bai tap

Lý do chọn đề tài: Trong nhiều năm gần đây, đa số các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi học sinh giỏi khối 7;8 đặcbiệt là thi vào các trờng THPT chuyên cũng nh năng khiếu thờ

Phòng gd& đt yên định Trờng tHCS yên tâm

*** -*** -*** -***

Phơng pháp giảI

Một số bài toán về tỉ lệ

thức hay và khó Ngời thực hiện : Lê xuân Phơng

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị : Trờng thcs yên tâm

Tháng 04 Năm 2010

a phần mở đầu

I Lý do chọn đề tài:

Trong nhiều năm gần đây, đa số các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi học sinh giỏi khối 7;8 đặcbiệt là thi vào các trờng THPT chuyên cũng nh năng khiếu thờng gặp những bài toán về tỉ lệ thức đặc biệt làcác bài toán về dãy tỉ số bằng nhau hay và khó Các bài toán này gọi chung là các bài toán về tỉ lệ thức Các bài toán này rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục t tởng quamôn toán: Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, trong một bài toán để dần dần hình thành cho học sinhthói quen đi tìm giải pháp tối u cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này

Loại bài toán này đa dạng nh vậy và nhiều bài toán học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc phân tích đểtìm ra lời giải Nhng trong các tài liệu tham khảo chi mới dành một phần nhỏ để nói về vấn đề này hoặc viêtrời rạc và các bài toán đa số là các bài khá đơn giản, rất ít bài nhằm phát huy t duy ở học sinh Vì vậy quanhiều năm ôn học sinh giỏi, qua thực tế giảng dạy bản thân đã đọc tham khảo nhiều sách tài liệu về toán tôirút ra đợc một số dạng bài tập về tỉ lệ thức hay vá khó, và phơng pháp để giải các dạng bài toán đó nhằmgóp thêm tài liệu cho đồng nghiệp tham khảo trong việc bồi dỡng học sinh giỏi toán khối THCS

1 ý nghĩa của đề tài:

Các bài toán về tỉ lệ thức và phơng pháp giải có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh :

+ Rèn luyện phơng pháp phân tích bài toán trớc khi bắt tay vào giải bài toán đó

+ Rèn luyện kĩ năng giảI toán tỉ lệ thức

+ Là vốn kiến thức cần thiết cho Học Sinh (HS) khi thi HS giỏi các cấp

+ Là hành trang để các em thi vào THPT chuyên và không chuyên

+ Là cơ sở vững chắc và vốn hiểu biết để các em ôn thi đại học sau này

+ Góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện và phát triển t duy ở học sinh

Với ý nghĩa và tác dụng nh vậy, việc hớng dẫn học sinh tiếp cận và vận dụng các phơng pháp giải các bàitoán tỉ lê thức là vấn đề quan trọng

II Thực trạng của vấn đề.

Nhà trờng có tủ sách phong phú về chủng loại sách để giáo viên có điều kiện tham khảo trong quátrình dạy học

Ngày nay với trình độ khoa học tiên tiến nên chúng ta đợc tiếp cận tốt hơn với những kiến thức mới,những phát minh mới cũng nh học hỏi bạn bè trên khắp đất nớc

Song tuy nhiều tài liệu nhng việc đọc và phân loại các bài toán cần có nhiều thời gian

Khó khăn trong việc hình thành và rèn luyện ở HS khả năng phân tích, so sánh , tổng hợp, …trớckhi giải toán

2 Thực trạng:

Giáo viên môn toán thờng cha quan tâm đến vấn đề này, cha chú ý đến việc phân loại các dạngbài, cha phân loại đối tợng HS để rèn luyện kỉ năng giải toán nói chung và các bài toán tỉ lệ thức nóiriêng cho các em HS

Vì vậy chất lợng HS tuy có nhiều tiến bộ song vẫn còn thấp so với yêu cầu thực tế và tiềm năng của

HS Đa số các em giải toán theo hớng dẫn của giáo viên một cách máy móc, cha biết nhìn nhận,phân tích bài toán trớc khi giải, có khi còn mò mẫm lúng túng khi giải bài tập toán

Theo khảo sơ bộ ở HS khối lớp 7, 8 là khối tiếp cận nhiều với toán tỉ lệ thức năm 2004-2005 chothấy :

+ Có 35% định hớng để giải đợc các bài toán tỉ lệ thức, 21% làm đợc một số bài đơn giản, 25%làm mò mẫm số còn lại cha biết giải

+ Trong mỗi lớp dạy tỉ lệ HS có khả năng giải toán còn thấp

+ Chất lợng mũi nhọn không cao

Với thực trạng nh vậy bản thân là một giáo viên dạy toán không khỏi lo lắng cho chất lợng dạyhọc của nhà trờng nói chung và của bản thân nói riêng Qua nhiều năm bồi dỡng và tìm hiểu nhiềutài liệu

Ph ¬ng ph¸p gi¶I mét sè bµi to¸n

tØ lÖ thøc hay vµ khãD¹ng 1: Tõ mét d·y tØ sè b»ng nhau chøng minh mét d·y tØ sè b»ng

nhau kh¸c

Trong d¹ng nµy chóng ta cÇn chi thµnh mét sè lo¹i ®iÓn h×nh sau:

Lo¹i 1: Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña mçi tØ sè víi mÉu t¬ng øng.

đẳng thức cùng bằng nhau để đi đến một dãy tỉ số cần chứng minh.

Ví dụ 1: Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn:

Lo¹i 3 §Æt d·y tØ sè b»ng mét sè k hoÆc 1

k nhng ph¶i b×nh ph¬ng hai vÕ cña

LÊy (2)-(5) ta cã: 2y(x3+8y3+27z3-6xyz) = k2(b2-ac) ⇔ x3 8y3 27z2 3 6xyz 4 2 3 c

B»ng c¸ch lµm tîng tù ta cã thÓ cho HS lµm thªm c¸c bµi sau:

k

y z

a k

z x

b k

a b

z k

b c

x k

k

z y

a k

z x

b k

Bằng cách làm tợng tự ta có thể cho HS làm thêm các bài sau:

1 Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn: a(y+z) = b(x-z)= c(x-y) Chứng minh rằng:

Dạng 2: Từ một dãy tỉ số bằng nhau chứng minh một đẳng thức:

Với loại này có rất nhiều laọi song ở đây tôi đề cập đến ba loại mà cách giải khá quen với HS trong quá trình làm và có thể từ đó HS thấy rằng với cách đó có thể vận dụng vào các bài toán rất hiệu quả

Loại 1: Đó là đặt dãy tỉ số bằng k hoặc 1

k từ đó ta tính giá trị hai vế của đẳng thức và

so sánh:

Ví dụ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: x y z

a = =b c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 (a b c)2

+ ++ + =

+ +

Lời giải: Đ ặt x y z

a = =b c= k Ta có : x=ka, y=kb và z=kcKhi đó: a2 b2 c2

Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: x y z

a = =b c Chứng minh rằng: 2 2 22 2 12 2

+ + =+ + + +

Suy ra: 4(a-b)(b-c)=(a-c)2 (§PCM).

VÝ dô 5: Cho a,b,c tho¶ m·n:

Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)2 (§PCM)

VÝ dô 6: Cho a,b,c tho¶ m·n:

3 3

b

c =

2 2

Bằng cách tơng tự có thể giảI các bài toán sau:

1 Cho a,b,c thoả mãn:

Loại 2: Từ một dãy tỉ số bằng nhau kết hợp với điều kiện của bài toán ta cũng có thể chứng

minh đợc một đẳng thức đúng Với loại này ta cũng nên đặt dãy tỉ số bằng một hằng số k hoặc

1

k nào đó.

Ví dụ 1: Cho 2 2 2

11

sử dụng phép biến đổi để đI đến đáp số:

Ví dụ1: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn: 2 1 2 1 1

− .c a ac

− .22

b a ab

c a ac

− .22

b a ab

36a b c = 0

* NÕu (a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 0

NÕu a = 3c ⇒2b = a ⇒ a = 2b = 3c

NÕu a = 2b ⇒ 2b = 3c ⇒ a = 2b = 3c

NÕu 2b = 3c ⇒a = 3c ⇒ a = 2b = 3c

* NÕu 1- 2 2 21

36a b c = 0 ⇔ 36a2b2c2 =1

VËy: a = 2b = 3c hoÆc 36a2b2c2 =1 (§PCM)

VÝ dô 3: Cho a,b,c kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: 12 1 4 1 3 1

− . 33

VËy: 3a = 4b = c hoÆc 144a2b2c2 =1 (§PCM

T¬ng tù ta cã thÓ lµm bµi to¸n sau:

1 Cho a,b,c kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: ab 1 bc 1 ac 1

1

c a

HS thêng khã sö lý mét c¸ch thuén lîi cho c¸ch gi¶i.

Ví dụ 1: Tìm x;y;z khác không thoả mãn xy 1 zy 1 xz 1 1

− = − = − =

PP: Với loại này ta nên hớng dẫn HS kết hợp hai tỉ số thành một đẳng thức để biến đổi, sau đó

nhân các kết quả ta sẻ tim ra đợc mối quan hệ đặc biệt của x;y;z Vì dãy tỉ số bằng 1 nên ta sẻ tìm đợc giá trị của x;y;z

− = ⇔x = 1 1

2y+ )yz = 6 ⇔ z + 2yz = 12 mµ 2 1 1

3

y z

− = suy ra z + z (1+ 1

3z) = 12

− = ⇔x = 1 1

2 y+ )yz = -6 ⇔ z + 2yz = -12 mà 2 1 1

3

y z

74 và x=

7235Tơng tự ta có thể giải các bài toán sau:

3 Tìm x;y;z thoả mãn: 4x – y2 = 4y-z2 = 4z-x2 = 1

4 Tìm x;y;z thoả mãn: 3x-y2= 3y – z2 = 3z – x2=1

Dạng 4: Từ đẳng thức cho trớc, chứng minh một dãy tỉ số bằng nhau: Với loại toán này thông thờng chúng ta nên hớng dẫn HS dùng phép biến đổi tơng đơng để đa đẳng thức về dạng tổng của các số không dơng hoặc không âm.

Ví dụ 1: Cho a;b;c thoả mãn (a+2b)(2b+3c)(3c+a) ≠ 0 và

Ví dụ 2: Cho a;b;c thoả mãn (a- b)(b+2c)(2c-a) ≠ 0 và

Tơng tự có thể giải các bài toán sau:

1 Cho a;b;c thoả mãn (2a+3b)(3b+4c)(2c+a) ≠ 0 và

h-đi đến kết quả:

⇔ y+z+t = z+t+x = x+t+y = x+y+z

II Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm:

Sau thời gian vận dụng phơng pháp kết, quả đạt đợc tơng đối khả quan 60% đã vận dụng thành thạo, 30% đã biết vận dụng để giải một số bài đơn giản, 10% cần đợc bồi dỡng thêm Trong các kì thi học sinh giỏi HS đã đạt đợc một số thành tích đáng kể.

C Phần kết luận

I Kết luận.

Thông qua một số bài toán và phơng pháp giải một số bài toán tỉ lệ thức hay và khó học sinh đã hình thành cho mình một cái nhìn về bài toán này một cách tích cực, hình thành một số phơng pháp giải toán cho học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi.

Qua quá trình hớng dẫn một cách cụ thể nh vậy, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt các phơng pháp giải một số dạng toán tỉ lệ thức hay và khó vào giải các bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng, kết hợp các phơng pháp để giải đợc các bài toán đại số ở dạng khó hơn Qua

đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài toán này nói riêng và học môn toán nói chung.

Trên đây là một số kinh nghiệm trong việc bồi dỡng học sinh về phơng pháp giải một số bài toán về tỉ lệ thức hay và khó cho HS lớp 7;8 đặc bịêt là HS khá giỏi Mong rằng với một số dạng bài này đồng nghiệp vận dụng sáng tạo vào tình hình của học sinh và bổ sung để công tác bồi dỡng học sinh ngày càng có kết quả.

- điểm chung và khái quát để tìm ra phơng pháp giải cho các dạng toán đó.

môn toán cho các em.

- Khi dạy cần chú ý dạy dạy phơng pháp cho các em, đặc biệt là phơng

II Một số ý kiến đề xuất

1. Đối với giáo viên toán:

Trong quá trình dạy giáo viên cần phân loại các dạng toán, tìm các đặc pháp phân tích bài toán.

- Tạo hứng thú cho các em khi học toán

2. Đối với các cấp quản lý.

- Cần đầu t nhiều trang thiết bị hơn nữa để phục vụ cho dạy học

- Đầu t cơ sở vật chất nhà trờng để giáo viên sử dụng công nghệ thông tin vào công việc giảng dạy.

Yên tâm, ngày 15 tháng 04 năm 2010

Ngời thực hiện

Lê xuân phơng