Đề thi HSG cấp trờng năm học 2009-2010 Môn: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu (5 điểm): Cho biểu thức: 1 A= + ữ: ữ+ x 1+ x x 1+ x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính A x = + c) Với giá trị x A có giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó? Câu (3,5 điểm): Cho hệ phơng trình: mx + 4y = m + (m tham số) x + my = m a) Giải hệ phơng trình với m = b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m Z để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên Câu (4 điểm): Cho phơng trình: x ( m 1) x m = ( 1) a) Chứng minh rằng: phơng trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ;x thoả mãn x 21 + x 2 10 c) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 ;x cho : E = x 21 + x 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Câu (1,5 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: a2 + 2b2 2ab + 2a 4b + với số thực a, b Câu (6 điểm): Cho ( O; R) có hai đờng kính AOB COD vuông góc với Lấy điểm E đoạn OA, nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey a) Chứng minh rằng: I, F, E, O nằm đờng tròn b) Tứ giác CEIO hình gì? Vì sao? c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng nào? Đáp án Biểu điểm Câu 1: a) ĐK: x > 0; x Rút gọn đợc: A= b) A nhỏ mẫu x(1 x) ( ) x x lớn 1 1 x(1 x) = x x = ( x )2 + , x A , x 4 1 Dấu "=" xảy x = x = Vậy Min A = x = Câu 2: a) Với m = hệ phơng trình có nghiệm ( x = ; y = ) 3 b) Từ hệ phơng trình ta có : (m2 4) y = m2 m (m + 2)(m 2) y = (m + 1)(m 2) - Nếu m = : PT (*) 0y = Hệ phơng trình cho vô số nghiệm - Nếu m = -2 : PT (*) 0y = Hệ phơng trình cho vô nghiệm m +1 - Nếu m : PT (*) y = m+2 m m +1 Hệ phơng trình cho có nghiệm ( x = ;y= ) m+2 m+2 Ta có (*) c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên : m +1 y= =1nguyên M(m + 2) m + {1 ; -1} m = -1 ; m = m+2 m+2 -3 m Với m = -1 ; m = -3 x = nguyên m+2 Vậy để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên m = -1 ; m = -3 Câu 3: 15 2 a) ' = ( m 1) + (3 + m) = m m + = (m ) + > , m b) Theo hệ thức Vi-et ta có: x1 + x = 2(m 1) ; x1 x = (m + 3) Để x 21 + x 2 10 (x1 + x )2 2x1 x 10 4(m 1)2 + 2(m + 3) 10 m(2m 3) m0;m 31 31 c) E = x 21 + x 2 = 4m2 6m + 10 = (2m - )2 + 4 Câu 4: a2 + 2b2 2ab + 2a 4b + (a b + 1)2 + (b 1)2 a, b ... x = 2(m 1) ; x1 x = (m + 3) Để x 21 + x 2 10 (x1 + x )2 2x1 x 10 4(m 1)2 + 2(m + 3) 10 m(2m 3) m0;m 31 31 c) E = x 21 + x 2 = 4m2 6m + 10 = (2m - )2 + 4 Câu 4: a2 + 2b2 2ab + 2a... nghiệm m +1 - Nếu m : PT (*) y = m+2 m m +1 Hệ phơng trình cho có nghiệm ( x = ;y= ) m+2 m+2 Ta có (*) c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên : m +1 y= =1nguyên M(m + 2)... m+2 Vậy để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên m = -1 ; m = -3 Câu 3: 15 2 a) ' = ( m 1) + (3 + m) = m m + = (m ) + > , m b) Theo hệ thức Vi-et ta có: x1 + x = 2(m 1) ; x1