Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội TRNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐẶNG THỊ THÚY ĐẠI SỐ HOPF KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN HUY HƯNG HÀ NỘI - 2013 Đặng Thị Thỳy Lp K35 D LờI CảM ƠN Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, ThS Nguyễn Huy Hng, ngời trực tiếp tận tình hớng dẫn, bảo, giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số toàn thể thầy cô khoa Toán trờng Đại học S Phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ em suốt thời gian qua Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Thúy LờI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em nhận đợc hớng dẫn tận tình thầy giáo ThS Nguyễn Huy Hng Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận, em có tham khảo số tài liệu nêu phần tài liệu tham khảo Vì em khẳng định đề tài ĐạI Số HOPF trùng lặp với đề tài tác giả khác Sinh viên ĐặNG THị THúY LờI Mở ĐầU Ngày nay, với phát triển vợt bậc khoa học kĩ thuật, Toán học tạo đợc bớc vững cho mình, đặc biệt chuyên ngành Đại số Nhiều ngời vào nghiên cứu đạt đợc số thành công định Những t tởng phơng pháp kết Đại số góp phần to lớn việc nghiên cứu lĩnh vực khác Toán học nh Tô pô, Xác suất Trong Đại số Hopf đóng vai trò quan trọng Đại số Hopf có xuất xứ từ Tô pô Ngày nay, cấu trúc đại số có mặt nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số nhóm ®¹i sè Hopf, ®¹i sè bao phỉ dơng cđa mét đai số Lie đại số Hopf, nhóm lợng tử đại số Hopf Đợc gợi ý, động viên giúp đỡ thầy giáo ThS Nguyễn Huy Hng với việc mong muốn tìm tòi kiến thức mới, em nghiên cứu thực khóa luận tốt nghiệp với đề tài ĐạI Số HOPF Khóa luận em gồm hai chơng Chơng Các kiến thức mở đầu Trong chơng em trình bày khái niệm mang tính chất làm tiền đề nh: không gian véc tơ, tích ten xơ.Ngoài việc nhắc lại kiến thức, chơng cố định kí hiệu đợc sử dụng toàn khóa luận Chơng Đại số Hopf Tại em tập trung giới thiệu khái niệm đại số Hopf Bên cạnh đó, đề tài nêu số tính chất đại số Hopf ứng dụng đại số Hopf Do khuôn khổ thời gian trình độ chuyên môn nhiều hạn chế nên nhiều ứng dụng lí thú khác em cha trình bày đợc đây, em hi vọng thời gian tới có dịp tìm hiểu sâu sắc Kính mong nhận đợc góp ý thầy cô bạn sinh viên để đề tài em ngày hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn CHƯƠNG CáC KIếN THứC Mở ĐầU 1.1 Không gian véc tơ 1.1.1 Trờng ĐịNH NGHĩA 1.1.1 Cho tập hợp k có hai phần tử Trên k xét hai phép toán phép cộng (kí hiệu +) nhân (kí hiệu ) k với hai phép toán lập thành trờng thỏa mãn tÝnh chÊt sau: 1.PhÐp céng cã tÝnh chÊt kÕt hỵp: (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c k 2.Cã phÇn tư k cho: + a = a + , a k PhÇn tư đợc gọi phần tử trung lập 3.Với phần tử a k tồn phần tử a’ k cho: a + a’= a’ + a = Phần tử a đợc gọi phần tử đối a kí hiệu (- a) 4.PhÐp céng cã tÝnh chÊt giao ho¸n: a + b = b + a, a, b k 5.Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), a, b, c k 6.PhÐp nh©n cã tÝnh chÊt giao ho¸n: a.b = b.a, a, b k 7.PhÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng: a.(b + c) = a.b + a.c vµ (b + c).a = b.a + c.a, a, b, c k 8.Cã phÇn tư k cho víi mäi phÇn tư a ta cã 1.a = a.1 = a Phần tử đợc gọi phần tử đơn vị phép nhân k 9.Với phần tử a có phần tử a k cho: a.a’ = a’.a = PhÇn tư a’ đợc gọi phần tử nghịch đảo a kí hiệu a-1 Các tính chất đợc gọi tiên đề trờng Ví dụ 1.1.1 XÐt c¸c tËp sè □ , □ víi c¸c phép toán cộng nhân thông thờng Phần tử nhng phần tử a □ cho a + = nªn tËp số tự nhiên trờng Số nguyên nhng số nguyên a cho 2.a = nên tập số nguyên trờng Tính chất bản: Cho k trờng a, b, c k Khi đó: 1.Luật giản ớc phép cộng: nÕu a + b = a + c th× b = c 2.Quy tắc chuyển vế: định nghĩa a - b = a + (-b) Khi ®ã, nÕu a + b = c th× a = c - b 0.a = a.0 = NÕu a.b = a = b = a.(-b) = (-b).a = (ab) NÕu a.b = a.c a b =c a(b - c) = a.b - a.c 1.1.2 Không gian véc tơ ĐịNH NGHĩA 1.1.2 (Không gian véc tơ) Cho V tập hợp mà phần tử đợc kí hiệu , , , k trờng mà phần tử đợc kí hiệu a, b, c, x, y, z Trên V, ta xét hai phép toán: PhÐp céng hai phÇn tư cđa V: +: V V V (, ) + Phép nhân phần tử V với phần tư cđa k : : k V V (x,) x Giả sử , , V, x, y k điều kiện sau đợc thỏa mãn: ( + ) + = + ( + ) 2.Tồn véc tơ cho + = + = 3.Với có phần tử cho + ’ = ’ + = + = + x ( + ) = x. + x. (x + y). = x. + y. (x.y). = x. + y. 1. = , phần tử đơn vị trờng k Khi đó, ta nói V không gian véc tơ trờng k (hoặc V k - không gian véc tơ) Ta nói V không gian tuyến tính trờng k Ví dụ 1.1.2 (Không gian tọa độ) Với số nguyên dơng n, không gian tất n - phần tử F tạo nên không gian véc tơ n chiều F mà ta gọi không gian tọa độ kí hiệu Fn Mỗi phần tử F đợc viết dới dạng x = (x1, x2, , xn) xi F Các phép toán F đợc xác định bởi: x + y = (x1 + y1, x2 + y2, … , xn + yn) x = (x1, x2, … , xn) = (0, 0, … , 0) -x = (- x1, -x2, … , -xn) mô đun con, tổng trực tiếp hai mô đun lại mô đun với g tác động thành phần a( w) = a aw TÝch ten x¬ cđa hai biĨu diƠn lại biểu diễn với phần tử L tác động theo đờng chéo: a( w) :=a w + aw Từ định nghĩa ta thÊy r»ng phÐp ®èi xøng : V W W V đồng cấu biểu diễn Từ đó, lũy thừa đối xứng lũy thừa nh ten xơ đối xứng ten xơ mô đun lại mô đun với tác động: (a) := -(a) (dấu - vế phải để đảm bảo điều kiện (2.6.1) đợc thỏa mãn) Cũng tơng tự nh trờng hợp nhóm, ánh xạ e : V V k vµ db: k V V đồng cấu đối mô đun 2.6.3 Đại số bao phổ dụng Từ đại số A ta xây dựng đại số Lie AL Và : A B đồng cấu đại số : AL BL đồng cấu đại số Lie Ta nói A AL hàm tử từ phạm trù đại số sang phạm trù đại số Lie Bài toán phổ dụng với hàm tử xây dựng từ đại số Lie g đại số (g) với ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh i : g (g) tháa mãn điều kiện sau đây: i) ánh xạ g (g)L đồng cấu đại số Lie ii) Đồng cấu I thỏa mãn toán phổ dụng: với đại số A đồng cấu đại số Lie : g AL nhất, tồn đồng cấu đại số : U(g) A cho sơ đồ sau giao hoán: g i (g)L AL Đại số (g) tồn đợc gọi đại số bao phổ dụng đại số Lie g Từ tính phổ dụng ta thấy đợc rằng, với đồng cấu đại số Lie f : g h tồn đồng cấu đại số (g) cho sơ đồ sau giao hoán: g (g) () h (h) Mệnh đề 2.6.2 Với đại số Lie g, đại số bao phổ dụng (g) tồn nhất, sai khác đẳng cấu CHứNG MINH Đại số (g) đợc xây dựng nh đại số thơng đại số Ten xơ T(g) theo ideal sinh phần tử: a b - b a - [a, b] ánh xạ i đợc cảm sinh từ ánh xạ g (2.6.3) L T(g) Ta có g (g) đồng cấu đại số Lie Coi nh ánh xạ tuyến tính, ánh xạ cảm sinh đồng cấu ®¹i sè : T(g) A Ta cã: (a1 a p ) (a1 ) (a n ) Vì đồng cấu đại sè Lie nªn: ([a, b]) = (a)(b) - (b)(a) nghÜa lµ: a,b (a b b a) Vậy ánh xạ ideal sinh phần tử (2.6.3) vào Từ đó, ta có đồng cấu cảm sinh : (g) A Từ cách xây dựng ta thấy phần tử g sinh (g) Định lí 2.6.3 Với đại số Lie g, ánh xạ g (g) đơn ánh Giả thiết (ei) sở thứ tự g Khi đó, tập phần tử e e e , i lập thành sở cho không gian véc i tơ (g) i1 i2 ip p Tõ tÝnh phỉ dơng cđa (g) ta cã thĨ xây dựng cấu trúc đại số Hopf nh sau: Xét ánh xạ tuyến tính: : g (g) (g) a a 1+ 1a Ta cã: ([a, b]) = [a, b] + [a, b = [a + a, b + b] Vậy đồng cÊu Lie tõ g ®Õn ((g) (g))L Do đó, cảm sinh đồng cấu đại số (g) (g) (g) Tính đối kết hợp đợc kiểm tra qua tính phổ dụng Bên cạnh đó, ánh xạ đối đơn vị đợc định nghĩa cách xét ánh xạ không: g với nhận xét đại số bao phổ dụng đại số Lie tầm thờng đại số k Cụ thể, ánh xạ đối đơn vị đợc xác định điều kiện: (a) = 0, a g VËy (g) lµ đối đại số đối giao hoán Cuối ánh xạ đối đợc cảm sinh từ ánh xạ: : g g a -a Đây phản đồng cấu đại số Lie: [(a), (b)] = [a, b] = [a, b] Do đó, cảm sinh phản đồng cấu đại số S: (g) (g), S(a) = - a, a g Cho V lµ g - mô đun, từ đồng cấu Lie g E(V)L ta thu đợc đồng cấu đại số (g) E(V), V (g) - mô đun Điều ngợc lại Từ đó, ta có tơng ứng - g - mô đun (g) - mô đun bảo toàn đồng cấu Tơng ứng bảo toàn tích ten xơ đối ngẫu theo định nghĩa (2.2.1) tác động (g) lên tích ten xơ hai mô đun V W đợc cho a(v w) = av w + v aw tơng tù ®èi víi V , theo (2.4.2) a()(v) = (-av) Kết luận Đại số vấn đề khó, có lịch sử từ lâu đời, nhiều kiến thức, phạm vi nghiên cứu rộng khó khăn việc nghiên cứu lĩnh vực Trong khóa luận mình, em trình bày Đại số Hopf Tuy nhiên phạm vi rộng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nên em cha thể nêu hết tính chất nh ứng dụng đại số Hopf Trong thời gian học tập khoa Toán trờng Đại học S Phạm Hà Nội 2, đợc dạy dỗ, bảo tận tình thầy cô em tiếp thu đợc nhiều tri thức khoa học, bớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Sau thời gian nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên khóa luận em hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Đại số trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện tốt cho em thời gian làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hng giúp em hoàn thành khóa luận Tài liệu tham khảo Đại số đa tuyến tính, Phùng Hồ Hải, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ, 2010 Đại số tuyến tính, Nguyễn Hữu Việt Hng, NXB đại học quốc gia Hà Nội, 2000 Hopf algebras, M.Sweedler, New York, 1965 MỤC LỤC lời mở đầu chơng Các kiến thức mở đầu 1.1 Không gian véc tơ 1.1.1 Trờng 1.1.2 Không gian véc tơ3 1.1.3 Không gian véc tơ thơng6 1.1.4 Bài toán phổ dụng7 1.2 Tích ten xơ10 1.2.1 ánh xạ đa tuyến tính 10 1.2.2 Tích ten xơ 10 1.2.3 Liên hệ không gian đồng cấu .13 chơng đại số hopf 15 2.1 Đối đại số.15 2.1.1 Định nghĩa.15 2.1.2 Đối ideal đối đại số con16 2.1.3 Đối mô đun đối đại số19 2.1.4 Mô đun hữu tỷ 20 2.2 Song đại số 23 2.2.1 Tích ten xơ hai đối đại số23 2.2.2 Mô un đối mô un 25 2.3 Đại số Hopf 25 2.3.1 Phép đối thế. 25 2.4 Mô un v i mô đun 29 2.5 Tích phân 31 2.5.1 Phần tử tích phân.31 2.5.2 TÝch ph©n………………………………………………… 32 2.6 Đại số Lie đại số bao phổ dụng33 2.6.1 Đại số Lie33 2.6.2 Mô un đại số Lie34 2.6.3 i s bao phổ dụng35 kÕt luËn 39 Tài liệu tham khảo. 40 ... trọng Đại số Hopf có xuất xứ từ Tô pô Ngày nay, cấu trúc đại số có mặt nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số nhóm đại số Hopf, đại số bao phổ dụng đai số Lie đại số Hopf, nhóm lợng tử đại số Hopf. .. đợc sử dụng toàn khóa luận Chơng Đại số Hopf Tại em tập trung giới thiệu khái niệm đại số Hopf Bên cạnh đó, đề tài nêu số tính chất đại số Hopf ứng dụng đại số Hopf Do khuôn khổ thời gian trình... ngành Đại số Nhiều ngời vào nghiên cứu đạt đợc số thành công định Những t tởng phơng pháp kết Đại số góp phần to lớn việc nghiên cứu lĩnh vực khác Toán học nh Tô pô, Xác suất Trong Đại số Hopf