Dùng ẩn phụ để giải PT

Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Phần I: Đặt vấn đề Nói đến toán học, dù là Hình học hay Đại số thì việc giải đợc các phơng trình là rất quan trọng và cần thiết. Đối với học sinh nói chung, học sinh Trung học cơ sở nói riêng, đặc biệt là học sinh lớp 9, thì việc hình thành và hoàn thiện kỹ năng giải phơng trình phải trở thành mục tiêu có ý nghĩa và vai trò quyết định. Trong khuôn khổ hạn hẹp của chuyên đề này, tôi chỉ xin đa ra một vài ý kiến thảo luận về Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình đối với học sinh lớp 9 THCS. -------***------- Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 2 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Phần II: Nội dung cụ thể Bản thân học sinh khi tiếp xúc với khái niệm phơng trình ở lớp 8 và giải ph- ơng trình bậc hai ở lớp 9 vẫn còn có cảm giác trừu tợng và tơng đối lạ lẫm. Vì thế, để hình thành kỹ năng giải phơng trình cho học sinh thì không gì tốt hơn là thông qua các bài toán, ví dụ cụ thể. Bài viết này chủ yếu đa ra những ví dụ minh hoạ từ đơn giản đến phức tạp, bên cạnh đó có một vài phân tích đánh giá nhằm hình thành kỹ năng đặt ẩn phụ khi giải phơng trình đối với ngời học toán nói chung và học sinh nói riêng. A/ Giải phơng trình trùng phơng: Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a 0) Cách giải: Đặt x 2 = t (ĐK: t 0) Phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bậc hai với ẩn t: at 2 + bt + c = 0 Giải phơng trình này, ta tìm đợc t, từ đó suy ra x. Bài toán 1: Giải phơng trình: x 4 13x 2 + 36 = 0 (1) Giải: Đặt x 2 = t (ĐK: t 0). Phơng trình (1) trở thành: t 2 13t + 36 = 0 (1.1) t = (-13) 2 4.1.36 = 25 > 0 ( 525 == ) Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 3 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Phơng trình (1.1) có hai nghiệm t 1 = 4, t 2 = 9 + Với t = 4 x 2 = 4 x 1 = 2, x 2 = -2 + Với t = 9 x 2 = 9 x 3 = 3, x 4 = -3 Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm. B/ giải phơng trình bậc cao: Các phơng trình bậc cao thờng gây khó khăn cho học sinh khi giải, việc đặt ẩn phụ sẽ giúp đơn giản hoá và đa các phơng trình đó về dạng quen thuộc. Bài toán 2: Giải phơng trình: 3x 4 + 6x 3 + x 2 2x 1 = 0 (2) Giải: (2) 3(x 4 + 2x 3 + x 2 ) 2x 2 2x 1 = 0 3(x 2 + x) 2 2(x 2 + x) 1 = 0 Đặt x 2 + x = t. Phơng trình (2) trở thành: 3t 2 2t 1 = 0 (2.1) Theo định lý Vi-ét, dễ thấy phơng trình (2.1) có hai nghiệm: t 1 = 1, t 2 = 3 1 Suy ra: x 2 + x = 1 x 2 + x 1 = 0 (2.2) hoặc x 2 + x = 3 1 3x 2 + 3x + 1 = 0 (2.3) + Giải phơng trình (2.2) đợc nghiệm x 1 = 2 51 + , x 2 = 2 51 + Phơng trình (2.3) vô nghiệm Vậy phơng trình (2) có hai nghiệm x 1 , x 2 nh ở trên. Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 4 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình C/ Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu: Trên thực tế, có nhiều phơng trình chứa ẩn ở mẫu có thể giải bằng cách bình thờng, nhng nếu chọn ẩn phụ hợp lý thì ta sẽ giải đợc phơng trình đó đơn giản hơn. Bài toán 3: Giải phơng trình: 1 + x x 10. x x 1 + = 3 (3) Giải: ĐKXĐ: x 0, x -1 Đặt 1 + x x = t (ĐK: t 0). Phơng trình (3) trở thành: t 10. t 1 = 3 t 2 3t 10 = 0 (3.1) Giải phơng trình (3.1) đợc t 1 = 5, t 2 = -2 Suy ra: 1 + x x = 5 hoặc 1 + x x = -2 Từ đó giải đợc phơng trình (3) có hai nghiệm x 1 = 4 5 , x 2 = 3 2 D/ Giải phơng trình có hệ số đối xứng: Phơng trình có hệ số đối xứng (PT HSĐX) là phơng trình có dạng: a n x n + a n-1 x n-1 + . + a 1 x + a 0 = 0 với a i = a n-i (i = 0,n ) *Một số tính chất của phơng trình có hệ số đối xứng: 1) PT HSĐX nếu có nghiệm x O thì x O 0 và O 1 x cũng là nghiệm. 2) PT HSĐX bậc lẻ n = 2k + 1 nhận x = -1 làm nghiệm. Suy ra: Nếu đa thức f(x) bậc lẻ có HSĐX thì f(x) = (x + 1).g(x), trong đó g(x) là đa thức bậc chẵn có HSĐX. Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 5 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Vậy PT HSĐX bậc lẻ có nghiệm x O = -1 và việc giải nó chuyển về giải PT HSĐX bậc n 1 chẵn. 1) Phơng trình bậc 4 có HSĐX tỷ lệ: ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0 Cách giải: Trớc hết thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình. Với x 0, chia cả hai vế của phơng trình cho x 2 , ta đợc: ax 2 + bx + c + b. x k + a. 2 2 x k = 0 a(x 2 + 2k + 2 2 x k ) + b(x + x k ) + c 2ka = 0 a(x + x k ) 2 + b(x + x k ) + c 2ka = 0 Đặt: x + x k = t. Phơng trình đã cho trở thành phơng trình bậc hai ẩn t: at 2 + bt + (c 2ka) = 0 Giải phơng trình trên đợc t, từ đó suy ra x. Bài toán 4: Giải phơng trình: x 4 3x 3 14x 2 6x + 4 = 0 (4) Giải: + Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (4) + Với x 0, chia cả hai vế của phơng trình (4) cho x 2 , ta đợc: x 2 3x 14 x 6 + 2 4 x = 0 (4.1) (x + x 2 ) 2 3(x + x 2 ) 10 = 0 Đặt: x + x 2 = t. Phơng trình (4.1) trở thành: t 2 3t 10 = 0 (4.2) Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 6 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Phơng trình (4.2) chính là phơng trình (3.1), có hai nghiệm t 1 = 5, t 2 = -2 Suy ra: x + x 2 = 5 x 2 5x + 2 = 0 (4.3) x + x 2 = -2 x 2 + 2x + 2 = 0 (4.4) + Giải phơng trình (4.3) đợc nghiệm x 1 = 2 175 + , x 2 = 2 175 + Phơng trình (4.4) vô nghiệm Vậy phơng trình (4) có hai nghiệm. 2) Giải phơng trình bậc 4 có HSĐX lệch: ax 4 + bx 3 + cx 2 bx + a = 0 Cách giải: Trớc hết thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình. Với x 0, chia cả hai vế của phơng trình cho x 2 , ta đợc: a 2 2 1 x x + ữ + b 1 x x ữ + c = 0 Đặt ẩn phụ: t = 1 x x suy ra: t 2 = x 2 + 2 1 x 2 Khi đó phơng trình đã cho trở thành: at 2 + bt + c + 2a = 0 Giải phơng trình trên đợc t, từ đó suy ra x. Bài toán 5: Giải phơng trình: 3x 4 4x 3 5x 2 + 4x + 3 = 0 (5) + Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (4) + Với x 0, chia cả hai vế của phơng trình (4) cho x 2 , ta đợc: 3 2 2 1 x x + ữ 1 x x ữ 5 = 0 (5.1) Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 7 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Đặt t = 1 x x suy ra: t 2 = x 2 + 2 1 x 2 Khi đó phơng trình (5.1) trở thành: 3t 2 4t + 1 = 0 (5.2) Phơng trình (5.2) có hai nghiệm t 1 = 1; t 2 = 1 3 + Với t = 1 x 2 x 1 = 0 x 1 = 1 5 2 + ; x 2 = 1 5 2 + Với t = 1 3 3x 2 x 3 = 0 x 3 = 1 37 2 + ; x 4 = 1 37 2 Vậy phơng trình (5) có 4 nghiệm. E/ Vận dụng ẩn phụ để giải hệ phơng trình đối xứng loại II bằng cách giải phơng trình bậc hai: Dựa theo định lý đảo của định lý Vi-ét, ta có thể giải đợc hệ phơng trình đối xứng loại II thông qua giải phơng trình bậc hai. Bài toán 6: Giải hệ phơng trình: =++ =+ 0 4 22 xyyx yxyx (I) Giải: (I) =++ =+ 0)( 43)( 2 xyyx xyyx Đặt: x + y = S, xy = P (ĐK: S 2 4P). Hệ phơng trình (I) trở thành: Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 8 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình =+ = 0 43 2 PS PS (II) Giải hệ phơng trình (II) đợc: = = 1 1 1 1 P S , = = 4 4 2 2 P S Cặp giá trị S 2 , P 2 thoả mãn điều kiện S 2 4P. Khi đó, x, y là các nghiệm của phơng trình: X 2 + 4X + 4 = 0 (6) + Phơng trình (6) có nghiệm kép X 1 = X 2 = -2 Vậy hệ phơng trình (I) có nghiệm x = y = -2. G/ Giải phơng trình chứa dấu căn: Tính u việt của ẩn phụ đặc biệt đợc thể hiện trong giải phơng trình chứa dấu căn. Ta xét một vài bài toán đơn giản: Bài toán 7: Giải phơng trình: x - x = 5 x + 7 (7) Giải: + ĐKXĐ: x 0 (7) x 6 x 7 = 0 Đặt: x = t (ĐK: t 0). Phơng trình (7) trở thành: t 2 6t 7 = 0 (7.1) Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 9 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Dễ thấy phơng trình (7) có hai nghiệm: t 1 = -1, t 2 = 7 + Giá trị t 2 thoả mãn điều kiện t 0. Suy ra x = 7 Phơng trình (7) có nghiệm x = 49. Bài toán 8: Giải phơng trình: x + 1 x 3 = 0 (8) Giải: + ĐKXĐ: x 1 Đặt: 1 x = t (ĐK: t 0). Phơng trình (8) trở thành: t 2 + t 2 = 0 (8.1) Phơng trình (8.1) có hai nghiệm: t 1 = 1, t 2 = -2 + Giá trị t 1 thoả mãn điều kiện Suy ra: 1 x = 1 Phơng trình (8) có nghiệm: x = 2. Với đa số phơng trình chứa dấu căn thì không đơn giản nh trên, mà thờng gây ra nhiều khó khăn, phức tạp vì nếu nâng lên luỹ thừa để làm mất dấu căn thì dẫn đến phơng trình bậc cao, có thể không biết cách giải. Tuy nhiên, nếu biết đặt ẩn phụ hợp lý thì việc giải phơng trình sẽ trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều. Bài toán 9: Giải phơng trình: x 2 5 + x = 5 (9) Giải: + ĐKXĐ: x -5 a) Với bài toán này, chúng ta sẽ xem cách giải nâng lên luỹ thừa trớc để tiện so sánh: Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 10 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình (9) 5 + x = x 2 5 (9.1) + Nếu x 2 5 < 0 - 5 < x < 5 thì phơng trình (9.1) vô nghiệm. + Nếu x 2 5 0 55 5 x x (*) thì ta có: (9.1) ( 5 + x ) 2 = (x 2 5) 2 x + 5 = x 4 10x 2 + 25 x 4 10x 2 x + 20 = 0 (9.2) Phơng trình (9.2) không thuộc các dạng phơng trình bậc cao đã biết, cũng không rơi vào các trờng hợp đặc biệt để có thể nhẩm nghiệm. Vì thế, để giải phơng trình này, ta phải đa về phơng trình tích, mà để làm đợc điều đó, ta phải phân tích vế trái (VT) của phơng trình (9.2) thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định một phơng pháp lạ lẫm và khó khăn với học sinh nh sau: Gọi f(x) = x 4 10x 2 x + 20 f(x) nếu phân tích thành nhân tử sẽ có dạng: f(x) = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx 3 + acx 2 + bcx + dx 2 + adx + bd = x 4 + (a + c)x 3 + (b + ac + d)x 2 + (bc + ad)x + bd Ta có: = =+ =++ =+ 20 1 10 0 bd adbc dacb ca Giáo viên: Lê Trần Kiên THCS Ân Hoà 11 [...]... việc chọn ẩn phụ hợp lý lại không hề đơn giản Vì thế, yêu cầu đối với giáo viên là hớng dẫn học sinh nhận dạng đợc phơng trình để chọn đặt ẩn phụ Bên cạnh các ví dụ đã nêu trên, có một số trờng hợp để giải đợc phơng trình chứa dấu căn, ta phải đặt hai ẩn phụ, thậm chí phải đặt ẩn phụ nhiều lần hoặc phải thay đổi vai trò của ẩn Bài toán 10: Giải phơng trình: 2(x2 3x + 2) = 3 x3 + 8 (10) Giải: + ĐKXĐ:... thấy rằng phơng trình (10) nếu nâng lên luỹ thừa để làm mất dấu căn thì sẽ trở thành một phơng trình bậc bốn, mà việc giải phơng trình đó rất khó khăn Bây giờ, ta sẽ giải phơng trình (10) bằng cách đặt ẩn phụ Để ý rằng: x3 + 8 = (x + 2)(x2 2x + 4) x2 3x + 2 = (x2 2x + 4) (x + 2) Giáo viên: Lê Trần K i ên THCS Ân Hoà 13 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Đặt: a = b= x2 2x + 4 (10.1)... viên: Lê Trần K i ên 9 + 161 9 161 ; x4 = 4 4 THCS Ân Hoà 18 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Phần III: Kết luận Qua các ví dụ trên có thể thấy rõ Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Nhng xin nhấn mạnh một lần nữa, để áp dụng phơng pháp này, yêu cầu đầu tiên mang tính đột phá chính là việc chọn ẩn phụ hợp lý vấn đề này đòi hỏi học sinh ngoài sự thông minh còn cần có kinh... 12 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Giải phơng trình (9.9) đợc nghiệm: x1 = 1 + 21 , x2 2 = 1 21 2 +) (9.8) x = y 0, thay vào (9.5) đợc: x2 + x 4 = 0 (9.10) Giải phơng trình (9.10) đợc nghiệm: x3 = 1 + 17 2 , x4 = 1 17 2 Ta thấy các giá trị x1, x4 thoả mãn điều kiện BT Vậy phơng trình (9) có hai nghiệm Rõ ràng có thể thấy tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Tuy... cho ta hai nghiệm của phơng trình (10) là: x1 = 3 + 13 , x2 = 3 Giáo viên: Lê Trần K i ên 13 THCS Ân Hoà 14 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình *Một số bài tập đề nghị: Các em học sinh và bạn đọc có thể vận dụng các cách đặt ẩn phụ đã đợc giới thiệu ở trên để giải một số phơng trình sau: 1) x4 + 2x2 x + 1 = 15x2 x 35 2) 3(x2 + x)2 2(x2 + x) 1 = 0 (11) (12) 3) (x2 4x + 2)2 + x2... thành: 2a2 3ba 2b2 = 0 Giải phơng trình trên với ẩn a, tham số b, ta đợc: a1 = 2b, a2 = b 2 Kết hợp với điều kiện (**), ta thấy chỉ có giá trị a = 2b (10.5) thoả mãn Đến đây, ta có thể giải tiếp theo hai hớng: 1) Kết hợp (10.1), (10.2) và (10.5) để đợc phơng trình: x2 2x + 4 = 2 x + 2 biến đổi đợc: x2 6x 4 = 0 (10.6) 2) Thế (10.5) vào (10.4) để tìm b, rồi kết hợp với (10.2) để tìm x + Cả hai hớng... Trần K i ên THCS Ân Hoà 17 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình 1 + y = x(1 + 2y) (17.1) 2 2 (17.2) x = 1 y Giải hệ phơng trình trên ta đợc: y1 = 0; y2 = 3 2 Từ đó suy ra phơng trình (17) có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 8) 3 x2 + Đặt 3 x +1 = 3 x 2 = a; 1 2 (18) x + 1 = b (ĐK: b 0), phơng trình (18) trở thành: (18.1) a + b = 3 3 2 a b = 3 (18.2) Giải hệ phơng trình trên ta đợc: a = 1;...Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Giải hệ phơng trình điều kiện trên (việc này cũng không dễ dàng), ta đợc: a = 1 b = 5 c = 1 d = 4 a = 1 b = 4 hoặc c = 1 d = 5 Do đó: f(x) = (x2 x 5)(x2 + x 4) Vậy (9.2) (x2 x 5)(x2 + x 4) = 0 x 2 x 5 = 0 x 2 + x 4 = 0 (9.3) (9.4) Giải các phơng trình (9.3) và (9.4), kiểm tra với điều kiện... là việc chọn ẩn phụ hợp lý vấn đề này đòi hỏi học sinh ngoài sự thông minh còn cần có kinh nghiệm tích luỹ lâu dài Trong các ví dụ đã đa ra ở trên, có thể có cách giải khác hay hơn, đẹp hơn Ngay cả việc có thể đặt ẩn phụ hợp lý hơn để giải các phơng trình, mà ngời viết chủ quan cha nhìn nhận đợc Vì thế, rất mong có sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, của các thầy cô giáo cũng nh của các bạn... ( 2 1 + 1 x2 = x 1 + 2 1 x 7) 8) (16) 3 x2 + ) x +1 = 3 (17) (18) 9) 2x4 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = 0 (19) -*** - Giáo viên: Lê Trần K i ên THCS Ân Hoà 15 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình *hớng dẫn giải: 1) x4 + 2x2 x + 1 = 15x2 x 35 (11) x4 13x2 + 36 = 0 Đặt x2 = t (ĐK: t 0), phơng trình (11) trở thành: t2 13t + 36 = 0 (11.1) Phơng trình (11.1) có nghiệm: t1 = 9; t2 . Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình C/ Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu: Trên thực tế, có nhiều phơng trình chứa ẩn ở mẫu có thể giải bằng cách. Hoà 5 Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình Vậy PT HSĐX bậc lẻ có nghiệm x O = -1 và việc giải nó chuyển về giải PT HSĐX bậc n 1 chẵn. 1)