Công thức Bass cho chiều nội xạ Gorenstein

ệ ì ì ệ ì ì ị số ữớ ữợ ệ ệ ử tự ổ tr ữỡ ổ ỳ s Pờ ổ q s ổ ữỡ õ tỡ ổ tỷ r tỷ t ổ tự ss rst rst ổ tự ss rst t t é r t ổ ữủ tt õ ỡ tr ỡ ỳ ú tổ ổ (R, m, k) ữỡ ợ tố t m trữớ t ữ ởt ổ ỳ s tr tr ữủ sr rr ữ r ự t ỗ ởt sỹ õ ụ õ t t tữỡ tỹ ữ rst ởt ố ợ õ ữủ ữ r s õ t õ r rst ởt sỹ rở ú ỵ r ởt ổ ỳ s M tr ữỡ R õ ỳ t õ s ỡ s M tR ổ tự ữủ t ợ t ổ tự ss r rsts ự ữủ r tr ợ ổ ố tr ổ tự õ ữớ t õ t t t rst rsts t tử ự ữủ tữỡ tỹ trữớ ủ ổ tr ữỡ õ ự ố r t ss ự rst ổ ỳ s ữ r ởt ổ tự ss rst tr tr tũ ỵ ởt ổ ỳ s M tr tr tũ ỵ R õ rst ỳ t rst õ ữủ ổ tự GidR M = sup{depthRp |p Supp(M )} ứ õ s r t q õ tr rsts ữ q ụ ự ữủ r ữỡ R tọ M tR t ợ ộ ổ ỳ s M tr R t õ rst M ú s R tr t q tr t ss t t t ỗ ữỡ ữỡ tự r ữỡ ú tổ tr ởt số tự số ữ ổ tr ữỡ ổ ỳ s ổ ữỡ õ q s ỡ s tr ữỡ r ú tổ ỏ tr ởt số t q õ ữợ ỳ ử ự s ữỡ ổ tự ss rst ữỡ tr tt t q tr t ss t trữợ t ú tổ tr rst õ ú tổ tr ổ tự ss rst ữủ t t rữớ ữợ sỹ ữợ t t t ổ ỗ ữủ tọ ỡ s s t ổ ỗ t t ữợ t t ủ t tr sốt q tr t t t tr trồ ỷ ỡ tợ t ổ tr ổ số Pỏ t rữớ ú ù t t õ ởt ổ trữớ t tốt t t ủ t ì r ữỡ ú tổ tr ởt số tự số ữ ổ tr ữỡ ổ ỳ s ổ ữỡ õ q s ỡ s tr ữỡ r ú tổ ỏ tr ởt số t q õ ữợ ỳ ử ự s ổ tr M Rổ õ ổ M ữủ ổ tr t ổ M ứ = M0 M1 M2 ởt t ổ M t k N s Mn = Mk ợ n k R ữủ tr R Rổ tr trữ ổ tr ổ õ s tữỡ ữỡ ổ tr t ủ rộ ổ õ tỷ ỹ t q ổ ỳ s q õ s tữỡ ữỡ tr t ủ rộ õ tỷ ỹ t q ỳ s ữỡ ổ ỳ s R ữủ ữỡ tr R õ t ởt ỹ m õ tữỡ R/m ởt trữớ trữớ t ữ R ỵ ữỡ (R, m) (R, m, k) ợ (k = R/m) R ữủ ỷ ữỡ R õ ỳ ỹ ởt ideal sỷ m R õ R ữỡ ợ ỹ = t m tỷ x R \ m tr R sỷ m ởt ỹ R tỷ t ủ + m = {1 + a|a m} tr R t R ữỡ ợ ỹ t m R S õ ởt ỗ f : R S ữủ ỗ ữỡ f (mR ) mS ợ ỹ mR R mS ỹ S M ởt Rổ S ởt t ủ M õ tt ổ M ự S ởt ổ M ự S ổ ữủ ổ s t S S õ S ữủ s t s < S > ú ỵ < S > ổ t M ự S ộ tỷ < S > ởt tờ ủ t t tr R S tự n ri si | ri R, si S, n N < S >= i=0 Rổ M õ ởt s ỗ ỳ tỷ t M ữủ Rổ ỳ s ợ ổ / M / M / M / õ tr ổ ợ tr ỳ s t ổ ỏ ụ ỳ s Pờ ổ SpecR t tt tố R õ SpecR ữủ R ợ ộ I R t V (I) = {p SpecR | p I} Supp(M ) t tố R s Mp = Supp(M ) ữủ ổ M ợ ộ x M AnnR (x) = {a R|ax = 0}; AnnR M = {a R|aM = 0} = {a R|ax = 0, x M } õ AnnR (x) AnnR (M ) ỳ R AnnR (M ) õ tỷ ổ M ỡ ỳ M R ổ ỳ s t Supp(M ) = {p SpecR|p AnnR (M )} q s M Rổ ỳ s ởt tỷ a ữủ tỷ q M q ax = ợ x M, x = ởt tỷ x1 , x2 , , xn Rổ ữủ q Rổ M ỏ ữủ M M/(x1 , x2 , , xn )M = xi M/(x1 , x2 , , xi1 )M q ợ i = 1, , n ổ t TorR n (M, N ) = ợ ợ ổ ổ t TorR n (M, N ) = ợ ợ ổ tỷ t M, N Rổ tỷ T tỷ HomR (M, ) T = HomR (M, ) : àR àR N HomR (M, N ) t t tứ N EN : / E0 d0 / E1 d1 / / E n1 dn1 / En d/ n (1) õ ự HomR (M, EN ) : / HomR (M, E ) / Hom (M, E n1 ) R dn1 / d0 / Hom (M, E ) R HomR (M, E n ) dn d1 / / (2) ổ ỗ tự n ự H n (HomR (M, EN )) ữủ ổ t tự n tỷ HomR (M, ) ữủ ỵ ExtnR (M, N ) õ ExtnR (M, ) : àR àR N ExtnR (M, N ) ữủ tỷ t tự tỷ HomR (M, ) tỷ t ổ tở sỹ ỹ ExtnR (M, N ) = 0, n < Ext0R (M, N ) = HomR (M, N ) ứ ợ ổ / /N N / / N 0, t ữủ ợ / HomR (M, N ) / / / HomR (M, N ) / Ext1R (M, N ) / Ext1R (M, N ) / Ext1R (M, N ) ExtnR (M, N ) / ExtnR (M, N ) / ExtnR (M, N ) / HomR (M, N ) ổ t ExtnR (M, N ) = 0, ợ số ữỡ ợ ổ ổ t ExtnR (M, N ) = 0, ợ số ữỡ ợ ổ / / ì ởt ổ ỳ s M tr ữỡ R õ ỳ t õ s ỡ s injdimM = depthR ổ tự ữủ t ợ t ổ tự ss r rsts ự ữủ r tr ợ ổ ố tr ổ tự õ ữớ t õ t t t rst rsts t tử ự ữủ tữỡ tỹ trữớ ủ ổ tr ữỡ õ ự ố r t ss ự rst ổ ỳ s ữ r ởt ổ tự ss rst tr tr tũ ỵ ởt ổ ỳ s M tr tr tũ ỵ R õ rst ỳ t rst õ ữủ ổ tự GidR M = sup{depthRp |p Supp(M )} ứ õ s r t q õ tr rsts ữ q ụ ự ữủ r ữỡ R tọ M tR t ợ ộ ổ ỳ s M tr R t õ rst M ú s R ữỡ tr tt t q tr t tr tt t ữỡ ú tổ tr rst r tt trữợ t ú tổ tr ự ỵ õ tr r trữớ ủ ổ ỳ s M tr ữỡ R õ ỳ õ ú tổ tr t q trữớ ủ ổ ỳ s M tr tr tũ ỵ R õ rst ỳ rst Rổ M ữủ rst tỗ t ởt ợ Rổ / I = / I2 / I1 /I I0 / I2 / s ự HomR (J, I) ợ ợ Rổ J M = Ker(I1 I0 ) ó r ổ rst õ t õ t ỹ ởt rst ởt ổ t ý M ởt Rổ ởt rst M ởt ợ / M / G0 / G1 / tr õ Gi rst ợ i M Rổ õ rst M GidR M ởt số ọ t n s M õ ởt rst / M /G / G1 / /G n / õ r ổ M õ rst ọ ỡ n GidR M n M õ ởt rst / /G M / G1 / /G n / ó r GidR M injdimR M r injdimR M < ỵ s t rst ỳ t õ õ t ữủ t tổ q t trt t tỷ t ổ õ rst ỳ õ GidR M = sup{i | ExtiR (J, M ) = 0, injdimR J < } ổ tự ss rst (R, m, k) ữỡ tr ổ ỳ s õ ỳ õ injdimR M = depthR () ự t r = injdimR M t = tR sỷ x = x1 , x2 , , xt ởt R q ỹ tR/(x) = k R/(x) t õ ợ Rổ / / k R/(x) / M / ợ tr s r ợ ExtrR (R/(x), M ) / ExtrR (k, M ) / Extr+1 R (N, M ) = t õ ExtrR (k, M ) = 0, õ ExtrR (R/(x), M ) = Pự s K (x) x tr R Rtỹ R/x õ t ứ õ s r r t (1) t ExttR (R/(x), M ) = H t (x, M ) tr õ H t (x, M ) ố ỗ s tự t M ố ợ x Prst t õ H t (x, M ) = r r t (2) ứ t õ injdimR M = depthR ổ tự () ữủ t ợ t ổ tự ss rsts ự ữủ r tr ổ tự tr ữỡ ợ ổ ố ữớ t õ t t t rst rsts r ự t q trữớ ủ ữỡ ự ự ố s t q tr ữ r ởt ổ tự t rst ữ ởt ổ tự ss tr tr tũ ỵ ởt ổ ỳ s õ rst ỳ õ GidR M = sup{depthRp | p Supp(M )} ự t t sỷ R M = ự ỵ tr trữớ ủ t r tRp = ợ tố p Supp(M ) sỷ ữủ r tRp > ợ ởt tố p Spec(R) õ pRp ự ởt tỷ Rp q x M Rổ rst t õ ợ / / N / I / M tr õ I Rổ tỷ ữỡ õ HomRp (Rp /pRp , ) ữỡ õ ợ tr sỷ t t Ip Rp ổ t ữủ ợ s / Ext1 (R /xR , M ) p p p Rp / Ext2 (R /xR , N ) p p p Rp / õ Ext2Rp (Rp /xRp , Np ) = proj dimRp Rp /xRp = r Ext1Rp (Rp /xRp , Mp ) = t tứ ợ / x / R Rp / p / Rp /xRp s ữủ ợ s / Mp x / / Mp Ext1Rp (Rp /xRp , Mp ) = õ t t õ p / Supp(M ) t ỵ ữủ ự tr trữớ ủ R M = t sỷ GidR M = n > rsts r tỗ t ởt ợ /K / L / M / 0, tr õ K Rổ rst injdimR L = GidR M = n t t õ tự injdimR L = sup{depthRp widthRp Lp | p Supp(L)}, tr õ R widthRp Lp = inf{i | Tori p (Rp /pRp , Lp ) = 0} ởt tố p Supp(L) /K p / Lp / / Mp 0, Rp ổ Rp ỗ ợ sỷ p Supp(M ) tỷ ( Rp Rp /pRp ) ợ tr t ữủ ợ Lp /pLp / Mp /pMp / t õ Mp /pMp = õ Lp /pLp = õ widthRp Lp = ợ p Supp(M ) p / SuppM t Lp = Kp ữỡ õ ởt K t tố p t õ ợ /I / I0 / Lp / 0, tr õ Ii Rổ sỷ Ki t ỗ Ii1 Ii2 ự tr ợ ộ Rp ổ T õ ỳ t ợ số ữỡ i t õ Exti (T, Lp ) = Exti+t (T, Kt ) ổ Rp Rp i + t > projdimRp T t õ tự tự s = sup{i | ExtiRp (T, Lp ) = 0, pdRp T < } = sup{depthRq widthRq Lq | qRp Supp(Lp )} ữ depthRp widthRp Lp ợ p Supp(L)\Supp(M ) õ GidR M = idR L = sup{depthRp widthRp Lp | p Supp(L)} = sup{depthRp widthRp Lp | p Supp(M )} = sup{depthRp | p Supp(M )} ởt ữỡ R ữủ dimR = depthR ữủ ữ st dimR depthR q s ởt ừ ổ tự ss trữớ ủ ữỡ õ ởt sỹ tờ qt õ ổ tự ss trữớ ủ rst tr q (R, m, k) ữỡ ữ ởt ổ ỳ s GidR M < t GidR M = depthR ự sỷ t t r ởt ữỡ ữ ợ tố p q t depthRp depthRq r trst ss ự ữủ r M ổ ỳ s tr ữỡ (R, m, k) t GidR M < t GidR/xR M/xM < tr õ tỷ x m R q M q q s ỵ ởt t q q (R, m, k) ữỡ ổ ỳ s tỷ x m q q t GidR/xR M/xM GidR M ỡ ỳ tự r ữ GidR M ỳ ự GidR M ổ t t tự sỷ M õ rst ỳ õ ự t tự tr t sỷ t q s Supp(M/xM ) = {p/xR | p Supp(M ), x p} x p t depth(R/xR)p/xR = depthRp GidR M < t q t õ GidR M = depthR t GidR/xR M/xM < GidR/xR M/xM = depthR/xR t õ GidR M = sup{depthRp | p Supp(M )} = sup{depthR/xR + | p Supp(M/xM )} = depthR r depthR/xR + depthR depthR/xR depthR GidR/xR M/xM GidR M tự s tứ q q s tự ữủ s r tứ ỵ r r rst ỳ ỗ q ữỡ õ q ởt ổ ỳ s p q tố Mp õ rst ỳ t GidRp Mp GidRq Mq ú t s t ởt ổ tự ss s ự ữủ ổ tự s (R, m, k) ởt ữỡ M Rổ ỳ s idR N < , t depthR depthR M = sup{i | ExtiR (M, N ) = 0} N ởt ọ tỹ ữủ t r r st ỵ ỏ ú ổ tr õ t t ữủ q s (R, m, k) ởt ữỡ rst ổ q õ k õ rst ỳ ữ ổ tr s ỳ õ t rst ỳ t sup{i | ExtiR (k, k) = 0} < pdR k < t õ ổ ú t q s sỹ tờ qt õ ởt t q s : (R, m, k) (S, n, l) ởt ỗ ữỡ ữỡ ởt ổ ợ ổ ỳ s õ ỳ tr t tự s ú ợ tR M = ởt ổ ỳ s depthR depthR M = sup{i | ExtiR (M, N ) = 0} ự t t = idR N depthR M = t tỗ t ởt ợ / k / M /C / ợ tr s r ợ / ExttR (M, N ) / ExttR (k, N ) / Extt+1 (C, N ) R / t t Extt+1 R (C, N ) = ExtR (k, N ) = ExtR (M, N ) = õ sup{i | ExtiR (M, N ) = 0} t t tự ữủ ú M ỳ s t t sỷ ữỡ q tr depthR M ự depthR M > õ tỗ t tỷ x m M q sỷ ợ s tứ ợ / M x / M / M/xM / õ t tt q t s r ự q s ởt sỹ tờ qt ổ tự ss ổ tự ụ t tr s s q : (R, m, k) (S, n, l) ởt ỗ ữỡ ữỡ ợ ổ ỳ s õ ỳ tr t tự s ú depthR = injdimR N ự ợ M = R/m r ú tổ ố ự tt ró ỳ tr t ss ổ tr tr ởt tt õ ró ỡ t ữủ ỳ s r ự ổ tự ss ỵ r ự ởt ổ tự ss rst ỵ t q r ởt số q ỵ t ỹ ữớ tr số ố ữỡ ố t ỡ s ỵ tt ổ t ữ t trt t t t r ss Ps r r r trt t tr ts r rst Prss rs r rs r rst Prss rsts rst ss tr ts tts r rrr rsts r strt ss ss r rsts r rst r t t t ss tr srt t ts r t ss ss r r rst t s r trt t r r rst Prss