Bài tập giới hạn có lời giải

Bài 1: Tính giới hạn của hàm sau:I  lim tan x  xx0 x  sin xGiải bài 1: Thấy khi x  0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là 0 .0Áp dụng quy tắc L’Hospital: 1lim tan x  x  lim cos2 x 11 cosx1 cosx1 cosx2 lim lim 2  x0 x  sin x x0 1  cosx x0 1  cosxcos2 x x0 cos2 x1 Bài 2: Tính giới hạn sau đây:1ex 1I  limx1xGiải bài 2:Khi x   thì giới hạn đã cho có dạng bất định là 0 .0Áp dụng quy tắc L’Hospital1 I  lim 1ex 1  1 exlim x e  1  x1x1xx2Bài 3: Tính giới hạn sau đây:I  lim ln xx0 1xGiải bài 3:Khi x  0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là  .Áp dụng quy tắc L’Hospital1

Bài: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1|BÀI TẬP GIỚI HẠN H 3.1 Các định nghĩa Trong phần ta giả sử f(x) hàm số xác định lân cận điểm x 0, không thiết phải xác định x0 Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L với dãy số {x n} lân cận x0 thõa: Kí hiệu: hay f(x) ® L x ® x0 Định nghĩa 2: Số L gọi giới hạn hàm số f(x) x ® x với tồn số cho trước (bé tùy ý) dương cho với x thỏa: ta có Định nghĩa 3: Số L gọi giới hạn phải (trái) hàm số f(x) x ® x với (bé tùy ý) tồn số có dương cho với x thỏa ta Kí hiệu: ( ) Định nghĩa 4: Số L gọi giới hạn hàm số f(x) x ® số (lớn tùy ý) cho với x thõa Kí hiệu: ta có hay f(x) ® L x ® với Ví dụ 1: Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: Giải: cho trước Vì x ® ta rút: bé tùy ý: (bé tùy ý) tồn Vậy Khi x 2|BÀI TẬP GIỚI HẠN H x–3 ta có: Vậy: Xét: với > (bé tùy ý), Vậy 3.2 Các tính chất Dựa vào giới hạn dãy số, định nghĩa giới hạn hàm số, ta suy tính chất sau: Nếu f(x) có giới hạn giới hạn Nếu hàm số f(x) có giới hạn L x ® x L > a (hay L < a) lân cận x0 (không kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x) < a) Nếu f(x) £ g(x) lân cận điểm x0 , x0 thì b £ a Nếu f(x) = C (với C số) Nếu f(x) hàm số sơ cấp xác định điểm x lân cận Giả sử f(x), g(x) h(x) hàm số xác định lân cận điểm x 0, không thiết xác định x0 Khi đó, hàm số f(x), g(x) h(x) thỏa mãn điều kiện: g(x) £ f(x) £ h(x) Giả sử hàm số f(x) xác định x dương lớn tùy ý, hàm f(x) hàm số đơn điệu tăng bị chặn f(x) có giới hạn x ® + Giả sử hàm số f(x) xác định x âm lớn tuỳ ý giá trị tuyệt đối, hàm f(x) hàm số đơn điệu giảm bị chặn f(x) có giới hạn x ® - 3|BÀI TẬP GIỚI HẠN H = 10 Nếu hàm số f(x) g(x) có giới hạn x®x hàm [f(x) ± g(x)], f(x).g(x), có giới hạn ta có: lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x) 11 Xét hàm hợp f(u) u = u(x), ta có: Nếu , f(u) xác định lân cận Ví dụ 2: Tính: Đặt ; u(x) = 2x(x2 + 3x – 5), ta có Vậy 3.3 Các giới hạn Đặt biệt u 4|BÀI TẬP GIỚI HẠN H hay Chú ý: Khi tính giới hạn hàm số thường gặp dạng vô định : , sau vài ví dụ minh họa Ví du 3: Tính: Tính: Tính: Tính: Tính: Tính: Tính: Giải: 1) 2) 3) , , 5|BÀI TẬP GIỚI HẠN H 4) 5) = 6) = = 7) Bài 1: Tính giới hạn hàm sau: tan x − x I = xlim →0 x − sin x Giải 1: Thấy x  giới hạn cho có dạng bất định Áp dụng quy tắc L’Hospital: 1− cosx + cosx tan x − x cos2 − ( )( ) + cosx lim = lim = lim = lim = =2  x x→0 x − sin x x→0 1− cosx x→ − cos x cos ) x ( Bài 2: Tính giới hạn sau đây: I = xlim →+∞ e x −1 x Giải 2: Khi x  +∞ giới hạn cho có dạng bất định Áp dụng quy tắc L’Hospital 1 I= lim e x −1 = lim x1 e x =e =1 x→ cos2 x x→+∞ x→+∞ 1 x x2 | Bhạn À I sau TẬ P GIỚI HẠN H Bài 3: Tính giới đây: ln x I = lim x→ x Giải 3: ∞ Khi x  giới hạn cho có dạng bất định ∞ Áp dụng quy tắc L’Hospital ln x I = lim = lim =  x x→0 x→0 − 1 x x2 Bài 4: Tính giới hạn n∈N, a ≥1 I = lim x x→+∞ n x a Giải 4: ∞ Khi x  +∞ giới hạn có dạng bất định ∞ Áp dụng quy tắc L’Hospital I = lim x→+∞ x = lim n x x→+∞ a n−1 nx = lim n(n −1)xn−2 = lim ax (lna)2 x→+∞ x x→+∞ a lna n! = (vì n số)  a x (lna)n Bài 5: Tính giới hạn sau µ > I = limx µ ln x x→0 Giải 5: Khi x0, giới hạn cho có dạng bất định 0.∞ , ta đưa dạng bất định I = limx µ ln x = lim x→0 x→0 0∪ ∞ ln x ∞ µ x Áp dụng quy tắc L’Hospital ln x I = lim x→0 µ x ln x = lim x→0 µ − x = lim x→0 +1) x Bài 6: Tính sau:  2giới hạn  I = lim cot x −  x→0 x   −µx −( µ xµ x (µ +1) x = lim x→0 −µx xµ = lim = lim x→0 x→0 −µx =0 −µ Giải 6: Khi x  giới hạn cho có dạng bất định ∞ − ∞ Đưa ∞ − ∞ dạng    2   I = lim cot x − cos x = lim x cos x − sin x   = lim  x→0 2 x→0  x→0 x sin x −2  sin x x x         xcos2 x − sin x xcos x + sin  x  x→0  x sin x  sin x = lim      tiến hành thay VCB tương đương  Tới Khi x  ta có: xcosx ~ x sinx ~ x x2sinx ~ x3 Vậy xcosx + sinx ~ x + x = 2x xcosx – sinx không thay VCB tương đương x – x = 0x  xcos x − sin x xcos x + sin x  xcos x − sin x xcos x + sin x I = lim  lim lim   =        x→0 x2 sin x x→0  x→0 xx sin sin x  sin x        xcos x3 − sin x xcos x3− sin x 2x lim  x→0  x→0  = lim x→0  = 2lim  x x    x    Áp dụng quy tắc L’Hospital      cos x − xsin  x   x xcos x3 − sin x x − cos −xsin I = 2lim 2lim  x→0   = x→0 x→0 = 2lim3x 2  3x2 x     1  sin x     = × − lim =2× − ×1 = −   x→      3  x   3 Bài 7: Tính giới hạn sau đây: + x3 sin − sin1 I = lim x→0 − 2xlncosx −1 Giải 7: Nhận xét, vì: lim 1− 2xlncosx −1 = lim sin 1+ x3 − sin1 = x→0 ( x→0 ta tiến hành thay VCB ( tương đương sin 2cos − sin1 = lim 1+x I = lim sin 1+x +1 +2x3 −1 2cos1×sin + x −1 3 − 2xlncosx −1 x→0 − 2xlncosx −1 Khi x  0, ta có: 1+ x3 1+ x3 −1 −1 x3 x3 sin ~ ~ × = 2 2 − 2xlncos x 2 = lim x→0 = lim I x→0 x→0 − 2xlncosx −1 x2 2   −1 ~ − x lncos x = x ln(1 + cos x −1) ~ x(cos x −1) ~ x −   − − − 5 5   =x Vậy: x cos1 = cos1  x Bài 8: Tính giới hạn sau đây: x2 + x I = lim x→+∞ x +4 x2 − + 2x + x2 − + x Giải 8: Vì lim x→+∞ ( +3 2x + = +∞ ∧ lim x x→+∞ + x = +∞ nên ta tiến hành thay ) VCL ) tương đương Khi x → +∞ ta tiến hành lượt bỏ VCL có bậc thấp hơn, chọn VCL có bậc cao tử mẫu x2 + x2 − ~ x Như vậy, ta có: ~x = lim ln x Khi x  1, ta có: x→1 sin e x −1 −1 x→1 ln(1( + x −1)) sin ex −1 −1 ~ e x −1 −1 ~ x −1 ( ) ln(1+ x −1) ~ x −1 Vậy, x −1 I = lim =1 x→1 − giới hạn sau đây: Bài 12:xTính e x −1 cos x −1 I= ( sin3)x( + 2x4 ) lim x→0 Giải bài 12:  Vì lim e x −1 cos x −1 = ∧ lim sin x + 2x = nên ta thay VCB tương đương ) ( ) ( ( ) x→0 x→0 Khi x0, ta có: ex −1 ~ x cosx −1 ~ −x sin3 x ~ x3 Như vậy, − x23 I = lim = −  x→0 x hạn sau: Bài 13: Tính giới sin 2x + 2arctan 3x + 3x2 I= lim ln + 3x + sin2 x + xex ( x→0 ) Giải 13: Vì lim sin 2x + 2arctan 3x + 3x2 ( =0 x→0 )  = ∧ lim ln 1+3x + sin2 x ( x→0 ) + xex  tương đương ln 1+ 3x + sin2 x ~ 3x + sin2 x ~ 3x + x Khi x0, ta có: ( ) sin 2x ~ 2x ; 2arctan3x ~ 6x ; xex ~ x.1 = x Như vậy, ta được: I = lim x→0 8x =2 Bài 14:4x Tính giới hạn sau đây: x +4 x + 2x + I = lim nên thay VCB x2 − + x x→+∞ x2 + x2 − Giải 14: ( +3 2x + Vì lim x→+∞ Khi x → +∞, ta có: x2 + x2 − ~ x ; ~x = +∞ ∧ lim x x→+∞ + x = +∞ nên thay VCL tương ) đương ) Nhận thấy VCL bậc cao tử mẫu bậc 1, nên VCL có bậc < bị giản lược bớt Như vậy, ta có: I = lim 3x  = x→+∞ 2x giới hạn sau đây: Bài 15: Tính x2 + 14 +x I = lim x→+∞ x2 − + x x2 − Giải 15: ( Vì lim x→+∞ x = +∞ ∧ lim x2 +14 + + x→+∞ x −2 Khi x → +∞, ta có: Ta thấy: lim x→+∞ ( x +14 + x = +∞ ) lim x→+∞ + x = +∞ nên ta thay VCL tương đương ) ) ( x = +∞ Nên ta tiến hành thay VCL ) tương đương x2 + 14 ~x x −2 ~x Như vậy, I = lim 2x =1 x→+∞ 2x giới hạn sau đây: Bài 16: Tính x2 + 14 +x I = lim x→−∞ x2 − + x x2 − Giải 16: Vì lim x→−∞ ( x =0∧ lim x +14 + x→−∞ + x = nên ta thay VCL tương ) ) đương mà tính giới hạn thay VCB tương đương cách biến đổi biểu thức −x 14 1+ + xx −x x + −  +x    x   14 1−1+   + − −1 x  x 2   #CÁCH 1: x2 + 14 +x I = lim x→−∞ 1+ x2 − + x lim = lim x→−∞ x→−∞ = −1 ~ 14  × −2 =− x Khi x → −∞, ta có: 14 −1 ~ × = ;  1+ −    x2 x2  x  x x   Như vậy,   x2 = −7  I = xlim →−∞ − # CÁCH 2:x Đặt t = −x Như vậy, giới hạn cho trở thành: t + 14 − t t2 − − t t + 14 − t t − + t t + 14 + t t − − t t − + t t + 14 + t = lim I = lim t→+∞   t→+∞    = lim 14 t − + t    −2 t→+∞ t + 14 + t  Khi t → +∞ , ta được: t2 − t +14     ~ t ~t Như vậy,  14 2t  14 I = lim = − = −7  3x   t→+∞ −2 2t  Bài 17: VCL sau có bậc cao x → +∞: 3x + ln3 x , xln x , x(2 + sin4 x) , Giải 17: (Phương pháp: Giống thuật toán tìm giá trị Max, ta gán phần tử xem max ban đầu, sau so sánh tiếp với phần tử khác Nếu có phần tử mà lớn phần tử gán ban đầu giá trị Max gán cho phần tử Tương tự, so sánh ta giá trị Max dãy) Chọn 3x + ln3 x ln x Khi x → +∞thì 3x + ln3 x ~ xln x lim = +∞ lim = 3x So sánh với hàm xlnx: x→+∞ 3x Như vậy: xlnx có bậc cao 3x + ln x 3x x→+∞ Có Trong 3x = x Như 3x + ln3x có bậc cao bé bậc xlnx bị loại có bậc 1/2 < nên bị loại Ta đem hàm xlnx so sánh với x(2 + sin4x): x(2 + sin4 x) ~ (do hàm sinx hàm bị chặn) 2x lim =  xlnx có bậc cao x(2 + sin4x) lim 2x = x→+∞ x→+∞ xln xcó bậcln x xlnx  Vậy: VCL cao Bài 18: VCL sau có bậc cao x → +∞: 2x, x2, x2 + sin4x, xlnx Giải 18: Tương tự 17 Nhận định 2x x2 ta thấy 2x VCL có bậc cao 2x tiến vô nhanh x2 Xét x2 + sin4x ~ x2 (do hàm sinx hàm bị chặn) Nên 2x VCL có bậc cao x2 + sin4x Tương tự, ta thấy xlnx tiến vô chậm 2x, vậy: 2x VCL có bậc cao x → +∞ Bài 19: Tính giới hạn sau đây: x+ I = x→−∞ lim xe x Giải 19: Đặt t = -x, ta giới hạn sau:   − t−  t = lim −t−t1 #CÁCH 1: I = lim − te t→+∞ Dạng  t e Tiến hành dùng L’Hospital ∞ ∞ I = t→+∞ lim t→+∞ −1 1  t− + e   t  #CÁCH 2: t  1 − t−  t  t = +∞  −t 1t = lim e = (Do 0.1 = hàm t chạy vô chậm so với hàm et t t→+∞ e I = lim − te  t→+∞ nên –t/et = 0) Vậy I = lim xe   lim 12  e t + t→+∞   =0 Do t− x+ x =0  x→−∞ Bài 20: Tính giới hạn sau đây:  I = lim x + x2   x→+∞ x −4 Giải 20: Dạng bất định 1∞ x2 8x 2  x −4 x −4   + + = lim     I = lim  x  x→+∞   x2 − x→+∞ x −4       8x =8 Vì lim x→+∞ x − 8x = e lim x →+∞ x −4 = e8  Bài 21: Tính giới hạn sau đây: I = x→0 lim 1+ 2x4 sin 2x ( Giải 21: Dạng bất định 1∞ 1 sin = lim  + 2x 2x 4 ( x ( ) )  x→0 x→0   2x 2x Vì lim = =0 lim 2 x→0 x→0 x sin x Bài 22: Tính giới hạn sau đây: I = lim + 2x I = lim ln e + x x ( ( x→0 )) Giải 22: Dạng bất định 1∞ I = lim ln e + x ( ( 2x lim =e x →0 sin x =1 cot   x  cot = lim + xln + cot x )) cot x    x  = lim ln e + x→0 x→0  2x sin x     e     ln1+  x cot x   x→0   e   e x   x x    ln 1+   lim ln lim ln1+ cot x e  e eI   e    =  + + = =  x→0   e     x cosx Tính I2 = limln 1 +  = e sin x e   x→0    Vì x   x x ln + ~ ; cosx ~ 1; sinx ~ x   e e   Như vậy: I = lim ln e + x x→0 ( ( )) = ee  Bài 23: Tính giới hạn sau; I = x→0 lim 1− tan x ( Giải 23: Dạng bất định 1∞ sin2 2x − I = lim − tan x ( 2x x→0 ) sin  = lim + − tan  ( x )) x→0 (  sin2 x tan2 x      x→0 cot x   tan2 x −sin2 2x = eI −tan x − cos2 x −sin x 2 = lim = lim = − Tính I2 = lim 4sin xcos x 4sin xcos x sin 2x x→0 x→0 Như vậy, x→0 ( I = 2x lim − tan x x→0 sin2 −4 =e  Bài 24: Tính giới hạn sau đây: I = lim cos x x1 ( 10 ) |BÀI TẬP GIỚI HẠN H x→0 Giải 24: Dạng bất định 1∞ 1 Ilim = cos x ( x→0 )  = I= lim x2 x + cos x −1 cos ( )  x→0  x→0 lim cos x−1 2 x −1 Tính: I = lim cos x−1  =e x→0  cosx −1 Khi x  0, xcosx – ~ -x2/2 −x cosx − I = lim = lim = − x→0 x I = lim cos x x→0 ( ) x2 x→0 − =e x  Bài 25: Tính giới hạn sau đây:  I = lim 2x + x2   x→+∞  2x −  Giải 25: Dạng bất định 1∞ 4x x2 2x −1  −1   2x + = lim 1 4    + I = lim  x→+∞   2x −1  x→+∞      2x −    4x =2 Vì lim x→+∞ 2x −1 Bài 26: Tính giới hạn sau đây: x   I = lim e x +1   x→+∞ x   Giải 26: Dạng bất định 1∞ Đặt t = 1/x, ta 1được giới hạn sau 1 I = lim et + t t t→0 Tính I2 lim ln(et +t)  t→0  t =e =( e I 2 2x = e2  x = eI    1 1 t   e t + t  = lim  ln e t +t = lim ln e t + ln t→0   11 | B À) I t→0 T Ậ P G I (Ớ I H )Ạ t→0 N H t ( t et  t  1 = lim lne t + ln         t t  + = lim t = lim + =2      + t→0   t→0 t t→0 t t t t e   e   e   Như vậy, x  I = lim e x +  = e2  I = lim 1 x→+∞   x [...]... =e  Bài 24: Tính giới hạn sau đây: I = lim cos x x1 ( 10 ) |BÀI TẬP GIỚI HẠN H x→0 2 Giải bài 24: Dạng bất định 1∞ 1 1 Ilim = cos x ( x→0 )  = I= lim x2 x 1 + cos x −1 cos ( )  x→0  x→0 lim cos x−1 2 2 x −1 Tính: I 2 = lim cos x−1  =e x→0  cosx −1 2 Khi x  0, xcosx – 1 ~ -x2/2 −x 2 cosx − 1 2 1 I = lim = lim = − 2 x→0 2 x I = lim cos x x→0 ( ) 1 x2 x→0 1 − 2 =e 2 x  2 Bài 25: Tính giới hạn. .. sin4x, xlnx Giải bài 18: Tương tự bài 17 Nhận định đầu tiên là giữa 2x và x2 thì ta thấy 2x là VCL có bậc cao hơn vì 2x tiến ra vô cùng nhanh hơn x2 Xét x2 + sin4x ~ x2 (do hàm sinx là hàm bị chặn) Nên 2x là VCL có bậc cao hơn x2 + sin4x Tương tự, ta thấy xlnx tiến ra vô cùng chậm hơn 2x, như vậy: 2x là VCL có bậc cao nhất khi x → +∞ Bài 19: Tính giới hạn sau đây: 1 x+ I = x→−∞ lim xe x Giải bài 19:... + x x→+∞ x2 + 4 x2 − 4 Giải bài 14: ( +3 2x + Vì lim x→+∞ được Khi x → +∞, ta có: x2 + 4 x2 − 4 ~ x ; ~x = +∞ ∧ lim x x→+∞ + x = +∞ nên thay VCL tương ) đương ) Nhận thấy VCL bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc 1, nên các VCL có bậc < 1 sẽ bị giản lược đi bớt Như vậy, ta có: I = lim 3x 3  = x→+∞ 2x giới 2 hạn sau đây: Bài 15: Tính x2 + 14 +x I = lim x→+∞ x2 − 2 + x x2 − 2 Giải bài 15: ( Vì lim x→+∞ x...  3 x→0 x 2 hạn sau: Bài 13: Tính giới sin 2x + 2arctan 3x + 3x2 I= lim ln 1 + 3x + sin2 x + xex ( x→0 ) Giải bài 13: Vì lim sin 2x + 2arctan 3x + 3x2 ( =0 x→0 )  = 0 ∧ lim ln 1+3x + sin2 x ( x→0 ) + xex  tương đương được ln 1+ 3x + sin2 x ~ 3x + sin2 x ~ 3x + x 2 Khi x0, ta có: ( ) sin 2x ~ 2x ; 2arctan3x ~ 6x ; xex ~ x.1 = x Như vậy, ta được: I = lim x→0 8x =2 Bài 14:4x Tính giới hạn sau đây:... 1 t− x+ 1 x =0  x→−∞ Bài 20: Tính giới hạn sau đây:  2 I = lim x + 4 x2  2  x→+∞ x −4 Giải bài 20: Dạng bất định 1∞ x2 8x 2 2  x −4 x 2 −4   + 4 1 8 + = lim 8     I = lim  x  x→+∞   x2 − 4 2 x→+∞ x −4    2    8x =8 Vì lim x→+∞ x 2 − 4 2 8x 2 = e lim x →+∞ x −4 = e8  2 Bài 21: Tính giới hạn sau đây: 1 I = x→0 lim 1+ 2x4 sin 2x ( Giải bài 21: Dạng bất định 1∞ 1 1 4 sin 2... lim x = 1  2 x→0 Bài 10:xTính giới hạn sau đây: ln cosx I = lim ( ) x→0 ln(1 + x2 ) Giải bài 10: Vì limln cosx = 0 ∧ limln(1 + x2 ) = nên thay VCB tương đương được ( ) 0 x→0 x→0 Khi x  0, ta được: ln(cosx) = ln(1 + cosx −1) ~ cosx −1 ~ − ln(1+ x ) ~ x Như vậy: 2 x 2 2 2 2 − x2 1 I = lim = −  x→0 2 x Bài 11: Tính giới2 hạn sau đây: sin e x −1 −1 I= (ln x ) lim x→1 Giải bài 11: Vì limsin ex−1 −1 = 0... đây:  2 I = lim 2x + 3 x2  2  x→+∞  2x − 1  Giải bài 25: Dạng bất định 1∞ 4x 2 x2 2x 2 −1  −1   2 2x + 3 = lim 1 4 4    + I = lim  x→+∞  2  2x 2 −1  x→+∞      2x − 1    4x 2 =2 Vì lim 2 x→+∞ 2x −1 Bài 26: Tính giới hạn sau đây: x   1 I = lim e x +1   x→+∞ x   Giải bài 26: Dạng bất định 1∞ Đặt t = 1/x, ta 1được giới hạn sau 1 I = lim et + t t t→0 Tính I2 lim ln(et... xlnx có bậc cao hơn 3x + ln x 3 1 3x 3 x→+∞ 3 Có Trong 3x = x 2 Như vậy 3x + ln3x có bậc cao nhất là 1 bé hơn bậc của xlnx đã bị loại khi có bậc là 1/2 < 1 nên cũng bị loại Ta đem hàm xlnx so sánh với x(2 + sin4x): x(2 + sin4 x) ~ (do hàm sinx là hàm bị chặn) 2x lim 2 = 0  xlnx có bậc cao hơn x(2 + sin4x) lim 2x = x→+∞ x→+∞ xln xcó bậcln x nhất là xlnx  Vậy: VCL cao Bài 18: VCL nào sau đây có bậc... −1 ( ) = lim ln x Khi x  1, ta có: x→1 sin e x −1 −1 x→1 ln(1( + x −1)) sin ex −1 −1 ~ e x −1 −1 ~ x −1 ( ) ln(1+ x −1) ~ x −1 Vậy, x −1 I = lim =1 x→1 − 1 giới hạn sau đây: Bài 12:xTính e x −1 cos x −1 I= ( sin3)x( + 2x4 ) lim x→0 Giải bài 12:  Vì lim e x −1 cos x −1 = 0 ∧ lim sin 3 x + 2x 4 = nên ta thay VCB tương đương được 0 ) ( ) ( ( ) x→0 x→0 Khi x0, ta có: ex −1 ~ x 2 và cosx −1 ~ −x... x→+∞ 2xgiới 2 hạn sau đây: Bài 9: Tính ln 1 + x tan x I= (2 ) 3 x + sin x lim x→0 Giải bài 9: + = ∧ + = Vì, limln(1 x tan x ) 0 lim x2 sin3 x nên ta thay được các VCB tương đương 0 x→0 ( x→0 Khi x  0, ta tiến hành thay các VCB tương đương: ln 1+ x tan x ~ x tan x ~ x2 ( ) sin3 x ~ x3 Dưới mẫu được x2 + x3 , lượt bỏ VCB có bậc cao hơn, như vậy dưới mẫu ta được x2 Như vậy: 2 I = lim x = 1  2 x→0 Bài 10:xTính ... x 2|BÀI TẬP GIỚI HẠN H x–3 ta có: Vậy: Xét: với > (bé tùy ý), Vậy 3.2 Các tính chất Dựa vào giới hạn dãy số, định nghĩa giới hạn hàm số, ta suy tính chất sau: Nếu f(x) có giới hạn giới hạn. .. Tính: Tính: Tính: Giải: 1) 2) 3) , , 5|BÀI TẬP GIỚI HẠN H 4) 5) = 6) = = 7) Bài 1: Tính giới hạn hàm sau: tan x − x I = xlim →0 x − sin x Giải 1: Thấy x  giới hạn cho có dạng bất định Áp... có giới hạn x ® + Giả sử hàm số f(x) xác định x âm lớn tuỳ ý giá trị tuyệt đối, hàm f(x) hàm số đơn điệu giảm bị chặn f(x) có giới hạn x ® - 3|BÀI TẬP GIỚI HẠN H = 10 Nếu hàm số f(x) g(x) có