Giải PT và HPT

Trờng THCS Lơng Phú Nguyễn Đức Nghị áp dụng bất đẳng thức để gải phơng trình hệ phơng trình I, Lý chọn đề tài Cơ sở lý luận: Trong trình dạy học toán bồi dỡng HSG toán trờng THCS Các toán phơng trình bất phơng trình đa dạng phong phú Đó kho tàng bí mật mà yêu toán thích tìm tòi khám phá, nhng vấn đề khám phá đợc phần nhỏ tromg kho tàng tri thức Chúng ta ngời yêu toán không bắt tay tìm hiểu vấn đề để góp phần vào phong phú toán học nói chung giải phơng trình hệ phơng trình nói riêng Trong chơng trình muốn trình bày số hiểu biết áp dụng bất đẳng thức để gải phơng trình hệ phơng trình Cơ sở thực tiễn: Qua trình dạy toán bồi dỡng toán trờng THCS Các toán phơng trình hệ phơng trình biết đợc lớp 7, 8, sau học sinh lớp học xong đẳng thức toán giải phơng trình hệ phơng trình đợc nâng cao vầ phát triển Vấn đề đặt trình bồi dỡng HSG lớp 8, việc tìm cách giải phơng trình hệ phơng trình nh thễ để học sinh nhanh chóng tìm phơng pháp giải tạo cho HS có hứng thú tìm hiểu toán giải phơng trình hệ phơng trình Chính mà năm tìm tòi, nghiên cứu thể nghiệm qua dạy bồi dỡng dã tìm số phơng pháp để giúp HS tìm phơng pháp giải Trong có phơng pháp dùng bất đẳng thức để giải phơng trình hệ phơng trình II, Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích để nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ giảng dạy môn toán nói chung bồi dỡng HSG lĩnh vực giải phơng trình hệ phơng trình Nhiệm vụ nghiên cứu để tìm tính chất đặc trng số phơng trình hệ phơng trình để giải phơng pháp dùng bất đẳng thức nhằm phát triển t toán học từ cụ thể đến tổng quát từ tổng quát đến cụ thể III, phạm vi nghiên cứu + Chơng trình toán trờng THCS + Đối tợng HS khối 8, IV, phơng pháp nghiên cứu + Điều tra khảo sát thực tế để nắm đợc chất lợng giảng dạy môn toán trờng THCS lĩnh vực giải phơng trình hệ phơng trình bồi dỡng HSG + Điều tra phát triển t toán qua trình học toán số HS giỏi môn toán + Đọc nghiên cứu kĩ SGK tài liệu tham khảo môn toán + Thực hành thể nghiệm qua HS giỏi V, Điều tra thực tế Tình hình năm qua việc HS tìm cách giải phơng trình hệ phơng trình: Năm học Khối Số HS giỏi 2003 2004 9 9 30 30 33 33 35 35 38 38 2004 2005 2005 2006 2006 2007 Số HS làm đợc nhanh chóng dựa vào tính chất đặc trng phơng trình hệ phơng trình 15 20 20 25 22 27 25 30 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị Trờng THCS Lơng Phú Nguyễn Đức Nghị VI nội dung A, Các kiến thức bản: 1, Cho A biểu thức chứa ẩn thì: + A2 với giá trị biến + A với giá trị biến để A + A có nghĩa khi A + A với giía trị biến 2, Bất đẳng thức Côsi cho a1, a2, a3, an > a1 + a2 + a3 + + an n n a1.a2 a3 an Dấu = xảy khi a1 = a2 = a3 = an 3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai số bất kì: a1, a2, , an b1, b2, ., bn Ta có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2) a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Dấu = xảy khi: B, áp dụng biểu thức dơng giải phơng trình hệ phơng trình: Bài 1: Giải phơng trình: 3x + x + 12 + x + 10 x + = x x (*) Giải: Ta có: 3x2+ 6x + 12 = 3x2+ 6x + + = 3(x +1)2 + với x 5x2+ 10x + = 5x2+ 10x + + = 5(x + 1)2+ với x 3x + x + 12 + x + 10 x + + = (1) Mà - 4x - 2x2 = - 4x- 2x2- = - 2(x2 + 2x + 1) = - 2(x+1)2 với x (2) Từ (1) (2) suy phơng trình có nghiệm x = -1 Thử x = -1 nghiệm (*) Bài 2: Giải phơng trình: x2 + y + z = Bài 3: ( ) ( ( x + y + z 7) ) ( 2 x + y + ) z = x = y = z = Giải phơng trình: x y + y x = y x xy ĐK x y + y x = xy xy x y + xy y x = ( x( ) ( ) x y y + y x x = ) y 1 + y ( ) (1) x 1 = Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị Trờng THCS Lơng Phú Do x x ( Nguyễn Đức Nghị ) y dấu = xảy y = y 2y ( ) x dấu = xảy x = Vậy nghiệm phơng trình (1) là: x = y=2 Bài 4: x 10 x + 13 + 26 x 24 x + = x + (x ( x 2) ) ( ) 4x + + x2 6x + + Ta có: + ( x 3) + ( x 2) 2 (x ) ( ) x + + 25 x 20 x + = x + + ( 5x 2) = x + ( x 2) + ( x 3) x x ( x 2) + ( 5x ) 5x 5x 2 VT x + x = x + Dấu = xảy Dấu = xảy Dấu = xảy x x x = x = Vậy S = { 2} Bài 5: x + + y + = x + y xy = a, Giải hệ phơng trình: xy x + 0, y + ĐK: mà x > x + y = xy + > y > x + y xy x + y + + 16 = ( x + y xy ) + ( x + x + + ) + ( y + ( x y ) + ( x + 2) + ( y + 2) = 2 ) y +1 + = x= y x +1 = x = y = y + = b, Giải hệ phơng trình: z + = xy x = yz xy Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị Trờng THCS Lơng Phú xy xy ĐK: Nguyễn Đức Nghị xy 1 xy xy = xẩy xy = z + = xẩy z = x = x = 1 z = y = y = 4 z = o z = Bài 6: Giải hệ phơng trình: x xy + y = z + yz + = y2 y 3y2 x = ữ ữ x xy + y = 2 y y2 z + xy + y = y z + = ữ 4 y2 y2 = y = y S = { ( 1; 2; 1) ; ( 1; 2;1) } Bài 7: Giải phơng trình: x + x + x + x = + ( ) ( ) x2 x + + x2 8x = + ( x 2) ( x 2) = + x2 ( ) ( x 2) "=" x = "=" x = ( x 2) + ( x 2) = + 2 x=2 S = { 2} Bài 8: Giải phơng trình: a, x x = x x < 5x x < 5x ĐK : x x < 5x x 5x < Mà 3x > pt có S = { } Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị Trờng THCS Lơng Phú Nguyễn Đức Nghị x 3x + =2 x 3x b, Giải: S = { 1; 2} Bài 9: x 3x + x 3x Dấu = DK : x x 3x x = 3x = x 3x x = x 3x + = x = Giải x = + x +1 DK : x x +1 > x + x +1 > x S = { } Bài 10: 1 x + y + z = Giải : =4 xy z 2 Từ (1) + ữ = ữ z x y 1 + + =0 x y z (1) 1 + 2+ = 4+ x y xy z z 1 1 + + ữ= x y y x + ữ+ + ữ = x y x y 2 2ữ + 2ữ = x y 1 x= y= z= 2 2, áp dụng BĐT Cô si: Bài 1: x2 + x + x2 + x + = x2 x + 2 x + x + x + x +1 = x ữ + 2 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị Trờng THCS Lơng Phú Nguyễn Đức Nghị x + x x + x + a +1 Khi áp dụng: a Ta có ĐK: ta có: " = " a = x2 + x x2 + x + x + x + x + x +1 + 2 2 x2 + x + x2 + x + x + Mặt khác: x x + = ( x + 1) + x x + = ( x + 1) + ( x 1) x + Vậy x2 + x + x2 + x + = x2 x + = x + x2 + x = x + x + = =1 ( x 1) x =1 Vậy x=1 nghiệm Bài 2: x2 x + + = x3 x + x + 2 x2 x + + = ( x x + 1)(2 x + 1) 2 (1) Ta có x2 - x + > với x suy ĐK x áp dụng Côsi cho số x2 x + > 2x + > 2 Ta có: ( x x + 1)(2 x + 1) x x + + x + = x + x + 2 Vậy dấu = xảy x2 x + = 2x +1 x2 3x = x = x = Vậy S = { 0;3} Bài 3: Giải hệ phơng trình: Với x, y, z > Từ (1) ta có: TM TM + + = 12 x y z x + y + 3z = (1) + + + x+ y+ z =6 4x y 4z Vì x, y, z > ta áp dụng BĐT Côsi cho số (1) (2) 1 dấu = xảy x = + x 4x + 2y = + y ữ dấu = xảy y = 4x 4y Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị Trờng THCS Lơng Phú Nguyễn Đức Nghị = z + ữ dấu = xảy z = 4z 4z Từ (1), (2) (3) ta có: x + + y + + 3z + + + = 4x 4y 4z dấu = xảy x = y = z = TM 1 nghiệm hệ phơng trình là: S = , , ữ 2 (3) 3z + Bài 4: Giải phơng trình: 2007 x2008 2008 x2007 + = + 2007 x2008 = 2008 x2007 x>0 áp dụng BĐT Côsi cho 2008 số dơng 1; x2008 ; x2008; x2008 ; x2008 ( 2007 số x2008 ) 2008 2007 Ta có: x2008 + x2008 + + 2008 1.( x 2008 ) 2007 = 2008 x dấu = xảy khi = x2008 x = x > Vậy phơng trình có nghiệm x = Bài 5: Giải phơng trình: x3 x2 8x + 40 = 4 x + ĐK 4x + x -1 Với Đ K x -1 ta áp dụng BĐT Côsi cho bốn số: 4; 4; 4; x+1 ta có: + + + x + 4 4.4.4.( x + 1) = 4( x + 1) 13 + x 4( x + 1) 13 + x x3 x2 8x + 40 x3 x2 x + 27 ( x )2( x + ) Do x - x + > ( x )2 x = TM Vậy x = nghiệm phơng trình Bài 6: Giải phơng trình: x + x = x 12 x + 38 (1) ĐK x Khi áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số x +1 x +1 x ta có: x x +1 x +1 x + x5 + =2 2 x ta có: x dấu = xảy khi x = x5=1 x=6 Ta lại có: x2 12x + 38 = ( x )2 + dấu = xảy khi x = Vậy S = { 6} Bài tập tơng tự: Bài 1: Giải phơng trình: x + x + x2 + x + = x2 x + Bài 2: Giải phơng trình: x + x = x 12 x + 14 3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki Bài 1: Giải phơng trình: Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị Trờng THCS Lơng Phú Nguyễn Đức Nghị x + x = 3x 12 x + 14 2x + 2x = 3( x 2) + 2 x 1,5 x 2,5 x ĐK: áp dụng Bu nhi a cốp xki cho (1:1) ( x : 2x ) ( 2x + 2x ) ( + ) ( 2 2x + 2x ) +( ) x 2.2 = Do x + x > 2x Dấu = xảy x = x x = 2 ( x ) + dấu= xẩy x = Vậy pt có nghiệm x = Bài 2: Giải phơng trình a, A = x + x = ( 1) ĐK: x 2 2 Ta có : A = x 2.1 + x ữữ x + x ữữ ữ + 22 = 2 ữ A0 A 13 ( 1) xẩy x 2 = (TMĐK) x x= 13 S = b, x + x = 13 DK : x ( (2 x + x ) (2 2 + 32 ) ( ) ) ( x + x ) = 13.4 x + x 13 PT xảy c, x = x 29 x= TM 13 29 S = 13 x2 + 4x + = 2x + ( ) 2 x + + ( x + 1) = x = Bài 3: Giải phơng trình : x + 10 x = x 12 x + 40 DK :2 x 10 x 12 x + 10 = ( x ) + 2 Dấu = xảy x = Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị Trờng THCS Lơng Phú Ta có ( Nguyễn Đức Nghị x + 10 x x + 10 x Dâu = S = { 6} ) ( ) ( x + 10 x ) 12 + 12 = 16 Do : x + 10 x > xẩy x = (TM) Bài 4: Giải phơng trình : x + x + = 2( x 3) + x áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho x ; x ; ta có: ( ( ) x + x 3) x + x ( 12 + 12 ) ( x 1) + ( x 3) (1) 2( x 1) + 2( x 3) (2) (1) (2) xảy khi: x = x x 6x + = x x2 7x + 10 = x=2 x = x = không thoả mãn; x = thoả mãn S = { 5} Bài 5: Giải phơng trình : x x = x x3 x2 Đ K : x4 x = x ( x 1) (x 0) x4 = + x4 x4 + x = + x2 x 1 Ta có: + x dấu = xảy x = x x x2 ( ( Mặt khác: x ữ ( 12 + 12 ) ( x4 + x ) 4 x + x ( x4 + x2 x4 + x2 ) x2 = (1) ) 4.2 ( x + x ) = 16 (2) 16 = Dấu = xảy khi x = Từ (1) (2) suy phơng trình có nghiệm TM Vậy S = { 1} Bài tập tơng tự: Bài tập 1: Giải phơng trình: Bài tập 2: 6x = + x x2 x x x 3xy + x = y Giải hệ phơng trình: 2 x + y = C Tổng kết : Trên số suy nghĩ thân toán giải phơng trình hệ phơng trình mà trình dạy học tôI rút đợc mạnh dạn đa trao đổi bạn bề đồng nghiệp, thầy giáo, cô giáo để đến mục đích chung nâng cao Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị Trờng THCS Lơng Phú Nguyễn Đức Nghị chất lợng dạy học Và bớc đầu gặt hái đợc kết đáng trân trọng Cụ thể học sinh tiếp thu lĩnh hội tri thức cách linh hoạt, chủ động sáng tạo Các toán đa làm ví dụ cha lôgic, phù hợp; khai thác cha triệt để, chắn có nhiều lời giải hay hấp dẫn Vấn đề tôi biết đợc qua viết kinh nghiệm nhỏ trình dạy học Mặc dù có nhiều cố gắng, song kinh nghiệm ỏi thân, chắn trình viết không tránh khỏi thiếu sót hạn chế kính mong đợc quý thầy cô giáo bạn đọc góp ý sửa chữa để đề tài ngày thiết hực bổ ích D kiến nghị: * Đối với giáo viên: + Cần có tài liệ phong phú toán phơng trình hệ phơng trình + Đợc nghê báo cáo chuyên đề toán phơng trình hệ phơng trình + Dạng toán cần đợc nghiên cứu mở rộng * Đối với học sinh: + Cần tham gia đầy đủ chuyên đề dạng toán phơng trình hệ phơng trình + Tổ choc cho HS đăng kí học tự chọn chuyên đề phơng trình hệ phơng trình + Có tài liệu liên quan đến toán phơng trình hệ phơng trình Tôi xin chân thành cảm ơn! Lơng Phú, tháng năm 2008 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị 10 ... b1 b2 bn Dấu = xảy khi: B, áp dụng biểu thức dơng giải phơng trình hệ phơng trình: Bài 1: Giải phơng trình: 3x + x + 12 + x + 10 x + = x x (*) Giải: Ta có: 3x2+ 6x + 12 = 3x2+ 6x + + = 3(x +1)2... = { 6} Bài tập tơng tự: Bài 1: Giải phơng trình: x + x + x2 + x + = x2 x + Bài 2: Giải phơng trình: x + x = x 12 x + 14 3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki Bài 1: Giải phơng trình: Ngời thực hiện:... Bài tập tơng tự: Bài tập 1: Giải phơng trình: Bài tập 2: 6x = + x x2 x x x 3xy + x = y Giải hệ phơng trình: 2 x + y = C Tổng kết : Trên số suy nghĩ thân toán giải phơng trình hệ phơng trình