INDIA MO 2011 n ——————————————————————————————– Gọi D; E; F điểm thuộc cạnh BC, CA, AB tam giác ABC cho: BD = CE = AF; BDF = CED = AFE ma th v Chứng minh tam giác ABC Ta gọi số tự nhiên n "trung thành", nếu: n = a + b + c; a; b; c ∈ N, a < b < c; a | b; b | c Chứng minh trừ số hữu hạn đâu số tự nhiên "trung thành" Tính tổng số tự nhiên không "trung thành" Cho P(x) = ∑nk=1 ak xk ; Q(x) = ∑nk=1 bk xk ∈ Z[x] thoả mãn: an − bn số nguyên tố an b0 − a0 bn = 0; an−1 = bn−1 Giả sử ∃ r ∈ Q thoả mãn P(r) = Q(r) = 0, chứng minh r ∈ Z Chọn tùy ý số đỉnh đa giác cạnh Chứng minh có đỉnh tạo thành hình thang Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (Γ) Gọi E, F, G, H trung điểm cung AB, BC,CD, AD (Γ) :// Giả sử AC · BD = EG · FH, chứng minh AC, BD, EG, FH đồng quy Tìm hàm f : R → R thoả mãn : htt p f (x − y) f (x + y) = ( f (x) + f (y))2 − 4x2 f (y)