Japan MO 2011 finals

JAPAN MO 2011 n ——————————————————————————————– Cho tam giác ABC nhọn có H trực tâm M trung điểm BC Hạ HP vuông góc với AM ma th v Chứng minh AM.PM = BM Tìm tất năm số nguyên dương (a, n, p, q, r) cho an − = (a p − 1)(aq − 1)(ar − 1) Hai người A B chơi trò chơi Đầu tiên, người A viết dãy số nguyên không âm a1 , a2 , , an lên bảng Sau người A nói số nguyên không âm người B thay số hạng dãy số số mà người A nói Quá trình lặp lại liên tục dãy số cuối dãy tăng theo nghĩa ≤ a j i ≤ j Hỏi người B có kết thúc chơi hay không? Tìm tất hàm số f : R → R thỏa f ( f (x) − f (y)) = f ( f (x)) − 2x2 f (y) + f (y2 ), ∀x, y ∈ R Cho điểm mặt phẳng Giả sử tam giác có đỉnh đỉnh điểm có htt p :// bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh tam giác