Đại số hopf

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON NG TH THY I S HOPF KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: i s Ngi hng dn khoa hc ThS NGUYN HUY HNG H NI - 2013 ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LờI CảM ƠN Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, ThS Nguyễn Huy Hưng, người trực tiếp tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số toàn thể thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ em suốt thời gian qua Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Thúy ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LờI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em nhận hướng dẫn tận tình thầy giáo ThS Nguyễn Huy Hưng Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận, em có tham khảo số tài liệu nêu phần tài liệu tham khảo Vì em khẳng định đề tài ĐạI Số HOPF trùng lặp với đề tài tác giả khác Sinh viên ĐặNG THị THúY ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LờI Mở ĐầU Ngày nay, với phát triển vượt bậc khoa học kĩ thuật, Toán học tạo bước vững cho mình, đặc biệt chuyên ngành Đại số Nhiều người vào nghiên cứu đạt số thành công định Những tư tưởng phương pháp kết Đại số góp phần to lớn việc nghiên cứu lĩnh vực khác Toán học Tô pô, Xác suất Trong Đại số Hopf đóng vai trò quan trọng Đại số Hopf có xuất xứ từ Tô pô Ngày nay, cấu trúc đại số có mặt nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số nhóm đại số Hopf, đại số bao phổ dụng đai số Lie đại số Hopf, nhóm lượng tử đại số Hopf Được gợi ý, động viên giúp đỡ thầy giáo ThS Nguyễn Huy Hưng với việc mong muốn tìm tòi kiến thức mới, em nghiên cứu thực khóa luận tốt nghiệp với đề tài ĐạI Số HOPF Khóa luận em gồm hai chương Chương Các kiến thức mở đầu Trong chương em trình bày khái niệm mang tính chất làm tiền đề như: không gian véc tơ, tích ten xơ.Ngoài việc nhắc lại kiến thức, chương cố định kí hiệu sử dụng toàn khóa luận Chương Đại số Hopf Tại em tập trung giới thiệu khái niệm đại số Hopf Bên cạnh đó, đề tài nêu số tính chất đại số Hopf ứng dụng đại số Hopf Do khuôn khổ thời gian trình độ chuyên môn nhiều hạn chế nên nhiều ứng dụng lí thú khác em chưa trình bày đây, em hi vọng thời gian tới có dịp tìm hiểu sâu sắc Kính mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để đề tài em ngày hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG CáC KIếN THứC Mở ĐầU 1.1 Không gian véc tơ 1.1.1 Trường ĐịNH NGHĩA 1.1.1 Cho tập hợp k có hai phần tử Trên k xét hai phép toán phép cộng (kí hiệu +) nhân (kí hiệu ) k với hai phép toán lập thành trường thỏa mãn tính chất sau: Phép cộng có tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c k Có phần tử k cho: + a = a + , a k Phần tử gọi phần tử trung lập Với phần tử a k tồn phần tử a k cho: a + a= a + a = Phần tử a gọi phần tử đối a kí hiệu (- a) Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a, a, b k Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), a, b, c k Phép nhân có tính chất giao hoán: a.b = b.a, a, b k Phép nhân phân phối với phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c (b + c).a = b.a + c.a, a, b, c k Có phần tử k cho với phần tử a ta có 1.a = a.1 = a Phần tử gọi phần tử đơn vị phép nhân k Với phần tử a có phần tử a k cho: a.a = a.a = Phần tử a gọi phần tử nghịch đảo a kí hiệu a-1 Các tính chất gọi tiên đề trường ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ví dụ 1.1.1 Xét tập số , với phép toán cộng nhân thông thường Phần tử nên tập số tự nhiên phần tử a cho a + = trường Số nguyên số nguyên a cho 2.a = nên tập số nguyên trường Tính chất bản: Cho k trường a, b, c k Khi đó: Luật giản ước phép cộng: a + b = a + c b = c Quy tắc chuyển vế: định nghĩa a - b = a + (-b) Khi đó, a + b = c a = c - b 0.a = a.0 = Nếu a.b = a = b = a.(-b) = (-b).a = -(ab) Nếu a.b = a.c a b =c a(b - c) = a.b - a.c 1.1.2 Không gian véc tơ ĐịNH NGHĩA 1.1.2 (Không gian véc tơ) Cho V tập hợp mà phần tử kí hiệu , , , k trường mà phần tử kí hiệu a, b, c, x, y, z Trên V, ta xét hai phép toán: Phép cộng hai phần tử V: +: V V V (, ) + Phép nhân phần tử V với phần tử k : : k V V (x,) x ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giả sử , , V, x, y k điều kiện sau thỏa mãn: ( + ) + = + ( + ) Tồn véc tơ cho + = + = Với có phần tử cho + = + = + = + x ( + ) = x. + x. (x + y). = x. + y. (x.y). = x. + y. 1. = , phần tử đơn vị trường k Khi đó, ta nói V không gian véc tơ trường k (hoặc V k - không gian véc tơ) Ta nói V không gian tuyến tính trường k Ví dụ 1.1.2 (Không gian tọa độ) Với số nguyên dương n, không gian tất n - phần tử F tạo nên không gian véc tơ n chiều F mà ta gọi không gian tọa độ kí hiệu Fn Mỗi phần tử F viết dạng x = (x1, x2, , xn) xi F Các phép toán F xác định bởi: x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) x = (x1, x2, , xn) = (0, 0, , 0) -x = (- x1, -x2, , -xn) Trường hợp phổ biến F trường số thực không gian tọa độ tọa độ n hay F trường số phức n ng Th Thỳy Lp K35 D cho ta cho ta không gian Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Không gian véc tơ Fn có sở chuẩn tắc là: e1 = (1, 0, , 0) e2 = (0, 1, , 0) en= (0, 0, , 0) Với đơn vị phép nhân F ĐịNH NGHĩA 1.1.3 (Không gian con) Giả sử V không gian véc tơ trường k Tập W V gọi không gian véc tơ (hay không gian con) không gian véc tơ V điều kiện sau thỏa mãn: , W: + W W: x. W, (với x k ) Ta có số nhận xét sau: Vì W nên W, theo điều kiện 2, ta có = W Vậy không gian chứa Giả sử W không gian V Dễ thấy, điều kiện định nghĩa không gian véc tơ thỏa mãn, W k - không gian véc tơ Ngược lại, W tập V W k - không gian véc tơ hai phép toán xác định V W không gian V Ví dụ 1.1.3 Không gian véc tơ V có hai không gian thân tập V tập gồm véc tơ không Các không gian gọi không gian tầm thường ĐịNH NGHĩA 1.1.4 (ánh xạ tuyến tính) Cho hai không gian véc tơ V W trường k Một ánh xạ : V W gọi ánh xạ tuyến tính hai điều kiện sau thỏa mãn: ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội i) (u + v) = (u) + (v) u, v V ii) (u) = (u) k , u V Hạch ánh xạ tuyến tính định nghĩa tập: Ker() := v V | f (v) V Ker () không gian V ảnh ánh xạ tuyến tính : Im( f ) : f (v) | v V W Im() không gian W ĐịNH NGHĩA 1.1.5 ánh xạ tuyến tính : V W gọi là: i) Đơn cấu Ker() = ii) Toàn cấu Im() = iii) Đẳng cấu tồn ánh xạ tuyến tính khả nghịch g: W V cho g : V V g : W W ánh xạ đồng Mệnh đề 1.1.6 ánh xạ tuyến tính : V W là: i) Đơn cấu đơn ánh ii) Toàn cấu toàn ánh iii) Đẳng cấu song ánh Một ánh xạ tuyến tính đẳng cấu đồng thời đơn cấu toàn cấu Ví dụ 1.1.4 Xét phép quay góc , ánh xạ : (x, y) (x cos - y sin, x sin + y cos) Ta có ánh xạ tuyến tính đẳng cấu 1.1.3 Không gian véc tơ thương Giả sử U V k - không gian véc tơ Với v V xét tập có dạng v U : v u | u U V Một tập gọi ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội lớp ghép v theo U Ta thấy lớp ghép véc tơ v v theo U trùng không giao Tập lớp ghép phần tử V theo U gọi tập thương V theo U Điều kiện để v + U v + U trùng v - v V Trên tập thương V/U có cấu trúc không gian véc tơ định nghĩa sau: (v +U) + (v + U) := (v + v) + U (v + U) := (v) + U (1.1.1) Tập V/U với cấu trúc gọi không gian véc tơ thương V theo ánh xạ U ánh xạ tự nhiên q: V V/U, v v + U, gọi ánh xạ thương, ánh xạ tuyến tính Không gian thương U/V có tính chất phổ dụng sau: Giả thiết : V W ánh xạ tuyến tính biến U vào Khi cảm sinh ánh xạ tuyến tính f : V / U W , xác định bởi: f (v U) : f (v) hợp thành với ánh xạ thương, Ta có sơ đồ sau: q V V/U f W 1.1.4 Bài toán phổ dụng Khái niệm toán phổ dụng giải thích đơn giản thông qua ví dụ sau: ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp u(b) = Trường ĐHSP Hà Nội S (b (1) )b(2) (S ánh xạ đối thế) (b ) Sử dụng tính chất ta có: (b) u (b) ( S (b(1) ) (b(2) )) () (b ) Với c B, S(c) = S (c (1) ) (c(2) ) (c) ( S (b)) ( S (b(1) ) (b(2) ) (b) ( S (b(1) )) (b(2) ) (b) (do ()) (b ) (ii) Chứng minh tương tự i) Với M thay ; N thay T ( S S ), b S (b(2) ) S (b(1) ) (b) P thay b S (b) Vậy định lí chứng minh Một đồng cấu đại số Hopf định nghĩa đồng cấu song đại số tương ứng Tương tự đại số đối đại số, ta cần khái niệm song ideal ideal Hopf để xây dựng song đại số thương đại số Hopf thương Như vậy, song đại số không gian đồng thời ideal đối ideal Một ideal Hopf song ideal bất biến ánh xạ đối (tức S(I) I) Ví dụ 2.3.3 i) Cho G nhóm, k [G] song đại số với đối tích đối đơn vị cho (g) = g g, (g) = 1, g G Khi k [G] đại số Hopf với ánh xạ đối cho S (g) = g-1, g G ii) Cho k trường đặc số p > Đại số k [x, x-1]/ (xp) với ánh xạ: (x) = x + x ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội (x) = S(x) = - x đại số Hopf 2.4 Mô đun đối mô đun Một (đối) mô đun đại số Hopf H hiểu (đối) mô đun song đại số H Trong mục này, mô đun hiểu mô đun trái đối mô đun hiểu đối mô đun phải, trừ giả thiết khác Mặc dù hình thức khác lí thuyết (đối) mô đun đại số Hopf phong phú nhiều so với lí thuyết (đối) mô đun song đại số Một điểm mấu chốt khác biệt tồn (đối) mô đun đối ngẫu Cho M H - mô đun, hữu hạn chiều k Khi đó, tồn cấu trúc H - mô đun tự nhiên M*, xác định sau: (h ) := (S(h)m), h H, M, m M (2.4.1) Tương tự, : M M H cấu trúc H - đối mô đun tồn cấu trúc H - đối mô đun M cho ánh xạ v : M M H thỏa mãn phương trình sau: (0) (m)(1) (m(0) ) S ( m(1) ) (2.4.2) ( m) ( ) M với đối tác động gọi đối mô đun đối ngẫu M Điều kiện (2.4.2) không rõ ràng Để thấy tồn v ta sử dụng ma trận hệ số ( ei ) = ej aij Giả thiết ( ei ) sơ (hữu hạn) M, ( ei ) = ej aij Khi v cho bởi: ( i ) = j S( aij ) (2.4.3) Mệnh đề 2.4.1 Cho M H - (đối) mô đun hữu hạn chiều k M (đối) mô đun đối ngẫu Khi đó, hai ánh xạ ev: M M k ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội db: k M M đồng cấu H - (đối) mô đun, ta quy ước H (đối) tác động tầm thường lên k CHứNG MINH Ta biết, mô đun H hiểu mô đun trái đối mô đun H hiểu đối mô đun phải Giả thiết M mô đun H Khi đó, tính H - tuyến tính ev suy trực tiếp từ định nghĩa S: ev(h.( m)) (h(1) )( h(2) m) (h) S (h(1) )(h(2) ) m (h) (m) (h) h.( (m)) Chú ý 2.4.2 Trong khẳng định tương tự cho mô đun phải đối mô đun trái ánh xạ ev db cần thay đổi ánh xạ ev: V V k db : k V V, nhận từ ev db cách hợp thành với phép đối xứng Ví dụ 2.4.3 Giả thiết H = k [G] Khi đó, mô đun k [G] biểu diễn nhóm G Khái niệm mô đun đối ngẫu trùng với khái niệm biểu diễn đối ngẫu nhóm G Với mô đun M ta định nghĩa MH tập phần tử M bất biến tác động H theo định nghĩa hm = (h)m Nói cách khác MH mô đun tầm thường lớn M Tương tự đối mô đun N, NH định nghĩa tập phần tử n N cho (n) = n NH đối mô đun N với đối tác động tầm thường đối mô đun tầm thường lớn N Mệnh đề 2.4.4 Cho H đại số Hopf M, N H - mô đun hữu hạn chiều Khi đó, ta có đẳng cấu tự nhiên: ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội HomH (M, N) (N M)H (2.4.4) Tương tự với M, N H - đối mô đun hữu hạn chiều, ta có đẳng cấu tự nhiên: HomH (M, N) (N M)H (2.4.5) 2.5 Tích phân 2.1.5 Phần tử tích phân Cho H đại số Hopf Một phần tử x H gọi phần tử tích phân trái thỏa mãn; hx = (h)x (2.5.1) Coi H mô đun trái coi k mô đun tầm thường H cho ánh xạ Khi đó, x phần tử tích phân H ánh xạ ix: k H x đồng cấu H mô đun Hoàn toàn tương tự, ta có định nghĩa phần tử tích phân phải Ví dụ 2.5.1 Giả sử H = k [G] với G nhóm hữu hạn Khi gG g phần tử tích phân trái k [G] Bên cạnh đó, ta thấy phần tử nằm tâm k [G] hiển nhiên phần tử tích phân phải Định lí 2.5.2 Một đại số Hopf hữu hạn chiều nửa đơn chứa phần tử tích phân x cho (x) Nhận xét 2.5.3 Người ta chứng minh đại số Hopf có phần tử tích phân x (nhưng không thiết (0) 0) hữu hạn chiều k ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2.5.2 Tích phân Phiếm hàm I : H k gọi tích phân trái thỏa mãn: I (a ) a(1) I ( a(2) ) (2.5.2) (a) Nếu coi H đối mô đun trái đối tích coi k đối mô đun trái tầm thường H tích phân chẳng qua đồng cấu H - đối mô đun từ H k Tập tích phân H lập thành không gian véc tơ con, kí hiệu Ta biết H đại số với tích chập Khi đó, hệ thức (2.5.2) viết dạng I = (1)I, H (2.5.3) Từ ideal trái H Khái niệm tích phân đối ngẫu với khái niệm phần tử tích phân Cụ thể, H đại số Hopf hữu hạn chiều H đại số Hopf phần tử tích phân trái H phiếm hàm tích phân trái H Ví dụ 2.5.4 Cho G nhóm, không thiết hữu hạn Khi đó, đại số Hopf k [G] tồn tích phân Cụ thể tích phân cho bởi: 1,( g e) I (g) với e kí hiệu phần tử đơn vị G o,( g e) Định lí 2.5.5 Cho H đại số Hopf Khi H nửa đối đơn tồn tích phân I H cho I(1) Trong trường hợp I tồn sai khác hệ số khác ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2.6 Đại số Lie đại số bao phổ dụng 2.6.1 Đại số Lie Một đại số Lie không gian véc tơ g với tích Lie đó, nghĩa ánh xạ song tuyến tính [ -; -] : g g g thỏa mãn hai tiên đề sau: i) [a, a] = a g (tính phản đối xứng) ii) [a,[b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]] (hệ thức Leibniz) Ví dụ 2.6.1 Với đại số A, đại số Lie AL không gian véc tơ A với tích Lie cho bởi: [a, b] := ab ba Tích gọi tích giao hoán tử A Đại số Lie khái niệm có nguồn gốc từ giải tích Ví dụ đại số Lie không gian phép đạo hàm đại số Cho A đại số trường k Một phép đạo hàm A ánh xạ tuyến tính D: A A thỏa mãn: D(ab) = D(a)b + aD(b) Ta thấy, hệ thức tính chất phép đạo hàm thông thường tích Cho D1, D2 phép đạo hàm A Khi đó, ánh xạ D1D2 phép đạo hàm A Từ đó, không gian Der(A) phép đạo hàm A ánh xạ tuyến tính D : A A thỏa mãn: D(ab) = D(a)b + aD(b) Ta thấy hệ thức tính chất phép đạo hàm thông thường tích Cho D1, D2 phép đạo hàm A Khi đó, ánh xạ D1D2 hay D2D1 không phép đạo hàm ánh xạ [D1, D2] := D1D2 - D2D1 lại phép đạo hàm A Từ đó, không gian Der(A) phép đạo hàm A với tích giao hoán tử đại số Lie Một đại số Lie đại số Lie g không gian h g đóng tích Lie, theo nghĩa [a, b] h a, b h Một ideal ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội không gian với tính chất [a, b] a b g Như vậy, ideal đại số Lie điều ngược lại nói chung không Một đồng cấu hai đại số Lie g h ánh xạ tuyến tính : g h, tương thích với tích Lie theo nghĩa [ (a), (b)] = ([a, b]) Ta kiểm tra rằng, hạch đồng cấu đại số Lie ideal ảnh đại số Lie Đặc biệt, ideal đại số Lie g không gian thương g/ tồn tích Lie tự nhiên cho bởi: [a + a, b + a] = [a, b] + a Với ánh xạ thương : g g/ đồng cấu đại số Lie 2.6.2 Mô đun đại số Lie Một biểu diễn đại số Lie g không gian véc tơ V (không thiết hữu hạn chiều) đồng cấu đại số Lie: ([a, b]) = (a)(b) - (b)(a) (2.6.1) Ta định nghĩa dạng mô đun: phần tử g tác động lên V đồng cấu tuyến tính thỏa mãn điều kiện: [a,b] = a(b) - b(a) (2.6.2) Với định nghĩa này, khái niệm đồng cấu mô đun phát biểu cách đơn giản: ánh xạ tuyến tính hai g mô đun : V W đồng cấu g - mô đun (a) = a() Tương tự với biểu diễn nhóm, ta có tính chất sau cho g - mô đun: hạch ảnh đồng cấu mô đun mô đun con, tổng trực tiếp hai mô đun lại mô đun với g tác động thành phần a( w) = a aw Tích ten xơ hai biểu diễn lại biểu diễn với phần tử L tác động theo đường chéo: ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội a( w) :=a w + aw Từ định nghĩa ta thấy phép đối xứng : V W W V đồng cấu biểu diễn Từ đó, lũy thừa đối xứng lũy thừa ten xơ đối xứng ten xơ mô đun lại mô đun với tác động: (a) := -(a) (dấu - vế phải để đảm bảo điều kiện (2.6.1) thỏa mãn) Cũng tương tự trường hợp nhóm, ánh xạ e : V V k db: k V V đồng cấu đối mô đun 2.6.3 Đại số bao phổ dụng Từ đại số A ta xây dựng đại số Lie AL Và : A B đồng cấu đại số : AL BL đồng cấu đại số Lie Ta nói A AL hàm tử từ phạm trù đại số sang phạm trù đại số Lie Bài toán phổ dụng với hàm tử xây dựng từ đại số Lie g đại số (g) với ánh xạ tuyến tính i : g (g) thỏa mãn điều kiện sau đây: i) ánh xạ g (g)L đồng cấu đại số Lie ii) Đồng cấu I thỏa mãn toán phổ dụng: với đại số A đồng cấu đại số Lie : g AL nhất, tồn đồng cấu đại số : U(g) A cho sơ đồ sau giao hoán: i g AL ng Th Thỳy Lp K35 D (g)L Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Đại số (g) tồn gọi đại số bao phổ dụng đại số Lie g Từ tính phổ dụng ta thấy rằng, với đồng cấu đại số Lie f : g h tồn đồng cấu đại số (g) cho sơ đồ sau giao hoán: g (g) () (h) h Mệnh đề 2.6.2 Với đại số Lie g, đại số bao phổ dụng (g) tồn nhất, sai khác đẳng cấu CHứNG MINH Đại số (g) xây dựng đại số thương đại số Ten xơ T(g) theo ideal sinh phần tử: a b - b a - [a, b] ánh xạ i cảm sinh từ ánh xạ g (2.6.3) L T(g) Ta có g (g) đồng cấu đại số Lie Coi ánh xạ tuyến tính, ánh xạ cảm sinh đồng cấu đại số : T(g) A Ta có: (a1 a p ) (a1 ) (a n ) Vì đồng cấu đại số Lie nên: ([a, b]) = (a)(b) - (b)(a) nghĩa là: a, b (a b b a) ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Vậy ánh xạ ideal sinh phần tử (2.6.3) vào Từ đó, ta có đồng cấu cảm sinh : (g) A Từ cách xây dựng ta thấy phần tử g sinh (g) Định lí 2.6.3 Với đại số Lie g, ánh xạ g (g) đơn ánh Giả thiết (ei) sở thứ tự g Khi đó, tập phần tử ei1 ei2 ei p , i1 ip lập thành sở cho không gian véc tơ (g) Từ tính phổ dụng (g) ta xây dựng cấu trúc đại số Hopf sau: Xét ánh xạ tuyến tính: : g (g) (g) a a + a Ta có: ([a, b]) = [a, b] + [a, b = [a + a, b + b] Vậy đồng cấu Lie từ g đến ((g) (g))L Do đó, cảm sinh đồng cấu đại số (g) (g) (g) Tính đối kết hợp kiểm tra qua tính phổ dụng Bên cạnh đó, ánh xạ đối đơn vị định nghĩa cách xét ánh xạ không: g với nhận xét đại số bao phổ dụng đại số Lie tầm thường đại số k Cụ thể, ánh xạ đối đơn vị xác định điều kiện: (a) = 0, a g Vậy (g) đối đại số đối giao hoán Cuối ánh xạ đối cảm sinh từ ánh xạ: : g g a - a ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Đây phản đồng cấu đại số Lie: [(a), (b)] = [a, b] = [a, b] Do đó, cảm sinh phản đồng cấu đại số S: (g) (g), S(a) = - a, a g Cho V g - mô đun, từ đồng cấu Lie g E(V)L ta thu đồng cấu đại số (g) E(V), V (g) - mô đun Điều ngược lại Từ đó, ta có tương ứng - g - mô đun (g) - mô đun bảo toàn đồng cấu Tương ứng bảo toàn tích ten xơ đối ngẫu theo định nghĩa (2.2.1) tác động (g) lên tích ten xơ hai mô đun V W cho a(v w) = av w + v aw tương tự V, theo (2.4.2) a()(v) = (-av) Kết luận Đại số vấn đề khó, có lịch sử từ lâu đời, nhiều kiến thức, phạm vi nghiên cứu rộng khó khăn việc nghiên cứu lĩnh vực ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Trong khóa luận mình, em trình bày Đại số Hopf Tuy nhiên phạm vi rộng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nên em chưa thể nêu hết tính chất ứng dụng đại số Hopf Trong thời gian học tập khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, dạy dỗ, bảo tận tình thầy cô em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Sau thời gian nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên khóa luận em hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Đại số trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện tốt cho em thời gian làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng giúp em hoàn thành khóa luận Tài liệu tham khảo Đại số đa tuyến tính, Phùng Hồ Hải, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ, 2010 ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Đại số tuyến tính, Nguyễn Hữu Việt Hưng, NXB đại học quốc gia Hà Nội, 2000 Hopf algebras, M.Sweedler, New York, 1965 MC LC lời mở đầu chương Các kiến thức mở đầu 1.1 Không gian véc tơ ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.1.1 Trường 1.1.2 Không gian véc tơ3 1.1.3 Không gian véc tơ thương6 1.1.4 Bài toán phổ dụng 1.2 Tích ten xơ10 1.2.1 ánh xạ đa tuyến tính 10 1.2.2 Tích ten xơ. 10 1.2.3 Liên hệ không gian đồng cấu. .13 chương đại số hopf 15 2.1 Đối đại số.15 2.1.1 Định nghĩa.15 2.1.2 Đối ideal đối đại số con16 2.1.3 Đối mô đun đối đại số19 2.1.4 Mô đun hữu tỷ 20 2.2 Song đại số 23 2.2.1 Tích ten xơ hai đối đại số 23 2.2.2 Mô un đối mô un 25 2.3 Đại số Hopf 25 2.3.1 Phép đối thế. 25 2.4 Mô un v i mô đun 29 2.5 Tích phân31 2.5.1 Phần tử tích phân.31 2.5.2 Tích phân32 2.6 i s Lie v i s bao phổ dụng33 2.6.1 Đại số Lie33 2.6.2 Mô un đại số Lie34 2.6.3 i s bao phổ dụng35 ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội kết luận 39 Tài liệu tham khảo. 40 ng Th Thỳy Lp K35 D [...]... (b) Vậy định lí được chứng minh Một đồng cấu của đại số Hopf được định nghĩa là đồng cấu của song đại số tương ứng Tương tự như đối với đại số và đối đại số, ta cần khái niệm song ideal và ideal Hopf để xây dựng song đại số thương và đại số Hopf thương Như vậy, một song đại số là một không gian con đồng thời là một ideal và một đối ideal Một ideal Hopf là một song ideal bất biến dưới ánh xạ đối thế... phần tử nghịch đảo), k G là một đại số monoid (xây dựng giống như đại số nhóm nhưng không phụ thuộc và G có nghịch đảo) Định nghĩa: (g) = g g, (g) = 1, với mọi g G G là cơ sở của k G ( k G, , ) là một đối đại số; , là các ánh xạ đại số Vì vậy, k G là một song đại số 2.2.2 Mô đun và đối mô đun Cho B là một song đại số Một B mô đun được hiểu là một mô đun trên đại số B Tương tự, một B - đối mô đun... đề trên được gọi là một song đại số Tính tương thích giữa tích và đối tích trên một song đại số có thể được mô tả bởi sơ đồ giao hoán sau: BB m B BB mm BBBB idid ng Th Thỳy Lp K35 D BBBB Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Một ánh xạ tuyến tính : B B giữa hai song đại số được gọi là một đồng cấu song đại số nếu nó đồng thời là đồng cấu đại số và đồng cấu đối đại số Ví dụ 2.2.3 Cho k G là một... trúc đại số trên D và ánh xạ thương: C D là một đồng cấu đối đại số Nhận xét Trong một đối đại số: i) Tổng, giao của (hữu hạn hay vô hạn) các đối ideal (trái, phải, hai phía) lại là một đối ideal (trái, phải, hai phía) ii) Tổng, giao của (hữu hạn hay vô hạn) các đối đại số con lại là một đối đại số con ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chú ý 2.1.4 i) Khác với các đại số, ... Vậy s J Vì đối đại số con sinh bởi hữu hạn phần tử nằm trong tổng của các đối đại số con sinh bởi từng phần tử nên ta suy ra đối đại số con sinh bởi một tập hữu hạn là hữu hạn chiều 2.2 Song đại số 2.2.1 Tích ten xơ của hai đối đại số Cho C và D là các đối đại số trên k Khi đó, ta có định nghĩa một cấu trúc của một đối đại số trên tích ten xơ C D: ánh xạ đối đơn vị là A B ánh xạ đối tích được cho... một nhóm, k [G] là một song đại số với đối tích và đối đơn vị được cho bởi (g) = g g, (g) = 1, g G Khi đó k [G] là một đại số Hopf với ánh xạ đối thế được cho bởi S (g) = g-1, g G ii) Cho k là một trường đặc số p > 0 Đại số k [x, x-1]/ (xp) với các ánh xạ: (x) = x 1 + 1 x ng Th Thỳy Lp K35 D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 (x) = 0 S(x) = - x là một đại số Hopf 2.4 Mô đun và đối mô đun... (b ) ng Th Thỳy Lp K35 D )b(2) b(1) S (b(2) ) (b).1 (b) Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 ĐịNH NGHĩA 2.3.1 (Đại số Hopf) Song đại số B với ánh xạ đối thế S được gọi là một đại số Hopf Ta có thể mô tả ánh xạ đối thế theo một cách khác như sau: định nghĩa một cấu trúc đại số trên tập E(B) với tích chập như sau: với , g: B B, tích chập g được định nghĩa là ánh xạ: B BB g BB m B Cụ thể,... đại số A là ideal bé nhất chứa tập S ĐịNH NGHĩA 2.1.8: Đối ideal sinh bởi một tập S trong một đối đại số C được định nghĩa là dối ideal bé nhất chứa tập S Tương tự, đối đại số con trong C sinh bởi S được định nghĩa là đối đại số con bé nhất chứa S 2.1.3 Đối mô đun trên một đối đại số Cho C là một đối đại số và V là một không gian véc tơ trên trường k Một cấu trúc C - đối mô đun phải trên V là một ánh... idid Mệnh đề 2.2.1 Cho (m, u) là một cấu trúc đại số và (, ) là một CCDD cấu trúc đối đại số trên không gian véc tơ B Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) m và u là các đồng cấu đối đại số ii) và là các đồng cấu đại số iii) Ta có các hệ thức sau: (1) = 1 (gh) = (g)(h) (1) = 1 1 (gh) = g (1) h(1) g(2) h(2) ( g ).( h ) ĐịNH NGHĩA 2.2.2 (Song đại số) Một bộ (B, m, u, , ) và thỏa mãn các điều... mô đun Một (đối) mô đun trên một đại số Hopf H được hiểu là (đối) mô đun trên song đại số H Trong mục này, một mô đun được hiểu là mô đun trái còn một đối mô đun được hiểu là đối mô đun phải, trừ khi giả thiết khác đi Mặc dù về hình thức không có gì khác nhưng lí thuyết (đối) mô đun trên một đại số Hopf phong phú hơn nhiều so với lí thuyết (đối) mô đun trên song đại số Một trong những điểm mấu chốt ... trọng Đại số Hopf có xuất xứ từ Tô pô Ngày nay, cấu trúc đại số có mặt nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số nhóm đại số Hopf, đại số bao phổ dụng đai số Lie đại số Hopf, nhóm lượng tử đại số Hopf. .. cấu đại số Hopf định nghĩa đồng cấu song đại số tương ứng Tương tự đại số đối đại số, ta cần khái niệm song ideal ideal Hopf để xây dựng song đại số thương đại số Hopf thương Như vậy, song đại số. .. đun 2.6.3 Đại số bao phổ dụng Từ đại số A ta xây dựng đại số Lie AL Và : A B đồng cấu đại số : AL BL đồng cấu đại số Lie Ta nói A AL hàm tử từ phạm trù đại số sang phạm trù đại số Lie Bài