Chuẩn, vết và định thức (KL07493)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - NGUYỄN THỊ KIM OANH CHUẨN, VẾT VÀ ĐỊNH THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội – 2015 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - NGUYỄN THỊ KIM OANH CHUẨN, VẾT VÀ ĐỊNH THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS Nguyễn Huy Hƣng Hà Nội – 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Huy Hƣng ngƣời thầy trực tiếp tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số thầy cô khoa Toán - Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Trong khuôn khổ khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học khóa luận không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận đƣợc góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Oanh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đƣợc quan tâm thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hƣớng dẫn tận tình thầy Nguyễn Huy Hƣng Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Chuẩn, vết định thức” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Oanh MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Một số kiến thức đại số tuyến tính 1.1.1.Không gian vectơ 1.1.2 Ma trận, định thức 1.1.3 Ánh xạ tuyến tính 1.2 Một số kiến thức vành, trƣờng 10 1.2.1 Vành, vành giao hoán có đơn vị 10 1.2.2 Miền nguyên 10 1.2.3 Trƣờng 11 1.3 Một số kiến thức lý thuyết Galois 12 1.3.1 Đa thức bất khả quy 12 1.3.2 Phần tử đại số, đa thức tối tiểu, số nguyên đại số 12 1.3.3 Mở rộng trƣờng 13 1.4 Một số kiến thức môđun 15 1.4.1 Định nghĩa 15 1.4.2 Môđun môđun thƣơng 16 CHƢƠNG CHUẨN, VẾT VÀ ĐỊNH THỨC 18 2.1.Chuẩn vết 18 2.2 Thiết lập sở cho lý thuyết số đại số 23 2.3 Định thức 27 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài “Lý thuyết số đại số” môn học hay, thú vị, kích thích đƣợc lòng say mê học nghiên cứu Toán sinh viên Nhƣng thời gian học lớp có hạn nên sinh viên điều kiện học Do vậy, đƣợc gợi ý giảng viên hƣớng dẫn với niềm say mê tìm hiểu sở đại số để chuẩn bị cho lý thuyết số đại số nên em định chọn đề tài “Chuẩn, vết định thức” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu đề tài Thực đề tài “Chuẩn, vết định thức”, em hƣớng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Toán học thân Từ đó, hình thành khả trình bày vấn đề Toán học trừu tƣợng cách logic có hệ thống Khóa luận nhằm cung cấp số kiến thức chuẩn, vết trƣờng mở rộng hữu hạn, số đại số, tính chất chúng định thức lý thuyết số đại số nhằm xây dựng sở đại số để chuẩn bị cho lý thuyết số đại số Thực khóa luận này, em có hội củng cố lại kiến thức đại số tuyến tính nhƣ đại số làm quen với cách nghiên cứu khoa học vấn đề Toán học Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Chuẩn, vết định thức lý thuyết số đại số thiết lập sở cho lý thuyết số đại số Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên cứu số kiến thức chuẩn bị liên quan đến chuẩn, vết định thức Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Chƣơng Chuẩn, vết định thức Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Oanh CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Một số kiến thức đại số tuyến tính 1.1.1.Không gian vectơ 1.1.1.1.Định nghĩa Cho 𝑉 tập khác rỗng mà phần tử kí hiệu 𝛼 , 𝛽, 𝛾 … 𝐾 trƣờng Giả sử 𝑉 đƣợc trang bị hai phép toán gồm: a) Phép cộng: 𝑉 × 𝑉 → 𝑉, 𝛼 , 𝛽 → 𝛼 + 𝛽, b) Phép nhân: 𝐾 × 𝑉 → 𝑉, 𝜆, 𝛼 → 𝜆𝛼 thỏa mãn điều kiện sau: i 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 , ∀𝛼 , 𝛽 , 𝛾 ∈ 𝑉 ii ∃0 ∈ 𝑉: + 𝛼 = 𝛼 + = 𝛼 , ∀𝛼 ∈ 𝑉 iii ∀𝛼 ∈ 𝑉, ∃𝛼′ ∈ 𝑉: 𝛼 + 𝛼′ = 𝛼′ + 𝛼 = iv 𝛼 + 𝛽 = 𝛽 + 𝛼 , ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝑉 v 𝜆 + 𝜇 𝛼 = 𝜆 𝛼 + 𝜇𝛼 , ∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾, ∀𝛼 ∈ 𝑉 vi 𝜆 𝛼 + 𝛽 = 𝜆 𝛼 + 𝜆 𝛽 , ∀𝜆 ∈ 𝐾, ∀𝛼 , 𝛽 ∈ 𝑉 vii viii 𝜆(𝜇𝛼 ) = 𝜆𝜇 𝛼, ∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾, ∀𝛼 ∈ 𝑉 𝛼 = 𝛼 , ∀𝛼 ∈ 𝑉 Khi 𝑉 với hai phép toán cho đƣợc gọi không gian vectơ trƣờng 𝐾 hay 𝐾- không gian vectơ (gọi tắt không gian vectơ) Các phần tử 𝑉 gọi vectơ, phần tử 𝐾 gọi vô hƣớng Phép cộng “+” gọi phép cộng vectơ, phép nhân “.” gọi phép nhân vectơ với vô hƣớng Khi 𝐾 = ℝ 𝑉 đƣợc gọi không gian vectơ thực Khi 𝐾 = ℂ 𝑉 đƣợc gọi không gian vectơ phức 1.1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1: Cho 𝐾 – không gian vectơ 𝑉 a) Một tổ hợp tuyến tính vectơ 𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ∈ 𝑉 biểu thức dạng: 𝑛 𝜆𝑖 𝛼𝑖 = 𝜆1 𝛼1 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝛼𝑛 𝑖=1 𝜆1 , … , 𝜆𝑛 ∈ 𝐾 b) Với 𝛼 ∈ 𝑉, 𝛼 = 𝜆1 𝛼1 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝛼𝑛 ta nói vectơ 𝛼 đƣợc biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ) đẳng thức 𝛼 = 𝜆1 𝛼1 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝛼𝑛 đƣợc gọi biểu thị tuyến tính 𝛼 qua vectơ 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 Định nghĩa 2: (Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính) a) Hệ vectơ (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ) đƣợc gọi độc lập tuyến tính hệ thức: 𝜆1 𝛼1 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝛼𝑛 = xảy 𝜆1 = ⋯ = 𝜆𝑛 = b) Hệ vectơ (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ) đƣợc gọi phụ thuộc tuyến tính hệ không độc lập tuyến tính Ví dụ: Trong không gian vectơ thực ℝ2 cho hệ ba vectơ: 𝛼1 = 2,0 , 𝛼2 = 0,4 , 𝛼3 = (4,4) Hệ (𝛼1 , 𝛼2 ) độc lập tuyến tính vì: 𝜆1 𝛼1 + 𝜆2 𝛼2 = ⇒ 2𝜆1 , + 0,4𝜆2 = 0,0 ⇒ 2𝜆1 , 4𝜆2 = 0,0 ⇒ 𝜆1 = 𝜆2 = Hệ (𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 ) phụ thuộc tuyến tính 2𝛼1 + 𝛼2 − 𝛼3 = 1.1.1.3 Cơ sở số chiều không gian vectơ Định nghĩa 1: a) Một hệ vectơ 𝑉 đƣợc gọi hệ sinh 𝑉 vectơ 𝑉 biểu thị tuyến tính qua hệ b) Một hệ vectơ 𝑉 đƣợc gọi sở 𝑉 vectơ 𝑉 biểu thị tuyến tính qua hệ Định nghĩa 2: a) Số vectơ sở 𝐾 – không gian vectơ hữu hạn sinh 𝑉 ≠ ∅ đƣợc gọi số chiều 𝑉 trƣờng 𝐾 kí hiệu 𝑑𝑖𝑚 𝑉 hay rõ 𝑑𝑖𝑚𝐾 𝑉 Nếu 𝑉 = , ta quy ƣớc 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = b) Nếu 𝑉 sở gồm hữu hạn phần tử đƣợc gọi không gian vectơ vô hạn chiều 1.1.2 Ma trận, định thức 1.1.2.1.Định nghĩa Cho 𝐾 trƣờng tùy ý Một bảng gồm 𝑚 𝑛 phần tử 𝑎𝑖𝑗 thuộc trƣờng 𝐾 có dạng: 𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑚 𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑚 … 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 … … … 𝑎𝑚𝑛 đƣợc gọi ma trận kiểu 𝑚, 𝑛 Mỗi 𝑎𝑖𝑗 đƣợc gọi thành phần ma trận Vectơ dòng (𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛 ) đƣợc gọi dòng thứ 𝑖 ma trận Vectơ cột 𝐴 ⋮ 0 𝐴 ⋮ ⋯ … ⋱ … 0 ⋮ 𝐴 2.1.5 Hệ Cho 𝐸 mở rộng hữu hạn bậc 𝑛 𝐹, 𝐸: 𝐹 = 𝑛, 𝑥𝑖 số đại số bậc 𝑘 𝐹, 𝐹 𝑥 : 𝐹 = 𝑑 𝑀𝑖𝑛(𝑥, 𝐹) có 𝑑 nghiệm 𝑥𝑖 Khi đó: 𝑑 𝑛/𝑑 , 𝑖=1 𝑥𝑖 ) 𝑁(𝑥) = ( 𝑇(𝑥) = 𝑐𝑕𝑎𝑟(𝑥) = 𝑛 𝑑 𝑑 𝑖=1 𝑥𝑖 , 𝑑 𝑖=1(𝑋 − 𝑥𝑖 ) 𝑛/𝑑 Chứng minh Với 𝑥 ∈ 𝐸 𝐹(𝑥) ⊂ 𝐸 ta có 𝐸: 𝐹 = 𝐸: 𝐹(𝑥) 𝐹 𝑥 : 𝐹 ⇒ 𝑛 𝐸: 𝐹(𝑥) = 𝑑  Theo mệnh đề (2.1.4), hiển nhiên 𝑐𝑕𝑎𝑟(𝑥) =  Theo tính chất (2.1.3𝑖), chuẩn −1 𝑛 𝑑 𝑑 𝑖=1(𝑋 − 𝑥𝑖 ) 𝑛/𝑑 lần số hạng không đổi 𝑐𝑕𝑎𝑟(𝑥) Mà 𝑋 = ta có giá trị đa thức đặc trƣng là: 𝑐𝑕𝑎𝑟(𝑥) = 𝑑 𝑖=1(0 Từ đó, ta có 𝑁(𝑥) = ( − 𝑥𝑖 ) 𝑛/𝑑 𝑛 𝑑 = (−1) ( 𝑛 𝑑 𝑑 𝑖=1 𝑥𝑖 ) 𝑑 𝑛/𝑑 𝑖=1 𝑥𝑖 )  Theo tính chất (2.1.3𝑖), hệ số lũy thừa cao thứ hai đa thức đặc trƣng số đối vết Giả sử 𝑚𝑖𝑛 (𝑥, 𝐹) = 𝑋 𝑑 + 𝑎𝑑−1 𝑋 𝑑−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑋 + 𝑎0 hệ số của 𝑋 𝑛−1 𝑚𝑖𝑛(𝑥, 𝐹) 𝑛 𝑑 là: 𝑛 𝑑 𝑎𝑑−1 = −(𝑛/𝑑) phải chứng minh 20 𝑑 𝑖=1 𝑥𝑖 Do đó, ta có điều 2.1.6 Mệnh đề Cho 𝐸/𝐹 mở rộng tách đƣợc bậc 𝑛 𝜎1 ,…,𝜎𝑛 𝐹nhúng phân biệt (hay 𝐹- đơn cấu) 𝐸 bao đóng đại số 𝐸 mở rộng 𝐿 𝐸 chứa 𝐹 Thế thì: 𝑛 𝑁𝐸/𝐹 (𝑥) = 𝑛 𝜎𝑖 (𝑥), 𝑇𝐸/𝐹 (𝑥) = 𝑖=1 𝜎𝑖 (𝑥), 𝑖=1 𝑛 𝑐𝑕𝑎𝑟𝐸/𝐹 (𝑥) = 𝑋 − 𝜎𝑖 (𝑥) 𝑖=1 Chứng minh Với 𝑑 phép nhúng phân biệt 𝜏𝑖 𝐹(𝑥) 𝐿 biến 𝑥 thành liên hợp 𝑥𝑖 thực đến 𝑛/𝑑 = [𝐸 ∶ 𝐹(𝑥)] phép nhúng phân biệt 𝐸 𝐿, tất biến 𝑥 thành 𝑥𝑖 Do phần tử 𝜎1 𝑥 , … , 𝜎𝑛 𝑥 bao gồm 𝜏𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, , 𝑑 xuất 𝑛/𝑑 lần Do đó, ta có điều phải chứng minh 2.1.7 Tính chất bắc cầu chuẩn vết Nếu 𝐹 ≤ 𝐾 ≤ 𝐸, 𝐸 𝐹 hữu hạn tách đƣợc 𝑇𝐸/𝐹 = 𝑇𝐾/𝐹 °𝑇𝐸/𝐾 , 𝑁𝐸/𝐹 = 𝑁𝐾/𝐹 °𝑁𝐸/𝐾 Chứng minh Cho 𝜎1 ,…,𝜎𝑛 𝐹 - nhúng phân biệt 𝐾 𝐿, 𝑟1 ,…,𝑟𝑚 𝐾 − nhúng phân biệt 𝐸 𝐿, với 𝐿 tập đóng 𝐸 𝐹 Khi 𝐿/𝐹 Galois ánh xạ 𝜎𝑖 , 𝑟𝑗 mở rộng đến tự đẳng cấu 𝐿 Vì làm cho ánh xạ đƣợc tạo thành có ý nghĩa Từ mệnh đề (2.1.6) có 𝑇𝐾 𝐹 (𝑇𝐸 𝐾 𝑥 )= 𝑛 𝑖=1 𝜎𝑖 𝑚 𝑖=1 𝑟𝑗 𝑥 = 𝑛 𝑖=1 𝑚 𝑖=1 𝜎𝑖 𝑟𝑖 𝑥 Mỗi 𝜎𝑖 𝑟𝑗 = 𝜎𝑖 °𝑟𝑗 𝐹 − nhúng phân biệt 𝐸 𝐿 Khi đó, số lƣợng ánh xạ đƣợc cho 𝑚𝑛 = 𝐸 ∶ 𝐾 𝐾 ∶ 𝐹 = [𝐸 ∶ 𝐹] Hơn 𝜎𝑖 𝑟𝑗 khác xét 𝐸 Vì 𝜎𝑖 𝑟𝑗 = 𝜎𝑘 𝑟𝑙 𝐸 𝜎𝑖 = 𝜎𝑘 21 𝐸, 𝑟𝑗 𝑟𝑘 trùng với đồng thức 𝐾 Do 𝑖 = 𝑘 mà 𝑟𝑗 = 𝑟𝑙 𝐸 Vậy 𝑇𝐾 Tƣợng tự , 𝑁𝐾 𝐹 𝑁𝐸 𝐾 𝑥 𝐹 𝑇𝐸 𝐾 𝑥 = 𝑇𝐸 𝐹 (𝑥) = 𝑁𝐸 𝐹 (𝑥) 2.1.8 Mệnh đề Nếu 𝐸/𝐹 mở rộng tách đƣợc hữu hạn vết 𝑇𝐸 𝐹 (𝑥) cho 𝑥 ∈ 𝐸 Chứng minh Nếu 𝑇(𝑥) = với 𝑥 (2.1.6), 𝑛 𝑖=1 𝜎𝑖 𝑥 = với 𝑥 Nó mâu thuẫn với bổ đề Dedekind’s độc lập tuyến tính phép đơn ánh 2.1.9 Chú ý Một phát biểu tƣơng đƣơng (2.1.8) 𝐸/𝐹 hữu hạn tách rời vết có dạng song tuyến tính không suy biến từ 𝑥, 𝑦 → 𝑇𝐸 𝐹 (𝑥𝑦) Nói cách khác 𝑇 𝑥𝑦 = với y 𝑥 = Đi từ (2.1.9) đến (2.1.8) trực tiếp, giả sử 𝑇 𝑥𝑦 = với y, với 𝑥 ≠ Cho 𝑥0 phần tử với vết khác 0, nhƣ cung cấp (2.1.8) Chọn 𝑦 để 𝑥𝑦 = 𝑥0 để xảy mâu thuẫn 2.1.10 Ví dụ Cho 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 𝑚 phần tử mở rộng bậc hai ℚ( 𝑚)/ℚ, 𝑚 tích số nguyên tố Ta tìm vết chuẩn 𝑥 Nhóm Galois mở rộng gồm đồng thức tự đẳng cấu 𝜎 𝑎 + 𝑏 𝑚 = 𝑎 − 𝑏 𝑚 Do (2.1.6), 𝑇 𝑥 = 𝑥 + 𝜎 𝑥 = 2𝑎, 𝑁 𝑥 = 𝑥𝜎 𝑥 = 𝑎2 − 𝑚𝑏 22 2.2 Thiết lập sở cho lý thuyết số đại số 2.2.1 Các giả định Cho 𝐴 miền nguyên với trƣờng thƣơng 𝐾, 𝐿 mở rộng hữu hạn tách đƣợc 𝐾 Cho 𝐵 tập hợp phần tử 𝐿 nguyên 𝐴 hay 𝐵 nguyên đóng 𝐴 𝐿 Ta có sơ đồ tóm tắt sau Trong trƣờng hợp đặc biệt 𝐴 = ℤ, 𝐾 = ℚ, 𝐿 trƣờng số mở rộng (cần thiết phải tách đƣợc) hữu hạn ℚ, 𝐵 vành nguyên đại số 𝐿 Khi ta có thiết lập 𝐴𝐾𝐵𝐿 2.2.2 Mệnh đề Nếu 𝑥 ∈ 𝐵 , hệ số 𝑐𝑕𝑎𝑟𝐿/𝐾 𝑥 𝑚𝑖𝑛⁡ (𝑥, 𝐹) nguyên 𝐴 Đặc biệt, 𝑇𝐿/𝐾 (𝑥) 𝑁𝐿/𝐾 (𝑥) nguyên 𝐴 Nếu 𝐴 đóng nguyên, hệ số thuộc 𝐴 Chứng minh Hệ số 𝑚𝑖𝑛⁡ (𝑥, 𝐾) tổng tích nghiệm 𝑥 i, theo (2.1.4) đủ chứng minh 𝑥 i nguyên 𝐴 Mỗi 𝑥𝑖 liên hợp 𝑥 𝐾 𝐾 - nhúng 𝑟𝑖 : 𝐾 𝑥 → 𝐾(𝑥𝑖 ) 𝑥 → 𝑟𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 Nếu áp dụng 𝑟𝑖 đến phƣơng trình phụ thuộc nguyên cho 𝑥 qua 𝐴, ta có đƣợc phƣơng trình phụ thuộc nguyên cho 𝑥𝑖 qua 𝐴 23 Từ hệ số thuộc 𝐾 [xem (2.1.1)], chúng phải thuộc 𝐴 𝐴 đóng nguyên 2.2.3 Hệ Cho 𝐴 đóng nguyên, 𝑥 ∈ 𝐿 Khi 𝑥 nguyên 𝐴 nghĩa 𝑥 ∈ 𝐵 đa thức tối tiểu 𝑥 𝐾 có hệ số 𝐴 Chứng minh Nếu 𝑚𝑖𝑛(𝑥, 𝐾) ∈ 𝐴[𝑥] 𝑥 nguyên 𝐴 theo định nghĩa nguyên Điều ngƣợc lại từ (2.2.2) 2.2.4 Hệ Một số nguyên đại số 𝑎 thuộc ℚ thật phải thuộc ℤ Chứng minh Các đa thức tối tiểu 𝑎 ℚ 𝑋 – 𝑎, theo (2.2.3), 𝑎 ∈ ℤ 2.2.5 Sự mở rộng bậc số hữu tỉ Chúng ta xác định số nguyên đại số 𝐿 = ℚ 𝑚 , 𝑚 tích số nguyên tố phân biệt Sự giới hạn 𝑚 không tính tổng quát Ví dụ: ℚ( 12 ) = ℚ( ) Một nhận xét kí hiệu: Để đảm bảo nhầm lẫn số nguyên đại số số nguyên thông thƣờng, thƣờng sử dụng thuật ngữ “số nguyên hữu tỉ” cho thành viên ℤ Bây việc thử trực tiếp (2.1.10) (2.1.3), đa thức tối tiểu ℚ phần tử 𝑎 + 𝑏 𝑚 ∈ 𝐿 (với 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ) 𝑋 – 2𝑎𝑋 + 𝑎2 – 𝑚𝑏 Bởi (2.2.3), a + b 𝑚 số nguyên đại số 2𝑎 𝑎2 – 𝑚𝑏 số nguyên hữu tỉ Trong trƣờng hợp này, ta có 2𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑚(2𝑏)2 ∈ ℤ Để có (2𝑎)2 – 𝑚(2𝑏)2 = 𝑎2 – 𝑚𝑏 ∈ ℤ 24 Nếu 2𝑏 không số nguyên hữu tỉ, mẫu số bao gồm thừa số nguyên tố 𝑝, xuất nhƣ 𝑝2 mẫu số (2𝑏)2 Phép nhân (2𝑏)2 𝑚 giản ƣớc 𝑝2 𝑚 tích số nguyên tố phân biệt Từ ta có điều phải chứng minh Dƣới cách thuận tiện để mô tả số nguyên đại số trƣờng bậc hai 2.2.6 Mệnh đề Tập 𝐵 số nguyên đại số ℚ ( 𝑚), 𝑚 tích số nguyên tố phân biệt đƣợc mô tả nhƣ sau i Nếu 𝑚 ≠ 𝑚𝑜𝑑 4, 𝐵 bao gồm 𝑎 + 𝑏 𝑚; 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ; ii Nếu 𝑚 ≡ 𝑚𝑜𝑑 4, 𝐵 bao gồm 𝑢 + 𝑣 𝑚; 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ, 𝑢 𝑣 tính chẵn lẻ ( chẵn lẻ) [Lƣu ý 𝑚 tích số nguyên tố phân biệt, chia hết cho 4, điều kiện (𝑖) đƣợc viết 𝑚 ≡ 𝑚𝑜𝑑 4.] Chứng minh Từ (2.2.5), số nguyên đại số có dạng (𝑢/2) + (𝑣/2) 𝑚, 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ (𝑢2 − 𝑚𝑣 )/4 ∈ ℤ, nghĩa 𝑢2 − 𝑚𝑣 ≡ 𝑚𝑜𝑑 Mà 𝑢 𝑣 có tính chẵn lẻ [Biết bình phƣơng số chẵn đồng dƣ 𝑚𝑜𝑑 4, bình phƣơng số lẻ đồng dƣ 𝑚𝑜𝑑 4.] Hơn nữa, trƣờng hợp “ hai lẻ” xảy 𝑚 ≡ 𝑚𝑜𝑑 4, trƣờng hợp “cả hai chẵn” tƣơng đƣơng với 𝑢/2, 𝑣/2 ∈ ℤ có điều phải chứng minh 25 Nếu [𝐿 ∶ 𝐾] = 𝑛 sở cho 𝐿/𝐾 gồm 𝑛 phần tử 𝐿 mà độc lập tuyến tính 𝐾 Chúng ta tập hợp cở sở gồm phần tử 𝐵 2.2.7 Mệnh đề Tồn cở sở cho 𝐿/𝐾 gồm toàn phần tử 𝐵 Chứng minh Cho 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 cở sở cho 𝐿 qua 𝐾 Mỗi 𝑥𝑖 đại số 𝐾 thỏa mãn phƣơng trình đa thức có dạng 𝑎𝑚 𝑥𝑖𝑚 + ⋯ + 𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0 = với 𝑎𝑚 ≠ 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 (Ban đầu, có 𝑎𝑖 ∈ 𝐾 nhƣng sau 𝑎𝑖 tỉ số hai phần tử 𝐴 nên lập thành mẫu số chung) Nhân 𝑚 −1 phƣơng trình 𝑥𝑚 để có phƣơng trình phụ thuộc nguyên cho 𝑦𝑖 = 𝑎𝑚 𝑥𝑖 𝐴 Các 𝑦𝑖 tạo thành sở mong muốn 2.2.8 Hệ chứng minh Nếu 𝑥 ∈ 𝐿 có phần tử khác không 𝑎 ∈ 𝐴 phần tử 𝑦 ∈ 𝐵 cho 𝑥 = 𝑦/𝑎 Trong đó, 𝐿 trƣờng thƣơng 𝐵 Chứng minh Trong chứng minh (2.2.7), đặt 𝑥𝑖 = 𝑥, 𝑎𝑚 = 𝑎, 𝑦𝑖 = 𝑦 ta có điều phải chứng minh 2.2.9 Định lý Giả sử có song tuyến tính đối xứng không suy biến không gian vectơ 𝑛 chiều 𝑉 để thuận tiện cho việc viết ngƣời ta sử dụng kí hiệu (𝑥, 𝑦) Nếu 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 sở cho V, có sở 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 cho 𝑉 𝑔ọi sở đối ngẫu, nhƣ (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) = 𝛿𝑖𝑗 = 26 1, 𝑖 = 𝑗 0, 𝑖 ≠ 𝑗 2.3 Định thức Định thức đa thức quen thuộc từ đại số tuyến tính, định thức lý thuyến số đại số nhƣ Chúng ta tìm hiểu mối quan hệ hai khái niệm Giả sử có thiết lập 𝐴𝐾𝐿𝐵 (2.2.1), với 𝑛 = [𝐿 ∶ 𝐾] 2.3.1 Định nghĩa Nếu 𝑛 = [𝐿 ∶ 𝐾] định thức 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) phần tử 𝐿 𝐷 𝑥 = 𝑑𝑒𝑡⁡ (𝑇𝐿/𝐾 (𝑥𝑖 𝑥𝑗 )) Ta tạo ma trận mà phần tử 𝑖𝑗 vết 𝑥𝑖 𝑥𝑗 sau lấy định thức ma trận Từ (2.1.1), 𝐷 𝑥 ∈ 𝐾 Nếu 𝑥𝑖 ∈ 𝐵 (2.2.2), 𝐷 𝑥 nguyên A, 𝐷 𝑥 ∈ 𝐵 Nhƣ 𝐴 nguyên đóng 𝑥𝑖 ∈ 𝐵 𝐷 𝑥 ∈ 𝐴 Các định thức có tính chất giống với phép biến đổi tuyến tính 2.3.2 Bổ đề Nếu 𝑦 = 𝐶𝑥, 𝐶 ma trận 𝑛 × 𝑛 𝐾 𝑥 𝑦 vectơ cột, 𝐷 𝑦 = 𝑑𝑒𝑡 𝐶 𝐷 𝑥 Chứng minh Vết 𝑦𝑟 𝑦𝑠 𝑇 𝑐𝑟𝑖 𝑐𝑠𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 𝑖,𝑗 𝑐𝑟𝑖 𝑇(𝑥𝑖 𝑥𝑗 )𝑐𝑠𝑗 𝑖,𝑗 Do 𝑇 𝑦𝑟 𝑦𝑠 = 𝐶 𝑇 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝐶′ 𝐶 ′ chuyển vị 𝐶 Từ đó, ta có điều phải chứng minh 2.3.3 Bổ đề Cho 𝜎1 , … , 𝜎𝑛 𝐾- nhúng khác biệt 𝐿 vào bao đóng đại số 𝐿, nhƣ (2.1.6) Thì 𝐷(𝑥) = [𝑑𝑒𝑡(𝜎𝑖 (𝑥𝑗 ))]2 27 Nhƣ hình thành ma trận mà phần tử 𝑖𝑗 𝜎𝑖 (𝑥𝑗 ), sau lấy định thức bình phƣơng kết Chứng minh Có 𝜎1 , … , 𝜎𝑛 𝐾- nhúng khác biệt 𝐿 vào bao đóng đại số 𝐿 nên từ (2.1.6) ta có 𝑇(𝑥𝑖 𝑥𝑗 ) = 𝑘 𝜎𝑘 (𝑥𝑖 𝑥𝑗 ) = 𝑘 𝜎𝑘 (𝑥𝑖 )𝜎𝑘 (𝑥𝑗 ) Vì vậy, 𝐻 ma trận mà phần tử 𝑖𝑗 𝜎𝑖 (𝑥𝑗 ) 𝑇 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 𝐻′ 𝐻 Sau đó, ta lấy định thức thử lại kết Các định thức “phân biệt” cở sở không sở, nhƣ sau: 2.3.4 Mệnh đề Nếu 𝑥 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑥𝑖 tào thành sở cho 𝐿 𝐾 𝐷 𝑥 ≠0 Chứng minh Nếu 𝑗 𝑐𝑗 𝜎𝑖 𝑗 𝑐𝑗 𝑥𝑗 = với 𝑐𝑗 ∈ 𝐾 tất 0, (𝑥𝑗 ) = cho tất 𝑖, cột ma trận 𝐻 = (𝜎𝑖 (𝑥𝑗 )) phụ thuộc tuyến tính Do phụ thuộc tuyến tính 𝑥𝑖 nghĩa 𝐷 𝑥 = Ngƣợc lại, giả sử 𝑥𝑖 độc lập tuyến tính có sở 𝑛 = 𝐿 ∶ 𝐾 Nếu 𝐷 𝑥 = hàng 𝐻 phụ thuộc tuyến tính, cho số 𝑐𝑖 ∈ 𝐾, tất 0, có với 𝑗 Từ 𝑥𝑗 hình thành sở, sau 𝑖 𝑐𝑖 𝜎𝑖 𝑖 𝑐𝑖 𝜎𝑖 (𝑥𝑗 ) = (𝑢) = với 𝑢 ∈ 𝐿, phép đơn ánh 𝜎𝑖 phụ thuộc tuyến tính Điều mâu thuẫn với bổ đề Dedekind’s Bây xét mối liên hệ định thức định nghĩa định thức đa thức 28 2.3.5 Mệnh đề Cho 𝐿 = 𝐾 𝑥 , 𝑓 đa thức tối tiểu 𝑥 𝐾 Cho 𝐷 ma trận sở 1, 𝑥, 𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝐾 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 nghiệm 𝑓 trƣờng tách, với 𝑥1 = 𝑥 Khi 𝐷 trùng với 𝑖[...]... 2,3 , 2,4 cho nên 𝑠𝑔𝑛 𝜎 = −1 Định nghĩa 2: Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 Ta gọi là định thức của ma trận 𝐴 một phần tử thuộc trƣờng 𝐾, kí hiệu là 𝑑𝑒𝑡 𝐴, cho bởi: 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑠𝑔𝑛 𝜎 𝑎𝜎 1 1 𝑎𝜎 2 2 … 𝑎𝜎 𝑛 𝑛 𝜎 ∈𝑆𝑛 Khi đó 𝑑𝑒𝑡 𝐴 cũng đƣợc gọi là một định thức cấp 𝑛 và còn đƣợc kí hiệu là 𝐴 hay 7 𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑛2 … 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 … … … 𝑎𝑛𝑛 Ví dụ: a) Định thức cấp một: 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎 b) Định thức cấp hai: 𝑎11 𝑎12 𝑎11 𝑑𝑒𝑡... nếu nó có một cơ sở hoặc nó là môđun không Ví dụ: a) ℝ là vành giao hoán có đơn vị 1 thì ℝ là 𝑅 - môđun Ta có ℝ là môđun tự do với cơ sở là 1 b) ℝ là vành giao hoán có đơn vị, ℝ𝑛 = ℝ × ℝ × … × ℝ Khi đó 𝑛 ℝ𝑛 là 𝑅 - môđun tự do với cơ sở chính tắc 𝑒𝑖 0,0, … ,0, 1 , 0, … 𝑖 17 𝑛 𝑖=1 với 𝑒𝑖 = CHƢƠNG 2 CHUẨN, VẾT VÀ ĐỊNH THỨC 2.1.Chuẩn và vết 2.1.1 .Định nghĩa Cho 𝐸 là mở trƣờng rộng hữu hạn bậc 𝑛 của trƣờng... 𝑎𝑚𝑛 và gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính 𝑓 ∶ 𝑉 → 𝑊 đối với cặp cơ sở 𝑒 và 𝜀 1.1.3.3 Vết của ma trận Định nghĩa: Cho 𝑓 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝑉) Gọi 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 là ma trận của 𝑓 trong một cơ sở nào đó của 𝑉 Ta gọi: a) 𝑑𝑒𝑡 𝐴 là định thức của tự đồng cấu 𝑓 và kí hiệu là 𝑑𝑒𝑡 𝑓 b) Tổng các phần tử nằm trên đƣờng chéo chính của ma trận 𝐴 là vết của 𝑓, kí hiệu là 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 𝑓: 9 𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 𝑓 = 𝑎𝑖𝑖 𝑖=1 Ta cũng gọi số này là vết. .. thuộc từ đại số tuyến tính, vậy định thức trong lý thuyến số đại số nhƣ thế nào Chúng ta sẽ tìm hiểu mối quan hệ giữa hai khái niệm này Giả sử có thiết lập cơ bản 𝐴𝐾𝐿𝐵 (2.2.1), với 𝑛 = [𝐿 ∶ 𝐾] 2.3.1 Định nghĩa Nếu 𝑛 = [𝐿 ∶ 𝐾] thì định thức của 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) phần tử của 𝐿 là 𝐷 𝑥 = 𝑑𝑒𝑡⁡ (𝑇𝐿/𝐾 (𝑥𝑖 𝑥𝑗 )) Ta tạo ra một ma trận mà phần tử 𝑖𝑗 là vết của 𝑥𝑖 𝑥𝑗 và sau đó lấy định thức của ma trận Từ (2.1.1),... Bây giờ chúng ta xét mối liên hệ giữa định thức định nghĩa ở trên và định thức của một đa thức 28 2.3.5 Mệnh đề Cho 𝐿 = 𝐾 𝑥 , 𝑓 là đa thức tối tiểu của 𝑥 trên 𝐾 Cho 𝐷 là ma trận của cơ sở 1, 𝑥, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛−1 trên 𝐾 và 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 là nghiệm của 𝑓 trong một trƣờng tách, với 𝑥1 = 𝑥 Khi đó 𝐷 trùng với 𝑖 ... 1.4.1 Định nghĩa 15 1.4.2 Môđun môđun thƣơng 16 CHƢƠNG CHUẨN, VẾT VÀ ĐỊNH THỨC 18 2.1.Chuẩn vết 18 2.2 Thiết lập sở cho lý thuyết số đại số 23 2.3 Định thức. .. bị cho lý thuyết số đại số nên em định chọn đề tài Chuẩn, vết định thức để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu đề tài Thực đề tài Chuẩn, vết định thức , em hƣớng đến mục đích rèn... kiến thức đại số tuyến tính 1.1.1.Không gian vectơ 1.1.2 Ma trận, định thức 1.1.3 Ánh xạ tuyến tính 1.2 Một số kiến thức vành, trƣờng 10 1.2.1 Vành, vành