I Những vấn đề chung Lý viết sáng kiến kinh nghiệm 1.1- Cơ sở lý luận: Các toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đờng phụ toán khó với học sinh THCS Bởi để giải toán dạng không yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà đòi hỏi học sinh cần có kỹ giải toán định, có sáng tạo định Để tạo đợc đờng phụ liên kết tờng minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực thao tác t duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải toán phải kẻ thêm đờng phụ sáng tạo nhỏ, biểu mức độ cao kỹ năng, thể tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý hay gọi quy lạ quen khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do việc học tốt toán hình có lời giải phải kẻ thêm đờng phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ t khoa học học sinh 1.2- Cơ sở thực tiễn: Giải toán hình có kẻ thêm đờng phụ đòi hỏi phải thực nhiều thao tác t Vì đòi hỏi học sinh phải rèn luyện mặt t hình học thuật phát triển Do định lý sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đờng phụ sách giáo khoa (SGK) đề cập đến, việc làm ví dụ toán lớp có loại toán dạng Tuy nhiên tập SGK đa nhiều dạng toán tập nâng cao toán khó hay lại toán giải cần phải kẻ thêm đờng phụ Trên thực tế, hc sinh giải toán dạng cần phải có nhiều thời gian nghiên cứu Do việc sâu vào nghiên cứu tìm tòi cách giải toán có vẽ thêm đờng phụ hc sinh Còn đa số học sinh việc nắm vững mục đích, yêu cầu vẽ đờng kẻ phụ nh kiến thức số loại đờng phụ hạn chế.Vì với trình bày đề tài Hớng dẫn học sinh vẽ đờng phụ giải toán hình học nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên sở cho giáo viên dạy tốt loại toán hình có kẻ thêm đờng phụ Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm: Việc gợi mở lại cho hc sinh nội dung kiến thức giải toán có kẻ thêm đờng phụ cần thiết, sở giáo viên cung cấp đầy đủ kiến thức cho học sinh Với việc phân dạng đợc toán hình mà lời giải có sử dụng đờng phụ, đồng thời sâu vào hớng dẫn số toán cụ thể tạo điều kiện để hc sinh bổ sung cho trình độ kiến thức, góp phần gợi phơng pháp gii toán cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp việc kẻ thêm đờng phụ II NI DUNG A Các bớc tiến hành Điều tra: Trớc đa vào thực sáng kiến tiến hành điều tra hiểu có kỹ giải toán hình có lời giải vẽ thêm đờng phụ học sinh nh sau: - Đối tợng điều tra: Học sinh lớp 8B trờng THCS Vân Đồn, năm học 2010-2011 - Tổng số học sinh đợc điều tra: 25 em - Thống kê điều tra nh sau: 01 Số học sinh nắm đợc sơ lợc loại đờng phụ thờng sử dụng giải Toán THCS có: 10 em chiếm 40 % 02 Số học sinh nắm đợc phép dựng hình thờng sử dụng giải toán THCS có: em chiếm 24% 03 - Số học sinh dựng đợc đờng kẻ phụ hợp lý giải đợc số toán chơng trình toán lớp gồm có: em chiếm 16% 04 Số học sinh lúng túng, cha giải đợc toán hình học có vẽ thêm đờng phụ giải Toán THCS có: 16 em chiếm 64 % 05 Số học sinh thành thạo dạng toán, có kỹ tốt giải đợc toán tơng đối khó : em chiếm 0% Quá trình thực hiện: 2.1 Các yêu cầu vẽ đờng phụ 01- Vẽ đờng phụ phải có mục đích: Đờng kẻ phụ, phải giúp cho đợc việc chứng minh toán Muốn phải kết phân tích tổng hợp, tơng tự hoá, mày mò dự đoán theo mục đích xác định gắn kết đợc mối quan hệ kiến thức có với điều kiện cho toán kết luận phải tìm Do không đợc vẽ đờng phụ cách tuỳ tiện (cho dù mày mò, dự đoán) đờng phụ không giúp ích cho việc chứng minh làm cho vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm lời giải Vì vẽ đờng phụ phải tự trả lời câu hỏi "Vẽ đờng phụ có đạt đợc mục đích muốn không?" Nếu "không" nên loại bỏ 02- Đờng phụ phải đờng có phép dựng hình phải xác định đợc 03 Lựa chọn cách dựng thích hợp đờng phụ: Đờng phụ thờngthỏa mãn tính chất , việc lựa chọn đờng phụ quan trọng.Tuy đờng phụ vẽ thêm nhng cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác 04.Một số loại đờng phụ thờng đợc sử dụng giải toán hình chơng trình THCS - Đờng phụ điểm: - Đờng phụ đờng thẳng, đoạn thẳng: - Đờng phụ đờng tròn: 2.2 Các sở để xác định đờng phụ : Ta đa dựa sở sau để xác định đờng phụ vễ đờng ? vẽ từ đâu ? 01- Kẻ thêm đờng phụ tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải toán 02- Kẻ thêm đờng phụ để tạo nên tình phù hợp với định lý để giải toán 03- Kẻ thêm đờng phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán 04- Kẻ thêm đờng phụ để sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng 05 Kẻ thêm đờng phụ để biến đổi kết luận tạo thành mệnh đề tơng đơng để giải toán 2.3 Các biện pháp phân tích tìm cách vẽ đờng phụ: 01 Dựa vào toán biết: Dựa vào toán quen thuộc, định lý tính chất học , học sinh nghiên cứu giả thiết kết luận toán, tìm điểm tơng đồng từ vẽ đờng phụ thích hợp để đa toán cần giải toán quen thuộc Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy AB kéo dài đoạn BD = AB Gọi CE trung tuyến tam giác ABC CMR: CE = CD A E B C M Ta phân tích phần nội dung: Kẻ đờng phụ D Phân tích: Từ kết luận toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm CD Muốn chứng tỏ đoạn thẳng nửa đoạn thẳng khác cách làm chia đôi đoan thẳng chuyển toán chứng minh hai đoạn thẳng Gọi M trung điểm CD ta có CM = MD, ta phải chứng minh CE=CM CE=DM Chọn CE = CM Từ phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy chứng minh đợc EBC = MBC ta có đợc CE=CM điều phải chứng minh Đến điều cần chứng minh rõ ràng phải chứng minh EBC = MBC, hai tam giác theo trờng hợp c.g.c Việc hớng dẫn học sinh kẻ đờng phụ ta dựa vào phân tích trên, ta đa cho học sinh câu hỏi gợi mở, chẳng hạn: - Với M trung điểm CD, em cho biết CE CM cạnh tam giác nào? - Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đờng phụ chứng minh điều gì? - Hoặc với học sinh khá, giỏi ta hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì? 02 Kẻ thêm đờng phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán: Đối với trờng hợp (dạng này) thờng toán chứng minh đờng thẳng đồng quy, hai đờng thẳng vuông góc, đờng trung tuyến tam giác, tam giác cân có đờng cao đồng thời đờng trung tuyến Ví dụ2: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD ã N điểm đờng chéo AC cho BNM = 900 Gọi F điểm đối xứng A qua N, chứng minh:FB AC E B C I K N A F M D Ta phân tích nội dung kẻ đờng phụ gợi ý chứng minh Phân tích: ã Ta thấy BFC góc BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng góc ã ã ã tam giác 180O có FBC + BCF + BFC = 1800 , nhng ta cha thể tính đợc ã ã ã độ nên suy đợc số đo góc BFC Vậy không FBC + BCF thể vận dụng định lý để chứng minh - Nhng toán cho ta giả thiết liên quan đến góc vuông trung điểm đoạn thẳng , ta liên kết giả thiết lại với để chứng minh toán cách nào? Đó câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt cho học sinh hớng dẫn em tự đặt câu hỏi nh Liệu BF có đờng cao BNC đợc không? Để chứng minh BF đờng cao tam giác BNC ta phải chứng minh BF qua điểm đặc biệt tam giác? Dựa vào ta hiểu phải chứng minh BF qua trực tâm BNC Do phân tích - tổng hợp ta đến việc dựng NE BC E Gọi giao điểm NE với BF I Ta suy chứng minh đợc CI // MN suy CI vuông góc với BN (Vì MNBN) tức CI đờng cao BNC Vậy I trực tâm BNC (Vì I NE CK) Do suy điều phải chứng minh là: BF AC Tóm lại việc kể thêm NE BC E nhằm tạo điểm I NE BF để chứng minh I trực tâm BNC Từ phân tích ta dựa vào đề hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn sử dụng câu hỏi nh: - Để chứng minh BF vuông góc với AC ta chứng minh BF đờng BNC? nào? - Để chứng minh BF qua trực tâm BCN ta phải có điểm - Ta phải kẻ thêm đờng phụ để có điểm giao BF với đờng cao BNC? - Với NE đờng cao BNC NE BF I, ta phải chứng minh I điểm có tính chất gì? Ví dụ3: Cho ABC M điểm Nối M với đỉnh A, B, C cắt cạnh đối diện lần lợt A, B, C qua M kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB; AC K H Chứng minh rằng: MK = MH Đây toán tơng đối khó với học sinh Sau tìm nhiều cách chứng minh kết Ta ý đến giả thiết toán cho ta yếu tố đồng quy song song Giả thiết định lý gần với nhất? Câu trả lời mong đội đâylà định lý Talet - KH // BC Đoạn thẳng BC đợc chia thành đoạn nhỏ ? - Thiết lập quan hệ MH, MK với đoạn BA CA,BC - Cần phải xác định thêm điểm nào? - Điểm P Q giao KH với AB AC A B' C' P B M K H A' Q Ta có lời giải nh sau Giả sử HK cắt AB, AC P, Q Theo định lý Talét MH CA' MQ BC MP BA' = ; = ; = MP CB MK BA' MQ CA' C MH MQ MP CA' CB BA' = MP MK MQ CB BA' CA' MH = MH = MK MK 03 Dựa vào biến đổi đại số để xác định đờng phụ Chứng minh rằng: Ví dụ 4: Cho ABC có àA = B 2 BC = AC + AC.AB Hớng dẫn: - Các định lý tính chất giúp ta công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ? Câu trả lời định lý Pitago công thức gần với công thức , GV cần hớng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago không tạo đợc góc vuông có liên quan đến độ dài ba cạnh đợc - Ngoài định lý Pitago cách khác không? Câu trả lời mong đợi định lý ta lét tam giác đồng dạng - Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đa dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng BC = AC + AC AB BC = AC ( AC + AB ) Đến GV yêu cầu học sinh đa toán quen thuộc việc chứng minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng cách tạo đoạn thẳng AB+AC -Từ học sinh đa hai cách vẽ đờng phụ đặt liên tiếp cạnh AB doạn AC đặt cạnh AC đoạn AB ? Nên đặt dựa điểm ? Chọn đặt kề cạnh để vận dụng đợc giả thiết àA = B ? Câu trả lời mong đợi lấy tia đối tia AC đoạn AB Từ ta có lời giải D Giải: Trên tia đối tia AC lấy D cho AD = AB Khi ABC cân A nên: A ã BAC = ãABD = ãADB 1ã ã Xét ABC BDC có: BDC = ãABC = BAC B chung nên ABC đồng dạng với BDV (g.g) C BC AC = => BC = AC.CD = AC ( AC + AD) = AC ( AC + AB) = AC + AC AB CD BC C Nh việc dạy cho học sinh biết cách giải toán mà lời giải có kẻ thêm đờng phụ không đơn đa số giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ đờng phụ, sau phân dạng toán đa vào gợi mở học sinh tìm đợc lời giải cho toán cụ thể Trong trình hình thành cho học sinh kỹ vẽ đờng phụ giải toán hình học 2.4 Một số tập hớng dẫn học sinh giải Bài 1: Tính cạnh hình thoi ABCD biết bán kính đờng tròn ngại tiếp cac tam giác ABC ABD lần lợt Bài : Cho tam giác nhọn ABC cân A Đờng cao BH Chứng minh : AB = AC ữ 2CH BC Bài 3: Cho tam giác ABCcân A có àA = 200 Chứng minh : AB + BC = BC AB Bài : Cho tam giác ABC vuông A ã Chứng minh : tg ABC + = AC với p nửa chu vi tam giác ABC p AC Bài :Cho góc nhọn xOy Trên hai cạnh Ox Oy lần lợt lấy hai điểm M N cho OM +ON = 2a không đổi a ) Chứng minh : Khi M ,N chạy Ox , Oy trung điểm MN nằm đoạn thẳng cố định b ) Xác định vị trí M N để tam giác OMN có diện tích lớn Bài 6: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O) gọi D;E;F thứ tự trọng điểm BC;AC AB Kẻ đờng thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh đờng thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy Bài 7: Cho đờng tròn (O) điểm A bên đờng tròn kẻ cát tuyến BAC Gọi (P) đờng tròn qua A tiếp xúc với (O) B (Q) đờng tròn qua A tiếp xúc với (O) C a) Tứ giác APOQ hình ? b) Gọi giao điểm thứ hai (P) (Q) E; (E A) Tìm tập hợp điểm E cát tuyến BAC quay quanh A III Kết đề tài : Qua thời gian áp dụng kiến thức phơng pháp dạy vừa trình bày 25 em học sinh lớp 8B trờng THCS Vân Đồn thu đợc kết nh sau: 01 Số học sinh nắm đợc loại đờng phụ thờng sử dụng giải toán THCS có: 20/25 = 80% 02 Số học sinh nắm đợc phép dựng hình thờng đợc sử dụng giải toán THCS có: 18/25 = 72% 03 Số học sinh vẽ (dựng) đợc đờng phụ hợp lý giải đợc số toán hình chơng trình Toán lớp có: 11/25 = 44% 04 Số học sinh thành thạo dạng toán, có kỹ tốt giải đợc toán tơng đối khó : 5/25 em chiếm 20% Trong trình dạy học sinh theo phơng pháp , thu đợc nhiều kết tốt Bảng kết khảo sát sau cho thấy rõ điều đó: Tổng số Đầu năm Học kỳ I Giữa KHII Học sinh 26 25 25 Kinh nghiệm rút Giỏi = 7,6 % = 12% = 12% Khá = 23% = 36% 12= 46% TB 13 = 50% 10 = 40% = 34% Yếu - Kém = 19,4% = 12% = 8% Các toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đờng phụ toán khó nhng lại toán hay, giúp cho t lo gic học sinh phát triển, giúp rèn luyện lúc nhiều thao tác t cho học sinh Đây đề tài nghiên cứu nghiên cứu phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý đề tài mang tính ứng dụng rộng rãi trờng THCS Khi áp dụng đề tài giáo viên cần phải lu ý trớc hết phải giúp học sinh nắm vững đợc yêu cầu vẽ (dựng) đờng phụ sau phân dạng toán đa hớng dẫn số toán cụ thể theo dạng chia Việc củng cố kỹ cho học sinh phép dựng hình cần thiết nội dung thực Do điều kiện cha cho phép, đề tài cha nghiên cứu đợc phạm vi rộng cha thể trình bày đợc hết phơng pháp dạy dạng toán nêu gới hạn đề tài Rất mong đồng nghiệp nghiên cứu tiếp đề tài với nội dung phong phú Mong đợc góp ý chân thành bạn đọc./ Vân Đồn, ngày 20 tháng 03 năm 2011 Ngời viết Tạ Thị Luỹ ... đến, việc làm ví dụ toán lớp có loại toán dạng Tuy nhiên tập SGK đa nhiều dạng toán tập nâng cao toán khó hay lại toán giải cần phải kẻ thêm đờng phụ Trên thực tế, hc sinh giải toán dạng cần phải... THCS có: 18/ 25 = 72% 03 Số học sinh vẽ (dựng) đợc đờng phụ hợp lý giải đợc số toán hình chơng trình Toán lớp có: 11/25 = 44% 04 Số học sinh thành thạo dạng toán, có kỹ tốt giải đợc toán tơng... dụng giải toán THCS có: em chiếm 24% 03 - Số học sinh dựng đợc đờng kẻ phụ hợp lý giải đợc số toán chơng trình toán lớp gồm có: em chiếm 16% 04 Số học sinh lúng túng, cha giải đợc toán hình học