ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 2011 Môn Toán Thời gian làm 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) Cho biểu thức 2x + 1+ x x x P= − − x ÷ ÷ x x −1 x + x +1 + x a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P Câu (8 điểm) Giải phương trình sau: x − 17 x − 21 x a) + + =4 33 29 25 b) x+4 x−4 + x−4 x−4 =4 c) 49x − 49 − 15 16x − 16 = + x −1 Câu (2.75 điểm) Rút gọn x= − +1 −1 +1 +1 Tính giá trị biểu thức: A = (x − x − x + 2x − 1) 2010 Câu (4.25 điểm) Cho ∆ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F điểm đối xứng qua AB, AC H a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BEFC hình thang c) Xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn Câu (3 điểm) Cho a, b, c số khác thỏa mãn đẳng thức: 1 1 + + = a + b + c = 2010 Chứng minh ba giá a b c 2010 trị a, b, c 2010 -Hết Cán coi thi không giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2010 – 2011 Môn: Toán Thời gian làm 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu Câu (2 điểm) Nội dung cần đạt a) Điều kiện P có nghĩa: x ≥ x x − ≠ ⇒ x ≥ x ≠ b) 2x + 1+ x x x P= − − x÷ ÷. x x −1 x + x +1 + x 2x + + ( x )3 x = − − x ÷ ÷ ( x ) −1 x + x +1 + x (1 + x )(1 − x + x) 2x + x = − − x÷ ÷. 1+ x ( x − 1)(x + x + 1) x + x + 2x + − x ( x − 1) = ÷ − x + x − x ( x − 1)(x + x + 1) ( Câu (8 điểm) ) = 2x + − x + x (x − x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) = x + x +1 ( x − 1) ( x − 1)(x + x + 1) Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 = x −1 x − 17 x − 21 x a) + + =4 33 29 25 x − 17 x − 21 x ⇔ − ÷+ − 1÷ + − ÷ = 33 29 25 x − 50 x − 50 x − 50 ⇔ + + =0 33 29 25 1 ⇔ (x − 50). + + ÷= 33 29 25 ⇔ x − 50 = ⇔ x = 50 0.25 b) Điều kiện xác định: x − ≥ ⇔ x ≥ 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 x+4 x−4 + x−4 x−4 =4 ⇔ x−4+4 x−4 +4 + x−4−4 x−4 +4 =4 0.25 ⇔ ( x − + 2) + ( x − − 2) = 0.25 0.25 ⇔ x−4 +2+ x−4−2 =4 * Trường hợp 1: Nếu x − − ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ ta có phương trình: x − + + x − − = ⇔2 x−4 =4 ⇔ x−4 =2 ⇔ x − = 22 ⇔ x = (t/m) * Trường hợp 2: Nếu x − − < ⇔ x − < ⇔ x − < ⇔ x < kết hợp điều kiện ≤ x < ta có phương trình: x−4 +2+2− x−4 =4 ⇔4=4 ⇒ Với ≤ x < thỏa mãn Vậy kết hợp trường hợp ta có nghiệm phương trình: ≤ x ≤ c) Điều kiện xác định: x ≥ 15 16x − 16 49x − 49 − = + x −1 15 16(x − 1) = + x −1 15 ⇔ x −1 − x −1 = + x −1 ⇔ x −1 − x −1 = + x −1 ⇔ 49(x − 1) − Câu (2.75 điểm) ⇔ x −1 = ⇔ x − = 36 ⇔ x = 37 Ta thấy x = 37 thỏa mãn điều kiện đề Vậy nghiệm phương trình là: x = 37 Rút gọn: 2 x= = 1 +1 +1− +1 +1 − +1 −1 +1 +1 +1−1 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 = 0.5 2 +1 +1− +1 +1 +1−1 = 2 ⇒x= Thay vào biểu thức: A = (x − x − x + 2x − 1) 2010 = (( 2) − ( 2)3 − ( 2) + 2 − 1) 2010 0.25 = =(4-2 − + 2 − 1) 2010 =1 2010 0.25 0.5 0.25 =1 Câu (4.25 điểm) 0.5 a) Vì H đối xứng với E, F qua AB AC nên ta có AB đường trung trực HE ⇒ ∆ABH = ∆ABE Tương tự ∆ACH = ∆ACF · · · · AF ⇒ EAB = HAB, HAC =C · · · · AF = BAC · · · AF) ⇒ EAF = EAB + BAC +C + (EAB +C · = 2BAC = 2.900 = 1800 ⇒ E, A, F thẳng hàng b) Theo phần a) ta có: · · · · C AHB = AEB,AHC = AF · · C = AHB · · · ⇒ AEB + AF + AHC = BHC = 1800 Tổng hai góc phía 1800 nên EB//CF ⇒ Tứ giác BEFC hình thang 1 c) Ta có : S∆EHF = EH.HF = 2HI.2HJ = 2.HI.HJ 2 Diện tích tam giác lớn tích HI.HJ lớn HI + HJ Thoe bất đẳng thức Cô Si ta có: HI.HJ ≤ ÷ ⇒ HI.HJ lớn dấu “=” bất đẳng thức xảy ⇔ HI = HJ ⇒ Tứ giác AIHJ hình vuông 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 · ⇒ H giác đường phân giác AH góc BAC với BC Theo đề bài: 1 1 + + = a + b + c = 2010 ta có: a b c 2010 1 1 ⇒ + + = a b c a+b+c 1 1 ⇔ + + − =0 a b c a+b+c 1 1 1 ⇔ + ÷+ − ÷= a b a a +b+c a+b a+b Câu ⇔ + =0 ab c(a + b + c) (3 điểm) ⇔ (a + b) + ÷= ab c(a + b + c) 1 + =0 ⇔ a + b = ab c(a + b + c) * TH1: a + b = ⇒ c = 2010 – (a + b) ⇒ c = 2010 1 + = ⇒ a + c = b + c = *TH2: ab c(a + b + c) Tương tự ta suy ra: b = 2010 c = 2010 Vậy ba giá trị a, b, c phải 2010 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25