De tai Toan 7

đề tài sáng kiến kinh nghiệm năm học 2005-2006 Họ tên: Nguyễn Danh Tân Đơn vị công tác: Trờng PTDT Nội trú Huyện Yên Châu Tên đề tài: Rèn luyện khả sáng tạo toán học cho học sinh khá, giỏi trờng THCS qua toán quan hệ yếu tố tam giác Các đờng đồng quy tam giác A Phần mở đầu: I Lí chọn đề tài: 1/ Rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh nhiệm vụ quan trọng nhà trờng phổ thông Có thể nói rằng, giới ngày ngời ta coi sáng tạo yếu tố đặc trng ngời kỉ 21 Nhiều nhà giáo dục lỗ lực tìm kiếm quan niệm, hình thức, phơng pháp dạy học nhằm bồi dỡng phát triển t tích cực, độc lập sáng tạo cho học sinh thay cho cách học thụ động, hiệu hình thức phơng pháp dạy học truyền thống Nghị hội nghị lần thứ t BCH TW đảng cộng sản Việt Nam khoá XII nhận định:Con ngời đợc đào tạo thờng thiếu động, chậm thích nghi với kinh tế xã hội đổi mới, từ đã nêu rõ quan điểm đạo đổi nghiệp giáo dục phải: Phát triển giáo dục nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lc, bồi dỡng nhân tài, đào tạo ngời có kiến thức văn hoá, có kĩ nghề nghiệp, lao động tự chủ, sáng tạo có kỉ luật, giàu lòng nhân ái, yêu nớc,yêu chủ nghĩa xã hội, sống lành mạnh đáp ứng nhu cầu phát triển đất nớc chuẩn bị cho tơng lai Do giai đoạn để tránh nguy bị tụt hậu, việc rèn luyện khả sáng tạo cho hệ trẻ lại cần thiết cấp bách hết 2/Trong việc rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh, môn toán có vị trí bật Từ năm 60 Đảng nhà nớc quan tâm đến phát bồi dỡng khiếu toán học biểu suy nghĩ vận dụng sáng tạo học toán Vấn đề bồi dỡng lực t sáng tạo cho học sinh đợc nhiều tác giả nớc nứơc quan tâm nghiên cứu; nhiên: -Cha có nghiên cứu riêng yếu tố đặc trng t sáng tạo việc học tập toán học lứa tuổi học sinh THCS -Cha có nhiều toán nhằm rèn luyện yếu tố t sáng tạo cho học sinh Đây vấn đề lớn, nội dung phong phú đầy khó khăn Vì vậyđề tài giới hạn môn hình học, môn học đặc biệt thuận lợi cho việc rèn luyện t sáng tạo Trong chơng trình hình học lớp 6, học sinh đợc làm quen với khái niệm mở đầu hình học phẳng Bắt đầu từ lớp học sinh đợc học hình học tơng đối có hệ thống Học sinh nhận thức đợc thuộc tính khái niệm hình học, tính chất hình học thông qua hình thức logíc nh: định nghĩa, phán đoán, suy luận, Dạy học hình học có vị trí đặc biệt quan trong trình giáo dục toán học trờng phổ thông Trong chơng trình hình học lớp chơng qua hệ yếu tố tam giác chơng trọng tâm Trong chơng học sinh đợc luyện tập sử dụng công cụ chứng minh chủ yếu: Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc nhau, cách thiết lập tam giác nhau, nội dung chơng nâng cao nhận dạng so sánh nh: Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác, quan hệ đờng xiên hình chiếu, quan hệ ba cạnh tam gíac bất đẳng thức tam giác, Bản thân nhận thấy khả t sáng tạo việc càn rèn luyện thờng xuyên cho học sinh bậc THCS Vì lựa chọn đề tài: Rèn luyện khả sáng tạo toán học cho học sinh khá, giỏi trờng THCS qua toán quan hệ yếu tố tam giác Các đờng đồng quy tam giác II Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu thực tiễn dạy học cho học sinh có lực toán học để đề xuất số ý kiến phơng pháp nhằm rèn luyện khả sáng tạo toán học cho học sinh THCS Thông qua nội dung cụ thể chơng Quan hệ yếu tố tam giác Các đờng đồng quy tam giác Từ xây dựng giải pháp nhằm phát triển t sáng tạo cho học sinh , giỏi trờng THCS III Nhiệm vụ nghiên cứu: Nhiệm vụ đề tài là: 1/ Nghiên cứu lí luận 2/ Nghiên cứu thực trạng 3/Xây dựng tình điển hình phơng án rèn luyện khả sáng tạo với học sinh khá, giỏi trờng THCS IV Phơng pháp nghiên cứu: 1/ Nghiên cứu lí luận 2/ Phơng pháp điều tra, quan sát, tìm hiểu 3/ Phơng pháp thực nghiệm s phạm B Nội Dung Chơng I: Cơ sở lí luận việc rèn luyện khả sáng tạo toán học Đ1 T sáng tạo *sáng tạo tìm mới, cách giải mới, không bị gò bó phụ thuộc vào có Nội dung sáng tạo gồm hai ý chính: có tính cớ lợi ích Sáng tạo hoạt động ngời nhằm biến đổi giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích nhu cầu ngời sở quy luật khách quan thực tiễn Sáng tạo hoạt động đặc trng tính không lặp lại, tính độc lập tính Sáng tạo thành phần thiếu thành phần cấu trúc tài Mô hình cấu trúc tài thành phần: Thông minh, sáng tạo, niềm say mê đợc công nhận hợp lí có tính khả quan công việc xây dựng phơng pháp phát hiện, tuyển chọn học sinh khiếu, thông minh đợc hiểu có lực trí tuệ trung bình, bao gồm thành phần: -Năng lực ngôn ngữ hình thức -Năng lực số -Năng lực hình học -Năng lực suy luận -Năng lực t Sáng tạo bao gồm yếu tố: Tính nhuần nhuyễn, tính mềm dẻo, tính độc đáo tính hoàn thiện * T sáng tạo: Quá trình sáng tạo ngời thờng bắt đầu ý tởng mới, bắt nguồn từ t sáng tạo ngời T sáng tạo lực tìm thấy ý nghĩa mới, quan hệ mới, chức kiến thức, trí tởng tợng đánh giá trình, cách dạy học gồm chuỗi phu lu chứa đựng: Sự khám phá, phát minh, đổi mới, thí nghiệm Thật t sáng tạo dẫn đến tri thức giới vè phơng thức hoạt động Quá trình t sáng tạo gồm thuộc tính: 1/Có lực chuyển tri thức kĩ sang tình 2/Nhìn tháy vấn đề điều kiện quen biết 3/Nhìn thấy chức đối tợng quen biết 4/ Nhìn thấy cấu trúc đối tợng nghiên cứu 5/Kĩ nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn việc tìm kiếm nhiều lời giải 6/Kĩ kết hợp phơng thức thành phơng thức 7/Kĩ sáng toạ phơng thức giải độc đáo biết phơng thức khác Tất yếu tố đặc trng góp phần tạo nên t sáng tạo,đỉnh cao cá hoạt động trí tuệ ngời Trong học tập toán học trờng THS, yếu tố t sáng tạo biểu rõ nét học sinh khá, giỏi toán Các em biết di chuyển nhanh chóng hoạt động trí tuệ, biết sử dụng sen kẽ phân tích tổng hợp, dùng phân tích tìm tòi lời giải, dùng tổng hợp để trình bày lời giải Khi làm tập loại em biết phát khác biệt toán, điều kiện khác để tránh cách giải rập khuôn máy móc Các em hào hứng tìm cách giải khác cho toán, đánh giá cách gải tìm cách giải hay nhất, đẹp Ví dụ : Chứng minh tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ nửa tổng hai cạnh lại Giả sử ABC có AM trung tuyến ứng với cạnh BC Ta phải chứng minh: AM< AB + AC AB AC (1) Có thể viết bất đẳng thức (1) dới dạng AM< + (2) 2 Bất đẳng thức (2) gợi cho em học sinh quan hệ ba cạnh tam giác Các em suy nghĩ để nhìn tam giác có cạnh lần lợt bằng: AM; AB/2; AC/2 với cách suy nghĩ nh em có cách giải sau: Cách 1: Gọi N trung điểm cạnh AC MN đờng trung bình của ABC MN= AB AMN có AN =AC/2; MN=AB/2 Theo định lí quan hệ cạnh ta có: AM< MN+AN hay AM< AB/2+AC/2 Tức là: A AB + AC AM< N B C M Học sinh lấy N trung điểm AB chứng minh tơng tự Ngoài em học sinh biến đổi BĐT(1) dới dạng tơng đơng sau; 2AM< AB+AC (3) BĐT gợi cho em ý nghĩ tạo có ba cạnh lần lợt bằng: 2AM, AB, AC Cách 2: Trên tia đối tia MA, lấy điểm D cho: MD=MA AMB= DMC (c.g.c) AB=AC Xét ACD có: AD=2AM, CD=AB; AD< CD+AC Hay 2AM< AB+AC tức AM< A AB + AC B C M D Cũng suy nghĩ từ BĐT (3) học sinh tạo đoạn 2AM nh sau: Cách 3: Trên tia BA, lấy diểm E: EA=AB AM đờng trung bình EBC EC=2AM Trong AEC có EC< AE+AC hay 2AM, AB+AC Tức AM< E AB + AC A B M C Nếu BN trung tuyến ứng với cạnh AC CP trung tuyến ứng với cạnh AB chứng minh tơng tự ta có BN< AB + AC BC + AC ; CP< 2 Đ2 Các hoạt động rèn luyện khả sáng tạo toán học cho học sinh 2.1 Các phơng pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá tơng tự có ý nghĩa quan trọng sáng tạo toán học 2.1.1Khái quát hoá: Khái quát hoá chuyển từ tập hợp đối tợng sang tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầu phần tử tập hợp xuất phát Có hai đờng khái quát hoá: đờng thứ sở so sánh trờng hợp riêng lẻ, đờng thứ hai không dựa so sánh mà mà dựa phân tích tợng hành loạt tợng giống Nh khái quát hoá thao tác t nhằm phát quy luật phổ biến lớp đối tợng tợng từ trờng hợp riêng lẻ Khái quát hoá thuộc phép suy luận có lí, nên suy luận rút từ khái quát hoá mang tính giả thuyết, dự đoán Trong toán học khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với thao tác nh: phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự, đặc biệt hoá, hệ thống hoá, Khái quát hoá thờng đợc sử dụng hình thành khái niệm, chứng minh định lí, phát đề xuất kiến thức 2.1.2 Đặc biệt hoá Đặc biệt hoá chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tợng cho sang việc nghiên cứu tập hợp nhỏ chứa tập hợp cho đặc biệt hoá trình minh hoạ giải thích khái niệm, định lí, tổng quát trờng hựp riêng lẻ, cụ thể: Đặc biệt hoá trờng đợc sử dụng việc trình bày khái niệm, chứng minh định lí, tập, toán quỹ tích, đặc biệt hoá thờng đợc dùng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, sở hình thành phơng pháp chứng minh cho toàn toán 2.1.3 Tơng tự Tơng tự phép suy luận từ chỗ hai đối tợng giống dấu hiệu, ta rút kết luận đối tợng giống dấu hiệu khác 2.2 Vai trò khái quát hoá, đặc biệt hoá tơng tự sáng tạo toán học Trong toán học phpơng pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá tơng tự thờng không tách rời mà gắn lièn với Khi giải toán, phơng pháp tổng hợp tìm cách đa toán phải giải toán đơn giản hơn, dễ giải hơn, cho giải đợc toán giải đợc toán cho Các phơng pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự có nhiều tác dụng mặt Ngay bậc THCS làm quen với cách giải toán phơng pháp đặc biệt hoá Trớc hết phải giải toán cho trờng hợp đặc biệt, dùng trờng hợp đặc bịêt để giải toán trờng hợp đặc biệt khác tổng quát 2.3 Mò mẫm, dự đoán để tìm hớng giải toán hoạt động sáng tạo toán học trờng phổ thông có nhiều toán cha có thuật toán để giải Với toán cần phải biết mò mẫm, thông thờng tìm vài trờng hợp đặc bịêt toán, so sánh để thấy tơng tự trờng hợp khái quát đề dự đoán Quá trình mò mẫm phải biết nhận xét, phân tích, vận dụng, suy luận, phát huy sáng tạo 2.4 Mở rộng đào sâu, hệ thống hoá kiến thức hoạt động sáng tạo các phơng pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự có ý nghĩa sáng tạo quan trọng chỗ giúp ta phát vấn đề mới, toán nhìn thấy liên hệ nhiều vấn đề với nhau, phơng pháp giúp mở rộng đào sâu kiến thức Đ3 Một số biện pháp để rèn luyện khả sáng tạo toán học 3.1 Rèn luyện khả phân tích toán Chúng ta biết khái niệm thờng có nhiều thuộc tính; toán có nhiều giả thiết, nhiều quan hệ, liên quan đến nhiều khái niệm Vì khái niệm, toán khái quát hoá hay xem xét vấn đề tơng tự theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều hớng khác nhau, có hớng đa đến kết tầm thờng, có hớng lại đa đến kết phong phú Do vấn đề quan trọng cách nhìn toán, nhìn trực tiếp vào đặc điểm toán Phải rèn luyện, luyện tập nhiều, ngời giải toán phải biết khai thác hết khía cạnh biẻu toán nghĩa đọc đợc nhiều điều muốn nói số, kí hiệu, điều kiện chứa đựng toán Sự có mặt nhiều lời giải toán( chắn cha phải tối đa)nhắc nhở ngời giải toán cha lên thoả mãn với lời giải toán cho dù lời giải tốt Nh có nghĩa biết cách nhìn, cách phân tích toán dới góc, cạnh thu đợc nhữg lời giải khác 3.2 Rèn luyện khả định hớng xác định đờng lối giải Cần nghiên cứu kĩ toán cho chủ yếu vào yêu cầu mà toán đòi hỏi để xác định thể loại toán 3.3 Rèn luyện khả lựa chọn phơng pháp công cụ giải toán Trớc hết phải đợc dẫn đờng lối vạch xét xem chọn phơng pháp công cụ thích hợp với trình phân tích cách nhìn toán để tìm cách giải hợp lí 3.4 Rèn luyện khả kiểm tra giải Đây việc làm cần thiết quan trọng, nhiều trờng hợp học sinh ngộ nhận suy lụân thiếu chặt chẽ dẫn đến giải sai không trọn vẹn toán Việc kiểm tra kết nên tiến hành theo bớc định tính định lợng Chơng II Rèn luyện khả sáng tạo toán học chơng Quan hệ yếu tố tam giác Các đờng đồng quy tam giác Đ1 Tiềm rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh chơng III hình học lớp Một mục đích quan trọng chơng học sinh biết lập luận có cứ, cụ thể là: - Biết so sánh chứng minh quan hệ - Biết trình chứng minh rõ ràng, mạch lạc., đủ luận - Biết lập luận phản chứng - Có ý thức, thói quen vẽ hình, dựng hình xác, vận dụng vào đời sống Các kiến thức bản: -Định lí QH góc cạnh đối diện -Định nghĩa định lí đờng xiên, hình chiếu -Tính chất ba trung tuyến -Tính chất ba phân giác -Tính chất ba đờng TT, đờng cao Các kĩ bản: -vận dụng công thức, hệ thức, tính chất -Vẽ hình _Suy luận -Sử dụng xác ngôn ngữ -Hình học hoá tình thực tế Với nội dung đa dạng phong phú nh trên; chơng IV tiềm ẩn khả to lớn việc rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh Đ2 Các dạng toán rèn luyện khả sáng tạo toán học chơng III hình học lớp 2.1 Dạng toán 1: Quan hệ yếu tố tam giác Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác đợc thể định lí: Trong , góc đối diện với cạnh lớn góc lớn hơn, ngợc lại cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Từ định lí ta có quan hệ đờng vuông góc đờng xiên, đờng xiên hình chiếu Giữa ba cạnh tam giác có mối quan hệ: Mỗi cạnh nhỏ tổng hai cạnh lớn hiệu chúng 2.2 dạng toán 2: Tính chất đờng đồng quy tam giác Đ3 Phơng án rèn luyện khả sáng tạo toán học học sinh khá,giỏi THCS dạy học chơng III hình học 3.1 Rèn luyện khả phân tích toán Phân tích toán sàng lọc lựa chọn đặc điểm chủ yếu toán, nghĩa đọc đợc điều muốn nói số, kí hiệu, điều kiện chứa đựng toán Rèn luyện khả phân tích toán dạy học chơng V hình học lớp thờng dựa vào dạng toán chơng nh sau: 3.1.2 Về khả phân tích toán thông qua quan hệ góc cạnh đối diện tam giác Ta thờng dựa vào mối liên hệ sau: -Phân tích mối quan hệ góc góc bao gồm nội dung: Căn vào độ lớn góc ta có góc tù, góc vuông, góc nhọn.Tính chất tổng số đo ba góc = 180 , hay góc tổng hai góc không kề với -Phân tích mối quan hệ cạnh góc ta có: +Trong góc đối diện với cạnh lớn góc lớn ngợc lại +Nếu hai có hai cặp cạnh đôi nhng cặp góc sen không nhau, cạnh đối diện với góc lớn lớn +Nếu hai có hai cặp cạnh đôi nhng cặp cạnh thứ ba không nhau,thì cặp góc đối diện không nhau, góc đối diện với cạnh lớn lớn -Mối quan hệ cạnh cạnh : cạnh nhỏ tổng hai cạnh lớn hiệu chúng Ví dụ: Gọi G trọng tâm, H trực tâm, I điểm cách cạnh, O điểm cách đỉnh ABC Chứng minh rằng: a.Trong tam giác cân điểm G,H,O,I nằm đờng cao ứng với cạnh đáy b.Trong tam giác điểm G trùng với H,O,I Phân tích toán: a.Vì ABC cân A nên đờng cao AI vừa đờng phân giác, trung tuyến, trung trực Do điểm G,H,O,I thẳng hàng b.b Trong tam giácđều đờng cao ứng với cạnh đờng trung tuyến, trung trực, phân giác nên điểm trùng 3.2 Rèn luyện khả định hớng xác định đờng lối giải dạy học toán chơng III hình học Việc xác định đờng lối giải toán chủ yếu nhận dạng đợc toán Đờng lối giải số lớn toán đợc xác định nội dung tri thức toán mà ngời giải phải biết nhớ chơng III hình hiọc phần lớn tập nhằm củng cố luyện tập kiến thức nêu Tuy khó khăn mặt thờng gặp toán nằm thể loại nhng lại riêng biệt nó: Ví dụ: Cho ABC, trực tâm H, AH=BC Tính BAC Bài toán khó vẽ xác đợc góc A có giá trị xác định mà ta cha biết Ta phải xét đến trờng hợp trực tâm nằm trong, nằm trùng với đỉnh Do ta phải xét trờng hợp A < 90 ; A > 90 ( trờng hợp A= 90 không xảy H trùng với A không thoả mãn AH=BC) H A A A H B D C D H B C B D C a.xét trờng hợp A < 90 AHE= BCE AE=BE BAE = 45 b.Xét trờng hợp A > 90 ta có BHC = 45 nên BAC= 135 Nh BAC 45 135 3.3 Rèn luyện khgả lựa chọn phơng pháp, công cụ giải toán Việc xác định phơng pháp công cụ giải toán toán hình mang tính chất đặc thù riêng Nó phải đợc dẫn đờng lối vạch xem xét lựa chọn phơng pháp công cụ thích hợp Ví dụ: Chứng minh có trung tuyến đờng phân giác cân Cách 1: Trên tia đối tia MA A lấy MD=MA rôì CM ACD cân M B C D Cách 2: sử dụng công cụ đờng trung bình: ỉTên tia đối tia AB lấy AK=AB chứng minh ACK cân K A B M Cách 3: chứng minh phản chứng C Giả sử AB>AC AB lấy AD=AC ADC cân gọi I giao điểm CD AM, ADC cân, có AI phân giác ứng với cạnh đáy nen DI=IC Do IM đờng trung bình CBD BD //IM điều trái với GT Giả sử AB< AC chứng minh tơng tự dẫn đến mâu thuẫn A D I B C M Cách 4: Sử dụng kiến thức hai trờng hợp hai vuông ta có cách giải: Vẽ MH AB; MK AC chứng minh AH=AK; HB=CK A H B K C A Cách 5; dựa vào tính chất cân chứng minh PP phản chứng Giả sử AB> AC Trên AC lấy D cho AD=AC Ta có: AMD = AMC C = ADM (1) MD=MC, ta lại có MB=MC nên MB=MD dó MBD cân B = BDM (2) A Từ (1) (2) B +C= ADM+ BDM = 180 vô lí D B M C 3.3 Rèn luyện t khả kiểm tra gải khả tìm toán liên quan sáng tạo toán -Trong hình học phải sử dụng nhiều yếu tố trực quan hình vẽ nên cấp thiết rèn luyện khả kiểm tra giải khâu vẽ hình, ghi kí hiệu, suy luận -Rèn luyện khả nằn tìm toán liên quan sáng tạo toán việc làm thờng xuyên ngời giải toán Trớc toán câu hỏi đặt liệu toán có liên quan với toán hay không, sở quy toán cho toán quen thuộc sử dụng khía cạnh toán liên quan để giải toán cho C Kết luận Từ vấn đề trình bày rút số kết luận nh sau: -Rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh việc làm cần thiết Trong nhà trờng THCS rèn luyện t sáng tạo rèn luyện khả khái quát hoá, đặc biệt hoá tơng tự -Đề tài nghiên cứu phạm vi chơng để bồi dỡng khả sáng tạo toán học thông qua nội dung kiến thức chơng -Đề tài bớc đầu điều tra khả sáng tạo học sinh vấn đề lớn cố gắng nhng việc đánh giá giai đoạn đầu Chúng tiếp tục tiến hành lớp sau, năm sau để đánh giá cách trọn vẹn giá trị đề tài -Rất mong đợch góp ý bạn đồng nghiệp! D Tài liệu tham khảo Thực hành giải toán THCS Một số vấn đề phát triển toán 6-Vũ hữu BìnhMột số vấn đề phát triển hình học-Vũ hữu Bình Toán bồi dỡng học sinh lớp 7-Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang Thiều Ôn luyện hình học 7( Vũ Hữu Bình, Bùi Văn Tuyên) Rèn luyện khả sáng tạo toán học trờng phổ thông- Hoàng Chúng Hình học 7- Nguyễn Gia Cốc, Phạm Gia Đức Toán nâng cao hình học 7- Phạm Gia Đức, Vũ Hoàng Lân Một số vấn đề đổi PPDH [...]... khảo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Thực hành giải toán THCS Một số vấn đề phát triển toán 6-Vũ hữu BìnhMột số vấn đề phát triển hình học-Vũ hữu Bình Toán bồi dỡng học sinh lớp 7- Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang Thiều Ôn luyện hình học 7( Vũ Hữu Bình, Bùi Văn Tuyên) Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trờng phổ thông- Hoàng Chúng Hình học 7- Nguyễn Gia Cốc, Phạm Gia Đức Toán nâng cao hình học 7- Phạm Gia Đức, ... dỡng học sinh lớp 7- Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang Thiều Ôn luyện hình học 7( Vũ Hữu Bình, Bùi Văn Tuyên) Rèn luyện khả sáng tạo toán học trờng phổ thông- Hoàng Chúng Hình học 7- Nguyễn Gia Cốc,... lời giải, nhiều cách nhìn việc tìm kiếm nhiều lời giải 6/Kĩ kết hợp phơng thức thành phơng thức 7/ Kĩ sáng toạ phơng thức giải độc đáo biết phơng thức khác Tất yếu tố đặc trng góp phần tạo nên... học trờng phổ thông- Hoàng Chúng Hình học 7- Nguyễn Gia Cốc, Phạm Gia Đức Toán nâng cao hình học 7- Phạm Gia Đức, Vũ Hoàng Lân Một số vấn đề đổi PPDH