để ba đoạn thẳng lấy lập thành tam giác x x − y = x + y y Giải hệ phương trình: x − y = Câu 7a: cosx π Tìm giá trị nhỏ y = với < x ≤ sin x(2cosx -sinx) 2) Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho đường thẳng (d): Tìm giá trị x khai triển nhị thức Newton: ( x 2lg(10−3 ) + 2( x − 2)lg3 ) thứ khai triển 21 Cn + Cn = 2Cn 2π 2π + sin Cho α = cos ÷ Tìm số phức β cho β = α 3 Câu 7b: Gọi a, b, c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 52 ≤ a + b + c + 2abc < 27 Hết - n biết số hạng HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 17) LỜI GIẢI TÓM TẮT: I PHẦN CHUNG: Câu 1: Bạn uuuur đọc tự giải MN = (2;-1) ==> MN: x + 2y + = Đường thẳng (d) ⊥ MN, (d) có dạng phương trình y = 2x + m Gọi A, B hai điểm thuộc (C) đối xứng qua đường thẳng MN Hoành độ A B nghiệm phương trình: 2x − = x + m ⇒ 2x2 + mx + m + = ( x ≠ - 1) (1) x +1 Để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt (1) có ∆ = m2 – 8m – 32 > Ta có A(x1,2x1 + m), B(x2;2x2 + m) với x1, x2 nghiệm (1) m m x +x Trung điểm AB I ; x1 + x2 + m ÷ ≡ I( (− ; ) ( theo định lý Vi-et) Ta có I ∈ MN ==> m = - 4, (1) ⇒ 2x – 4x = ⇒ A(0; - 4), B(2;0) Câu 2: 3x 4cos4x – cos2x − cos4x + cos = 3x 3x ⇔ cos2x + cos ⇔ (1 + cos2x)2 – cos2x − (2cos x − 1) + cos = =2 4 cos2x = ⇔ ( VT ≤ với x) 3x cos = x = kπ ⇔ m8π (k ; m ∈ ¢ ) ⇔ x = 8nπ ( n ∈ ¢ ) x = Ta thấy phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + (2) có hai nghiệm x = ± 1 Ta có x = không nghiệm phương trình nên 2x +1 x (2) ⇔ = 2x −1 Ta có hàm số y = 3x tăng R 1 1 2x +1 hàm số y = giảm khoảng −∞; ÷, ; ∞ ÷ 2 2 2x −1 Vậy Phương trình (2) có hai nghiệm x = ± Câu 3: x x + 2sin cos + s inx x 2= = + tan Ta có x x 1+cosx 2cos 2cos 2 π Vậy: K = ∫ e x dx π x + ∫ e x tan dx = M + N x 2cos 2 π Với M = ∫ e x dx 2cos x Dùng phương pháp tptp u = e x u ' = e x ⇒ Đặt v ' = x v = tan x 2cos π x π π x Vậy M = e tan - N = e - N ==> K = e 2 Câu 4: 4π tan Vậy V = Câu 5: α ( + tan α ) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M trung điểm · BC, theo tính chất hình chóp AMS =α Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, I ∈ SO; N hình chiếu · I SM, MI phân giác AMS =α a Ta có SO = OM tanα = tanα ( Với a độ dài cạnh đáy) Ta có SO2 + OM2 = SB2 – BM2 a2 a2 a2 ⇒a= ⇔ tan α + = 1− 12 12 4 + tan α α tan α r = OI = OM.tan = = 2 + tan α uuur Ta có AB = (6; −4; 4) ==> AB//(d) Gọi H hình chiếu A (d) Gọi (P) mặt phẳng qua A (P) ⊥ (d) ==> (P): 3x – 2y + 2z + = H = (d)∩ (P) ==> H(- 1;2;2) Gọi A’ điểm đối xứng A qua (d) ==> H trung điểm AA’ ==> A’(-3;2;5) Ta có A;A’;B;(d) nằm mặt phẳng Gọi M = A’B∩(d) Lập phương trình đường thẳng A’B ==> M(2;0;4) II PHẦN RIÊNG: 1) Theo cương trình chuẩn: Câu 6a: Gọi A biến cố: “ba đoạn thẳng lấy lập thành tam giác” Các khả chọn ba đoạn thẳng lập thành tam giác {4;6;8}, {4;8;10}, {6;8;10} 3 Vậy: n(Ω) = C5 = 10 ; n(A) = ==> P(A) = 10 x ≥ y ≥ x x − y = x + y y x ( x − 1) = y ( y + 8) ⇔ ⇔ 2 x − y = y = x − x( x − 1) = y ( y + 8) y = x − x > y ≥ x = ⇔ ⇔ y = 3 x − 22 x − 45 = y = x − Câu 7a: π Trên nửa khoảmg 0; , cosx ≠ chia tử mẫu hàm số cho cos3x ta 3 + tan x y= tan x − tan x Đặt t = tanx ==> t ∈ (0; 3] π 1+ t2 Khảo sát hàm số y = nửa khoảng 0; 3 2t − t x = t + 3t − 4t y’ = ; y’ = ⇔ (2t − t ) x = π Vậy giá trị nhỏ hàm số x = 2) Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Điều kiện: n nguyên dương n ≥ n! n! n! + =2 Ta có Cn + Cn = 2Cn ⇔ ⇔ ⇔ n2 – 9n + 14 = ⇒ n = 1!(n − 1)! 3!(n − 3)! 2!(n − 2)! Ta có số hạng thứ : C75 ( 2lg(10−3 x ) )( 2( x − 2) lg ) = 21 ⇔ 21.2 lg(10 −3x ) 2(x – 2)lg3 = 21 x = ⇔ lg(10 – 3x) + lg3(x – 2) = ⇔ (10 – 3x)3x – = ⇔ 32x - 10.3x + = ⇔ x = 3 Gọi β = r( cosϕ + isinϕ) ⇒ β = r ( cos3ϕ + isin3ϕ) r = 3 π π r = + sin ⇒ Ta có: r3( cos3ϕ + isin3ϕ) = cos ÷⇒ 2π k 2π 3 + ϕ = Suy β Câu 7b: Theo tính chất ba cạnh tam giác, ta có độ dài cạnh nhỏ ( a + b + c = 2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: – a, – b, – c – (a + b + c) ≥ 3 (1 − a )(1 − b)(1 − c) > 28 56 ≥ (1 − a )(1 − b)(1 − c ) > ⇔ ≥ ab + bc + ca − abc > ⇔ < 2ab + 2bc + 2ca + 2abc ≤ 27 27 27 56 52 ⇔ < (a + b + c) − ( a + b + c + 2abc) ≤ ⇔ ≤ a + b + c + 2abc < 27 27 Dấu đẳng thức xảy a = b = c = ⇔ ...HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 17) LỜI GIẢI TÓM TẮT: I PHẦN CHUNG: Câu 1: Bạn uuuur đọc tự giải MN = (2;-1) ==> MN: x + 2y