2.2.1. Các giả định
Cho 𝐴 là một miền nguyên với trƣờng các thƣơng 𝐾, 𝐿 là một mở rộng hữu hạn tách đƣợc của 𝐾. Cho 𝐵 là một tập hợp các phần tử của 𝐿
là nguyên trên 𝐴 hay 𝐵 là nguyên đóng của 𝐴 trong 𝐿. Ta có sơ đồ tóm tắt sau đây
Trong trƣờng hợp đặc biệt 𝐴 =ℤ, 𝐾 =ℚ, 𝐿 là một trƣờng số và là một mở rộng (cần thiết phải tách đƣợc) hữu hạn của ℚ, 𝐵 là vành nguyên đại số của 𝐿.
Khi đó ta có thiết lập 𝐴𝐾𝐵𝐿.
2.2.2. Mệnh đề
Nếu 𝑥 ∈ 𝐵, thì hệ số của 𝑐𝑎𝑟𝐿/𝐾 𝑥 và 𝑚𝑖𝑛(𝑥, 𝐹) là nguyên trên 𝐴. Đặc biệt, 𝑇𝐿/𝐾(𝑥) và 𝑁𝐿/𝐾(𝑥) là nguyên trên 𝐴. Nếu 𝐴 là đóng nguyên, thì các hệ số thuộc 𝐴.
Chứng minh
Hệ số của 𝑚𝑖𝑛(𝑥, 𝐾) là tổng của tích các nghiệm 𝑥i, vậy theo (2.1.4) là đủ chứng minh rằng 𝑥i là nguyên trên 𝐴. Mỗi 𝑥𝑖 là liên hợp của 𝑥 trên 𝐾 vì đó là một 𝐾 - nhúng
𝑟𝑖: 𝐾 𝑥 → 𝐾(𝑥𝑖) 𝑥 → 𝑟𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖
Nếu chúng ta áp dụng 𝑟𝑖 đến một phƣơng trình của sự phụ thuộc nguyên cho 𝑥 qua 𝐴, ta có đƣợc một phƣơng trình của sự phụ thuộc nguyên cho
24
Từ các hệ số thuộc 𝐾 [xem (2.1.1)], chúng phải thuộc 𝐴 nếu 𝐴 là đóng nguyên.
2.2.3. Hệ quả
Cho 𝐴 đóng nguyên, 𝑥 ∈ 𝐿. Khi đó 𝑥 là nguyên trên 𝐴 nghĩa là
𝑥 ∈ 𝐵 khi và chỉ khi đa thức tối tiểu của 𝑥 trên 𝐾 có hệ số trong 𝐴.
Chứng minh
Nếu 𝑚𝑖𝑛(𝑥, 𝐾) ∈ 𝐴[𝑥] thì 𝑥 là nguyên trên 𝐴 theo định nghĩa của nguyên. Điều ngƣợc lại từ (2.2.2).
2.2.4. Hệ quả
Một số nguyên đại số 𝑎 thuộc ℚ thật ra phải thuộc ℤ.
Chứng minh
Các đa thức tối tiểu của 𝑎 trong ℚ là 𝑋 – 𝑎, theo (2.2.3), 𝑎 ∈ ℤ.
2.2.5. Sự mở rộng bậc của số hữu tỉ
Chúng ta sẽ xác định các số nguyên đại số của 𝐿 =ℚ 𝑚 , trong đó 𝑚 là một tích của các số nguyên tố phân biệt. Sự giới hạn của
𝑚 không mất tính tổng quát.
Ví dụ: ℚ( 12 ) =ℚ( 3 )
Một nhận xét về kí hiệu: Để đảm bảo không có sự nhầm lẫn giữa các số nguyên đại số và số nguyên thông thƣờng, chúng ta thƣờng sử dụng thuật ngữ “số nguyên hữu tỉ” cho một thành viên của ℤ.
Bây giờ bằng việc thử trực tiếp hoặc bằng (2.1.10) và (2.1.3), đa thức tối tiểu trên ℚ của phần tử 𝑎 + 𝑏 𝑚 ∈ 𝐿 (với 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ) là 𝑋2– 2𝑎𝑋 + 𝑎2– 𝑚𝑏2. Bởi (2.2.3), a + b 𝑚 là số nguyên đại số nếu và chỉ nếu 2𝑎 và
𝑎2– 𝑚𝑏2 là số nguyên hữu tỉ. Trong trƣờng hợp này, ta cũng có 2𝑏 ∈ℤ ⇒ 𝑚(2𝑏)2 ∈ℤ. Để chúng ta có (2𝑎)2– 𝑚(2𝑏)2 = 4 𝑎2– 𝑚𝑏2 ∈ℤ.
25
Nếu 2𝑏 không là số nguyên hữu tỉ, mẫu số của nó sẽ bao gồm một thừa số nguyên tố 𝑝, trong đó sẽ xuất hiện nhƣ là 𝑝2 trong mẫu số của
(2𝑏)2. Phép nhân của (2𝑏)2 của 𝑚 không thể giản ƣớc 𝑝2 bởi vì 𝑚 là một tích của các số nguyên tố phân biệt. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Dƣới đây là một cách thuận tiện hơn để mô tả các số nguyên đại số của một trƣờng bậc hai.
2.2.6. Mệnh đề
Tập 𝐵 các số nguyên đại số của ℚ ( 𝑚), 𝑚 là một tích của các số nguyên tố phân biệt có thể đƣợc mô tả nhƣ sau.
i. Nếu 𝑚 ≠ 1 𝑚𝑜𝑑 4, thì 𝐵 bao gồm cả 𝑎 + 𝑏 𝑚; 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ; ii. Nếu 𝑚 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 4, thì 𝐵 bao gồm cả 𝑢
2 + 𝑣
2 𝑚; 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ, ở đó 𝑢 và 𝑣 cùng tính chẵn lẻ ( cùng chẵn hoặc cùng lẻ).
[Lƣu ý rằng vì 𝑚 là một tích của các số nguyên tố phân biệt, nó không phải là chia hết cho 4, do đó điều kiện ở (𝑖) có thể đƣợc viết là 𝑚 ≡ 2
hoặc 3 𝑚𝑜𝑑 4.]
Chứng minh
Từ (2.2.5), số nguyên đại số có dạng (𝑢/2) + (𝑣/2) 𝑚, ở đó
𝑢, 𝑣 ∈ℤ và (𝑢2 − 𝑚𝑣2)/4 ∈ℤ, nghĩa là 𝑢2 − 𝑚𝑣2 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4. Mà 𝑢 và
𝑣 có cùng tính chẵn lẻ. [Biết rằng bình phƣơng của một số chẵn đồng dƣ
0 𝑚𝑜𝑑 4, bình phƣơng của một số lẻ đồng dƣ 1 𝑚𝑜𝑑 4.]
Hơn nữa, trƣờng hợp “ cả hai lẻ” chỉ có thể xảy ra khi 𝑚 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 4, trƣờng hợp “cả hai chẵn” là tƣơng đƣơng với 𝑢/2, 𝑣/2 ∈ ℤ và chúng ta có điều phải chứng minh.
26
Nếu [𝐿 ∶ 𝐾] = 𝑛 thì một cơ sở cho 𝐿/𝐾 gồm 𝑛 phần tử của 𝐿 mà độc lập tuyến tính trên 𝐾. Chúng ta có thể tập hợp một cở sở chỉ gồm các phần tử của 𝐵.
2.2.7. Mệnh đề
Tồn tại một cở sở cho 𝐿/𝐾 gồm toàn bộ các phần tử của 𝐵.
Chứng minh
Cho 𝑥1, … , 𝑥𝑛 là một cở sở cho 𝐿 qua 𝐾. Mỗi 𝑥𝑖 là đại số trên 𝐾 và do đó thỏa mãn một phƣơng trình đa thức có dạng
𝑎𝑚𝑥𝑖𝑚 + ⋯ + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎0 = 0
với 𝑎𝑚≠ 0 và 𝑎𝑖 ∈ 𝐴.
(Ban đầu, chúng ta chỉ có 𝑎𝑖 ∈ 𝐾 nhƣng sau đó 𝑎𝑖 là tỉ số của hai phần tử của 𝐴 nên chúng ta có thể lập thành một mẫu số chung). Nhân các phƣơng trình của 𝑥𝑚𝑚 −1 để có một phƣơng trình phụ thuộc nguyên cho
𝑦𝑖 = 𝑎𝑚𝑥𝑖 trên 𝐴. Các 𝑦𝑖 tạo thành cơ sở mong muốn.
2.2.8. Hệ quả của chứng minh
Nếu 𝑥 ∈ 𝐿 thì có một phần tử khác không 𝑎 ∈ 𝐴 và một phần tử
𝑦 ∈ 𝐵 sao cho 𝑥 = 𝑦/𝑎. Trong đó, 𝐿 là trƣờng các thƣơng của 𝐵.
Chứng minh.
Trong chứng minh của (2.2.7), đặt 𝑥𝑖 = 𝑥, 𝑎𝑚 = 𝑎, và 𝑦𝑖 = 𝑦 ta có điều phải chứng minh.
2.2.9. Định lý
Giả sử chúng ta có một song tuyến tính đối xứng không suy biến trên một không gian vectơ 𝑛 chiều 𝑉 để thuận tiện cho việc viết ngƣời ta sử dụng kí hiệu (𝑥, 𝑦). Nếu 𝑥1, … , 𝑥𝑛 là cơ sở nào đó cho V, thì có một cơ sở 𝑦1, … , 𝑦𝑛 cho 𝑉 𝑔ọi là cơ sở đối ngẫu, nhƣ vậy
27