Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
27
Dung lượng
12,77 MB
Nội dung
-"LICH S TON HC"- PDF c to bng b cụng c mó ngun m mwlib Xem http://code.pediapress.com/ bit thờm thụng tin PDF generated at: Thu, 12 May 2011 02:32:15 UTC Lch s toỏn hc Lch s toỏn hc T toỏn hc cú ngha l "khoa hc, tri thc hoc hc tp" Ngy nay, thut ng "toỏn hc" ch mt b phn c th ca tri thc - ngnh nghiờn cu suy lun v lng, cu trỳc, v s thay i Lnh vc ca ngnh hc v Lch s Toỏn hc phn ln l s nghiờn cu ngun gc ca nhng khỏm phỏ mi toỏn hc, theo ngha hp hn l nghiờn cu cỏc phng phỏp v kớ hiu toỏn hc chun quỏ kh Trc thi kỡ hin i v s ph bin rng rói tri thc trờn ton th gii, cỏc vớ d trờn bn ca cỏc phỏt trin mi ca toỏn hc ch ta sỏng nhng vựng, c th Cỏc bn toỏn hc c nht t Lng H c i (Mesopotamia) khong 1900 TCN (Plimpton 322), Ai Cp c i khong 1800 TCN (Rhind Mathematical Papyrus), Vng quc Gia Ai Cp khong 1300-1200 TCN (Berlin 6619) v n c i khong 800 TCN (Shulba Sutras) Tt c cỏc t ny cú nhc n nh lý Pythagore; õy cú l l phỏt trin toỏn hc rng nht v c nht sau s hc c i v hỡnh hc Nhng cng hin ca Hy Lp c i vi toỏn hc, nhỡn chung c coi l mt nhng cng hin quan trng nht, ó phỏt trin rc r c v phng phỏp v cht liu ch ca toỏn hc[1] Cun cm nang v tớnh toỏn bng hon thin v cõn i Mt c im ỏng chỳ ý ca lch s toỏn hc c v trung i l theo sau s bựng n ca cỏc phỏt trin toỏn hc thng l s ngng tr hng th k Bt u vo Thi kỡ Phc Hng ti í vo th k 16, cỏc phỏt trin toỏn hc mi, tng tỏc vi cỏc phỏt hin khoa hc mi, ó c thc hin vi tc ngy cng tng, v iu ny cũn tip din cho ti hin ti Toỏn hc thi s khai Ngun gc Rt lõu trc nhng t c nht, ó cú nhng bc v cho thy mt kin thc v toỏn hc v o thi gian da trờn tri Vớ d cỏc nh c sinh vt hc ó khỏm phỏ cỏc mnh t th hong mt hang ng Nam Phi c trang trớ bi cỏc hỡnh khc hỡnh hc vi thi gian khong 70.000 TCN[2] Cng cỏc di kho tin s c tỡm thy chõu Phi v Phỏp, thi gian khong gia 35000 TCN v 20000 TCN[3] , cho thy cỏc c gng s khai nhm nh lng thi gian[4] Cỏc bng chng cũn tn ti cho thy vic m thi s khai ch yu l ph n, nhng ngi gi cỏc vt ỏnh du chu kỡ sinh hc hng thỏng; vớ d hai mi tỏm, hai mi chớn, hoc ba mi vch trờn xng hoc hũn ỏ, theo sau l mt vch cỏch bit khỏc Hn na, cỏc th sn ó cú khỏi nim v mt, hai v nhiu cng nh khụng xem xột s by thỳ[5] [6] Lch s toỏn hc Xng Ishango c tỡm thy thng ngun sụng Nil (phớa bc Cng hũa Dõn ch Congo), thuc thi kỡ 20.000 TCN Bn dch thụng dng nht ca hũn ỏ cho ta thy nú l bng chng sm nht[7] th hin mt dóy cỏc s nguyờn t v phộp nhõn Ai Cp c i Ngi Ai Cp vo thiờn niờn k th TCN ó v cỏc bc tranh v thit k hỡnh hc v khụng gian Ngi ta ó khng nh Xng Ishango cỏc hũn ỏ t thn Anh v Scotland t thiờn niờn k th TCN, bao gm c cỏc ý tng hỡnh hc nh hỡnh trũn, hỡnh elớp v b ba Pythagore thit k ca nú[8] Nn toỏn hc sm nht tng bit n c i nm vo khong 3000 TCN - 2600 TCN nn minh thung lng Indus (nn minh Harappan) ca Bc n v Pakistan, ó phỏt trin mt h thng cỏc n v o Thung lng Indus c i s dng h c s 10, mt cụng ngh gch ỏng ngc nhiờn s dng cỏc t l, cỏc ng i c t trờn mt gúc vuụng hon ho, v mt s cỏc hỡnh hỡnh hc v thit k, bao gm hỡnh hp ch nht, thựng phi, hỡnh nún, hỡnh tr v cỏc bc v cỏc hỡnh trũn v hỡnh tam giỏc ct v ng qui Cỏc dng c toỏn hc tỡm c bao gm mt thc o c s 10 vi chia nh v chớnh xỏc, mt dng c v sũ hot ng nh mt chic com pa o gúc trờn mt phng hoc theo cỏc bi ca 40-360 , mt dng c v sũ o 8-12 phn ca ng chõn tri v bu tri, v mt dng c o v trớ ca cỏc nhm mc ớch nh hng Bn vit tay Indus cha c gii ngha; ú ta bit c rt ớt v cỏc dng vit ca toỏn hc Harappan Cỏc bng chng kho c ó lm cỏc nh s hc tin rng nn minh ny ó s dng h m c s v t c cỏc kin thc v t l gia chu vi ca ng trũn i vi bỏn kớnh ca nú, ú tớnh c s [9] Cn ụng c i Lng H Toỏn hc Babylon l ỏm ch bt kỡ nn toỏn hc no thuc v c dõn Lng H (Iraq ngy nay) t bui u Sumer cho n u thi kỡ Hy Lp húa Nú c t tờn l toỏn hc Babylon l vai trũ trung tõm ca Babylon l ni nghiờn cu, ni ó khụng cũn tn ti sau thi kỡ Hy Lp húa Cỏc nh toỏn hc Babylon ó trn vi cỏc nh toỏn hc Hy Lp phỏt trin toỏn hc Hy Lp Sau ú di ch Arab, Iraq/Lng H, c bit l Baghdad, mt ln na tr thnh trung tõm nghiờn cu quan trng cho toỏn hc Hi giỏo i lp vi s thiu thn ngun ti liu ca toỏn hc Hy Lp, s hiu bit v toỏn hc Babylon ca chỳng ta l t hn 400 ming t sột khai qut c t nhng nm 1850 Vit bng kớ t Cuneiform, cỏc ming t sột ny c vit t sột cũn m, v c nung cng lũ hoc bng nhit t Mt Tri Mt s ú cú v l bi v nh Bng tớnh vch trờn t sột YBC 7289 vi chỳ gii ch s hin i Bng chng sm nht v cỏc t toỏn hc l t thi nhng ngi Sumer c i, nhng ngi ó xõy nờn nn minh sm nht Lng H H ó phỏt trin mt h o lng phc t 3000 TCN Lch s toỏn hc Khong 2500 TCN tr v trc, ngi Sumer ó vit nhng bng nhõn trờn t sột v gii cỏc bi hỡnh hc v cỏc bi toỏn chia Du vt sm nht ca h ghi s Babylon cng l khong thi gian ny[10] Mt lng ln cỏc tm t sột ó c phc hi l vo khong 1800 TCN ti 1600 TCN, v bao gm cỏc ch v phõn s, i s, phng trỡnh bc ba v bc bn, cỏc tớnh toỏn v cỏc b ba Pythagore (xem Plimpton 322)[11] Cỏc tm ny cng bao gm c bng nhõn, bng lng giỏc v cỏc phng phỏp gii phng trỡnh tuyn tớnh v phng trỡnh bc hai Tm t sột YBC 7289 ó a mt xp x ca s chớnh xỏc ti nm ch s thp phõn Toỏn hc Babylon c vit bng h c s 60 Do vic ny m ngy ta s dng 60 giõy mt phỳt, 60 phỳt mt gi v 360 (60 ì 6) mt vũng trũn Cỏc tin b ca ngi Babylon toỏn hc phỏt trin d dng bi s 60 cú rt nhiu c s Cng vy, khụng ging ngi Ai Cp, Hy Lp v La Mó, ngi Babylon cú mt h ghi s vi cỏch vit s chia theo hng, ú cỏc ch s vit ct bờn trỏi th hin giỏ tr ln hn, ging nh h thp phõn Th nhng h li thiu mt kớ hiu tng ng ca du thp phõn, v ú hng cỏch vit s thng c suy t ng cnh Ai Cp Toỏn hc Ai Cp l ỏm ch toỏn hc c vit di ting Ai Cp Toỏn hc Ai Cp c i c ỏnh du bi nhõn vt truyn thuyt Thoth, ngi c coi l ó t mu t Ai Cp, h thng ch s, toỏn hc v thiờn hc, l v thn ca thi gian T thi kỡ Hy Lp húa, ting Hy Lp ó thay th ting Ai Cp ngụn ng vit ca cỏc nh hc gi Ai Cp, v t thi im ny, toỏn hc Ai Cp hp nht vi toỏn hc Hy Lp v Babylon phỏt trin toỏn hc Hy Lp Nghiờn cu toỏn hc Ai Cp sau ú c tip tc di ch Arab nh l mt phn ca toỏn hc Hi giỏo, ting Rp tr thnh ngụn ng vit ca cỏc nh hc gi Ai Cp Giy cúi Moskva Vn t toỏn hc c nht tỡm c cho ti l giy cúi Moskva, mt t bng giy cúi ca Vng quc gia Ai Cp vo khong 20001800 m ngy ta gi l "bi toỏn ch", rừ rng l ch gii trớ Mt bi toỏn c coi l quan trng mc núi riờng bi nú a phng phỏp tỡm th tớch ca mt hỡnh ct: "Nu bn bit: mt hỡnh chúp ct cú chiu cao 6, din tớch ỏy ln 4, din tớch ỏy nh Bn s bỡnh phng s ny, c 16 Bn s nhõn ụi 4, c Bn s bỡnh phng 2, c Bn s cng 16, 8, v c 28 Bn s ly mt phn ba ca 6, c Bn nhõn 28 vi c 56 V 56 l s bn cn tỡm." Giy c Rhind Lch s toỏn hc Eratosthenes Sng Eratosthenes lc s nguyờn t Giy c Rhind (khong 1650 TCN) l mt bn toỏn hc Ai Cp quan trng khỏc, mt hng dn s hc v hỡnh hc Cựng vi vic a cỏc cụng thc din tớch v phng phỏp nhõn, chia v lm vic vi phõn s n v, nú cng cha cỏc bng chng v cỏc kin thc toỏn hc khỏc (xem [12]) bao gm hp s v s nguyờn t; trung bỡnh cng, trung bỡnh nhõn v trung bỡnh iu hũa; v hiu bit s b v sng Eratosthenes v s hon ho Nú cng ch cỏch gii phng trỡnh tuyn tớnh bc mt cng nh cp s cng v cp s nhõn Cng vy, ba thnh phn hỡnh hc cú giy c Rhind núi n nhng kin thc n gin nht ca hỡnh hc gii tớch: (1) u tiờn v quan trng nht, lm th no xp x s chớnh xỏc ti di mt phn trm; (2) th hai, mt c gng c i vic cu phng hỡnh trũn; (3) v th ba, s s dng sm nht tng bit v lng giỏc Cui cựng, giy c Berlin cng cho thy ngi Ai Cp c i cú th gii phng trỡnh i s bc hai Toỏn hc Hy Lp v Hy Lp húa c i (khong 550 TCN-300) Toỏn hc Hy Lp l ỏm ch toỏn hc c vit bng ting Hy Lp khong gia 600 TCN v 450[13] Cỏc nh toỏn hc Hy Lp sng cỏc thnh ph ri rỏc trờn ton b a Trung Hi, t í ti Bc Phi, nhng li thng nht v húa v ngụn ng Toỏn hc Hy Lp ụi c gi l toỏn hc Hellenistic (Hy Lp húa) Toỏn hc Hy Lp ó tr nờn phc hn rt nhiu so vi cỏc nn húa trc ú Tt c cỏc ghi chộp cũn tn ti ca cỏc nn toỏn hc tin Hy Lp u cho thy vic s dng suy lun qui np, ngha l, cỏc quan sỏt liờn tc c s dng lp nờn cỏc phộp o da trờn kinh nghim Ngi Hy Lp s dng lớ lun logic t c cỏc kt lun t cỏc nh ngha v tiờn [14] Thales x Miletus Lch s toỏn hc Toỏn hc Hy Lp dng nh bt u vi Thales (khong 624 - khong 546 TCN) v Pythagoras (khong 582 khong 507 TCN) Mc dự tm nh hng khụng cũn, h cú th phỏt trin ý tng t toỏn hc Ai Cp, Babylon, v cú th c n Theo truyn thuyt, Pythagoras ó chu du ti Ai Cp hc toỏn hc, hỡnh hc, v thiờn t cỏc o s Ai Cp nh lý Thales-c s cho phộp o hỡnh hc v toỏn hc mờtric: Thales ó s dng hỡnh hc gii cỏc bi toỏn nh l tớnh chiu cao ca cỏc hỡnh chúp v khong cỏch t cỏc tu ti b bin Pythagoras c coi l ngi u tiờn a chng minh cho nh lý Pythagore, mc dự phỏt biu ca nh lý ó i qua mt chng ng lch s di Trong li bỡnh lun v Euclid, Proclus phỏt biu rng Pythagoras ó din t nh lý mang tờn ụng v dng nờn b ba Pythagore mt cỏch i s hn l hỡnh hc Trng hc ca Plato cú cõu khu hiu: "Khụng nhng th nụng cn hỡnh hc vo õy." Hc thuyt Pythagoras ó khỏm phỏ s tn ti ca cỏc s hu t Eudoxus (408 - khong 355 TCN) ó phỏt minh phng phỏp vột cn, tin thõn ca khỏi nim hin i tớch phõn Aristotle (384 - khong 322 TCN) ó ln u vit cỏc lut v logic Euclid (khong 300 TCN) l vớ d sm nht ca mt khuụn mu m cũn c s dng cho n ngy nay, nh ngha, tiờn , nh lý, chng minh ễng cng nghiờn cu v cỏc ng conic Cun sỏch ca ụng, C bn, c tt c nhng ngi cú hc bit n phng Tõy cho n gia th k 20[15] Thờm vo cỏc nh lý quen thuc ca hỡnh hc, nh nh lý Pythagore, C bn cũn cú c chng minh rng cn bc hai ca hai l s vụ t v cú vụ hn s nguyờn t Sng Eratosthenes (khong 230 TCN) ó c s dng tỡm cỏc s nguyờn t Mt s ngi núi rng ngi v i nht cỏc nh toỏn hc Hy Lp, nu khụng mun núi l mi thi i, l Archimedes (287212 TCN) x Syracuse Theo nh Plutarch, tui 75, ang v cỏc cụng thc toỏn hc trờn cỏt, ụng ó b mt tờn lớnh La Mó dựng giỏo õm cht Roma c i li ớt bng chng v s quan tõm vo toỏn hc lý thuyt Toỏn hc n c i (khong 1500 TCN-200 CN) Toỏn hc Vedic bt u vo u thi kỡ St, vi Shatapatha Brahmana (khong th k TCN), ú cú xp x s chớnh xỏc ti ch s thp phõn[16] v Sulba Sutras (khong 800-500 TCN) l cỏc bn hỡnh hc s dng s vụ t, s nguyờn t, lut ba, v cn bc ba; tớnh cn bc hai ca ti nm ch s thp phõn; a phng phỏp cu phng hỡnh trũn, gii phng trỡnh tuyn tớnh v phng trỡnh bc hai; phỏt trin b ba Pythagore theo phng phỏp i s, phỏt biu v nờu chng minh cho nh lý Pythagore Pini (khong th k TCN) ó lp cụng thc cho ng phỏp ca ting Phn Kớ hiu ca ụng tng t vi kớ hiu toỏn hc, v s dng cỏc ngụn lut, cỏc phộp bin i, qui vi phc n mc ng phỏp ca ụng cú sc mnh tớnh toỏn ngang vi mỏy Turing Cụng trỡnh ca Panini cng i trc c lý thuyt hin i ng phỏp hỡnh thc (formal grammar) (cú vai trũ quan trng in toỏn), dng Panini-Backus c s dng bi nhng ngụn ng lp trỡnh hin i nht li rt ging vi lut ng phỏp ca Panini Pingala (khong th k th n th nht TCN) bn lun thuyt ca mỡnh v thi phỏp ó s dng mt phng phỏp ng vi h nh phõn Tho lun ca ụng v t hp ca cỏc phỏch, tng ng vi nh lý nh thc Cụng trỡnh ca Pingala cng cha cỏc ý tng c bn ca cỏc s Fibonacci (c gi l mtrmeru) Vn bn Brhm c phỏt trin ớt nht t thi triu Maurya vo th k TCN, vi nhng bng chng kho c hc cho thy nú xut hin vo khong 600 TCN Ch s Brahmi vo khong th k TCN Gia nm 400 TCN v 200 CN, cỏc nh toỏn hc Jaina bt u nghiờn cu toỏn hc vi mc ớch nht cho toỏn hc H l nhng ngi u tiờn phỏt trin transfinite number, lý thuyt hp, logarit, cỏc nh lut c bn ca ly tha, phng trỡnh bc ba, phng trỡnh bc bn, dóy s v dóy cp s, hoỏn v v t hp, bỡnh phng v ly xp x Lch s toỏn hc cn bc hai, v hm m hu hn v vụ hn Bn tho Bakshali c vit gia 200 TCN v 200 bao gm cỏch gii h phng trỡnh tuyn tớnh ti nm n, nghim phng trỡnh bc hai, cp s cng v cp s nhõn, dóy phc hp, phng trỡnh vụ nh bc hai, phng trỡnh khụng mu mc, v s s dng s v s õm Cỏc tớnh toỏn chớnh xỏc cho s vụ t ó c tỡm ra, bao gm tớnh cn bc hai ca cỏc s ti bao nhiờu ch s sau du phy tựy thớch (t 11 ch s tr lờn) Toỏn hc Trung Hoa c i (khong 1300 TCN-200 CN) Bt u t thi nh Thng (1600 TCN 1046 TCN), toỏn hc Trung Quc sm nht cũn tn ti bao gm cỏc s c khc trờn mai rựa [17] [18] Cỏc s ny s dng h c s 10, vỡ vy s 123 c vit (t trờn xung di) bng mt kớ hiu cho s ri n mt kớ hiu hng trm, sau ú l kớ hiu cho s ri n kớ hiu hng chc, sau ú l s õy l h c s tin b nht trờn th gii vo thi im ú v cho phộp tớnh toỏn c thc hin bi bn tớnh Thi im phỏt minh bn tớnh khụng rừ, nhng ti liu c nht vo 190 Lu ý v the Art of Figures vit bi Xu Yue Bn tớnh cú th ó c s dng trc thi im ny Trung Quc, vo 212 TCN, vua Tn Thy Hong ó lnh t tt c sỏch nc Cho dự lnh ny khụng c tuõn th hon ton, nhng ta bit rt ớt v toỏn hc Trung Hoa c i T triu Tõy Chu (t 1046), cụng trỡnh toỏn hc c nht cũn tn ti sau cuc t sỏch l Kinh Dch, ú s dng 64 qu ho cho mc ớch trit hc hay tõm linh Cỏc ho l cỏc b hỡnh v gm cỏc ng gch m lin hoc t nột, i din cho dng v õm Cu chng toỏn thut Sau cuc t sỏch, nh Hỏn (202 TCN) - 220 ó lp cỏc cụng trỡnh v toỏn hc cú th l phỏt trin da trờn cỏc cụng trỡnh m hin ó mt Phn quan trng nht s ú l Cu chng toỏn thut, tiờu ca nú xut hin trc 179 CN, nhng l nm cỏc tiờu khỏc tn ti trc ú Nú bao gm 264 bi toỏn ch, ch yu l nụng nghip, thng nghip, ỏp dng ca hỡnh hc o chiu cao v t l cỏc chựa chin, cụng trỡnh, thm dũ, v bao gm cỏc kin thc v tam giỏc vuụng v s Nú cng ỏp dng nguyờn lớ Cavalieri v th tớch hn mt nghỡn nm trc Cavalieri xut phng Tõy Nú t chng minh toỏn hc cho nh lý Pythagore, v cụng thc toỏn hc cho phộp kh Gauss Cụng trỡnh ny ó c chỳ thớch bi Lu Huy (Liu Hui) vo th k th trc Cụng nguyờn Ngoi ra, cỏc cụng trỡnh toỏn hc ca nh thiờn hc, nh phỏt minh Trng Hnh (Zhang Heng, 78-139) ó cú cụng thc cho s pi, khỏc so vi tớnh toỏn ca Lu Huy Trng Hnh s dng cụng thc ca ụng cho s pi tớnh th tớch hỡnh cu V theo ng kớnh D V= D3 + D3 = D3 Ngi Trung Quc cng s dng biu t hp phc cũn gi l 'hỡnh vuụng thn kỡ', c mụ t cỏc thi kỡ c i v c hon chnh bi Dng Huy (1238-1398) Lch s toỏn hc Toỏn hc Trung Hoa c in (khong 400-1300) T Xung Chi (Zu Chongzhi) (th k 5) vo thi Nam Bc Triu ó tớnh c giỏ tr ca s chớnh xỏc ti by ch s thp phõn, tr thnh kt qu chớnh xỏc nht ca s gn 1000 nm Trong hng nghỡn nm sau nh Hỏn, bt u t nh ng v kt thỳc vo nh Tng, toỏn hc Trung Quc phỏt trin thnh vng, nhiu bi toỏn phỏt sinh v gii quyt trc xut hin chõu u Cỏc phỏt trin trc ht c ny sinh Trung Quc, v ch rt lõu sau mi c bit n phng Tõy, bao gm s õm, nh lý nh thc, phng phỏp ma trn gii h phng trỡnh tuyn tớnh v nh lý s d Trung Quc v nghim ca h phng trỡnh ng d bc nht S õm c cp n bng cu chng t thi nh Hỏn, 200TCN[19] nh lý nh thc v tam giỏc Pascal c Yang Hui nghiờn cu t th k 13 Tam giỏc Pascal Ma trn c ngi Trung Quc nghiờn cu v thnh lp bng ma trn t nhng nm 650 TCN[20] Ngi Trung Quc cng ó phỏt trin tam giỏc Pascal v lut ba rt lõu trc nú c bit n chõu u Ngoi T Xung Chi ra, mt s nh toỏn hc ni ting Trung Quc thi kỡ ny l Nht Hnh, Shen Kuo, Chin Chiu-Shao, Zhu Shijie, v nhng ngi khỏc Nh khoa hc Shen Kuo s dng cỏc bi toỏn liờn quan n gii tớch, lng giỏc, khớ tng hc, hoỏn v, v nh ú tớnh toỏn c lng khụng gian a hỡnh cú th s dng vi cỏc dng trn ỏnh c th, cng nh doanh tri gi c lõu nht cú th vi lng phu cú th mang lng cho chớnh h v binh s Thm sau toỏn hc Chõu u bt u n r thi kỡ Phc hng, toỏn hc Chõu u v Trung Quc khỏc v truyn thng, vi s st gim ca toỏn hc Trung Quc, cho ti cỏc nh truyn o Thiờn Chỳa giỏo mang cỏc ý tng toỏn hc ti v i gia hai nn húa t th k 16 n th k 18 Toỏn hc n c in (khong 400-1600) Cun Surya Siddhanta (khong 400) gii thiu cỏc hm lng giỏc nh sin, cosin, v sin ngc, v a cỏc lut xỏc nh chuyn ng chớnh xỏc ca cỏc thiờn th, tuõn theo v trớ tht ca chỳng trờn bu tri Thi gian v tr tun hon c gii thớch cun sỏch, c chộp t mt cụng trỡnh trc ú, tng ng vi nm thiờn vi 365,2563627 ngy, ch di hn 1,4 giõy so vi giỏ tr hin i Cụng trỡnh ny ó c dch ting Rp v Latin thi Trung C Aryabhata vo nm 499 gii thiu hm versin, a bn sin u tiờn, phỏt trin cỏc k thut v thut toỏn ca i s, vụ cựng nh, phng trỡnh vi phõn, v t c li gii hon chnh cho cỏc phng trỡnh tuyn tớnh bng mt phng phỏp ng vi phng phỏp hin i, cựng vi cỏc tớnh toỏn thiờn chớnh xỏc da trờn thuyt nht tõm Mt bn dch ting Rp ca cun Aryabhatiya cú t th k 8, sau ú l bn Latin vo th k 13 ễng cng tớnh giỏ tr chớnh xỏc ti bn ch s sau du phy Madhava sau ú vo th k 14 ó tớnh giỏ t ca s chớnh xỏc ti ch s thp phõn th mi mt l 3.14159265359 Aryabhata Lch s toỏn hc Chng minh ca Brahmagupta rng Vo th k 17, Brahmagupta ó a nh lý Brahmagupta, ng thc Brahmagupta v cụng thc Brahmagupta ln u tiờn, cun Brahma-sphuta-siddhanta, ụng ó gii thớch mt cỏch rừ rng cỏch s dng s va l kớ hiu thay th va l ch s thp phõn v gii thớch h ghi s Hindu-Arabic Theo mt bn dch ca bn ting n v toỏn hc ny (khong 770), cỏc nh toỏn hc Hi giỏo ó c gii thiu h ghi s ny, m h gi l h ghi s Rp Cỏc nh hc gi Hi giỏo ó mang kin thc v h ghi s ny ti Chõu u trc th k 12, v nú ó thay th ton b cỏc h ghi s c hn trờn ton th gii Vo th k 10, bỡnh lun ca Halayudha v cụng trỡnh ca Pingala bao gm mt nghiờn cu v dóy Fibonacci v tam giỏc Pascal, v mụ t dng ca mt ma trn Vo th k 12, Bhaskara ln u tiờn t ý tng v gii tớch vi phõn, cựng vi khỏi nim v o hm, h s vi phõn v phộp ly vi phõn ễng cng ó chng minh nh lý Rolle (mt trng hp c bit ca nh lý giỏ tr trung bỡnh), nghiờn cu phng trỡnh Pell, v xem xột o hm ca hm sin T th k 14, Madhava v cỏc nh toỏn hc khỏc ca Trng Kerala, phỏt trin thờm cỏc ý tng ca ụng H ó phỏt trin cỏc khỏi nim v thng kờ toỏn hc v s du phy ng, v khỏi nim cn bn cho vic phỏt trin ca ton b gii tớch, bao gm nh lý giỏ tr trung bỡnh, tớch phõn tng phn, quan h gia din tớch di mt ng cong v nguyờn hm ca nú, kim tra tớnh hi t, phng phỏp lp gii nghim phng trỡnh phi tuyn, v mt s chui vụ hn, chui hm m, chui Taylor v chui lng giỏc Vo th k 16, Jyeshtadeva ó cng c thờm rt nhiu nh lý v phỏt trin ca Trng Kerala cun Yuktibhasa, bn v o hm u tiờn trờn th gii, cng a khỏi nim tớch phõn Phỏt trin toỏn hc n chng li t cui th k 16 cỏc rc ri v chớnh tr Toỏn hc Rp v o Hi (khong 800-1500) ch Rp o Hi c thit lp trờn ton b Trung ụng, Trung , Bc Phi, Iberia, v mt s phn ca n th k ó to nờn nhng cng hin quan trng cho toỏn hc Mc dự phn ln cỏc bn o Hi c vit bng ting Rp, chỳng khụng hon ton c vit bi nhng ngi Rp, rt cú th v th ca Hy Lp th gii Hellenistic, ting Rp c s dng nh l ngụn ng vit ca cỏc hc gi khụng phi ngi Rp th gii o Hi thi by gi Mt s nhng nh toỏn hc o Hi quan trng nht l ngi Ba T Muammad ibn Ms al-wrizm, mt nh toỏn hc v thiờn hc Ba T th k th 9, ó vit mt vi cun sỏch quan trng v h ghi s Hindu-Arabic v v cỏc phng phỏp gii phng trỡnh Cun sỏch ca ụng V tớnh toỏn vi h ghi s Hindu, c vit khong nm 825, cựng vi cụng trỡnh ca nh toỏn hc Rp Al-Kindi, l nhng cụng c vic truyn bỏ toỏn hc n v h ghi s Hindu-Arabic ti Muammad ibn Ms al-wrizm phng Tõy T algorithm (thut toỏn) bt ngun t s Latin húa ca tờn ụng, Algoritmi, v t algebra (i s) t tờn ca mt nhng cụng trỡnh ca ụng, Al-Kitb al-mukhtaar f hsb al-abr wal-muqbala (Cun cm nang v tớnh toỏn bng hon thin v cõn i) Al-Khwarizmi thng c gi l "cha ca i s", bi s bo tn cỏc phng phỏp i s c i ca ụng v cỏc cng hin ca ụng i vi lnh vc ny.[21] Cỏc phỏt trin thờm ca i s c thc hin bi Abu Lch s toỏn hc Bakr al-Karaji (9531029) hc thuyt ca ụng al-Fakhri, ú ụng m rng cỏc quy tc thờm c ly tha s nguyờn v nghim nguyờn vo cỏc i lng cha bit Vo th k 10, Abul Wafa ó dch cụng trỡnh ca Diophantus thnh ting Rp v phỏt trin hm tang Chng minh u tiờn bng quy np toỏn hc xut hin mt cun sỏch vit bi Al-Karaji khong 1000 CN, ngi ó s dng nú chng minh nh lý nh thc, tam giỏc Pascal, v tng ca cỏc lp phng nguyờn.[22] Nh nghiờn cu lch s toỏn hc, F Woepcke,[23] ó ca ngi Al-Karaji l "ngi u tiờn gii thiu cỏc nh lớ ca cỏc phộp tớnh i s." Ibn al-Haytham l ngi u tiờn bt ngun s dng cỏc cụng thc tớnh tng ca ly tha bc bn s dng phng phỏp quy np, t ú phỏt trin thnh phng phỏp tớnh tớch phõn.[24] Omar Khayyam, nh th th k 12, cng l mt nh toỏn hc, vit Bn lun v nhng khú khn ca Euclid, mt cun sỏch v cỏc thiu sút ca cun C s ca Euclid, c bit l tiờn v ng thng song song, v ú ụng t nn múng cho hỡnh hc gii tớch v hỡnh hc phi Euclid ễng cng l ngi u tiờn tỡm nghim hỡnh hc ca phng trỡnh bc ba ễng cng cú nh hng lún vic ci t lch Omar Khayyam Nh toỏn hc Ba T Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) vo th k 13 ó to nờn nhng bc tin lng giỏc hỡnh cu ễng cng vit cỏc cụng trỡnh cú nh hng ln ti tiờn v ng thng song song ca Euclid Nasir al-Din Tusi v bng Ilkhanic Lch s toỏn hc 12 Nicole Oresme ti i hc Paris v Giovanni di Casali ngi Italia c lp vi a biu din th ca quan h ny, thờm vo din tớch di ng thng biu th gia tc khụng i, th hin tng quóng ng i c [34] Trong mt bui tho lun sau ú v cun Hỡnh hc ca Euclid, Oresme a mt phõn tớch chi tit tng quỏt ú ụng núi rng mt vt th s nhn c mi s gia ca thi gian mt s gia ca bt kỡ tớnh cht no m tng nh s l Do Euclid ó chng minh tng ca cỏc s l l cỏc s chớnh phng, tng cỏc tớnh cht t c bi vt th tng theo bỡnh phng thi gian.[35] Toỏn hc hin i s khai chõu u chõu u vo bui bỡnh minh ca thi kỡ Phc Hng, toỏn hc cũn b hn ch bi cỏc kớ hiu cng knh s dng h ghi s La Mó v din t cỏc quan h bng t ng, hn l bng kớ hiu: khụng cú du cng, khụng cú du bng, v khụng s dng x thay cho i lng cha bit Vo th k 16 cỏc nh toỏn hc chõu u bt u to nờn nhng bc tin mi m khụng cn bit n nhng ni khỏc trờn th gii, ti mc nh ngy Bc tin u tiờn s ú l nghim tng quỏt ca phng trỡnh bc ba, thụng thng c ghi cụng cho Scipione del Ferro vo khong 1510, nhng xut bn ln u tiờn bi Johannes Petreius Nỹrnberg cun Ars magna ca Gerolamo Cardano, ú cng cú nghim tng quỏt ca phng trỡnh bc bn t hc trũ ca Cardano Lodovico Ferrari Isaac Newton T thi im ny, toỏn hc phỏt trin nhanh chúng, b tr cho v ly li ớch t cỏc tin b mi cựng thi ca vt lý hc Quỏ trỡnh ny cng c thỳc y bi nhng tin b ngnh in Cun sỏch toỏn hc sm nht c in l cun Theoricae nova planetarum ca Peurbach vo 1472, theo sau l mt cun sỏch v s hc thng mi Treviso Arithmetic nm 1478 v cun sỏch toỏn hc thc s ca Euclid, cun C s c in v xut bn bi Ratdolt 1482 Do nhu cu cp thit v nh hng v v bn chớnh xỏc cho nhng khu vc rng ln, lng giỏc ó phỏt trin thnh mt ngnh ln ca toỏn hc Bartholomaeus Pitiscus l ngi u tiờn s dng t Trigonometria (lng giỏc) cun sỏch cựng tờn ca ụng vo nm 1595 Bng sin v cosin ca Regiomontanus c xut bn vo 1533.[36] Cun sỏch ca Georg von Peuerbach Lch s toỏn hc 13 Regiomontanus, c Franỗois Viốte, Phỏp n cui th k, nh cú Regiomontanus (1436-1476) v Franỗois Vieta (1540-1603), cựng vi nhng ngi khỏc, m toỏn hc ó c vit bng h ghi s Hindu-Arabic v theo mt dng m khụng quỏ khỏc xa so vi cỏc kớ hiu s dng ngy Th k 17 Th k 17 chng kin s bựng n cha tng thy ca cỏc ý tng toỏn hc v khoa hc trờn ton Chõu u Galileo, mt ngi Italia, ó quan sỏt cỏc mt trng ca Sao Mc trờn qu o quanh hnh tinh ú, s dng kớnh vin vng da trờn mt chi nhp khu t H Lan Tychoo Brahe, vng quc an Mch, ó thu thp mt lng ln cỏc d liu toỏn hc mụ t cỏc v trớ ca cỏc hnh tinh trờn bu tri Hc trũ ca ụng, nh toỏn hc ngi c Johannes Kepler, bt u lm vic vi cỏc d liu ny Mt phn bi vỡ mun giỳp Kepler vic tớnh toỏn, John Napier, Scotland, l ngi u tiờn nghiờn cu logarit t nhiờn Kepler thnh cụng vic lp cụng thc toỏn hc cỏc nh lut ca chuyn ng hnh tinh Hỡnh hc gii tớch c phỏt trin bi Renộ Descartes (1596-1650), mt nh toỏn hc v trit hc ngi Phỏp, ó cho phộp nhng qu o ny cú th v c trờn th, h to Descartes Xõy dng da trờn nhng cụng trỡnh i trc bi rt nhiu nh toỏn hc, Isaac Newton, ngi Anh, ó khỏm phỏ cỏc nh lut ca vt lý gii thớch nh lut Kepler, v cựng a n mt Mụ t ca Tychoo v qu o ca Mt Trng, khỏi nim bõy gi ta gi l gii tớch Mt cỏch c lp, Gottfried Mt Tri v cỏc hnh tinh Wilhelm Leibniz, c, ó phỏt trin gii tớch v rt nhiu cỏc kớ hiu gii tớch cũn c s dng cho n ngy Khoa hc v toỏn hc ó tr thnh mt n lc quc t, nhanh chúng lan ton th gii.[37] Thờm vo ng dng ca toỏn hc i vi ngnh thn hc, toỏn hc ng dng bt u m rng cỏc lnh vc mi khỏc, vi cỏc lỏ th gia Pierre de Fermat v Blaise Pascal Pascal v Fermat ó t nn múng cho vic nghiờn cu lý Lch s toỏn hc thuyt xỏc sut v cỏc nh lut t hp tng ng cỏc tho lun ca h v trũ ỏnh bc Pascal, vi Pascal's Wager, ó c gng s dng lý thuyt xỏc sut mi ca mỡnh tranh lun v mt cuc sng theo tụn giỏo, thc t l dự xỏc sut thnh cụng cú nh i na, phn li l vụ cựng Trong hon cnh ny, iu ú ó d bỏo trc s phỏt trin ca lý thuyt tha dng na sau th k 18-19 Th k 18 Nh ta ó thy, s hiu bit v cỏc s t nhiờn 1, 2, 3, cũn trc bt kỡ bn vit no Nhng nn minh sm nht - Lng H, Ai Cp, n v Trung Quc - u ó bit n s hc Mt cỏch xem xột s phỏt trin ca rt nhiu h toỏn hc hin i khỏc l xem cỏc h mi c nghiờn cu tr li cỏc cõu hi v s hc ca cỏc h c hn Trong thi tin s, phõn s tr li c cõu hi: s no, nhõn vi 3, thỡ c kt qu l n v Trung Quc, v rt lõu sau c, cỏc s õm c phỏt trin tr li cõu hi: bn nhn c kt qu l gỡ ly mt s nh tr i s ln Vic phỏt minh s khụng cú th l tr li cõu hi: bn nhn c kt qu l gỡ tr mt s cho chớnh nú Mt cõu hi t nhiờn khỏc l: cn bc hai ca s hai l kiu s gỡ? Ngi Hy Lp ó bit rng nú khụng phi mt phõn s, v cõu hi ny ó úng vai trũ quan trng vic phỏt trin liờn phõn s Nhng mt cõu tr li tt hn xut hin cựng vi s phỏt minh ch s thp Leonhard Euler Emanuel Handmann v phõn, phỏt trin bi John Napier (1550-1617) v c hon chnh sau ú bi Simon Stevin S dng cỏc ch s thp phõn, v mt ý tng m tiờn oỏn trc c khỏi nim v gii hn, Napier cng ó nghiờn cu mt hng s mi, m Leonhard Euler (1707-1783) ó t tờn l s e Euler cú rt nhiu nh hng ti vic chun húa cỏc kớ hiu v thut ng toỏn hc ễng ó t tờn cn bc hai ca õm mt bng kớ hiu i ễng cng ph bin vic s dng ch cỏi Hy Lp ch t s ca chu vi mt ng trũn i vi ng kớnh ca nú Sau ú ụng cũn phỏt trin thờm mt nhng cụng thc ỏng chỳ ý nht ca toỏn hc: 14 Lch s toỏn hc 15 Th k 19 Xuyờn sut th k 19 toỏn hc nhanh chúng tr nờn tru tng Trong th k ny ó sng mt nhng nh toỏn hc v i nht mi thi i, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Khụng k n rt nhiu cng hin cho khoa hc, toỏn hc lý thuyt ụng ó lm nờn cỏc cụng trỡnh cú tớnh cỏch mng v hm s vi bin phc hỡnh hc v v s hi t ca cỏc chui ễng ó a chng minh u tiờn ca nh lý c bn ca i s v ca lut tng h bc hai Th k ny chng kin s phỏt trin ca hai dng hỡnh hc phi Euclid, ú tiờn v ng thng song song ca hỡnh hc Euclid khụng cũn ỳng na Trong hỡnh hc Euclid, cho mt ng thng v mt im khụng nm trờn ng thng ú, thỡ ch cú mt v ch mt ng thng song song vi ng thng ó cho v i qua im ú m thụi Carl Friedrich Gauss Lobachevsky Janos Bolyai Riemann Nh toỏn hc Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky v i th ca ụng, nh toỏn hc Hungary Janos Bolyai, c lp vi sỏng lp hỡnh hc hyperbolic, ú s nht ca cỏc ng thng song song khụng cũn ỳng na, m qua mt im ngoi ng thng cú th k c vụ s ng thng song song vi ng thng ó cho Trong hỡnh hc ny tng cỏc gúc ca mt tam giỏc cú th nh hn 180 Lch s toỏn hc 16 Cỏc hỡnh hc mi xut hin th k 19: Hỡnh hc Hyperbolic ca Lobachevsky Hỡnh hc c in Euclid Hỡnh hc Elliptic Hỡnh hc Elliptic ó c phỏt trin sau ú vo th k 19 bi nh toỏn hc ngi c Bernhard Riemann; õy khụng th tỡm thy ng thng song song v tng cỏc gúc ca mt tam giỏc cú th ln hn 180 Riemann cng phỏt trin hỡnh hc Riemann, ú hp nht v tng quỏt húa cao ba loi hỡnh hc, v ụng nh ngha khỏi nim mt a tp, ú tng quỏt húa khỏi nim v ng v mt Cỏc khỏi nim ny rt quan trng Thuyt tng i ca Albert Einstein Cng th k 19 William Rowan Hamilton ó phỏt trin noncommutative algebra, nn múng ca lý thuyt vũng Thờm vo nhng hng mi toỏn hc, cỏc nn toỏn hc c hn c a vo cỏc nn tng logic mnh hn, c bit l trng hp ca gii tớch vi cỏc cụng trỡnh ca Augustin Louis Cauchy v Karl Weierstrass William Rowan Hamilton Cauchy Karl Weierstrass Mt dng i s mi c phỏt trin vo th k 19 gi l i s Boole, c phỏt minh bi nh toỏn hc ngi Anh George Boole Nú l mt h ch gm cỏc s v 1, mt h m ngy cú nhng ng dng quan trng khoa hc mỏy tớnh Lch s toỏn hc 17 Niels Henrik Abel ẫvariste Galois Cng ln u tiờn, cỏc gii hn ca toỏn hc ó c khỏm phỏ Niels Henrik Abel, mt ngi Na Uy, v ẫvariste Galois, mt ngi Phỏp, ó chng minh c rng khụng cú phng phỏp i s gii phng trỡnh i s vi bc ln hn bn Cỏc nh toỏn hc th k 19 khỏc ỏp dng kt qu ny chng minh ca h rng thc k v compa l khụng chia ba mt gúc, dng cnh ca mt hỡnh lp phng m th tớch ca nú gp ụi th tớch mt hỡnh lp phng cho trc, hay dng mt hỡnh vuụng cú din tớch bng din tớch hỡnh trũn cho trc (cũn gi l phộp cu phng hỡnh trũn) Cỏc nh toỏn hc ó tn cụng vụ ớch gii tt c cỏc bi toỏn ny t thi Hy Lp c i Cỏc nghiờn cu ca Abel v Galois v nghim ca rt nhiu loi phng trỡnh a thc khỏc ó t nn múng cho cỏc phỏt trin sõu hn v lý thuyt nhúm, v cỏc lnh vc liờn quan ca i s tru tng Trong th k 20 cỏc nh vt lý va cỏc nh khoa hc khỏc ó thy lý thuyt nhúm l mt cỏch lý tng nghiờn cu symmetry Th k 19 cng chng kin s thnh lp ca cỏc hi toỏn hc u tiờn: Hi toỏn hc London vo nm 1865, Hi toỏn hc Phỏp vo nm 1872, Hi toỏn hc Palermo vo nm 1884, Hi toỏn hc Edinburgh vo nm 1864 v Hi toỏn hc M vo nm 1888 Trc th k 20, cú rt ớt cỏc nh toỏn hc tht s sỏng to trờn th gii bt kỡ thi im no Phn ln vỡ cỏc nh toỏn hc hoc sinh gia ỡnh giu cú, nh Napier, hoc c hu thun bi cỏc nhõn vt giu cú, nh Gauss Cú rt ớt ngi cm thy cuc sng nghốo nn dy hc trng i hc, nh Fourier Niels Henrik Abel, khụng th nhn c mt v trớ no, ó cht vi ti sn l s suy dinh dng Lch s toỏn hc 18 Th k 20 Tớnh chuyờn nghip ca nh toỏn hc ngy cng tr nờn quan trng vo th k 20 Mi nm, hng trm bng tin s toỏn hc c trao, v cỏc ngnh ngh u cú ging dy v cụng nghip Phỏt trin toỏn hc ó tng vi mt tc cc nhanh, vi quỏ nhiu phỏt trin mi v kho sỏt thm ng chm ti hu ht cỏc lnh vc quan trng nht Vo 1900, David Hilbert a danh sỏch 23 bi toỏn cha cú li gii toỏn hc ti Hi ngh cỏc nh toỏn hc quc t Cỏc bi toỏn ny bao trựm rt nhiu lnh vc ca toỏn hc v ó to nờn s chỳ ý c bit toỏn hc th k 20 Hin mi bi toỏn ó cú li gii, by ó gii c mt phn v hai bi cũn m Bn bi cũn li quỏ lng núi rng liu ó gii c cha Hilbert cng ó t nn múng cho vic tiờn húa hỡnh hc vi cun sỏch "Grundlagen der Geometrie" David Hilbert (Nn tng ca Hỡnh hc) bao gm 21 tiờn , thay cho cỏc tiờn Euclid truyn thng Chỳng trỏnh i nhng im yu ó c ch cỏc tiờn Euclid, m cỏc tỏc phm ca ụng (Euclid) lỳc ú c xem nh sỏch giỏo khoa ễng mong mun h thng húa toỏn hc trờn mt nn tng logic vng chc v y , tin rng: Tt c toỏn hc cú th suy t mt h thng hu hn cỏc tiờn c chn mt cỏch ỳng n Rng mt h thng tiờn nh vy l cú th chng minh c tớnh nht quỏn (tớnh khụng mõu thun) ca nú Cng chớnh Hilbert ó a khỏi nim khụng gian Hilbert, mt c s cho gii tớch hm Nhng nm 1930, Kurt Gửdel ó a nh lý bt ton (en:Gửdel's incompleteness theorems) khng nh rng bt kỡ mt h tiờn hỡnh thc c lp no mnh miờu t s hc cng hm cha nhng mnh khụng th khng nh m cng khụng th ph nh; tớnh nht quỏn ca mt h thng tiờn khụng th c chng minh bờn h thng ú M rng ra, khụng th i tỡm tớnh chõn lý ca toỏn hc (v ca khoa hc núi chung) bờn cu trỳc lý ca bn thõn toỏn hc hay ca khoa hc ú; cỏi ỳng ca toỏn hc phi tỡm ngoi toỏn hc Kurt Gửdel Trong nhng nm 1900, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) ó phỏt trin hn 3000 nh lý, bao gm lý thuyt v tớnh cht ca cỏc siờu hp s (highly composite number), hm phn chia (partition function) v cỏc tim cn ca nú, ri cỏc hm theta Ramanujan ễng cng to nờn nhng t phỏ v phỏt hin lnh vc hm gamma, dng modular, chui phõn kỡ, chui siờu hỡnh hc v lý thuyt s nguyờn t Nm 1947, tỏc phm "C s phõn tớch kinh t" ca Paul Samuelson cụng b c xem l u ca toỏn kinh t ng i[38] Nm 1952, John Anthony Pople (31/10/1925-15/3/2004) ngi Anh ti i hc Cambridge ó dng toỏn hc húa hc, lp cụng thc cho mt s c bn phỏt trin nhng mụ hỡnh toỏn hc phc v nghiờn cu phõn t m khụng cn tin hnh thớ nghim ễng ó s Ramanujan dng mỏy tớnh phc v cho vic kim tra v xỏc nh cu trỳc húa hc cng nh cỏc chi tit ca vt cht Walter Kohn ngi o (9/3/1923-?), lm vic ti i hc Santa Barbara (M) ngi nghiờn cu lý thuyt v mt , ó n Lch s toỏn hc 19 gin húa mụ t toỏn hc v s liờn kt gia cỏc nguyờn t to nờn phõn t Nhng nm 60-70 ca th k 20, vic giỏo dc toỏn hc ó bt u s dng cỏc phng phỏp mi, ú nghiờn cu toỏn c bt u t nhng lnh vc c s nh lý thuyt hp, logic s cp, h thng s v h thng m, s hc ng nht mụ-un (modular consistency arithmetic)[39] Cỏc phng oỏn ni ting quỏ kh to nờn cỏc k thut mi v mnh Wolfgang Haken v Kenneth Appel ó s dng mt chic mỏy tớnh chng minh nh lý bn mu vo nm 1976 Mt bn minh nh lý bn mu Phng trỡnh Fermat bc ln hn khụng cú nghim nguyờn Andrew Wiles Andrew Wiles, lm vic mt mỡnh phũng nhiu nm tri, cui cựng ó chng minh c nh lý ln Fermat vo nm 1995, kt thỳc hn 300 nm i tỡm li gii Ton b cỏc lnh vc mi ca toỏn hc nh logic toỏn, topo hc, lý thuyt phc tp, v lý thuyt trũ chi ó thay i cỏc th loi cõu hi m cú th tr li c bi cỏc phng phỏp toỏn hc Nhúm Bourbaki ca Phỏp ó c gng a ton b toỏn hc thnh mt th thng nht chung, xut bn di bỳt danh Nicolas Bourbaki Cụng trỡnh khng l ca h ó gõy rt nhiu tranh lun giỏo dc toỏn hc n cui th k, toỏn hc ó thm thõm nhp vo ngh thut, nh hỡnh hc fractal ó to nờn nhng hỡnh thự p cha tng thy bao gi Lch s toỏn hc 20 Th k 21 Vo bui bỡnh minh ca th k 21, rt nhiu nh giỏo dc ó by t quan ngi v mt lp ngi nghốo, khụng c hc hnh v toỏn hc v khoa hc[40] [41] Trong ú toỏn hc, khoa hc, cụng trỡnh s v cụng ngh ó cựng to nờn nhng tri thc, kt ni, v ti sn m cỏc trit gia c i khụng dỏm m n Dng Quc Vit, mt nh toỏn hc Vit Nam ó gii quyt c ba m ca lý thuyt cỏc vnh n Cohen-Macanlay v Gorenstein, hon thnh vic quy bi trn v bi Hilbert Samuel, v bi ca cỏc vnh n ca Fiber Cone, tớnh cht Cohen - Macanlay ca Fiber Cone Nm 2005, Peter David Lax (1/5/1926, Vin Khoa hc Toỏn Courant, i hc New York) ó nghiờn cu thnh cụng lý thuyt v ng dng ca phng trỡnh vi phõn riờng phn cng nh tớnh toỏn nghim ca chỳng Vo gia thỏng nm 2007, mt i cỏc nh nghiờn cu khp Bc M v Chõu u ó s dng cỏc mng mỏy tớnh v s E8 thuc nhúm Lie[42] Mc dự ta cha th bit chớnh xỏc vic ny cú ng dng gỡ, nhng khỏm phỏ ny ỏnh du mt mc quan trng v c tinh thn hp tỏc v cụng ngh mỏy tớnh toỏn hc hin i, xõy dng mụ hỡnh vt th phc nht m ngi tng bit n vi 248 chiu, vi dung lng th hin ln hn c b gen ngi[43] Cu trỳc E8 hai chiu, thc hin bi Peter McMullen E8 ba chiu Nhng toỏn hc cũn ch i tng lai By bi toỏn thiờn niờn k Gi thuyt Poincarộ Bi toỏn P=NP Gi thuyt Hodge Phng trỡnh Navier-Stokes Gi thuyt Riemann Gi thuyt Birch v Swinnerton-Dyer Lý thuyt Yang-Mill E8 Lch s toỏn hc 21 Lch s toỏn hc ti Vit Nam Toỏn hc ti Vit Nam trc õy ớt c chỳ ý phỏt trin, ch yu c phỏt trin mt cỏch t phỏt Trờn mt s gm thi k Phựng Nguyờn, cú v hỡnh hoa vi nhng ng song song un khỳc u n, liờn tc; hỡnh tam giỏc xp ngc chiu nhau, hỡnh tam giỏc cun chng t ngi Vit Nam 3-4 nghỡn nm trc õy ó cú nhng nhn thc hỡnh hc v t chớnh xỏc Trờn mt s trng ng thi k ụng Sn, cỏc hoa cỏnh v cỏc vũng trũn khỏ u n phn ỏnh trỡnh hỡnh hc ca ngi Vit c ó phỏt trin i Lý, nm 1077, thi toỏn c a vo chng trỡnh khoa c Hoa trng ng ụng Sn, Vit Nam Thi nh H bt buc chng trỡnh thi toỏn, ỏp dng rng rói toỏn hc vo kinh t, sn xut: dựng toỏn hc o li tng s rung t ton quc, lp thnh s sỏch in a tng l, ph, chõu, huyn V Hu: 14371530 vi "Lp thnh toỏn phỏp" Lng Th Vinh: 1442?, Trng Lng vi "i thnh toỏn phỏp" Sau 1945, mt s ngi i hc nc ngoi, cng thờm vic m mang giỏo dc ó nõng cao nghiờn cu toỏn hc ca Vit Nam Cỏc trng i hc ó m thờm cỏc chuyờn khoa toỏn Vin Toỏn hc Vit Nam thnh lp nm 1969 Hi Toỏn hc Vit Nam, cỏc toỏn hc chuyờn ngnh nh "Toỏn hc v Tui tr", Acta Mathematica Vietnamica" v "Vietnam Journal of Mathematics", mt s din n toỏn hc online[44] ó giỳp cho vic trao i kin thc toỏn hc phỏt trin mnh m Nm 2010, giỏo s Ngụ Bo Chõu l ngi Vit Nam u tiờn nhn gii thng Fields cho cụng trỡnh nm 2008 chng minh B c bn cho cỏc i s Lie hay cũn gi l B c bn Langlands (Fundamental lemma).[45] Tham kho [1] Sir Thomas L Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p 1, "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science." [2] Henahan, Sean (2002) Art Prehistory (http:/ / www accessexcellence org/ WN/ SU/ caveart html) Science Updates The National Health Museum Truy cp May nm 2006 [3] An old mathematical object (http:/ / www math buffalo edu/ mad/ Ancient-Africa/ ishango html) [4] Mathematics in (central) Africa before colonization (http:/ / etopia sintlucas be/ 14/ Ishango_meeting/ Mathematics_Africa pdf) [5] Kellermeier, John (2003) How Menstruation Created Mathematics (http:/ / www tacomacc edu/ home/ jkellerm/ Papers/ Menses/ Menses htm) Ethnomathematics Tacoma Community College Truy cp May nm 2006 [6] Williams, Scott W (2005) The Oledet Mathematical Object is in Swaziland (http:/ / www math buffalo edu/ mad/ Ancient-Africa/ lebombo html) MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA SUNY Buffalo mathematics department Truy cp May nm 2006 [7] Williams, Scott W (2005) An Old Mathematical Object (http:/ / www math buffalo edu/ mad/ Ancient-Africa/ ishango html) MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA SUNY Buffalo mathematics department Truy cp May nm 2006 [8] Thom, Alexander and Archie Thom, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp 132-151 in C.L.N Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom, (Cambridge: Cambridge Univ Pr., 1988) ISBN 0-521-33381-4 [9] Pearce, Ian G (2002) Early Indian culture - Indus civilisation (http:/ / www-groups dcs st-and ac uk/ ~history/ Miscellaneous/ Pearce/ Lectures/ Ch3 html) Indian Mathematics: Redressing the balance School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews Truy cp May nm 2006 [10] Duncan J Melville (2003) Third Millennium Chronology (http:/ / it stlawu edu/ ~dmelvill/ mesomath/ 3Mill/ chronology html), Third Millennium Mathematics St Lawrence University [11] Aaboe, Asger (1998) Episodes from the Early History of Mathematics New York: Random House 30-31 [12] http:/ / mathpages com/ home/ rhind htm [13] Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 [14] Martin Bernal, "Animadversions on the Origins of Western Science", pp 72-83 in Michael H Shank, ed., The Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages, (Chicago: Nh in i hc Chicago) 2000, v cỏc chng minh toỏn hc xem trang 75 [15] Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p 141 "No work, except The Bible, has been more widely used " Lch s toỏn hc [16] 4: Mathematics in the service of religion: I Vedas and Vedangas (http:/ / www-history mcs st-andrews ac uk/ history/ Projects/ Pearce/ Chapters/ Ch4_1 html) [17] http:/ / www saxakali com/ COLOR_ASP/ chinamh1 htm [18] http:/ / www chinaculture org/ gb/ en_madeinchina/ 2005-08/ 18/ content_71974 htm [19] Struik, page 32-33 ""In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."" [20] Swaney, Mark History of Magic Squares (http:/ / www arthurmag com/ magpie/ ?p=449) [21] The History of Algebra (http:/ / www ucs louisiana edu/ ~sxw8045/ history htm) Louisiana State University [22] Victor J Katz (1998) History of Mathematics: An Introduction, p 255-259 Addison-Wesley ISBN 0-321-01618-1 [23] F Woepcke (1853) Extrait du Fakhri, traitộ d'Algốbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi Paris [24] Victor J Katz (1995) "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), p 163-174 [25] Caldwell, John (1981) "The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica", pp 135-154 in Margaret Gibson, ed., Boethius: His Life, Thought, and Influence, (Oxford: Basil Blackwell) [26] Folkerts, Menso, "Boethius" Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970) [27] Marie-Thộrốse d'Alverny, "Translations and Translators", pp 421-462 in Robert L Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ Pr., 1982) [28] Guy Beaujouan, The Transformation of the Quadrivium", pp 463-487 in Robert L Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ Pr., 1982) [29] Grant, Edward and John E Murdoch (1987), eds., Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages, (Cambridge: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X [30] Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ of Wisconsin Pr.), pp 421-440 [31] Murdoch, John E (1969) "Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: The Rise and Development of the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology", pp 215-254 in Arts libộraux et philosophie au Moyen ge (Montrộal: Institut d'ẫtudes Mộdiộvales), at pp 224-227 [32] Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ of Wisconsin Pr.), pp 210, 214-15, 236 [33] Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ of Wisconsin Pr.), p 284 [34] Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ of Wisconsin Pr.), pp 332-45, 382-91 [35] Nicole Oresme, "Questions on the Geometry of Euclid" Q 14, pp 560-5 in Marshall Clagett, ed., Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, (Madison: Univ of Wisconsin Pr., 1968) [36] Grattan-Guinness, Ivor (1997) The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences W.W Norton ISBN 0-393-32030-8 [37] Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, p 379, " the concepts of calculus (are) so far reaching and have exercised such an impact on the modern world that it is perhaps correct to say that without some knowledge of them a person today can scarcely claim to be well educated." [38] "Lch s ca toỏn kinh t hc" ca Trn Nam Bỡnh (http:/ / vietsciences free fr/ lichsu/ lichsu_toantrongkinhtrhoc htm) [39] Dy toỏn - suy ngh t kinh nghim ca cỏc nc (http:/ / vietsciences free fr/ vongtaylon/ giaoduc/ daytoan htm) [40] Estela A Gavosto, Steven G Krantz, William McCallum, Editors, Contemporary Issues in Mathematics Education, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-65471-8 [41] VLOS-Thit lp thnh cụng bn E8 khỏc thng thuc nhúm Lie (http:/ / www thuvienkhoahoc com/ tusach/ Thiỏt_lỏưp_thnh_cng_bỏÊn_ỏằ_E8_khĂc_thặỏằng_thuỏằc_nhm_Lie) [42] Elizabeth A Thompson, MIT News Office, Math research team maps E8 http:/ / www huliq com/ 15695/ mathematicians-map-e8 [43] Mathematicians Map E8 (http:/ / aimath org/ E8/ ) [44] Mt s din n toỏn hc ting Vit: (http:/ / www maths vn/ ), (http:/ / diendantoanhoc net/ ) [45] Ngụ, Bo Chõu (2008), Le lemme fondamental pour les algebres de Lie, ariv:0801.0446 c thờm Aaboe, Asger (1964) Episodes from the Early History of Mathematics New York: Random House Boyer, C B., A History of Mathematics, 2nd ed rev by Uta C Merzbach New York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed ISBN 0-471-54397-7) Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, Hoffman, Paul, The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erds and the Search for Mathematical Truth New York: Hyperion, 1998 ISBN 0-7868-6362-5 Grattan-Guinness, Ivor (2003) Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences The Johns Hopkins University Press ISBN 0-8018-7397-5 van der Waerden, B L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5 O'Connor, John J and Robertson, Edmund F The MacTutor History of Mathematics Archive (http:// www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/) (See also MacTutor History of Mathematics archive.) This 22 Lch s toỏn hc website contains biographies, timelines and historical articles about mathematical concepts; at the School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (Or see the alphabetical list of history topics (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Hist_Topics_alph.html).) Stigler, Stephen M (1990) The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900 Belknap Press ISBN 0-674-40341-X Bell, E.T (1937) Men of Mathematics Simon and Schuster Gillings, Richard J (1972) Mathematics in the time of the pharaohs Cambridge, MA: M.I.T Press Heath, Sir Thomas (1981) A History of Greek Mathematics Dover ISBN 0-486-24073-8 Menninger, Karl W (1969) Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers MIT Press ISBN 0-262-13040-8 Burton, David M The History of Mathematics: An Introduction McGraw Hill: 1997 Katz, Victor J A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition Addison-Wesley: 1998 Toỏn hc l gỡ? ca Richard Courant v Herbert Robbins xut bn nm 1941, tỏi bn nm 1996 cú sa cha ca Ian Stewart Liờn kt ngoi Ting nc ngoi MacTutor History of Mathematics archive (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/) (John J O'Connor and Edmund F Robertson; University of St Andrews, Scotland) Mt website ó t mt s gii thng cú cha cỏc tiu s chi tit v rt nhiu nh toỏn hc lch s v cựng thi, cng nh cỏc thụng tin v cỏc ng cong ni ting v rt nhiu ch v lch s toỏn hc History of Mathematics Home Page (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/) (David E Joyce; Clark University) Bi bỏo v rt nhiu ch lch s toỏn hc vi mt danh sỏch ti liu liờn quan phong phỳ http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/The History of Mathematics] (David R Wilkins; Trinity College, Dublin) Tp hp cỏc bi v toỏn hc gia th k 17 v 19 History of Mathematics (http://www.math.sfu.ca/histmath/) (Simon Fraser University) Mathematics Pages (http://members.aol.com/jeff570/) (Jeff Miller) Cha cỏ thụng tin v s s dng cỏc kớ hiu v thut ng thi kỡ s khai toỏn hc cng nh hp cỏc tem th cú hỡnh cỏc nh toỏn hc Biographies of Women Mathematicians (http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm) (Larry Riddle; Agnes Scott College) Mathematicians of the African Diaspora (http://www.math.buffalo.edu/mad/) (Scott W Williams; University at Buffalo) Fred Rickey's History of Mathematics Page (http://www.dean.usma.edu/math/people/rickey/hm/) A Bibliography of Collected Works and Correspondence of Mathematicians (http://astech.library.cornell.edu/ ast/math/find/Collected-Works-of-Mathematicians.cfm) (Steven W Rockey; Cornell University Library) Links to Web Sites on the History of Mathematics (http://www.dcs.warwick.ac.uk/bshm/resources.html) (The British Society for the History of Mathematics) History of Mathematics (http://archives.math.utk.edu/topics/history.html) Math Archives (University of Tennessee, Knoxville) History/Biography (http://mathforum.org/library/topics/history/) The Math Forum (Drexel University) History of Mathematics (http://www.otterbein.edu/resources/library/libpages/subject/mathhis.htm) (Courtright Memorial Library) History of Mathematics Web Sites (http://homepages.bw.edu/~dcalvis/history.html) (David Calvis; Baldwin-Wallace College) Science: Math: History (http://www.dmoz.org/Science/Math/History/) (DMOZ) Historia de las Matemỏticas (http://webpages.ull.es/users/jbarrios/hm/) (Universidad de La Laguna) 23 Lch s toỏn hc Histúria da Matemỏtica (http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/indexhm.html) (Universidade de Coimbra) Using History in Math Class (http://www.math.ilstu.edu/marshall/) Mathematical Resources: History of Mathematics (http://www.abc.se/~m9847/matre/history.html) (Bruno Kevius) Ting Vit Lch s toỏn hc trờn 3T (http://diendan3t.net/forum/forumdisplay php?s=1da39a10b68c55b13319d50b4df29f33&f=6) Lch s toỏn hc trờn Din n toỏn hc VN (http://www.maths.vn/forums/forumdisplay.php?f=736) Lch s toỏn hc trờn Toỏn hc v Tui tr (http://www.nxbgd.com.vn/toanhoctuoitre/?p=7&id=16) 24 Ngun v ngi úng gúp vo bi Ngun v ngi úng gúp vo bi Lch s toỏn hc Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?oldid=3945345 Ngi úng gúp: Banhtrung1, CommonsDelinker, Conbo, Dcoetzee, Dung005, Handyhuy, Hoang448, Jan Arkesteijn, Kayani, Lu Ly, Mekong Bluesman, Newone, Nguyn Thanh Quang, Vinhtantran, Vng Ngõn H, Yanajin33, ngMnQung, 60 sa i vụ danh Ngun, giy phộp, v ngi úng gúp vo hỡnh Tp tin:Image-Al-Kitb_al-mutaar_f_isb_al-abr_wa-l-muqbala.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Image-Al-Kitb_al-mutaar_f_isb_al-abr_wa-l-muqbala.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: al-Khwarizmi Tp tin:Ishango bone.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Ishango_bone.jpg Giy phộp: Creative Commons Attribution 2.5 Ngi úng gúp: Albert1ls, BL2593, Ben2, JoJan, Narayan, Trijnstel, sa i vụ danh Tp tin:Ybc7289-bw.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Ybc7289-bw.jpg Giy phộp: Creative Commons Attribution 2.5 Ngi úng gúp: Billcasselman, Jtir, Mmcannis, sa i vụ danh Tp tin:YBC 7289 sketch.svg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:YBC_7289_sketch.svg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: User:Lachaume Tp tin:Moskou-papyrus.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Moskou-papyrus.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Unknown Tp tin:Egyptian A'h-mosố or Rhind Papyrus (1065x1330).png Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Egyptian_A'h-mosố_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).png Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Anarkman, G.dallorto, JMCC1, Luestling, Mdd, Otso Huuska, sa i vụ danh Tp tin:Eratosthenes.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Eratosthenes.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Bibi Saint-Pol, Tomisti, Tony Rotondas, sa i vụ danh Tp tin:Animation Sieb des Eratosthenes.gif Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Animation_Sieb_des_Eratosthenes.gif Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Nhanvo Tp tin:Thales.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Thales.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Bibi Saint-Pol, Tomisti Tp tin:Thales theorem 1.png Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Thales_theorem_1.png Giy phộp: GNU Free Documentation License Ngi úng gúp: Dake, Darapti, HB, Helder.wiki, Siebrand, sa i vụ danh Tp tin:CCTT.gif Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:CCTT.gif Giy phộp: khụng rừ Ngi úng gúp: Hoang448 Tp tin:PascalTriangleAnimated2.gif Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:PascalTriangleAnimated2.gif Giy phộp: GNU Free Documentation License Ngi úng gúp: w:User:HersfoldHersfold on the English Wikipedia Tp tin:2064 aryabhata-crp.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:2064_aryabhata-crp.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Copydays, Mukerjee, Oxam Hartog, Roland zh, Sankalpdravid, Serged, Winterkind, sa i vụ danh Tp tin:Brahmaguptra's theorem.svg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Brahmaguptra's_theorem.svg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: User:Jitse Niesen Tp tin:Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi edit.png Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Abu_Abdullah_Muhammad_bin_Musa_al-Khwarizmi_edit.png Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Mattes, Officer, OsamaK, Rỹdiger Wửlk, Yakiv Gluck Tp tin:Khayyam statue.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Khayyam_statue.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Mostafa Azizi Tp tin:Akhlaq-i Nasiri.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Akhlaq-i_Nasiri.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Bontenbal, Mu Tp tin:Resaleye mohitiye end.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Resaleye_mohitiye_end.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Mostafazizi Tp tin:Boethius initial consolation philosophy.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Boethius_initial_consolation_philosophy.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Accurimbono, Bkwillwm, G.dallorto, Man vyi, Mladifilozof, Utrechtse, sa i vụ danh Tp tin:Fibonacci2.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Fibonacci2.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Original uploader was Deep also it at it.wikipedia Tp tin:Oresme.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Oresme.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Leinad-Z, Mdd, Shakko, sa i vụ danh Tp tin:Galileo-1638-173.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Galileo-1638-173.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Leinad-Z, Mdd Tp tin:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: User:Dcoetzee Tp tin:Peuerbach-Theoricarum-1515.png Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Peuerbach-Theoricarum-1515.png Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: User:Carlo Denis Image:Johannes Regiomontanus.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Johannes_Regiomontanus.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Flominator, Gdr, Lennert B, Lotse, Matthead Image:Francois Viete.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Francois_Viete.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Anarkman, Gene.arboit, Masterofhogets, Mu Tp tin:Tychonian system.svg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Tychonian_system.svg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: User:Fastfission Tp tin:Leonhard Euler.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Leonhard_Euler.jpg Giy phộp: GNU Free Documentation License Ngi úng gúp: User:Wars Tp tin:Carl Friedrich Gauss.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Carl_Friedrich_Gauss.jpg Giy phộp: khụng rừ Ngi úng gúp: Bcrowell, Blửsửf, Conscious, Gabor, Joanjoc, Kaganer, Kilom691, Luestling, Mattes, Rovnet, Schaengel89, Ufudu, sa i vụ danh Tp tin:Nikolay Ivanovich Lobachevsky.jpeg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Beyond My Ken, Orange-kun, Ragib, sa i vụ danh Tp tin:JanosBolyai.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:JanosBolyai.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Bender235, Csanỏdy, Pati, sa i vụ danh Tp tin:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Bdk, Red Rooster, ặvar Arnfjửr Bjarmason, sa i vụ danh Tp tin:Noneuclid.png Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Noneuclid.png Giy phộp: GNU Free Documentation License Ngi úng gúp: Original uploader was Joshuabowman at en.wikipedia Image:WilliamRowanHamilton.jpeg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:WilliamRowanHamilton.jpeg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Jastrow, Quibik, Superborsuk Image:Augustin Louis Cauchy.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Augustin_Louis_Cauchy.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Kilom691, Mu, Poulos Image:Karl Weierstrass.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Karl_Weierstrass.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: AndreasPraefcke, ArtMechanic, Katpatuka Hỡnh:Niels Henrik Abel.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Niels_Henrik_Abel.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Gene.arboit, Kelson, Kồre-Olav, Magnus Manske, Verdlanco, Wst Hỡnh:Galois.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Galois.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Deerstop, Knakts, Mu, sa i vụ danh Tp tin:Hilbert.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Hilbert.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: DaTroll, Darapti, Der Eberswalder, Gene.arboit, Harp, Mschlindwein, Yann, Zwikki, sa i vụ danh Tp tin:Kurt Gửdel.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Kurt_Gửdel.jpg Giy phộp: khụng rừ Ngi úng gúp: Newone Tp tin:Ramanujan.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Ramanujan.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: ABF, Aka, Angr, CBDunkerson, Gene.arboit, Kevyn, Kilom691, Mehmet Karatay, Phrood, Ranveig, Tarawneh, Yann, (Searobin) 25 Ngun, giy phộp, v ngi úng gúp vo hỡnh Tp tin:FourColorMapEx.png Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:FourColorMapEx.png Giy phộp: GNU Free Documentation License Ngi úng gúp: Anarkman, Darapti, Dcoetzee, Inductiveload, Pamri, Shizhao, Umherirrender, Ysangkok, sa i vụ danh Tp tin:Andrew wiles1-3.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Andrew_wiles1-3.jpg Giy phộp: khụng rừ Ngi úng gúp: "copyright C J Mozzochi, Princeton N.J" Tp tin:Phuong trinh Fermat-Fermat equation.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Phuong_trinh_Fermat-Fermat_equation.jpg Giy phộp: GNU Free Documentation License Ngi úng gúp: Truong Tuan Nghia Image:E8 graph.svg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:E8_graph.svg Giy phộp: Creative Commons Attribution 3.0 Ngi úng gúp: Claudio Rocchini Image:E8a.JPG Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:E8a.JPG Giy phộp: Attribution Ngi úng gúp: User:Jgmoxness Image:E8.png Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:E8.png Giy phộp: Attribution Ngi úng gúp: User:JGMoxness Tp tin:DongSonBronzeDrum.JPG Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:DongSonBronzeDrum.JPG Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: User:VuThiAnh Giy phộp Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http:/ / creativecommons org/ licenses/ by-sa/ 0/ 26 [...]... exercised such an impact on the modern world that it is perhaps correct to say that without some knowledge of them a person today can scarcely claim to be well educated." [38] "Lch s ca toỏn trong kinh t hc" ca Trn Nam Bỡnh (http:/ / vietsciences free fr/ lichsu/ lichsu_toantrongkinhtrhoc htm) [39] Dy toỏn - suy ngh t kinh nghim ca cỏc nc (http:/ / vietsciences free fr/ vongtaylon/ giaoduc/ daytoan htm)... Pierre de Fermat v Blaise Pascal Pascal v Fermat ó t nn múng cho vic nghiờn cu lý Lch s toỏn hc thuyt xỏc sut v cỏc nh lut t hp tng ng trong cỏc tho lun ca h v trũ ỏnh bc Pascal, vi Pascal's Wager, ó c gng s dng lý thuyt xỏc sut mi ca mỡnh tranh lun v mt cuc sng theo tụn giỏo, thc t l dự xỏc sut thnh cụng cú nh i na, phn li vn l vụ cựng Trong hon cnh ny, iu ú ó d bỏo trc s phỏt trin ca lý thuyt tha... math buffalo edu/ mad/ Ancient-Africa/ lebombo html) MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA SUNY Buffalo mathematics department Truy cp 6 May nm 2006 [7] Williams, Scott W (2005) An Old Mathematical Object (http:/ / www math buffalo edu/ mad/ Ancient-Africa/ ishango html) MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA SUNY Buffalo mathematics department Truy cp 6 May nm 2006 [8] Thom, Alexander and Archie Thom,... Joshuabowman at en.wikipedia Image:WilliamRowanHamilton.jpeg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:WilliamRowanHamilton.jpeg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Jastrow, Quibik, Superborsuk Image:Augustin Louis Cauchy.jpg Ngun: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tp_tin:Augustin_Louis_Cauchy.jpg Giy phộp: Public Domain Ngi úng gúp: Kilom691, Mu, Poulos Image:Karl Weierstrass.jpg... the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science." [2] Henahan, Sean (2002) Art Prehistory (http:/ / www accessexcellence org/ WN/ SU/ caveart html) Science Updates The National Health Museum Truy cp 6 May nm 2006 [3] An old mathematical object (http:/ / www math buffalo edu/ mad/ Ancient-Africa/ ishango html) [4] Mathematics in (central)... i ễng cng ph bin vic s dng ch cỏi Hy Lp ch t s ca chu vi mt ng trũn i vi ng kớnh ca nú Sau ú ụng cũn phỏt trin thờm mt trong nhng cụng thc ỏng chỳ ý nht ca toỏn hc: 14 Lch s toỏn hc 15 Th k 19 Xuyờn sut th k 19 toỏn hc nhanh chúng tr nờn tru tng Trong th k ny ó sng mt trong nhng nh toỏn hc v i nht mi thi i, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Khụng k n rt nhiu cng hin cho khoa hc, trong toỏn hc lý thuyt... ỡnh giu cú, nh Napier, hoc c hu thun bi cỏc nhõn vt giu cú, nh Gauss Cú rt ớt ngi cm thy cuc sng nghốo nn dy hc trng i hc, nh Fourier Niels Henrik Abel, khụng th nhn c mt v trớ no, ó cht vi ti sn l s suy dinh dng Lch s toỏn hc 18 Th k 20 Tớnh chuyờn nghip ca nh toỏn hc ngy cng tr nờn quan trng vo th k 20 Mi nm, hng trm bng tin s trong toỏn hc c trao, v cỏc ngnh ngh u cú trong ging dy v cụng nghip... lichsu_toantrongkinhtrhoc htm) [39] Dy toỏn - suy ngh t kinh nghim ca cỏc nc (http:/ / vietsciences free fr/ vongtaylon/ giaoduc/ daytoan htm) [40] Estela A Gavosto, Steven G Krantz, William McCallum, Editors, Contemporary Issues in Mathematics Education, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-65471-8 [41] VLOS-Thit lp thnh cụng bn E8 khỏc thng thuc nhúm Lie (http:/ / www thuvienkhoahoc com/ tusach/ Thiỏt_lỏưp_thnh_cng_bỏÊn_ỏằ_E8_khĂc_thặỏằng_thuỏằc_nhm_Lie)... team maps E8 http:/ / www huliq com/ 15695/ mathematicians-map-e8 [43] Mathematicians Map E8 (http:/ / aimath org/ E8/ ) [44] Mt s din n toỏn hc ting Vit: 1 (http:/ / www maths vn/ ), 2 (http:/ / diendantoanhoc net/ ) [45] Ngụ, Bo Chõu (2008), Le lemme fondamental pour les algebres de Lie, ariv:0801.0446 c thờm Aaboe, Asger (1964) Episodes from the Early History of Mathematics New York: Random House... Andrews, Scotland (Or see the alphabetical list of history topics (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Hist_Topics_alph.html).) Stigler, Stephen M (1990) The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900 Belknap Press ISBN 0-674-40341-X Bell, E.T (1937) Men of Mathematics Simon and Schuster Gillings, Richard J (1972) Mathematics in the time of the pharaohs Cambridge, ... (http:/ / vietsciences free fr/ lichsu/ lichsu_toantrongkinhtrhoc htm) [39] Dy toỏn - suy ngh t kinh nghim ca cỏc nc (http:/ / vietsciences free fr/ vongtaylon/ giaoduc/ daytoan htm) [40] Estela A Gavosto,... xỏc sut v cỏc nh lut t hp tng ng cỏc tho lun ca h v trũ ỏnh bc Pascal, vi Pascal's Wager, ó c gng s dng lý thuyt xỏc sut mi ca mỡnh tranh lun v mt cuc sng theo tụn giỏo, thc t l dự xỏc sut thnh... t toỏn hc l t thi nhng ngi Sumer c i, nhng ngi ó xõy nờn nn minh sm nht Lng H H ó phỏt trin mt h o lng phc t 3000 TCN Lch s toỏn hc Khong 2500 TCN tr v trc, ngi Sumer ó vit nhng bng nhõn trờn