Đề thi chọn lớp chất lượng cao năm 2011

Sở Giáo dục ðào tạo Bắc Ninh ðỀ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ Môn: Toán 11 – khối A Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 15 tháng năm 2011 –––––––––––– BÀI (3.0 ñiểm) Cho hàm số y = x + 3x2 -1 (C) 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) ñiểm có hoành ñộ x0 = –1 BÀI (3.0 ñiểm) 1) Giải phương trình lượng giác cos13x + 3(cos 3x + cos 5x) = 8.cos x cos3 4x 2) 4x2 + y4 = − 4xy2 Giải hệ phương trình   x − 2(xy + 8) = − y BÀI (3.0 ñiểm) 1) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho ∆ABC có A(0; 2), B(1; 0), C(2; 4) Gọi G trọng tâm ∆ABC Tìm ñiểm M ñường thẳng AB cho MG + MC ñạt giá trị nhỏ 2) Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh ðường phân giác góc CB ' D cắt ñoạn DC M Gọi N ñiểm ñoạn BB ' cho BN = x (0 ≤ x ≤ 1) Tìm x ñể AC ' ⊥ MN BÀI (1.0 ñiểm) Cho a > 0, b > 0, a + b ≤ ab Chứng minh (1 − a)(1 − b) ≥ ========== Hết ========== Họ tên thí sinh ……………………………………… SBD ……………………………… Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu làm Cán coi thi không giải thích thêm Trang 1/6 Sở Giáo dục ðào tạo Bắc Ninh ðỀ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ Môn: Toán 10 – khối A Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 15 tháng năm 2011 –––––––––––– Bài (3.0 ñiểm) 1) Tìm tham số m ñể phương trình x − 4x + (m + 4)x − 2m = có nghiệm phân biệt dấu 2) Giải bất phương trình (x − 13) x − ≥ Bài (2.0 ñiểm) Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức P = cos π 5π 7π + cos + cos 9 Bài (4.0 ñiểm) Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A(−1;0), B( 2 ; ), C( − ; ) 2 2 1) Tìm ñiểm D ñể ABCD hình bình hành 2) Gọi (T) ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC Viết phương trình ñường tròn (T ' ) = ðA (T) 3) Tìm ñiểm M (∆ ) : x + y − = cho tổng MA + MO = Bài (1.0 ñiểm) Chứng minh + x + x + x + + x 2011 + x 2012 > 0, ∀x ∈ ℝ ========== Hết ========== Họ tên thí sinh ……………………………………… SBD ……………………………… Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu làm Cán coi thi không giải thích thêm Trang 2/6 ðÁP ÁN TOÁN 11 – KHỐI A ðiểm Bài 1 (2.0 ñiểm) Tập xác ñịnh D = ℝ Giới hạn lim y + ∞; lim y = −∞ 0.25 ðạo hàm y’= 3x2 + 6x; y’= ⇔ x = 0, x = −2 0.25 x →+∞ ðồ thị: (0.5 ñiểm) Bảng biến thiên x −∞ y’ + y x →−∞ –2 0 – +∞ + 0.5 +∞ −∞ y –1 −2 x −1 Hàm số ñồng biến (−∞; −2),(0; +∞), nghịch biến (−2; 0) ðồ thị hàm số có ñiểm cực ñại 1.5 O 0.5 (–2; 3), ñiểm cực tiểu (0; –1) Bài 1.2 (1.0 ñiểm) Tung ñộ tiếp ñiểm y0 = y(–1) = (0.25 ñiểm) 0.5 Hệ số góc k = y’(–1) = –3 (0.25 ñiểm) PTTT: y = –3(x + 1) + hay y = –3x – 0.5 Bài 2.1 (1.5 ñiểm) PT ⇔ cos13x + 6.cos 4x.cos x − cos3 4x = 0.25 ( ) ( ⇔ 2cos13x − 2.cos x.(4 cos3 4x − 3cos 4x) = 0.25 ñ ⇔ 2cos13x − 2.cos x.cos12x = 0.25 ñ ) ⇔ 2.cos13x − .(cos11x + cos13x) = ⇔ cos13x = cos11x 13x = 11x + k2π ⇔ ⇔ 13x = −11x + k2π 0.25  x = kπ π  0.25 ñ ⇔ x = k (k ∈ ℤ) 0.25 ñ π x = k 12  12 ( ) 0.5 ( ) 0.5 4x2 + y4 = − 4xy2 (1) y2 = − 2x (3)  2 Bài 2.2 (1.5 ñiểm) Giải hệ PT  Ta có ⇔ + = ⇔ (1) (2x y )  2 y 2x (4) = − − x − 2(xy + 8) = − y (2)   0.5  x = ⇒ y = −2(VN)  Thế (3) vào (2) 3x − 4x − = ⇔  10 x y = − ⇒ = ±  3 0.5  x = −2 ⇒ y = ±  Thế (4) vào (2) 3x + 4x − = ⇔  x = ⇒ y = − 10 (VN)  3 0.5 10 10 ),( − ; − ), (−2; 2), ( −2; − 2) Vậy hệ PT ñã cho có nghiệm (− ; 3 3 Trang 3/6 ðiểm Bài 3.1 (1.5 ñiểm) Có G(1; 2) ðường thẳng AB có phương trình 2x + y – = 0.5 Kiểm tra thấy hai ñiểm G C nằm phía so với ñường thẳng AB 81 Gọi d ñường thẳng ñi qua G d ⊥ AB Ta có d: x – 2y + = Gọi H = d ∩AB⇒H( ; ) Gọi D 55 11 ñiểm ñối xứng với G qua AB, H trung ñiểm DG ⇒ D( ; − ) 5 0.5 785 Dấu “=” xảy Lúc D C nằm khác phía so với AB MG + MC = MD + MC ≥ DC = M, D, C thẳng hàng, tức M giao ñiểm hai ñường thẳng AB, DC ðường thẳng DC có phương trình 28x + y – 60 = Giao ñiểm AB DC ( 29 32 29 32 ; − ) Vậy với M( ; − ) 13 13 13 13 0.5 785 MG + MC nhỏ Bài 3.2 (1.5 ñiểm) Học sinh tự vẽ hình Ta tính ñược 0.5 MC B'C 2 = = Suy CM = CD Theo ñề BN = x.BB' MD B'D 2+ ðặt u = CD, v = CC', w = CB, u, v, w ñều có ñộ dài ñôi vuông góc 0.5 − u + x.v + w Ta có AC ' = −u + v − w, MN = 2+ Vậy AC ' ⊥ MN ⇔ AC '.MN = ⇔ 2+ + x −1 = ⇔ x = a + b ≤ ab ⇔ Bài (1.0 ñiểm) Do a > 0,b > nên a + b 2+ ≤ ðặt x = 0.5 1 , y= , a b x > 0, y > 0, x + y ≤ Dẫn tới < y ≤ − x < x < Bất ñẳng thức cần chứng minh (1 − a)(1 − b) ≥ trở thành (1 − x )(1 − y 0.5 ) ≥ ⇔ x + y + 8x y ≤ (1) (do x > 0, y > 0) Ta có x + y + 8x y ≤ x + (1 − x)2 + 8x (1 − x) = 2x(x − 1)(2x − 1) + ≤ (do < x < < y ≤ − x ), nên (1) ñúng Dấu “=” xảy x = y = hay a = b = Vậy (1 − a)(1 − b) ≥ , dấu 0.5 “=” xảy a = b = NGUYỄN VĂN XÁ TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ Trang 4/6 ðÁP ÁN TOÁN 10 – KHỐI A ðiểm x = Bài 1.1 (1.5 ñiểm) Ta có x − 4x + (m + 4)x − 2m = ⇔  − + = x 2x m (1)  0.5 Phương trình ñã cho có nghiệm phân biệt dấu phương trình (1) có ∆ ' = − m >  S = > ⇔ < m < nghiệm dương phân biệt khác 2, tức  P=m>0  22 − 2.2 + m ≠  x2 − =   x = ±2 Bài 1.2 (1.5 ñiểm) (x − 13) x − ≥ ⇔   x2 − > ⇔  x 13 ≥     x − 13 ≥ Bài (2.0 ñiểm) P = cos = 1.5 π 5π 7π 2π 10π 14π + cos + cos = + (cos + cos + cos ) 9 2 9 2π 4π 2π 2π −1 2π + (cos + 2.cos cos ) = + (cos + cos ) = 2 9 2 9 Bài 3.1 (1.0 ñiểm) Do ABCD hình bình hành nên AB = DC ⇒ D( 1.0 −3 − − ; ) 2 0.5 1.0 1.0 Bài 3.2 (1.5 ñiểm) Dễ thấy ñường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC ñường tròn tâm O(0;0), bán kính R = Gọi O ' = ðA (O) ⇒ O'(−2;0) ðường tròn (T ' ) = ðA (T) có tâm O '(−2;0), 1.5 bán kính R = nên có phương trình (x + 2)2 + y2 = Bài 3.3 (1.5 ñiểm) Cách Kiểm tra ñược A O nằm phía so với (∆ ) : x + y − = 0.25 Gọi d ñường thẳng ñi qua O vuông góc với ∆ ⇒ d có phương trình x – y = 0.25 1 Ta có ∆ ∩ d = H( ; ) 2 0.25 Gọi E ñiểm ñối xứng với O qua ∆ ⇒ H trung ñiểm EO ⇒ E(1;1) 0.25 Ta có A E khác phía so với ∆ , MA + MO = MA + ME ≥ AE = 5, dấu “=” xảy M giao ñiểm AE với ∆ ðường thẳng AE có phương trình x – 2y + = cắt ∆ tai ñiểm có tọa ñộ ( ; ) Vậy 3 0.25 0.25 MA + MO = ñiểm M có tọa ñộ ( ; ) 3 Cách M ∈ (∆ ) : x + y − = ⇒ M(x;1 − x) ⇒ MA + MO = 2x + + 2x − 2x + 0.5 Trang 5/6 ðiểm Ta có 2x + + 2x − 2x + = ⇔ 4x − 4x + 6x − 4x + = −2x + x +  1 − ≤ x ≤ ⇔ ⇔x= 9x2 − 6x + =  0.75 3 Vậy M( ; ) MA + MO = 0.25 Bài (1.0 ñiểm) ðặt f(x) = + x + x2 + x + + x2011 + x2012 Rõ ràng f(1) = 2013 > 0.25 Với x ≠ f(x) = − x2013 1−x Nếu x > x2013 > 1, x < x2013 < 1, ñó f(x) = 0.25 − x2013 > 0, ∀x ≠ 1−x 0.5 Vậy f(x) = + x + x2 + x + + x2011 + x2012 > 0, ∀x ∈ ℝ NGUYỄN VĂN XÁ TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ Trang 6/6 ...Sở Giáo dục ðào tạo Bắc Ninh ðỀ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ Môn: Toán 10 – khối A Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 15 tháng năm 2011 –––––––––––– Bài (3.0 ñiểm)... minh + x + x + x + + x 2011 + x 2012 > 0, ∀x ∈ ℝ ========== Hết ========== Họ tên thí sinh ……………………………………… SBD ……………………………… Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu làm Cán coi thi không giải thích... x + + x2011 + x2012 Rõ ràng f(1) = 2013 > 0.25 Với x ≠ f(x) = − x2013 1−x Nếu x > x2013 > 1, x < x2013 < 1, ñó f(x) = 0.25 − x2013 > 0, ∀x ≠ 1−x 0.5 Vậy f(x) = + x + x2 + x + + x2011 + x2012