CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Dạng B ≥ A=B⇔ A = B Chú ý: Khi bình phương hai vế phương trình hai vế phương trình phải không âm Giải phương trình sau: 1) x2 − 4x + = x + 2) x − 2x + = − x 3) ( x − 3) x − = x − 4) 3x − x + = x − 5) x − 3x + − − x = 6) 8) − 1− x = − x 9) 7) 3x − 3x − = x + + x − = 5x 16) x + + x + = x + 11 x + − − x = 2x − y − 14 − 12 − y = 18) x + 3x + + x + x + = x + x + 19) x +1 = x + − 20) x2 + − x2 − = 21) 3x + x + − x + x + = 10) 13) 11) 14) 17) x +1 + x + + x + = x − − 3x − − x − = 3x − x + = x − 12) 15) x −1 − x − = x − x + − − x = − 2x 3x + x + 16 + x + x = x + x + PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng A.B + A.B + C = Phương pháp giải: Đặt t = AB pt ⇔ t + t + C = Bài Giải phương trình sau: 1) ( x + 1)( x + 4) = x + x + 28 ) 7) 2) x + 10 x + = − x − x ( x − 3) + 3x − 22 = x − 3x + 3) x( x + 5) = 23 x + x − − 5) − (4 − x)(2 + x) = x − x − 12 6) (4 + x)(6 − x) = x − x − 12 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1 + x)(3 − x) = x − x + + m b) − x + x + ( − x )( x + 1) = m − 4) x − x + = x − x + Bài Cho phương trình: − x + x + (3 − x)( x + 1) = m − a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? x +1 Bài Cho phương trình: (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) (Đ3) =m x−3 a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Dạng 2: Các phương trình có dạng: m AB + n( A + B ) + C = Đặt t = A + B t không âm Bài Giải phương trình sau: x − x2 = x + 1− x a) (QGHN-HVNH’00) + b) x + + x + = x + 2 x + x + - c) (AN’01) x + + x − + 49 x + x − 42 = 181 − 14 x e) x + x = 2x + +4 2x g) (TN- KA, B ‘01) x + (Đ36) x+4 + x−4 = x + x − 16 − d) x = 2x + −7 2x z − + z + + ( z − 1)( z + 3) = − z i) x − + x − = x − + 3x − x + (KTQS‘01) + x + − x − (1 + x )( − x ) = a Bài Cho phương trình: (ĐHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình cho có nghiệm.? Bài Cho phương trình: + x + − x − ( + x )( − x ) = m (Đ59) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm? x + + − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) Bài Cho phương trình: a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm a để PT sau có nghiệm: + x + − x − ( + x )( − x ) = a Tất tập 2, 3, 4, ta sáng tạo thêm câu hỏi tập sau: a) Tìm a để phương trình cho có nghiệm nhất? (ĐK cần đủ) b) Tìm a để phương trình cho vô nghiệm? Dạng 3: Một số dạng khác 1) 9( x + 1) = ( 3x + ) − 3x + 2) x − x + = − 3) x − = x + x − x4 + x2 +1 h) ( ( 4) 10 x + = x − x + x ) ) 5) x − x2 −1 + x + x2 −1 = 6) 6x 12 x 12 x − − 24 =0 x−2 x−2 x−2 35 12 3x 1− x + x 3x = − ⇔ = −1 8) 2 1− x 1− x x −1 1− x 1− x 4x x x +1 = 2x + 10) 11) −2 = (Đ141) x +1 x 1− + 2x Dạng 4: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu 1) ( x − 1) x + = x + x + 2) 2(1 − x ) x + x − = x − x − 3) x + x + 12 x + = 36 7) x + = ( 4) + x − 2x = 4x − − 2x + 7) 2x + x −1 1 − 1− −3 x − = x x x ) 5) + x − = x + − x + − x 6) sin x + sin x + sin x + cos x = 2 x+ y + cos( x + y ) = 13 + cos ( x + y ) 8) 3 x − x sin PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1) 2) 3) 4) 8) x + x + 15 = x + + x + − x2 + 7x + 2 n n (với n ∈ N; n ≥ 2) 5) = x (ĐHDL ĐĐ’01) ( x + 1) + ( x − 1) + x − = x+2 6) ( x + 2)( x − 1) − x + = − ( x + 6)( x − 1) + x + x2 − x − − x − + = x + x + 10 x + 21 = x + + x + − n 7) x − x − − ( x − 1) x + x − x = (1) (HVKT QS - 2001) PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC (ĐHSPHN2’00) x( x − 1) + x ( x + 2) = x 2 x − 2002 x + 2001 + x − 2003x + 2002 = x − 2004 x + 2003 x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) 8) x − 3x + + x − x + = x − 5x + 4 x( x − − x( x + 2) = x x − 3x + + x − x + ≥ x − x + (Đ8) x ( x − 1) + x ( x − 2) = x( x + 3) x + 3x + + x + x + = x + x + (BKHN- 2001) PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x − x + − x − 10 x + 50 = x + − x −1 + x + − x −1 = x + x −1 + x − x −1 = x+3 x + + 2x − + x − − 2x − = 2 x + x −1 − x − x −1 = x − 2x + = − x x + 15 − x − + x + − x − = (HVCNBC’01) x − 4x − + x + 4x − = (Đ24) x + = x + + PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP Giải phương trình sau: 1) x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) 4) 21 + x + 21 − x 21 = x 21 + x − 21 − x 5) 2) x( x − 1) − x( x + 2) = x 7− x −3 x −5 = 6− x 7− x +3 x −5 6) 3) 2x + − 2x −1 = x x − 3x + + x − x + = x − 5x + 7) x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 8) x − x + − x − = x − x − − x − 3x + 9) x − 2003 x + 2002 + x − 2004 x + 2003 = x − 2005 x + 2004 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ Giải phương trình sau: 1) x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x 2) 3) x − x + 11 + x − x + 13 + x − x + = + 5) x − x + 12 = − x − 12 x + 13 8) − x + + x = − 2x + 2x + + 2x − 2x 10) x − x + = x − x + + 3x − x 6) x − x + 15 = x − x + 18 x − x + 11 4) x − x + 3,5 = (x x − x + + x − = 7) 9) 11) − x + 2)( x − x + 5) 2( − x + x ) = − x + x x − + − x = x − x + 11 (Đ11) x − + 10 − x = x − 12 x + 52 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại 1) − x = − x − (ĐHTCKTHN - 2001) 7) x + 97 − x = 8) 14 + x + 12 − x = 2) − x + x − + x − x = 3) 4) 5) 6) x + x + − x + x = (ĐHDL HP’01) − x + x −1 = x − 3x + + x − 3x + = 3 x + 34 − x − = (Đ12) 9) ( x + 8) + ( x − 8) + x − 64 = 10) x + 17 − x + x 17 − x = 1 + =2 11) x 2− x 22) x + x + + + x − x + = x + + 23) sin x + cos x = 24) sin x + − sin x + sin x − sin x = 12) + x + − x = 65 13) x + = x − + 1 14) + x + − x = 2 15) + tgx + − tgx = 16) 24 + x + 12 − x = 25) 1 − cos x + + cos 2x = 2 26) 27) 28) 29) 10 + sin x − cos x − = 17 + x − 17 − x = (DL Hùng vương- 2001) x − + = − x (CĐ mẫu giáo TW1- 2001) ( 34 − x ) x + − ( x + 1) 34 − x = 30 17) x + x − + x + 8x − = 34 − x − x + 1 18) + − x ( − x ) − (1 + x ) = + − x 30) x + x + − x − x + = (Đ142) 2 3 19) + x + x + − x − x = 31) x 35 − x x + 35 − x = 30 2 3 20) ( x + 1) + ( x − 1) + x − = 32) 3x + 5x + − 3x + 5x + = 33) 21) ( − x ) + ( + x ) − ( − x )( + x ) = x + 5x + − 2 x + x − = 34) 47 − 2x + 35 + 2x = Dạng 2: Đưa phương trình cho hệ đối xứng loại hai 1) x + = 23 x − 2) x + = 33 3x − 3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + [ ] 4) x − = x + ( ) 6) x + − x = 5) − x + = − x 7) 5− 5+ x = x 4x + , x > (ĐHAN-D) 9) − + x = x 10) x − = ( x − 3) + 28 11) x + + x = 12) x − 33 3x + = 13) x + + x = 14) + + x = x 8) 7x + 7x = PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM Các bước: Tìm tập xác định phương trình Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) biểu thức Tính đạo hàm f(x), dựa vào tính đồng biến(nbiến) hàm số để kết luận nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình sau: x + + x + + x + = (1) Giải: Tập xác định: D = R Đặt f(x) = x + + x + + x + Ta có: f ' ( x) = (2 x + 1) + ( x + 2) + 3 > 0; ∀x ≠ − ,−1,− 2 (2 x + 3) 1 2 3 2 Suy hàm số f(x) đồng biến tập M= − ∞,− ∪ − ,−1 ∪ − 1,− ∪ − ,+∞ Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 nghiệm (1) Ta có: f ( − ) = 3; f (− ) = −3 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x f’(x) -∞ − -1 − +∞ F(x) +∞ -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = ⇔ x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: 1) ( Từ 2, ta có tập ( 3) ( x + 1) 2000 + ) 2 2) ( x + 1) + ( x + 1) + + 3x + x + = x + + x + = 2x + + 2x ( x + 1) + 1999 ) + x(2000 + ) x + 1999 = 4) x + + x + 19 = y + + y + 19 5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: ) ( m 1+ x2 − 1− x2 + = 1− x4 + 1+ x2 − 1− x2 6) (ĐH.A’08) Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x + 24 − x + − x = m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ Ví dụ Giải phương trình sau: x + (1 − x ) = x − x (1) Giải: Tập xác định: D = [-1; 1] (2) Do (2) nên đặt x = cost (*), với ≤ t ≤ π (A) Khi phương trình (1) trở thành: cos t + (1 − cos t ) = cos t 2(1 − cos t ) (3) Với t ∈ (A), ta có: (3) ⇔ cos t + sin t = cos t sin t ⇔ ( cos t + sin t )(1 − sin t cos t ) = cos t sin t ( 4) Đặt X = cost + sint (5), X ≤ (B)⇒ X2 = + 2sint.cost ⇒ sint.cost = X −1 Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X: X −1 X −1 = X 1 − ⇔ X − X = X −1 ⇔ X + X − 3X − = 2 ( ) ( ) X = ⇔ X − X + 2X +1 = ⇔ ⇔ X + 2 X + = ( )( ) Ta thấy có nghiệm X = X = X = − −1 X = − + X = - + thoả mãn điều kiện (B) + Với X = , thay vào (5) ta được: π π π π π sin t + cos t = ⇔ sin t + = ⇔ sin t + = ⇔ t + = + k 2π ⇔ t = + k 2π , k ∈ Z 4 4 4 Vì t ∈ (A) nên ta có t = + Với X = - π π Thay vào (*) ta được: x = cos = (thoả mãn tập xác định D) 4 + 1, thay vào (5) ta được: π π − +1 sin t + cos t = − + (**) ⇔ sin t + = − + ⇔ sin t + = 4 4 Khi đó, ta có: 2 − + 1 π 3− 2 2 −1 π = ± 1− cos t + = ± − sin t + = ± − =± ⇒ 4 2 ⇔ cos t cos 2 −1 π cos t + = ± 4 π π 2 −1 ( cos t − sin t ) = ± 2 − ⇔ cos t − sin t = ± 2 − 1(6) − sin t.sin = ± ⇔ 4 2 Từ (**) (6) suy cost = − +1± 2 −1 − +1± 2 −1 Thay vào (5), ta x = 2 Nhưng có nghiệm x = − + − 2 − thoả mãn tập xác định D Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = Bài tập tương tự 3) x = − + − 2 − 2 2) x + (1 − x ) = x 2(1 − x ) 1) x − x = − x (HVQHQT- 2001) + 2x − x = − 2x 2 4) + − x Một số tập tham khảo: Giải phương trình sau: x−2 = x−4 1) + x = − x + 8) 2x − 2) 25 − x = x − 9) 3x + − x + = [ (1 − x ) − (1 + x ) ]=2 + − x2 15) − x − − x = − − x 16) 5x − − 3x − − x − = 1− x4 − x2 = x −1 3) + 2x − x = x − 10) 11 − x − x − = 17) 4) x −1 = x2 −1 11) + x − = − 16 − x 18) 6) x − 2x + = − x 13) x + − x + 14 = x − 20) − x − = 13 − x 12 − x + + x = 7) x + x − = x − 14) − x + x + − x = − x 21) x − + x − = x − Giải phương trình sau: 1) x − = x − x + 12 + x 9) x + ( x + 1)(2 − x) = + x 2) ( x + 5)(2 − x) = x + x 10) 3) x − x − x + = x + 11) (4 x − 1) x + = 2( x + x ) + 4) ( x + 1)( x + 4) − x + x + = 12) x + x + = ( x + 3) x + 5) x + + − x = + ( x + 3)(6 − x) x + x + + x + x + = x + x + 13 13) 2( x − 1) x + = x + x − 6) + x − x = 3( x + − x ) 14) x − 3x + + x + x + = 7) 15) x + + x + x + x + = x + 3x + 19 x + + x + + 16 = x + 2 x + x + 3 Giải phương trình sau: (ẩn phụ → hệ) 2) − x2 + x + + x2 + x = 3) 1) x + + 10 − x = Giải phương trình sau (Đánh giá) x +3 = x −3 4) 3x − x + 15 + 3x − x + = 1) x − x + + x − = 3) x − + − x = x − x + 18 2) − x + 23 − x = 4) x + x + − x + − x = Tìm m để phương trình có nghiệm 1) x − + − x − ( x − 1)(3 − x) = m 2) x + + − x = a 4) ( x + 2)(4 − x ) + x = x − m Tìm m để phương trình có nghiệm 1) − x + x + = m 4) x + − x = m 2) x + − x = m 5) − x + 23 − x = m 3) x − + x − + − x + − x = m 6) x + x + − x + − x = m Giải phương trình, hệ phương trình: a) − x + x − = x − 12 x + 38 b) − x + x − = x − 12 x + 14 c) x + x + 2004 = 2004 x + + y = x + + y = 2x 1 d) e) f) + + =2 x + y = 1+ x 2x x + y + = ... x ) = a Bài Cho phương trình: (ĐHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình cho có nghiệm.? Bài Cho phương trình: + x + − x − ( + x )( − x ) = m (Đ59) a Giải phương trình với... = b Tìm m để phương trình có nghiệm? x + + − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) Bài Cho phương trình: a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm a để... 13) x + + x = 14) + + x = x 8) 7x + 7x = PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM Các bước: Tìm tập xác định phương trình Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) biểu thức Tính đạo hàm f(x), dựa vào tính