Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a · · · ASC =1200 ; BSC =900 ; ASB =600 Tính thể tích hình chóp Giải : Gọi H trung điểm AC Vì ∆ SAC cân S => SH ⊥ AC (1) + ∆ BSC vuông S => BC =a A · + ∆ ASB cân S ; ASB =600 => AB=a · + ∆ ASC cân S ; ASC =1200 AC2 = SA2 +SC2 −2SA.SC.cos1200 =3a2 => AC= a ; SH = AC a SA − ÷ = S H C B Tam giác ABC có AB2 +BC2 =AC2 (=3a2) AC => ∆ ABC vuông B => BH = =; a 3a 2 Ta có SH2 +BH2 = + =a =SB2 => ∆ SHB vuông H 4 => SH ⊥ HB (2) Từ (1) (2) suy : SH ⊥ (ABC) 1 a2 Và SABC = AB.BC= a.a = 2 1 a a2 a3 Thể tích hình chóp : V.SABC = SH.SABC = = 3 2 12 · · Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a ASC =1200 ; BSC · =900 ; ASB =900 Tính thể tích hình chóp Giải : Theo đề : SB ⊥ SC ; SB ⊥ SC => SB ⊥ (ABC) 1 a2 SASC = SA.SC.sin1200 = a.a = 2 1 a2 a3 Thể tích hình chóp : V.SABC = SB.SASC = a = 3 12 · · Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a ASC =900 ; BSC · =60 ; ASB =60 Tính thể tích hình chóp Giải :C1: + ∆ ASC vuông S => AC =a · + ∆ ASB cân S ; ASB =600 => AB=a · + ∆ BSC cân S ; BSC =600 => BC=a Gọi I trung điểm AC Vì ∆ SAC cân S => SI ⊥ AC ∆ ABC cân B => BI ⊥ AC A => (SBI) ⊥ AC + Gọi H hình chiếu S lên BI Ta có SH ⊥ BI Và SH ⊥ AC ( AC ⊥ (SBI) , SH ⊂ (SBI) ) Suy SH ⊥ (ABC) S I H C B a a2 a Tam giác ABI vuông có BI =AB −AI =a − = => BI = ÷ ÷ 2 a2 2 AC a · = SB + BI − SI = · =450 a = Và SI= = ; cos SBI => SBI 2.a 2 2.SB.BI 2 SH a · Tam giác SHB vuông H có sin SBH = => SH= SB 2 1 a a Và SABC = BI.AC= a = 2 2 1 a a2 a3 Thể tích hình chóp : V.SABC = SH.SABC = = 3 2 12 C2: + Gọi H hình chiếu B lên mp(SAC) B + M,N hình chiếu H lên cạnh SA,SC Ta có : SA ⊥ HM ; SA⊥ BH => SA ⊥ BM SC ⊥ HN ; SC⊥ BH => SC ⊥ BN Suy ∆ SBM = ∆ SBN · · Vì SB chung ; 1góc vuông; BSM = BSN =600 A => SM=SN ; HM=HN H B SM a M · cos BSM = => SM= N SB S · Theo chứng minh => SH phân giác góc ASC SM a a 2 SH= = => BH = = SB − SH · 2 cos MSH S M 2 2 C a2 SA.SC.sin900= 2 1 a a2 a3 Thể tích hình chóp : VSABC = BH.SSAC = = 3 2 12 · · Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a ASC =900 ; BSC · =1200 ; ASB =1200 Tính thể tích hình chóp S Giải :C1: + ∆ ASC vuông S => AC =a · + ∆ ASB cân S ; ASB =120 => AB=a · + ∆ BSC cân S ; BSC =1200 => BC=a SSAC = Gọi I trung điểm AC Vì ∆ SAC cân S => SI ⊥ AC A ∆ ABC cân B => BI ⊥ AC => (SBI) ⊥ AC + Gọi H hình chiếu S lên BI B Ta có SH ⊥ BI Và SH ⊥ AC ( AC ⊥ (SBI) , SH ⊂ (SBI) ) Suy SH ⊥ (ABC) H I C a 5a Tam giác ABI vuông có BI =AB −AI =3a − ÷ ÷= 3a 2 2 AC a a SB + BI − SI · = => BI = ; SI= = ; cos SBI = a 5= 2.a 10 2.SB.BI 2 · = − cos SBI · => sin SBI = 10 a SH · Tam giác SHB vuông H có sin SBH = => SH= 10 SB 1 a a2 B Và SABC = BI.AC= a = 2 2 1 a a2 a3 Thể tích hình chóp : V.SABC = SH.SABC = A = 3 10 12 C C2: + Gọi H hình chiếu B lên mp(SAC) + M,N hình chiếu H lên cạnh SA,SC Ta có : SA ⊥ HM ; SA⊥ BH => SA ⊥ BM S M N H 2 2 SC ⊥ HN ; SC⊥ BH => SC ⊥ BN Suy ∆ SBM = ∆ SBN · · Vì SB chung ; 1góc vuông; BSM = BSN =600 · · ( Kề bù với BSC ; ASB ) => SM=SN ; HM=HN B SM a · cos BSM = => SM= SB · Theo chứng minh => SH phân giác góc MSN SM a a 1200 SH= = => BH = SB2 − SH = · 2 cos MSH S M A a SSAC = SA.SC.sin900= 2 1 a a2 a3 Thể tích hình chóp : VSABC = BH.SSAC = = 3 2 12 S S C M A N C M K A K B N B ... SM= N SB S · Theo chứng minh => SH phân giác góc ASC SM a a 2 SH= = => BH = = SB − SH · 2 cos MSH S M 2 2 C a2 SA.SC.sin900= 2 1 a a2 a3 Thể tích hình chóp : VSABC = BH.SSAC = = 3 2 12 · · Ví... => SM= SB · Theo chứng minh => SH phân giác góc MSN SM a a 1200 SH= = => BH = SB2 − SH = · 2 cos MSH S M A a SSAC = SA.SC.sin900= 2 1 a a2 a3 Thể tích hình chóp : VSABC = BH.SSAC = = 3 2 12 S S... ⊥ (SBI) , SH ⊂ (SBI) ) Suy SH ⊥ (ABC) H I C a 5a Tam giác ABI vuông có BI =AB −AI =3a − ÷ ÷= 3a 2 2 AC a a SB + BI − SI · = => BI = ; SI= = ; cos SBI = a 5= 2.a 10 2.SB.BI 2 · = −