5 đề thi chuyen có dáp án

5 TUYN SINH LP 10 CHUYấN: S GIO DC V O TO HI DNG KTHI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN NGUYN TRI Nm hc 2009-2010 Mụn thi : Toỏn chớnh thc Thi gian lm bi: 150 phỳt Ngy thi 08 thỏng nm 2009 ( thi gm: 01 trang) HI DNG, THA THIấN HU, HNG YấN, VNH PHC, THANH HO Cõu I (2.5 im): 1) Gii h phng trỡnh: x + y + xy = xy + 3x = 2) Tỡm m nguyờn phng trỡnh sau cú ớt nht mt nghim nguyờn: 4x + 4mx + 2m 5m + = Cõu II (2.5 im): 1) Rỳt gn biu thc: + x2 ( + x ) A= + x2 2) Cho trc s hu t m cho ( x) vi x m l s vụ t Tỡm cỏc s hu t a, b, c : a m2 + b m + c = Cõu III (2.0 im): 1) Cho a thc bc ba f(x) vi h s ca x l mt s nguyờn dng v bit f (5) f (3) = 2010 Chng minh rng: f(7) f(1) l hp s 2) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P = x 4x + x + 6x + 13 Cõu IV (2.0 im): Cho tam giỏc MNP cú ba gúc nhn v cỏc im A, B, C ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca M, N, P trờn NP, MP, MN Trờn cỏc on thng AC, AB ln lt ly ã ã D, E cho DE song song vi NP Trờn tia AB ly im K cho DMK = NMP Chng minh rng: 1) MD = ME 2) T giỏc MDEK ni tip T ú suy im M l tõm ca ng trũn bng tip gúc DAK ca tam giỏc DAK Cõu V (1.0 im): Trờn ng trũn (O) ly hai im c nh A v C phõn bit Tỡm v trớ ca cỏc im B v D thuc ng trũn ú chu vi t giỏc ABCD cú giỏ tr ln nht S GIO DC V O TO HI DNG Cõu Cõu I 2,5 im Phn 1) 1,5im KTHI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN NGUYN TRI Nm hc 2009-2010 Mụn thi : Toỏn Hng dn chm Ni dung im x + y + xy = (1) (2) xy + 3x = 2 T (2) x T ú y = 3x , thay vo (1) ta cú: x 0.25 3x 3x x2 + + x =3 ữ x x 7x 23x + 16 = Gii ta c x = hoc x = 0.25 0.25 16 0.25 16 7 x= y=m 7 7 ; Vy h cú nghim (x; y) l (1; 1); (-1; -1); ữ; 7 T x = x = y = ; x = 0.25 7 ; ữ 0.25 0.25 iu kin phng trỡnh cú nghim: x ' m 5m + (m 2)(m 3) Vỡ (m - 2) > (m - 3) nờn: x ' m v m m 3, m m Z m = hoc m = Khi m = x ' = x = -1 (tha món) Khi m = x ' = x = - 1,5 (loi) Cõu II 2,5 im 1) 1,5im Vy m = t a = + x; b = x a + b = 4; a b = 2x + ab ( a b A= )= 0.25 0.25 0.25 (a, b 0) 0.25 + ab ( a b ) ( a + b + ab ) 2 0.25 + ab + ab + ab ( a b ) ( + ab ) A= = + ab ( a b ) + ab A = + 2ab ( a b ) A 2= (a 0.25 0.25 + b + 2ab ) ( a b ) = ( a + b ) ( a b ) 0.25 0.25 A = a b = 2x A = x 2 2) 1,0im a m + b m + c = (1) Gi s cú (1) b m + c m + am = (2) T (1), (2) (b ac) m = (a m bc) 0.25 a m bc l s hu t Trỏi vi gi thit! b ac b ac = b3 = abc a m bc = bc = am 0.25 Nu a m bc m = b3 = a 3m b = a m Nu b thỡ m = Cõu III im 1) 1,0im b l s hu t Trỏi vi a gi thit! a = 0; b = T ú ta tỡm c c = Ngc li nu a = b = c = thỡ (1) luụn ỳng Vy: a = b = c = Theo bi f(x) cú dng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d vi a nguyờn dng Ta cú: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) Ta cú f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 M3 Vỡ a nguyờn dng nờn 16a + 2010>1 Vy f(7)-f(1) l hp s 2) 1,0im ( x 2) P= + 12 ( x + 3) + 22 0.25 Trờn mt phng ta Oxy ly cỏc im A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chng minh c: ( x x 3) AB = + ( ) = 25 + = 26 OA = ( x 2) + 12 , OB = ( x + 3) + 22 0.25 Mt khỏc ta cú: OA OB AB ( x 2) + 12 ( x + 3) + 2 26 0.25 Du = xy A thuc on OB hoc B thuc on OA x2 = x = Th li x = thỡ A(5; 1); B(10; 2) nờn A x +3 M thuc on OB Vy Max P = 26 x = Cõu IV im 1) 0,75im Ta d dng chng minh t giỏc MBAN ni tip ã ã , MCAP ni MAB = MNB ã ã tip CAM 0.25 = CPM K B C D N 0.25 E A P ã ã Li cú BNM = CPM (cựng ph gúc NMP) ã ã CAM = BAM (1) 0.25 Do DE // NP mt khỏc MA NP MA DE (2) T (1), (2) ADE cõn ti A MA l trung trc ca DE MD = ME 0.25 2) 1,25im M K B C D N E P A ã ã Do DE//NP nờn DEK , mt khỏc t giỏc MNAB ni tip = NAB nờn: ã ã ã ã NMB + NAB = 1800 NMB + DEK = 1800 ã ã ã ã Theo gi thit DMK = NMP DMK + DEK = 1800 T giỏc MDEK ni tip Do MA l trung trc ca DE MEA = MDA ã ã ã ã MEA = MDA MEK = MDC ã ã ã ã DM l phõn giỏc ca gúc CDK, Vỡ MEK = MDK MDK = MDC kt hp vi AM l phõn giỏc DAB M l tõm ca ng trũn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 bng tip gúc DAK ca tam giỏc DAK Cõu V im A' B' B O C A D' D Khụng mt tng quỏt gi s:AB AC Gi B l im chớnh gia ẳ AB' = CB' cung ABC Trờn tia i ca BC ly im A cho BA = BA AB + BC = CA ' ã ã ã ã ã Ta cú: B'BC (1) ; B'CA (2) = B'AC = B'CA + B'BA = 1800 ã ã ã ã (3);T (1), (2), (3) B'BA B'BC + B'BA ' = 180 = B'BA ' 0.25 0.25 Hai tam giỏc ABB v ABB bng A 'B ' = B 'A Ta cú B' A + B 'C = B ' A '+ B 'C A 'C = AB + BC ( BA + BC khụng i vỡ B, A, C c nh) Du = xy B trựng vi B ẳ Hon ton tng t nu gi D l im chớnh gia cung ADC thỡ ta cng cú AD + CD AD + CD Du = xy D trựng vi D Chu vi t giỏc ABCD ln nht B, D l cỏc im chớnh gia ằ ca ng trũn (O) cỏc cung AC Chỳ ý: Nu thớ sinh lm theo cỏch khỏc, li gii ỳng cho im ti a GIO DC V O TO THA THIấN HU 0.25 0.25 K THI TUYN SINH LP 10 CHUYấN QUC HC Mụn: TON - Nm hc 2008-2009 chớnh thc Thi gian lm bi: 150 phỳt Bi 1: (3 im) a) Khụng s dng mỏy tớnh b tỳi, hóy chng minh ng thc : 13 = x +1 + y = ( x + x + 1) y = 36 b) Gii h phng trỡnh : Bi 2: (1,5 im) Cho phng trỡnh: x 2mx + 2m = Tỡm giỏ tr m phng trỡnh cú bn nghim x1, x , x , x cho: x1 < x < x < x v x x1 = ( x x ) Bi 3: (3 im) Cho ng trũn (O), ng kớnh AB Gi C l trung im ca bỏn kớnh OB v (S) l ng trũn ng kớnh AC Trờn ng trũn (O) ly hai im tựy ý phõn bit M, N khỏc A v B Gi P, Q ln lt l giao im th hai ca AM v AN vi ng trũn (S) a) Chng minh rng ng thng MN song song vi ng thng PQ b) V tip tuyn ME ca (S) vi E l tip im Chng minh: ME = MA ìMP c) V tip tuyn NF ca (S) vi F l tip im Chng minh: ME AM = NF AN Bi 4: (1,5 im) Tỡm s t nhiờn cú bn ch s (vit h thp phõn) cho hai iu kin sau ng thi c tha món: (i) Mi ch s ng sau ln hn ch s ng lin trc (ii)Tng p + q ly giỏ tr nh nht, ú p l t s ca ch s hng chc v ch s hng n v cũn q l t s ca ch s hng nghỡn v ch s hng trm Bi 5: (1 im) Mt tm bỡa dng tam giỏc vuụng cú di ba cnh l cỏc s nguyờn Chng minh rng cú th ct tm bỡa thnh sỏu phn cú din tớch bng v din tớch mi phn l s nguyờn Ht SBD thớ sinh: Ch ký GT1: S GIO DC V O TO THA THIấN HU K THI TUYN SINH LP 10 CHUYấN QUC HC Mụn: TON - Nm hc 2008-2009 P N - THANG IM BI NI DUNG B.1 1.a 13 = = i m 3,0 12 + (2 ) = +1 = = = 0.25 = 3 ( ) 0.25 0,25 +1 = 0.25 1.b iu kin y (x 0,25 0,25 ) + 2x + y = 36 x + y = u + v = uv = 0,50 t u = x + , v = y ( u 0, v ), ta cú h Gii : u = , v = hoc u =3 , v = Trng hp u = , v = cú : ( x = ; y = ) hoc ( x = Trng hp u = , v = cú : ( x = ; y = ) hoc ( x = H ó cho cú nghim: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) ; y = 9) ; y = 4) B.2 x 2mx + 2m = (1) t : t = x , ta cú : t 2mt + 2m = (2) ( t ) ' = m 2m + = ( m 1) vi mi m Vy (1) cú bn nghim phõn bit thỡ (2) luụn cú hai nghim dng phõn bit t1 , t Tng ng vi: 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 0,25 0,25 0,25 ' > 0, P = 2m > 0, S = 2m > m > , m (3) Vi iu kin (3), phng trỡnh (2) cú nghim dng < t1 < t v phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit: x1 = t < x = t < x = t < x = t 0,25 Theo gi thit: x x1 = ( x x ) t = t1 t = t1 t = 9t1 (4) Theo nh lớ Vi-ột, ta cú: t1 + t = 2m v t1t = 2m (5) T (4) v (5) ta cú: 10t1 = 2m v 9t12 = 2m 9m 50m + 25 = m1 = ; m = 0,50 C hai giỏ tr u tha iu kin bi toỏn Vy phng trỡnh (1) cú nghim tha iu kin bi toỏn thỡ cn v l: m= v m = B.3 3,0 3.a 3.b + Hỡnh v 0,25 ã ã CPA = BMA = 900 CP / /BM AP AC = Do ú : (1) AM AB + Tng t: CQ / /BN v AQ AC = (2) AN AB AP AQ = T (1) v (2): , AM AN Do ú PQ / /MN ã ã ã ã + Hai tam giỏc MEP v MAE cú : EMP v PEM = AME = EAM 0,25 0,25 0,25 0,50 Do ú chỳng ng dng ME MP = ME = MA ìMP MA ME 0,50 + Tng t ta cng cú: NF2 = NA ìNQ 0,25 + Suy ra: 3.c ME MA ìMP = NF NA ìNQ MP MA + Nhng NQ = NA (Do PQ / /MN) ME AM ME AM = = + T ú: 2 NF AN NF AN 0,25 + Do ú: 0,25 0,25 B 1,5 Xột s tựy ý cú ch s abcd m a < b < c < d (a, b, c, d l cỏc s nguyờn) c a Ta tỡm giỏ tr nh nht ca p + q = + d b Do b, c l s t nhiờn nờn: c > b c b + Vỡ vy : p+q 0,25 b +1 + b p+q b 1 b + + +2 ì = 9 b 9 b 0,75 p+q = b trng hp c = b + 1, d = 9, a = 1, = 9 b 0,25 Vy s tha cỏc iu kin ca bi toỏn l: 1349 0,25 1,0 B.5 Gi a, b, c l di cnh tam giỏc vuụng ABC, c l cnh huyn Ta cú a + b = c ; a, b, c N* , din tớch tam giỏc ABC l S = ab 0.25 Trc ht ta chng minh ab chia ht cho 12 + Chng minh ab M3 0,25 10 Nu c a v b ng thi khụng chia ht cho thỡ a + b chia d Suy s chớnh phng c2 chia d 2, vụ lý + Chng minh abM4 - Nu a, b chn thỡ abM4 - Nu hai s a, b cú s l, chng hn a l Lỳc ú c l Vỡ nu c chn thỡ c M4 , lỳc a + b khụng th chia ht 0,25 cho t a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h N Ta cú : 2 b = ( 2h + 1) ( 2k + 1) = ( h k ) ( h + k + 1) = ( h k ) ( h k + 1) + 8k ( h k ) M8 Suy bM4 Nu ta chia cnh AB (chng hn) thnh phn bng nhau, ni cỏc im chia vi C thỡ tam giỏc ABC c chia thnh tam giỏc, mi tam giỏc 0.25 ab ny cú din tớch bng l mt s nguyờn 12 Ghi chỳ: Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im ti a cõu ú im ton bi khụng lm trũn 11 S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN HNG YấN Nm hc 2009 2010 Mụn thi: Toỏn (Dnh cho thớ sinh thi vo cỏc lp chuyờn Toỏn, Tin) Thi gian lm bi: 150 phỳt chớnh thc Bi 1: (1,5 im) Cho a = : +1 ữ +1 +1ữ Hóy lp mt phng trỡnh bc hai cú h s nguyờn nhn a - l mt nghim Bi 2: (2,5 im) x 16 xy y = a) Gii h phng trỡnh: xy y = x b) Tỡm m phng trỡnh ( x 2x ) 3x + 6x + m = cú nghim phõn bit Bi 3: (2,0 im) a) Chng minh rng nu s nguyờn k ln hn tho k + v k + 16 l cỏc s nguyờn t thỡ k chia ht cho b) Chng minh rng nu a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc cú p l na chu vi thỡ p a + p b + p c 3p Bi 4: (3,0 im) Cho ng trũn tõm O v dõy AB khụng i qua O Gi M l im chớnh gia ca cung AB nh D l mt im thay i trờn cung AB ln (D khỏc A v B) DM ct AB ti C Chng minh rng: a) MB.BD = MD.BC b) MB l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc BCD c) Tng bỏn kớnh cỏc ng trũn ngoi tip tam giỏc BCD v ACD khụng i Bi 5: (1,0 im) Cho hỡnh ch nht ABCD Ly E, F thuc cnh AB; G, H thuc cnh BC; I, J thuc cnh CD; K, M thuc cnh DA cho hỡnh - giỏc EFGHIJKM cú cỏc gúc bng Chng minh rng nu di cỏc cnh ca hỡnh - giỏc EFGHIJKM l cỏc s hu t thỡ EF = IJ Ht -12 S GIO DC V O TO HNG YấN K THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN Nm hc 2009 2010 Mụn thi: Toỏn Hng dn chm thi Bi 1: (1,5 im) a = 2: + = a = 2: ữ= : +1 +1ữ +1 +1 7 +1 +1 0,5 0,25 t x = a x = x + = x + 2x + = x + 2x = Vy phng trỡnh x + 2x = nhn lm nghim 0,5 0,25 Bi 2: (2,5 im) x 16 x 16 xy = (1) xy = y y a) K: x, y y x y xy = = (2) x y x Gii (2) 6y 6x = 5xy (2x + 3y)(3x 2y) = 3y 3y 16 y + = 2 0,25 0,25 * Nu 2x + 3y = x = Thay vo (1) ta c 3y 23 = (phng trỡnh vụ nghim) 2y * Nu 3x 2y = x = Thay vo (1) ta c y = y = - Vi y = x = (tho iu kin) - Vi y = x = (tho iu kin) Vy h phng trỡnh cú hai nghim: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) b) t x 2x + = y ( x 1) = y x = y (y 0) (*) Phng trỡnh ó cho tr thnh: ( y 1) ( y 1) + m = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 y 5y + m + = (1) 13 T (*) ta thy, phng trỡnh ó cho cú nghim phõn bit thỡ 0,25 phng trỡnh (1) cú nghim dng phõn bit > 4m > S > > P > m + > 0,25 m < < m < m > Vy vi < m < thỡ phng trỡnh cú nghim phõn bit 0,25 Bi 3: (2,0 im) a) Vỡ k > suy k + > 5; k + 16 > - Xột k = 5n + vi n  k = 25n + 10n + k + M5 0,25 k + khụng l s nguyờn t - Xột k = 5n + vi n  k = 25n + 20n + k + 16 M5 k + 16 khụng l s nguyờn t - Xột k = 5n + vi n  k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 khụng l s nguyờn t 0,25 0,25 - Xột k = 5n + vi n  k = 25n + 40n + 16 k + M5 0,25 k + khụng l s nguyờn t Do vy k M5 2 b) Ta chng minh: Vi a, b, c thỡ ( a + b + c ) ( a + b + c ) (*) Tht vy (*) a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 3a + 3b + 3c (a b) + (b c) + (c a) (luụn ỳng) ỏp dng (*) ta cú: ( pa + pb + pc Suy ) ( 3p a b c ) = 3p 0,5 0,5 p a + p b + p c 3p (pcm) Bi 4: (3,0 im) 14 N D J I A O C B M a) Xột MBC v MDB cú: ã ã BDM = MBC ã ã BMC = BMD 0,5 Do vy MBC v MDB ng dng Suy MB MD = MB.BD = MD.BC BC BD 0,5 ã ã ã b) Gi (J) l ng trũn ngoi tip BDC BJC = 2BDC = 2MBC ã BJC ã hay MBC = 0,5 ã ã BJC 180O BJC ã ã Suy MBC + CBJ = + = 90O MB BJ 2 0,5 ã 1800 BJC ã BCJ cõn ti J CBJ = Suy MB l tip tuyn ca ng trũn (J), suy J thuc NB c) K ng kớnh MN ca (O) NB MB M MB l tip tuyn ca ng trũn (J), suy J thuc NB Gi (I) l ng trũn ngoi tip ADC Chng minh tng t I thuc AN ã ã ã ã Ta cú ANB = ADB = 2BDM = BJC CJ // IN Chng minh tng t: CI // JN Do ú t giỏc CINJ l hỡnh bỡnh hnh CI = NJ Suy tng bỏn kớnh ca hai ng trũn (I) v (J) l: IC + JB = BN (khụng i) Bi 5: (1,0 im) 0,5 0,5 15 A E F a B b h c M H g K d f D G e J I C Gi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (vi a, b, c, d, e, f, g, h l cỏc s hu t dng) Do cỏc gúc ca hỡnh cnh bng nờn mi gúc ca hỡnh 0,25 cnh cú s o l: (8 2).180O = 135O Suy mi gúc ngoi ca hỡnh cnh ú l: 180O - 135O = 45O Do ú cỏc tam giỏc MAE ; FBG ; CIH ; DKJ l cỏc tam giỏc vuụng cõn MA = AE = h b d ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 2 f Ta cú AB = CD nờn: 0,5 h b f d +a+ = +e+ 2 2 (e - a) = h + b - f - d Nu e - a thỡ 2= h +bf d Ô (iu ny vụ lý ea t) Vy e - a = e = a hay EF = IJ (pcm) l s vụ 0,25 16 S GD&T VNH PHC CHNH THC K THI VO LP 10 THPT CHUYấN NM HC 2009-2010 THI MễN: TON Dnh cho cỏc thớ sinh thi vo lp chuyờn Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao ( cú 01 trang) Cõu 1: (3,0 im) a) 1 x + y + x + y = Gii h phng trỡnh: xy + = xy b) Gii v bin lun phng trỡnh: | x + | + p | x |= (p l tham s cú giỏ tr thc) Cõu 2: (1,5 im) Cho ba s thc a, b,c ụi mt phõn bit a2 b2 c2 + + Chng minh (b c) (c a) (a b) Cõu 3: (1,5 im) Cho A = 4x + 4x + v B = 2x x 2x + 2A + B Tỡm tt c cỏc giỏ tr nguyờn ca x cho C = l mt s nguyờn Cõu 4: (3,0 im) Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD, AB1 Cõu (1,5 im): + Phỏt hin v chng minh bc ca ab + + =1 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) 1,0 + T ú, v trỏi ca bt ng thc cn chng minh bng: b c bc ca ab a + + + + ữ ữ + bc ca a b (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 0,5 Cõu (1,5 im): iu kin xỏc nh: x (do x nguyờn) 0,25 2(x 1) x + D thy A = | 2x + 1| ; B = | x 1| , suy ra: C = ữ | 2x + 1| | x 1| 0,25 4(x + 1) 2x 4(x + 1) + 1ữ = > C = = Khi ú C = 2x + 3(2x + 1) 3(2x + 1) 3(2x + 1) 0,5 Suy < C < , hay C khụng th l s nguyờn vi x>1 Nu < x < Khi ú: x = (vỡ x nguyờn) v C = Vy x = l mt giỏ tr cn 0,25 tỡm 2 4(x + 1) C = 1ữ = 2x + 3(2x + 1) < C hay C =0 v x = -1 Nu x < Khi ú x (do x nguyờn) Ta cú: v C +1 = 4(x + 1) 2x +1 = > 0, 3(2x + 1) 3(2x + 1) suy Vy cỏc giỏ tr tỡm c tho yờu cu l: x = , x = -1 Cõu (3,0 im): a) 2,0 im: Ni dung trỡnh by 0,25 i m Gi I l trung im AB, I A B K E = IK CD , R = IM CD Xột hai tam giỏc ã ã KIB v KED cú: ABD = BDC 0,25 KB = KD (K l trung im BD) 0,25 0,25 ã ã IKB = EKD M Q D E H R C 19 Suy KIB = KED IK = KE Chng minh tng t cú: MIA = MRC Suy ra: MI = MR Trong tam giỏc IER cú IK = KE v MI = MR nờn KM l ng trung bỡnh KM // CD Do CD // AB (gt) ú KM // AB (pcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 1,0 im: Ta cú: IA=IB, KB=KD (gt) IK l ng trung bỡnh ca ABD IK//AD hay IE//AD Chng minh tng t ABC cú IM//BC hay IR//BC Cú: QK AD (gt), IE//AD (CM trờn) QK IE Tng t cú QM IR T trờn cú: IK=KE, QK IE QK l trung trc ng vi cnh IE ca IER Tng t QM l trung trc th hai ca IER H QH CD suy QH l trung trc th ba ca IER hay Q nm trờn trung trc ca on CD Q cỏch u C v D hay QD=QC (pcm) 0,2 0,2 0,2 0,2 Cõu (1,0 im): P' B' A C' P C B A' Trong s cỏc tam giỏc to thnh, xột tam giỏc ABC cú din tớch ln nht (din tớch S) Khi ú S Qua mi nh ca tam giỏc, k cỏc ng thng song song vi cnh i din, cỏc ng thng ny gii hn to thnh mt tam giỏc A ' B'C ' (hỡnh v) Khi ú SA 'B'C' = 4SABC Ta s chng minh tt c cỏc im ó cho nm tam giỏc A ' B'C ' Gi s trỏi li, cú mt im P nm ngoi tam giỏc A ' B'C ' chng hn nh trờn hỡnh 0.25 0.25 0.25 20 v Khi ú d ( P; AB ) > d ( C; AB ) , suy SPAB > SCAB , mõu thun vi gi thit tam giỏc ABC cú din tớch ln nht Vy, tt c cỏc im ó cho u nm bờn tam giỏc A ' B'C ' cú din tớch khụng ln hn 0.25 21 S GD V T THANH HO chớnh thc K THI TUYN SINH THPT CHUYấN LAM SN NM HC: 2009 - 2010 Mụn: Toỏn (Dnh cho thớ sinh thi vo lp chuyờn Tin) Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi:19 thỏng nm 2009 Cõu 1( 2,0 im) Cho biu thc: T = 2x + 1 x 1+ x x Tỡm iu kin ca x T xỏc nh Rỳt gn T Tỡm giỏ tr ln nht ca T Cõu ( 2,0 im) 2x xy = 2 4x + 4xy y = Gii h phng trỡnh: Gii phng trỡnh: x + y + 2009 + z 2010 = (x + y + z) Cõu (2,0 im) Tỡm cỏc s nguyờn a phng trỡnh: x 2- (3+2a)x + 40 - a = cú nghim nguyờn Hóy tỡm cỏc nghim nguyờn ú a0 b0 Cho a, b, c l cỏc s tho iu kin: 19a + 6b + 9c = 12 Chng minh rng ớt nht mt hai phng trỡnh sau cú nghim x 2(a + 1)x + a + 6abc + = x 2(b + 1)x + b + 19abc + = Cõu (3,0 im) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ni tip ng trũn tõm O ng kớnh AD Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC, E l mt im trờn cung BC khụng cha im A Chng minh rng t giỏc BHCD l hỡnh bỡnh hnh Gi P v Q ln lt l cỏc im i xng ca E qua cỏc ng thng AB v AC Chng minh rng im P, H, Q thng hng Tỡm v trớ ca im E PQ cú di ln nht Cõu ( 1,0 im) Gi a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc cú ba gúc nhn Chng minh rng vi mi s thc x, y, z ta luụn cú: x y z 2x + 2y + 2z + + > a b2 c2 a + b2 + c2 Ht H v tờn thớ sinh: H tờn v ch ký ca giỏm th S bỏo danh: H tờn v ch ký ca giỏm th 22 S GD V T THANH HO K THI TUYN SINH THPT CHUYấN LAM SN NM HC: 2009 - 2010 chớnh thc Mụn: Toỏn (Dnh cho thớ sinh thi vo lp chuyờn Tin) Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Hng dn chm 23 Cõu ý Ni dung im 2,0 0,25 iu kin: x 0; x 2x + 2 2x T= = = 3 x x x x + x +1 T ln nht x + x + nh nht, iu ny xy x= Vy T ln nht bng 2 2x Nhn thy x = khụng tho h nờn t (1) y = (*) x 2 2x 2x ) =7 Th vo (2) c: 4x2 + 4x -( x x 0,25 8x4 7x2 - = t t = x2 vi t ta c 8t2 - 7t - = 0,25 t = hoc t = - (loi) vi t =1 ta cú x2 = x = thay vo (*) tớnh c y = x = y = H phng trỡnh ó cho cú nghim: ; x = y = K: x 2; y 2009; z 2010 Phng trỡnh ó cho tng ng vi: ( ) ( 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x + y + z = x + y + 2009 + z 2010 2 x + y + 2009 + z 2010 = x = 3; y = 2008; z = 2011 0,5 0,5 2x xy = Gii h phng trỡnh: 2 4x + 4xy y = 0,75 ) ( ) 0,25 PT ó cho cú bit s = 4a2 + 16a -151 PT cú nghim nguyờn thỡ = n2 vi n N Hay 4a2 + 16a - 151 = n2 (4a2 + 16a + 16) - n2 = 167 (2a + 4)2 - n2 = 167 (2a + + n)(2a + - n) = 167 Vỡ 167 l s nguyờn t v 2a + + n > 2a + - n nờn phi cú: 0,25 0,25 2a + + n = 167 2a + - n = 4a + = 168 4a + = 168 2a + + n = -1 a = 40 a = 44 0,25 2a + - n = -167 vi a = 40 c PT: x2 - 83x = cú nghim nguyờn x = 0, x = 83 vi a = - 44 thỡ PT cú nghim nguyờn l x= -1, x = - 84 Ta cú: 1' = a(2 6bc) ; ' = b(2 19ac) Suy 1' + 2' = a(2 6bc) + b(2 19ac) T gi thit 19a + 6b + 9c = 12 ,Cta cú tng 0,25 0,25 0,25 H = c(12 9c) (2 6bc) + (2 19ac) = c(19a + 6b) a = 9c 12c + = ( 3c ) b Do ú ớt nht mt hai s (2 6bc) ;(2 19ac) khụng õm B A Mt khỏc, theo gi thit ta cú a ; cb T ú suy ớt nht mt 0,25 24 25 [...]...  k 2 = 25n 2 + 10n + 1 k 2 + 4 M5 0, 25 k 2 + 4 khụng l s nguyờn t - Xột k = 5n + 2 vi n  k 2 = 25n 2 + 20n + 4 k 2 + 16 M5 k 2 + 16 khụng l s nguyờn t - Xột k = 5n + 3 vi n  k 2 = 25n 2 + 30n + 9 k 2 + 16 M5 k 2 + 16 khụng l s nguyờn t 0, 25 0, 25 - Xột k = 5n + 4 vi n  k 2 = 25n 2 + 40n + 16 k 2 + 4 M5 0, 25 k 2 + 4 khụng l s nguyờn t Do vy k M5 2 2 2 b) Ta chng minh: Vi a, b, c... 2 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 y 2 5y + m + 4 = 0 (1) 13 T (*) ta thy, phng trỡnh ó cho cú 4 nghim phõn bit thỡ 0, 25 phng trỡnh (1) cú 2 nghim dng phõn bit > 0 9 4m > 0 S > 0 5 > 0 P > 0 m + 4 > 0 0, 25 9 9 m < 4 4 < m < 4 m > 4 9 Vy vi 4 < m < thỡ phng trỡnh cú 4 nghim phõn bit 4 0, 25 Bi 3: (2,0 im) a) Vỡ k > 1 suy ra k 2 + 4 > 5; k 2 + 16 > 5 - Xột k = 5n + 1 vi n  k 2 = 25n 2... trờn hỡnh 0. 25 0. 25 0. 25 20 v Khi ú d ( P; AB ) > d ( C; AB ) , suy ra SPAB > SCAB , mõu thun vi gi thit tam giỏc ABC cú din tớch ln nht Vy, tt c cỏc im ó cho u nm bờn trong tam giỏc A ' B'C ' cú din tớch khụng ln hn 4 0. 25 21 S GD V T THANH HO chớnh thc K THI TUYN SINH THPT CHUYấN LAM SN NM HC: 2009 - 2010 Mụn: Toỏn (Dnh cho thớ sinh thi vo lp chuyờn Tin) Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao... ữ= 2 : 7 +1 +1ữ 7 +1 +1 7 1 7 +1 +1 0 ,5 0, 25 t x = a 1 x = 7 1 x + 1 = 7 x 2 + 2x + 1 = 7 x 2 + 2x 6 = 0 Vy phng trỡnh x 2 + 2x 6 = 0 nhn 7 1 lm nghim 0 ,5 0, 25 Bi 2: (2 ,5 im) x 16 x 16 xy = (1) xy = y 3 y 3 a) K: x, y 0 y x 5 y 9 xy = = (2) x y 6 x 2 Gii (2) 6y 2 6x 2 = 5xy (2x + 3y)(3x 2y) = 0 3y 2 3y 3 16 y + = 2 2 3 0, 25 0, 25 * Nu 2x + 3y = 0 x = Thay vo (1) ta... = DJ = 2 2 2 f 2 Ta cú AB = CD nờn: 0 ,5 h b f d +a+ = +e+ 2 2 2 2 (e - a) 2 = h + b - f - d Nu e - a 0 thỡ 2= h +bf d Ô (iu ny vụ lý do ea t) Vy e - a = 0 e = a hay EF = IJ (pcm) 2 l s vụ 0, 25 16 S GD&T VNH PHC CHNH THC K THI VO LP 10 THPT CHUYấN NM HC 2009-2010 THI MễN: TON Dnh cho cỏc thớ sinh thi vo lp chuyờn Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao ( cú 01 trang) Cõu 1: (3,0... 1, 75 im: Ni dung trỡnh by iu kin xy 0 2[xy(x + y) + (x + y)] = 9xy (1) H ó cho 2 (2) 2(xy) 5xy + 2 = 0 xy = 2 (3) Gii PT(2) ta c: 1 xy = (4) 2 x = 1 x + y = 3 y = 2 T (1)&(3) cú: x = 2 xy = 2 y = 1 x = 1 3 y = 1 x + y = 2 2 T (1)&(4) cú: xy = 1 x = 1 2 2 y = 1 Vy h ó cho cú 4 nghim l: ( x; y ) = (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1) i m 0, 25 0, 25 0 ,50 0, 25 0, 25 0, 25 b)... (J) l: IC + JB = BN (khụng i) Bi 5: (1,0 im) 0 ,5 0 ,5 15 A E F a B b h c M H g K d f D G e J I C Gi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (vi a, b, c, d, e, f, g, h l cỏc s hu t dng) Do cỏc gúc ca hỡnh 8 cnh bng nhau nờn mi gúc trong ca hỡnh 8 0, 25 cnh cú s o l: (8 2).180O = 135O 8 Suy ra mi gúc ngoi ca hỡnh 8 cnh ú l: 180O - 135O = 45O Do ú cỏc tam giỏc MAE ; FBG ;... c 8t2 - 7t - 1 = 0 0, 25 t = 1 hoc t = - 1 (loi) 8 vi t =1 ta cú x2 = 1 x = 1 thay vo (*) tớnh c y = 1 x = 1 y = 1 H phng trỡnh ó cho cú 2 nghim: ; x = 1 y = 1 K: x 2; y 2009; z 2010 Phng trỡnh ó cho tng ng vi: ( 1 ) ( 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 x + y + z = 2 x 2 + 2 y + 2009 + 2 z 2010 2 2 2 x 2 1 + y + 2009 1 + z 2010 1 = 0 x = 3; y = 2008; z = 2011 3 0 ,5 0 ,5 2x 2 xy = 1 Gii h phng... giỏc ABC c chia thnh 6 tam giỏc, mi tam giỏc 0. 25 ab ny cú din tớch bng l mt s nguyờn 12 Ghi chỳ: Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng vn cho im ti a cõu ú im ton bi khụng lm trũn 11 S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN HNG YấN Nm hc 2009 2010 Mụn thi: Toỏn (Dnh cho thớ sinh thi vo cỏc lp chuyờn Toỏn, Tin) Thi gian lm bi: 150 phỳt chớnh thc Bi 1: (1 ,5 im) Cho a = 2 : 1 7 +1 1 ữ 7 +1 +1ữ 1... Xột hai tam giỏc ã ã KIB v KED cú: ABD = BDC 0, 25 KB = KD (K l trung im BD) 0, 25 0, 25 ã ã IKB = EKD M Q D E H R C 19 Suy ra KIB = KED IK = KE Chng minh tng t cú: MIA = MRC Suy ra: MI = MR Trong tam giỏc IER cú IK = KE v MI = MR nờn KM l ng trung bỡnh KM // CD Do CD // AB (gt) do ú KM // AB (pcm) 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 b) 1,0 im: Ta cú: IA=IB, KB=KD (gt) IK l ng trung bỡnh ca ABD IK//AD hay IE//AD ... - Xột k = 5n + vi n  k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 khụng l s nguyờn t 0, 25 0, 25 - Xột k = 5n + vi n  k = 25n + 40n + 16 k + M5 0, 25 k + khụng l s nguyờn t Do vy k M5 2 b) Ta chng... bit 0, 25 Bi 3: (2,0 im) a) Vỡ k > suy k + > 5; k + 16 > - Xột k = 5n + vi n  k = 25n + 10n + k + M5 0, 25 k + khụng l s nguyờn t - Xột k = 5n + vi n  k = 25n + 20n + k + 16 M5 k +... 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 x + y + z = x + y + 2009 + z 2010 2 x + y + 2009 + z 2010 = x = 3; y = 2008; z = 2011 0 ,5 0 ,5 2x xy = Gii h phng trỡnh: 2 4x + 4xy y = 0, 75 ) ( ) 0, 25 PT