1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Đại số hopf của tích quasi – shuffle

26 10 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 26
Dung lượng 463,19 KB

Nội dung

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THẾ KỶ ĐẠI SỐ HOPF CỦA TÍCH QUASI-SHUFFLE Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 8460104 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI VĂN CHIẾN Thừa Thiên Huế, năm 2019 Mục lục Bảng ký hiệu luận văn Giới thiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tích ten-xơ 1.1.1 Ánh xạ đa tuyến tính 1.1.2 Tích ten-xơ 1.2 Đại số Hopf 1.2.1 Đại số 1.2.2 Đối đại số (Co-algebra) 1.2.3 Song đại số (Bi-algebra) 1.3 Tổ hợp từ vựng 5 5 6 10 Đại số Hopf tích q-stuffle 2.1 Đại số Hopf tích đan (shuffle product) 2.1.1 Cấu trúc đại số tích đan 2.1.2 Cấu trúc đối đại số tích đan 2.1.3 Cấu trúc song đại số tích đan 2.2 Đại số Hopf tích q-stuffle 2.2.1 Định nghĩa tích q-stuffle 2.2.2 Cấu trúc đại số tích q-stuffle 2.2.3 Cấu trúc đối đại số tích q-stuffle 2.2.4 Cấu trúc song đại số tích q-stuffle 2.3 Đẳng cấu đại số 12 12 12 14 15 17 17 17 18 18 19 Đại số tích ϕ-stuffle 21 3.1 Định nghĩa tích ϕ-stuffle 21 3.2 Một số tính chất hàm biến dạng ϕ tích ϕ-stuffle 22 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Bảng ký hiệu luận văn Ký hiệu Ý nghĩa (trang) k Trường số (trang 5) A Không gian vectơ (trang 6) ⊗ Tích ten-xơ (trang 5) A Bảng chữ (trang 10) A∗ Tập hợp từ vựng sinh từ bảng chữ A (trang 10) 1A∗ Từ rỗng (trang 10) A+ Tập hợp từ vựng sinh từ bảng chữ A khơng có từ rỗng (trang 23) k[x] Tập đa thức biến ∗ Tích convolution (trang 10) q Tham số trường mở rộng trường số hữu tỉ (trang 10) P |w Hệ số từ w đa thức P (trang 11) |w| Độ dài từ w (trang 12) (w) Trọng từ w (trang 17) [w] Đa thức [w] = [yk1 ykn ] = q n−1 yk1 + +kn (trang 19) Tích đan (shuffle product) (trang 13) Tích q -stuffle (trang 17) q ∆ Ánh xạ đối ngẫu ánh xạ ∆ q Ánh xạ đối ngẫu q (trang 14) (trang 17) ∆conc Ánh xạ đối ngẫu ánh xạ conc (trang 15) Q[q] Mở rộng trường Q chứa q (trang 17) QA Tập hợp đa thức (hình thức) sinh tự từ A, hệ số Q Q A Tập hợp chuỗi (hình thức) sinh tự từ A, hệ số Q (trang 14) (A, ∇, η) Một đại số kết hợp có đơn vị (trang 7) (C, ∆, ε) Một đối đại số (trang 8) (B, ∇, η, ∆, ε) S Một song đại số (trang 9) Antipode kY ϕ ϕ Không gian vector với sở chữ Y (trang 21) Hàm biến dạng ϕ (trang 21) Tích ϕ-stuffle (trang 22) ∆µ Đối ngẫu µ (trang 22) z γx,y Hệ số z ϕ(x, y) (trang 23) Giới thiệu Tích đan (shuffle product) lần xuất vào năm 1953 nghiên cứu Eilenberg MacLane [15] Với bảng chữ (alphabet) A, tích đan hai từ định nghĩa truy hồi công thức1 : ∀a, b ∈ A; ∀u, v ∈ A∗ , u 1A∗ = 1A∗ au u = u, bv = a(u bv) + b(au v) Ngay sau đó, vào năm 1954, Kuo-Tsai Chen [13] sử dụng tích để biểu diễn tích phân lặp, cịn Rimhak Ree [16] chứng minh chuỗi không giao hoán hàm mũ đa thức Lie xây dựng dựa tiêu chuẩn Friedrichs Chính lẽ mà tích đan đa thức Lie có mối quan hệ chặt chẽ với mở hướng nghiên cứu sâu sau (xem [11]) Hai mươi năm sau, vào năm 1973, Donald Knutson giới thiệu tích khác cơng trình [12], gọi tích stuffle, mang cấu trúc đại số tựa đối xứng (quasi symmetric) Tích stuffle định nghĩa truy hồi từ vựng hình thành từ bảng chữ vơ hạn số hóa số nguyên dương, Y = {yk }k∈N ≥1 : ∀yk1 , yk2 ∈ Y, u, v ∈ Y ∗ , u y k1 u 1Y ∗ = 1Y ∗ u = u, yk2 v) + yk2 (yk1 u yk2 v = yk1 (u v) + yk1 +k2 (u v) Trong nghiên cứu [6], [9], [10] tác giả Bùi Văn Chiến-Gérard H E DuchampHồng Ngọc Minh tổng qt tích cách đưa vào tham số q hoạt động trường mở rộng trường số hữu tỉ Q: u y k1 u q 1Y ∗ q y k2 v = 1Y ∗ = yk1 (u qu = u, q yk2 v) + yk2 (yk1 u q v) + qyk1 +k2 (u q v) Từ tích này, cặp đại số Hopf đối ngẫu hình thành (Q Y , q , 1Y ∗ , ∆conc , ε, S q ) (Q Y , conc, 1Y ∗ , ∆ q , ε, Sqconc ) Một điều đẹp cấu trúc đại số mở rộng tương đương với cấu trúc đại số tích đan đẳng cấu [1] (xem thêm [14]), φ(w) = (i1 , ,ik )∈C(|w|) 1 (i1 , , ik )[w] i1 ! ik ! A∗ ký hiệu tập hợp tất từ vựng thành lập từ bảng chữ A bao gồm từ rỗng, ký hiệu 1A∗ Điều nghĩa cấu trúc đại số tương đương trường hợp q Kết mở nghiên cứu ứng dụng tốn học vật lí đặc biệt biểu diễn cấu trúc đại số hàm đặc biệt [4], [6] Luận văn cao học này, chúng tơi trình bày từ lý thuyết tảng đại số Hopf, tổ hợp từ vựng đến cấu trúc đại số xây dựng từ vựng với dạng khác tích quasi-shuffle Với mục đích đó, luận văn trình bày chương: Chương Trình bày kiến thức sở tích ten-xơ, đại số Hopf số khái niệm tổ hợp từ từ vựng Chương Chúng dành phần đầu để trình bày số đại số Hopf quen thuộc từ vựng, xây dựng từ tích ghép vào tích đan nghiên cứu Christohpe Reutenauer [11] cộng Phần Chương tổng hợp chi tiết nghiên cứu đại số Hopf tích q -stuffle ([6], [9], [10]) cuối chứng minh đẳng cấu cấu trúc đại số Chương Chúng tơi trình bày dạng tổng quát tích quasi-shuffle theo hàm biến dạng ϕ nghiên cứu vài trường hợp Luận văn thực sở đọc hiểu trình bày lại số kết nghiên cứu từ báo, luân văn số cơng trình nghiên cứu liệt kê phần Tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Tích ten-xơ Ánh xạ đa tuyến tính Trước định nghĩa tích ten-xơ, ta định nghĩa ánh xạ đa tuyến tính (một mở rộng ánh xạ tuyến tính) sau Định nghĩa 1.1 Giả sử A1 , A2 , , An , M (n ≥ 2) không gian vectơ trường k (gọi k-không gian vectơ) Ánh xạ f : A1 × A2 × · · · × An −→ M ánh xạ n-tuyến tính k với i (1 ≤ i ≤ n) , ∈ Ai , r ∈ k , ta có: f (a1 , a2 , , + , , an ) = f (a1 , a2 , , , , an ) + f (a1 , a2 , , , , an ), f (a1 , a2 , , rai , , an ) = rf (a1 , a2 , , , , an ) 1.1.2 Tích ten-xơ Định nghĩa 1.2 Tích ten-xơ A1 , A2 , , An k k-không gian vectơ, ký hiệu A1 ⊗ A2 ⊗ · · · ⊗ An , với ánh xạ n-tuyến tính f : A1 × A2 × · · · × An −→ A1 ⊗ A2 ⊗ · · · ⊗ An có tính chất sau, với k-khơng gian vectơ M n-ánh xạ tuyến tính h : A1 × A2 × · · · × An −→ M ˜ : A1 ⊗ A2 ⊗ · · · ⊗ An −→ M , thỏa mãn h = h ˜ ◦ f Nói tồn ánh xạ tuyến tính h cách khác, ta có biểu đồ giao hốn /6 h A1 × A2 × · · · × An M ˜ h * f A1 ⊗ A2 ⊗ · · · ⊗ An Nhận xét: Tích ten-xơ làm đơn giản ánh xạ đa tuyến tính thành ánh xạ tuyến tính nên chất, tích ten-xơ thỏa mãn tính đa tuyến tính sau Mệnh đề 1.1 (Tính đa tuyến tính tích ten-xơ) Với α, β ∈ k, aj ∈ Aj , bi ∈ Ai , i ∈ {1, , n}, j ∈ {1, , n} ta có a1 ⊗ ⊗ (αai + βbi ) ⊗ ⊗ an = αa1 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ an + βa1 ⊗ ⊗ bi ⊗ ⊗ an 1.2 1.2.1 (1.1) Đại số Hopf Đại số Định nghĩa 1.3 Một đại số trường k (hoặc k-đại số) không gian vectơ A k với ánh xạ tuyến tính A ⊗ A −→ A Nói cách khác, tập hợp A trang bị ba phép toán phép cộng +: A × A −→ A : (x, y) −→ x + y, phép nhân với vô hướng : k × A −→ A : (α, x) −→ α.x (hoặc αx) ánh xạ tuyến tính • : A ⊗ A −→ A : x ⊗ y −→ x.y (hoặc xy ), ba phép toán thỏa mãn điều kiện sau đây: i) A với phép tốn cộng phép nhân với vơ hướng tạo thành không gian vectơ k; ii) Với x, y, z A, x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx; iii) Với α, β k x, y A, (αx)(βy) = (αβ)(xy) Định nghĩa 1.4 Cho A đại số k Ta nói đại số A hữu hạn chiều k khơng gian vectơ hữu hạn chiều k Đại số A gọi đại số kết hợp với x, y, z ∈ A, (xy)z = x(yz) A đại số có đơn vị với x ∈ A, tồn phần tử e ∈ A cho xe = ex = x Giả sử A đại số kết hợp có đơn vị, ta nói phần tử x ∈ A khả nghịch tồn phần tử x ∈ A cho xx = x x = e Đại số A gọi đại số giao hoán với x, y ∈ A, xy = yx * Nhận xét: Mỗi k-đại số kết hợp cấu trúc tổng hòa khơng gian vectơ vành, phép cộng vành A trùng với phép cộng không gian vectơ A, phép nhân vành A liên hệ với phép nhân với vô hướng không gian vectơ A điều kiện iii) Định nghĩa 1.5 Tập khác rỗng B đại số A trường k gọi đại số A B vừa không gian vectơ không gian vectơ A vừa vành vành A Giả sử A, A đại số k, ánh xạ ϕ : A −→ A gọi đồng cấu đại số vừa đồng cấu k-không gian vectơ vừa đồng cấu vành Các khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu định nghĩa tự nhiên * Lưu ý: Trong mơ hình tốn học, ta định nghĩa đại số kết hợp có đơn vị sau Một đại số kết hợp k ba (A, ∇, η) , A k-khơng gian vectơ, ∇ : A ⊗ A −→ A η : k −→ A ánh xạ tuyến tính k-khơng gian vectơ cho biểu đồ sau giao hoán: A⊗A⊗A ∇⊗idA idA ⊗∇/  A⊗A A⊗A  ∇ A⊗k s2 ∇  y Ao /A idA ⊗η / ∇ s1 A ⊗O A η⊗idA k⊗A Ở đây, idA : A −→ A ánh xạ đồng idA ⊗ ∇ : A ⊗ A ⊗ A −→ A ⊗ A ∇ ⊗ idA : A ⊗ A ⊗ A −→ A ⊗ A ánh xạ tuyến tính xác định với a, b, c ∈ A a ⊗ b ⊗ c −→ a ⊗ ∇(b ⊗ c) a ⊗ b ⊗ c −→ ∇(a ⊗ b) ⊗ c Nói cách khác, với a, b, c ∈ A ta có ∇ ◦ (idA ⊗ ∇)(a ⊗ b ⊗ c) = ∇ ◦ (∇ ⊗ idA )(a ⊗ b ⊗ c) (1.2) idA ⊗ η, η ⊗ idA ánh xạ tuyến tính xác định sau, r ∈ k, a ∈ A ta có a ⊗ r −→ a ⊗ η(r), r ⊗ a −→ η(r) ⊗ a Ánh xạ s1 : k ⊗ A −→ A xác định r ⊗ a −→ ánh xạ s2 : A ⊗ k −→ A xác định a ⊗ r −→ Nói cách khác, ta có với r ∈ k, a ∈ A, ∇ ◦ (idA ⊗ η)(a ⊗ r) = = ∇ ◦ (η ⊗ idA )(r ⊗ a) (1.3) Ánh xạ ∇ gọi ánh xạ tích Còn ánh xạ η gọi ánh xạ đơn vị Tính chất (1.2) gọi tính chất kết hợp Tính chất (1.3) gọi tính chất đơn vị k-đại số A giao hoán ∇ ◦ τ = ∇, τ ánh xạ xác định τ (a ⊗ b) = b ⊗ a 1.2.2 ∀a, b ∈ A Đối đại số (Co-algebra) Ta định nghĩa đối đại số theo mơ hình tốn học sau Định nghĩa 1.6 Một đối đại số kết hợp trường k (hoặc k-đối đại số) ba (C, ∆, ε) , C k-khơng gian vectơ, ∆ : C −→ C ⊗ C ε : C −→ k ánh xạ tuyến tính k-khơng gian vectơ cho biểu đồ sau giao hoán1 : ∆  / ∆ C C⊗C / C⊗C  ∆⊗idC C idC ⊗∆ −⊗1 1⊗− /  C⊗ko C⊗C⊗C k ⊗O C ∆ idC ⊗ε $ ε⊗idC C⊗C Ở đây, idC : C −→ C ánh xạ đồng idC ⊗ ∆ : C ⊗ C −→ C ⊗ C ⊗ C ∆ ⊗ idC : C ⊗ C −→ C ⊗ C ⊗ C ánh xạ tuyến tính lần lươt xác định sau, a, b ∈ C ta có: a ⊗ b −→ a ⊗ ∆(b) a ⊗ b −→ ∆(a) ⊗ b Nói cách khác, với c ∈ C , ta có (idC ⊗ ∆)∆(c) = (∆ ⊗ idC )∆(c) (1.4) Ngoài ra, ánh xạ − ⊗ ⊗ − xác định c −→ c ⊗ c −→ ⊗ c Nói cách khác, với c ∈ C , ta có (ε ⊗ idC )∆(c) = ⊗ c, (idC ⊗ ε)∆(c) = c ⊗ 1 ký hiệu phần tử đơn vị trường k (1.5) Ánh xạ ∆ ε gọi ánh xạ đối tích ánh xạ đối đơn vị đối đại số C Tính chất (1.4) gọi tính chất đối kết hợp Tính chất (1.5) gọi tính chất đối đơn vị Hơn ta cịn nói k-đối đại số C có tính đối giao hốn τ ◦ ∆ = ∆ 1.2.3 Song đại số (Bi-algebra) Song đại số định nghĩa cấu trúc kết hợp đại số đối đại số tương thích với không gian vectơ Định nghĩa 1.7 Cấu trúc (B, ∇, η, ∆, ε) song đại số trường k thỏa mãn đồng thời tính chất sau: B không gian vectơ k; k-ánh xạ tuyến tính ∇ : B ⊗ B −→ B đơn vị η : k −→ B , cho (B, ∇, η) đại số kết hợp có đơn vị; k-ánh xạ tuyến tính ∆ : B −→ B ⊗ B đối đơn vị ε : B −→ k, cho (B, ∆, ε) đối đại số; điều kiện tương thích biểu diễn sơ đồ giao hoán đây: ∇ B⊗B ∆⊗∆ / η K /B ⊗O B ∇⊗∇  B⊗B⊗B⊗B /B id⊗τ ⊗id ∇ B⊗B >B ∆ B / ⊗B⊗B⊗B k⊗k∼ =k B η⊗η ε id / ε⊗ε & y ε k⊗k∼ =k K Định nghĩa 1.8 Một k-đại số Hopf H = (H, ∇, η, ∆, ε), x B⊗B o η ∆ % B Mệnh đề 1.2 Với ánh xạ f từ A sang vị nhóm M , tồn mở rộng f đồng cấu vị nhóm f¯ : A∗ −→ M cho biểu đồ sau giao hốn (trong i phép nhúng tự nhiên A −→ A∗ ), / i A f M } A∗ f¯ tức f = f¯ ◦ i Định nghĩa 1.11 Một đa thức (hình thức) khơng giao hốn tổ hợp tuyến tính k từ A Để đơn giản, ta gọi đa thức không sợ nhầm lẫn Với P đa thức, ta viết dạng P | w w, P = (1.8) w∈A∗ P | w hệ số từ w P ; có số hữu hạn hệ số P | w khác không Tập hợp tất đa thức ký hiệu k A Mệnh đề 1.3 Với phép cộng thực theo thành phần phép nhân, tích ghép định nghĩa P | u Q | v uv, PQ = (1.9) u,v∈A∗ k A trở thành k-đại số kết hợp vị nhóm A∗ gọi đại số ghép Nhận xét rằng, k A k-không gian vectơ với sở A∗ k-đại số kết hợp tự sinh A Điều chứng tỏ tính chất phổ dụng sau Mệnh đề 1.4 Với ánh xạ f từ A sang k-đại số kết hợp A, tồn mở rộng f đồng cấu k-đại số f¯ : k A −→ A cho sơ đồ sau giao hốn (trong i phép nhúng tự nhiên A −→ k A ), / i A f  A } tức f = f¯ ◦ i 11 f¯ kA Chương Đại số Hopf tích q-stuffle 2.1 2.1.1 Đại số Hopf tích đan (shuffle product) Cấu trúc đại số tích đan Trong phần ta kí hiệu A bảng chữ Q trường số hữu tỷ Đại số (Q A , conc, 1A∗ ) Ta ký hiệu conc ánh xạ tuyến tính mơ tả tích ghép conc : Q A ⊗ Q A −→ Q A (2.1) P ⊗ Q −→ P Q Ta xem 1A∗ ánh xạ tuyến tính1 từ Q đến Q A biến t ∈ Q thành t1A∗ ∈ Q A Mệnh đề 2.1 ([11]) (Q A , conc, 1A∗ ) đại số kết hợp có đơn vị Mệnh đề 2.2 Với từ w ∈ A∗ cho trước, ta có:  1 w = uv w | uv = 0 trường hợp khác (2.2) Với từ w ∈ A∗ cho trước, w | uv = |w| + u,v∈A∗ Ở chuơng trước ta ký hiệu ánh xạ η 12 (2.3) Đại số (Q A , , 1A∗ ) Ta xây dựng cấu trúc đại số khác bảng chữ A cách thiết lập tích khác từ, gọi tích đan (shuffle product), ký hiệu truy hồi sau: với chữ a, b từ u, v u au 1A∗ = 1A∗ bv = a(u , định nghĩa A∗ (2.4) u = u, bv) + b(au (2.5) v) Ví dụ 2.1 Với chữ a, b, c, d ∈ A, ta có: ab cd = a(b cd) + b(a = a[b(1A∗ cd) cd) + c(b d)] + b[a(1A∗ = a bcd + c b(1A∗ d) + d(b 1A∗ ) + b acd + c a(1A∗ d) + d(a 1A∗ ) cd) + c(a d)] = a[bcd + c(bd + db)] + b[acd + c(ad + da)] = a(bcd + cbd + cdb) + b(acd + cad + cda) = abcd + acbd + acdb + bacd + bcad + bcda * Nhận xét: Từ định nghĩa ta biểu diễn tích đan cách tổng quát sau Giả sử w = a1 an từ có độ dài n với I = {i1 , i2 , · · · , ik }, i1 < · · · < ik tập {1, · · · , n}, ta ký hiệu w [I] (hoặc w|I ) từ ai1 aik Đặc biệt, w [I] từ rỗng I = ∅ Một từ w [I] gọi từ w Ta ký hiệu p Ipn = {(I1 , · · · , Ip )| Ik = {1, · · · , n}; Ii ∩ Ij = ∅, ∀i = j}, (2.6) k=1 w xác định kết hợp p từ w [Ij ] theo p tập Ik (1 ≤ k ≤ p) tích đan p từ u1 , · · · , up với độ dài n1 , · · · , np n1 + · · · + np = n đa thức u1 ··· up = w n (I1 ,··· ,Ip )∈Ip w[I1 ]=u1 ,··· ,w[Ip ]=up Để ý tổng (2.7) ta có n n1 , · · · , np từ có độ dài n nên u1 ··· = n! n1 ! np ! up đa thức bậc n 13 (2.7) Tích đan mở rộng đến Q A Q A S1 ··· công thức S1 | u1 · · · Sp | up u1 Sp = ··· up (2.8) u1 ,··· ,up Tổng vơ hạn có nghĩa, hữu hạn địa phương theo độ dài từ vựng Thật vậy, với từ w, có hữu hạn p-bộ (u1 ··· up ) cho w thành phần tích đan u1 , , up Với Sk (1 ≤ k ≤ p) đa thức tích đan chúng (2.8) đa thức Ta ký hiệu ánh xạ tuyến tính mơ tả tích đan :Q A ⊗Q A −→ Q A P ⊗ Q −→ P Mệnh đề 2.3 ([11]) (Q A , (2.9) Q , 1A∗ ) đại số kết hợp có đơn vị, giao hốn gọi đại số đan 2.1.2 Cấu trúc đối đại số tích đan Ta gọi ∆conc : Q A −→ Q A ⊗ Q A ánh xạ đối ngẫu ánh xạ conc ∆ Q A ⊗ Q A ánh xạ đối ngẫu ánh xạ : Q A −→ theo nghĩa, với P, Q, R ∈ Q A , ∆conc (P ) | Q ⊗ R = P | QR , ∆ (P ) | Q ⊗ R = P |Q R (2.10) (2.11) Khi đó, ánh xạ ∆ , ∆conc xác định P |Q ∆ (P ) = R Q ⊗ R, (2.12) Q,R∈A∗ P | QR Q ⊗ R ∆conc (P ) = (2.13) Q,R∈A∗ Bổ đề 2.4 Với chữ a, ∆ cịn mơ tả sau: ∆ (1A∗ ) = 1A∗ ⊗ 1A∗ ∆ (a) = a ⊗ 1A∗ + 1A∗ ⊗ a (2.14) (2.15) Bổ đề 2.5 Với chữ a từ w, ta có ∆conc (aw) = 1A∗ ⊗ aw + (a ⊗ 1A∗ )∆conc (w) u ⊗ v Để ý rằng, ∆conc (w) = uv=w 14 (2.16) Mệnh đề 2.6 ([11]) i) ∆ đồng cấu tích ghép, tức (2.17) ∆ (QR) = ∆ (Q)∆ (R) ii) ∆conc đồng cấu tích đan, tức ∆conc (Q Như vậy, đồng cấu ∆ R) = ∆conc (Q) ∆conc (R) (2.18) từ Q A sang Q A ⊗ Q A , biến 1A∗ thành 1A∗ ⊗ 1A∗ biến chữ a thành ∆ (a) = a ⊗ 1A∗ + 1A∗ ⊗ a, (2.19) cho đồng cấu tồn theo Mệnh đề 1.4 Mệnh đề 2.7 ([11]) Với ánh xạ tuyến tính ε xác định sau ε:Q A −→ Q (2.20) P | 1∗A P −→ (Q A , ∆ , ε) đối đại số 2.1.3 Cấu trúc song đại số tích đan Mệnh đề 2.8 ([11]) (Q A , , 1A∗ , ∆conc , ε) song đại số Bây giờ, ta mô tả ánh xạ đối nghịch đảo S S:Q A −→ Q A (2.21) a1 an −→ (−1)n an a1 Nhận xét rằng, S phản tự đẳng cấu với tích ghép, tức S(P Q) = S(Q)S(P ) tự đẳng cấu với tích đan Q A , tức S(P Q) = S(P ) S(Q) với đa thức P, Q Bây giờ, ta định nghĩa End(Q A ), Q-không gian vectơ tất tự đồng cấu tuyến tính Q A , cấu trúc đại số khác với cấu trúc đại số thông thường xác định cách phân tích tự đồng cấu Với f, g thuộc End(Q A ), ta định nghĩa f ∗ g End(Q A ) theo công thức f ∗ g = conc ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ 15 (2.22) f∗ g= ◦(f ⊗ g) ◦ ∆conc (2.23) P |u (2.24) Nói cách khác, với đa thức P , (f ∗ g)(P ) = v f (u)g(v), u,v∈A∗ (f ∗ g)(P ) = P | uv f (u)g(v) (2.25) u,v∈A∗ Ta gọi tích ∗ ∗ tích convolution Bây ta định nghĩa đại số kết hợp A tích ten-xơ đầy đủ A = Q A ⊗Q A , (2.26) với tích đan bên trái ⊗ tích ghép bên phải ⊗ Về hình thức, phần tử A αu,v u ⊗ v phép nhân A định nghĩa tổ hợp tuyến tính vơ hạn u,v∈A∗ αu,v u ⊗ v u,v∈A∗ βx,y x ⊗ y = x,y∈A∗ αu,v βx,y (u x) ⊗ (vy) (2.27) u,v,x,y∈A∗ u ⊗ f (u) Lưu ý rằng, tự đồng cấu f Q A mô tả đầy đủ ảnh tắc u∈A∗ f (u) ⊗ u theo ∗ ) A Cũng lưu ý ảnh tự đồng cấu đồng (hoặc u∈A∗ u ⊗ u u∈A∗ Bổ đề 2.9 Với đa thức P , ta có conc ◦ (id ⊗ S) ◦ ∆ (P ) = P | 1A∗ (2.28) Mệnh đề 2.10 ([11]) Với tích convolution, End(Q A ) có cấu trúc đại số kết hợp, phần tử đơn vị 1A∗ ◦ ε Nghịch đảo ánh xạ đồng Q A S Phép nhúng tắc End(Q A ) −→ A, f −→ f (u) ⊗ u ∗ ) đồng u ⊗ f (u) (hoặc f −→ u∈A∗ u∈A∗ cấu đại số với tích convolution Nói cách khác w ⊗ ((f ∗ g)(w)) = w∈A∗ u ⊗ f (u) u∈A∗ v ⊗ g(v) (2.29) v∈A∗ với phép nhân lấy A Mệnh đề 2.10 dẫn đến Q A có hai đại số Hopf đối ngẫu2 sau: (Q A , conc, 1A∗ , ∆ , ε, S) (Q A , , 1A∗ , ∆conc , ε, S) (2.30) Hai cấu trúc đại số Hopf đối ngẫu với theo nghĩa, đối tích cấu trúc đối ngẫu với tích cấu trúc 16 2.2 2.2.1 Đại số Hopf tích q -stuffle Định nghĩa tích q -stuffle Trong phần này, xét trường hợp tổng quát tích đan, gọi tích q -stuffle, hoạt động bảng chữ vơ hạn số hóa tập số nguyên dương Với từ, ta định nghĩa trọng tổng số ký tự Bằng cách này, xây dựng cấu trúc đại số Hopf phân bậc (theo trọng) Cho Y := {ys | s ∈ N∗ } bảng chữ có thứ tự y1 > y2 > · · · (2.31) Giả sử q thuộc mở rộng trường trường số hữu tỷ Q, tích q -stuffle, ký hiệu q, định nghĩa truy hồi sau Định nghĩa 2.1 Với chữ ys , yt từ u, v Y ∗ u ys u 2.2.2 q yt v = ys (u q 1Y ∗ = 1Y ∗ qu q yt v) + yt (ys u (2.32) = u, v) + qys+t (u (2.33) q v) Cấu trúc đại số tích q -stuffle Ở đây, ta ký hiệu q ánh xạ tuyến tính mơ tả tích q -stuffle q : Q[q] Y ⊗ Q[q] Y −→ Q[q] Y u ⊗ v −→ u Mệnh đề 2.11 ([6], [9], [10]) (Q[q] Y , q , 1Y ∗ ) (2.34) qv đại số kết hợp có đơn vị 1Y ∗ (từ rỗng), Q[q] mở rộng trường Q chứa q Một cách tương tự việc hình thành cấu trúc đại số đối ngẫu tích đan, ta có cấu trúc đại số Hopf đối ngẫu tích q -stuffle sau Mệnh đề 2.12 ([6], [9], [10]) Ta gọi ∆ q ánh xạ đối ngẫu q theo nghĩa, với ys , yt , yv ∈ Q[q] Y , ∆ q (ys ) | yt ⊗ yv = ys | yt 17 q yv (2.35) Khi đó, ánh xạ ∆ q , xác định ∆ ∆ q (1Y ∗ ) = 1Y ∗ ⊗ 1Y ∗ , q (2.36) (ys ) = ys ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ ys + q ys1 ⊗ ys2 (2.37) s1 +s2 =s Bổ đề 2.13 Với chữ ys từ w, ta có: ∆ q (ys w) = ∆ q (ys )∆ q (2.38) (w) ∆conc (ys w) = 1Y ∗ ⊗ ys w + (ys ⊗ 1Y ∗ )∆conc (w) 2.2.3 Cấu trúc đối đại số tích q -stuffle Mệnh đề 2.14 ([6], [9], [10]) (Q[q] Y , ∆ 2.2.4 (2.39) q , ε) đối đại số Cấu trúc song đại số tích q -stuffle Mệnh đề 2.15 ([6], [9], [10]) (Q[q] Y , Hơn nữa, q q , 1Y ∗ , ∆conc , ε) song đại số ∆conc tương ứng phân bậc theo trọng từ, dẫn đến ta có (Q[q] Y , q , 1Y ∗ , ∆conc , ε, Sq (2.40) ) đại số Hopf Trước mô tả đối nghịch đảo Sq , ta cần biết vài khái niệm sau đây: Ta gọi cách phân tích số nguyên dương k dãy số nguyên dương J = (i1 , · · · , in ) cho i1 + · · · + in = k ta gọi Ck tập cách phân tích k Những tác động từ có độ dài k mô tả sau: với w = ys1 ysk J(w) = q k−n ys1 +···+si1 ysi1 +1 +···+si2 ysin−1 +1 +···+sk Như vậy, từ khái niệm ví dụ nêu đối nghịch đảo Sq ε ánh xạ biến đa thức P thành số tự P | 1Y ∗ 18 (2.41) xác định sau: Mệnh đề 2.16 ([6], [9], [10]) Với từ w = ys1 ysk , ta có Ss (w) = (−1)k (2.42) J(ysk ys1 ) J∈Ck Bổ đề 2.17 Giả sử S1 , · · · , Sn chuỗi hình thức thật Q[q] Y P1 , · · · , Pm phần tử nguyên thủy Q[q] Y Khi ta có khẳng định sau: Nếu n > m S1 q ··· q Sn | P1 Pm = (2.43) Nếu n = m S1 q ··· q Sn | P1 Pn = S1 | Pσ(1) Sn | Pσ(n) (2.44) σ∈Sn Nếu n < m, cho bảng chữ P := {P1 , · · · , Pm } µ đồng cấu từ Q[q] P vào Q[q] Y , biến chữ Pk P thành đa thức Pk Q[q] Y Khi đó, S1 q ··· q Sn S1 | µ(w1 ) Sn | µ(wn ) , | P Pm = w1 2.3 (2.45) w1 ,··· ,wn ∈P ∗ ··· wn =P1 Pm Đẳng cấu đại số Cấu trúc đại số Hopf vừa thành lập biến dạng theo tham số q , chúng ln bảo tồn bậc trường hợp Hơn nữa, chúng cịn đẳng cấu với thơng qua ánh xạ mà ta xây dựng Xét ánh xạ tuyến tính φ : Q Y −→ Q Y với φ (1) = với từ khác rỗng w ∈ Y ∗ , φ (w) = (i1 , ,ik )∈C(|w|) (i1 , , ik ) [w] i1 ! ik ! Định lý 2.18 ([1], [14]) Ánh xạ φ thành lập đẳng cấu đại số từ (Q Y , ) vào (Q Y , q ) Chứng minh Trước hết, ta chứng minh φ đồng cấu, tức với u, v ta có φ(u φ(u) q φ(v) Giả sử u = ys1 ysn v = yt1 ytm , ta có φ(u từ có dạng4 [u1 v1 ] [ul vl ] Với từ w = yk1 ykn ta kí hiệu [w] = [yk1 ykn ] = q n−1 yk1 + +kn 19 v) φ(u) q v) = φ(v) đa thức đó, u1 ul = u v1 vl = v với ≤ i ≤ l có nhiều ui vi từ rỗng Ta thấy thành phần [u1 v1 ] [ul vl ] xuất φ(u) gồm tham số q ) Mặt khác, [u1 v1 ] [ul vl ] xuất φ(u |u1 v1 |! |ul vl |! |u1 |! |ul |!|v1 |! |vl |! q φ(v) với hệ số (không bao |u1 |!|v1 |! |ul |!|vl |! v) từ thành phần tích u sau áp dụng qua ánh xạ φ với hệ số |u1 v1 |! |ul vl |! v Để chứng minh tính đẳng cấu, ta viết lại φ (w) = ai1 aik (i1 , , ik ) [w] (i1 , ,ik )∈C(|w|) ail = il ! , ≤ l ≤ k để ý ail hệ số til khai triển Maclaurin hàm số f (t) = exp (t) − Ta chứng minh nghịch đảo φ bj1 bjk (j1 , , jk ) [w] ψ (w) = (j1 , ,jk )∈C(|w|) đó, bjl = (−1)jl −1 , jl ≤ l ≤ k , hệ số tjl khai triển Maclaurin hàm số f −1 (t) = log (t + 1) miền D = (0; ∞) Thật vậy, với K = (k1 , , kl ) ∈ C (|w|), hệ số K [w] ψφ (w) bj1 bjl ai1 ai|J| (2.46) J◦I=K Ta phải chứng minh biểu thức (2.46) K dãy (1, , 1) cho trường hợp cịn lại Ta thấy điều cách xem biến t1 , t2 , giao hoán (2.46) hệ số tk11 , , tkl l khai triển t1 tl = f −1 (f (t1 )) f −1 (f (tl )) Hơn nữa, đồng cấu đại số φ cịn tương thích với đối tích antipode (Xem thêm [11]) để thực đẳng cấu đại số Hopf hai cấu trúc đại số 20 Chương Đại số tích ϕ-stuffle Trong phần ta kí hiệu Y bảng chữ (alphabet), k trường từ rỗng 1Y ∗ xem phần tử trung hòa phép cộng tích ghép (concatenation product) 3.1 Định nghĩa tích ϕ-stuffle Trước tiên xét dạng truy hồi để xây dựng ánh xạ từ Y ∗ × Y ∗ vào k Y : với w ∈ Y ∗ , 1Y ∗ ϕw =w ϕ 1Y ∗ (3.1) = w; với yi , yj ∈ Y u, v ∈ Y ∗ , yi u ϕ yj v = yi (u ϕ yj v) + yj (yi u ϕ v) + ϕ(yi , yj )(u ϕ v); (3.2) Trong ϕ ánh xạ định nghĩa cấu trúc hệ số sau ϕ : Y × Y −→ kY (yi , yj ) −→ yk ∈Y k y γi,j k Mệnh đề sau khẳng định tồn luật song tuyến tính k Y × k Y thỏa mãn công thức truy hồi (3.1), (3.2) 21 Mệnh đề 3.1 ([3]) Điều kiện khởi tạo (3.1) với công thức truy hồi (3.2) xác định ánh xạ ϕ : Y ∗ × Y ∗ −→ k Y (3.3) Ánh xạ mở rộng tuyến tính lên tồn khơng gian k Y ⊗ k Y ϕ : k Y ⊗ k Y −→ k Y Không gian k Y xác định với quy luật (3.4) ϕ đại số (phần tử đơn vị 1k Y ) Nó cịn gọi đại số ϕ-stuffle Trong trường hợp tổng quát, đại số khơng cần tính chất kết hợp giao hốn ϕ khơng có tính chất Ví dụ 3.1 ([3]) Dưới số ví dụ trường hợp hàm biến dạng ϕ sử dụng khoa học máy tính: Các trường hợp ϕ Tên gọi Công thức biểu diễn Shuffle ys u yt v = ys (u yt v) + yt (ys u v) Quasi-shuffle yi u yj v = yi (u yj v) + yj (yi u v) + yi+j (u q -shuffle yi u q yj v = yi (u q yj v) + yj (yi u q -stuffle yi u q yj v = yi (u q yj v) + yj (yi u Min-shuffle yi u yj v = yi (u yj v) + yj (yi u v) − yi+j (u v) ϕ(yi , yj ) = −yi+j Muffle yi u yj v = yi (u yj v) + yj (yi u v) + yi×j (u v) ϕ(yi , yj ) = yi×j 3.2 ϕ≡0 q v) ϕ(yi , yj ) = yi+j v) + q i×j yi+j (u q v) + qyi+j (u v) v) ϕ(yi , yj ) = q i×j yi+j ϕ(yi , yj ) = qyi+j Một số tính chất hàm biến dạng ϕ tích ϕ-stuffle Bây kiểm chứng tính chất ϕ gồm tính chất giao hốn, kết hợp, đối ngẫu Định nghĩa 3.1 Một quy tắc µ : k Y ⊗ k Y −→ k Y gọi khả đối ngẫu tồn ánh xạ (tuyến tính) ∆µ : k Y −→ k Y ⊗ k Y cho ánh xạ đối ngẫu (k Y ⊗ k Y )∗ −→ k Y có thu hẹp µ, hay nói cách khác, ∀u, v, w ∈ Y ∗ , µ(u ⊗ v) | w = u ⊗ v | ∆µ (w) 22 Bổ đề 3.2 ([3]) Cho ánh xạ ∆ : k Y −→ k Y ∗ ⊗ Y ∗ định nghĩa chữ sau s y ⊗y γn,m n m ∆(ys ) = ys ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ ys + yn ,ym ∈Y ∀w ∈ Y + , ∆(w) = w ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ w + ∆(w) | u ⊗ v u ⊗ v u,v∈Y + ∀u, v, w ∈ Y ∗ , u ϕv | w = u ⊗ v | ∆(w) Nếu ánh xạ ϕ có tính chất kết hợp (ϕ nêu trường hợp ví dụ 3.1) mở rộng ϕ Y + tính chất phổ dụng nửa nhóm tự Y + sau,  ϕ(x) = x x ∈ Y (3.5) ϕ(xw) = ϕ(x, ϕ(w)) x ∈ Y w ∈ Y + Từ ta mở rộng cấu trúc hệ số cách sau, với yk1 , , ykl ∈ Y + , s l−2 γkk1 ,s1 γks21,s2 γkl−1 ,kl γkk1 , ,kl := yk | ϕ(yk1 , , ykl ) = ys1 , ,ysl−2 ∈Y Mệnh đề 3.3 ([3]) Ta có khẳng định sau Ánh xạ ϕ có tính chất kết hợp (t.ư giao hoán) biến dạng ϕ : kY ⊗ kY −→ kY có tính chất kết hợp (t.ư giao hoán) z := ϕ(x, y) | z cấu trúc hệ số ϕ Cho γx,y ϕ khả đối ngẫu z ) ϕ vậy, tức (γx,y x,y,z∈Y thỏa mãn: ∀z ∈ Y , z (x, y) ∈ Y | γx,y =0 tập hữu hạn Mệnh đề 3.4 ([3]) Giả sử ϕ có tính chất khả đối ngẫu kết hợp Ta ký hiệu đối ngẫu nó, đối tích, ∆ (k Y , conc, 1Y ∗ , ∆ ϕ ϕ : kY −→ k Y ⊗ k Y Khi đó, Bϕ = , ) song đại số Hơn nữa, ϕ giao hốn ta có mệnh đề tương đương sau: Bϕ bao đóng song đại số Bϕ đẳng cấu với (k Y , conc, 1Y ∗ , ∆ , ) Với y ∈ Y chuỗi sau trở thành đa thức y+ l≥2 (−1)l−1 l y | ϕ(yk1 ykl ) yk1 ykl yk1 , ,ykl ∈Y 23 Kết luận Luận văn kết nghiên cứu tổng hợp lại kết nghiên cứu tác giả nhóm tác giả theo cách tiếp cận vấn đề Luận văn trình bày từ lý thuyết tảng đại số Hopf cấu trúc đại số xây dựng từ vựng với dạng khác tích quasi-shuffle Luận văn đạt kết cụ thể trình bày chi tiết ba chương sau: Chương Trình bày kiến thức sở tích ten-xơ, đại số Hopf số khái niệm tổ hợp từ từ vựng Chương Chúng tơi dành phần đầu để trình bày số đại số Hopf quen thuộc từ vựng, xây dựng từ tích ghép vào tích đan nghiên cứu Christohpe Reutenauer [11] cộng Phần chương tổng hợp chi tiết nghiên cứu đại số Hopf tích q -stuffle cuối chương chứng minh đẳng cấu hai cấu trúc đại số Chương Chúng phát thảo dạng tổng quát tích quasi-shuffle theo hàm biến dạng ϕ nghiên cứu vài trường hợp Do thời gian điều kiện cịn hạn chế nên luận văn chưa sâu tìm hiểu nghiên cứu số vấn đề liên quan sở đối ngẫu , sâu nghiên cứu tích ϕ-stuffle, cấu trúc đại số từ vựng thông qua tích quasi-shuffle khác ứng dụng Đây hướng mở luận văn này./ 24 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Văn Chiến, Bùi Văn Hiếu (2018) "Đại số tích đan dạng tương đương", Tạp chí khoa học cơng nghệ trường ĐH Khoa học Huế Tập 13 (số 1) [2] Trần Thị Hương Nhung (2017) "Cấu trúc đại số từ vựng", Khoá luận tốt nghiệp Đại học [3] Bùi Văn Chiến, Gérard H E Duchamp, and Hoang Ngoc Minh (2015) "(Pure) transcendence bases in ϕ-deformed shuffle bialgebras", arXiv:1507.01089 [cs.SC] [4] Bùi Văn Chiến, Gérard H E Duchamp, and Hoang Ngoc Minh (2017), Structure of polyzetas and explicit representation on transcendence bases of shuffle and stuffle algebras, J.Symbolic Comput, 83:93–111 [5] Bùi Văn Chiến, Gérard H E Duchamp, N Hoang, Hoang Ngoc Minh, C Tollu.-Combinatirics of ϕdeformed quasi-shuffle Hopf algebras, arXiv:1302.5391 [math.CO] [6] Bùi Văn Chiến (2016), Développement asymptotique des sommes harmoniques, PhD thesis, Laboratoire LIPN - Université Paris 13 [7] Bùi Văn Chiến, Gérard H E Duchamp, and Hoang Ngoc Minh (2015), Computation tool for the qdeformed quasi-shuffle algebras and representations of structure of MZVs ACM, Commun Comput Algebra, 49(4):117–120 [8] Bùi Văn Chiến, Gérard H E Duchamp, Hoang Ngoc Minh, Ladji Kane, and Cristophe Tollu (2016), Dual bases for noncommutative symmetric and quasi-symmetric functions via monoidal factorization, J Symbolic Comput, 75:56–73 [9] Bùi Văn Chiến, Gérard H E Duchamp, and Hoang Ngoc Minh (2013) Schă utzenbergers factorization on the (completed) Hopf algebra of q-stuffle product, JP J Algebra Number Theory Appl, 30(2):191–215 [10] Bùi Văn Chiến (9-2012), Hopf algebras of shuffle and quasi-shuffle and Construction of dual bases, Master’s thesis, Laboratoire LIPN - Université Paris 13 [11] Christohpe Reutenauer (1993).Free Lie algebras, volume of London Mathematical Society Monographs New serris The clarendon Press, Oxford University Press, New York Oxford Science Publications [12] Donald Knutson (1973), λ-rings and the representation theory of the symmetric group, Lecture Notes in Mathematics, Vol 308 Springer-Verlag, Berlin-New York [13] Kuo-Tsai Chen (1954), Iterated integrals and exponential homomorphisms, Proc London Math Soc (3), 4:502–512 [14] Michael E Hoffman (2000) Quasi-shuffle products.J Algebra Combin, 11(1):49–68) [15] Samuel Eilenberg and Saunders MacLane (1953), On the groups H(π , n) III Ann of Math.(2),60:513– 557 [16] Rimhak Ree (1958), Lie elements and an algebra associated with shuffles, Ann of Math (2),68:210–220 25 ... 5 5 6 10 Đại số Hopf tích q-stuffle 2.1 Đại số Hopf tích đan (shuffle product) 2.1.1 Cấu trúc đại số tích đan 2.1.2 Cấu trúc đối đại số tích đan 2.1.3 Cấu trúc song đại số tích đan... 2.2 Đại số Hopf tích q-stuffle 2.2.1 Định nghĩa tích q-stuffle 2.2.2 Cấu trúc đại số tích q-stuffle 2.2.3 Cấu trúc đối đại số tích q-stuffle 2.2.4 Cấu trúc song đại số tích. .. 2.1.1 Đại số Hopf tích đan (shuffle product) Cấu trúc đại số tích đan Trong phần ta kí hiệu A bảng chữ Q trường số hữu tỷ Đại số (Q A , conc, 1A∗ ) Ta ký hiệu conc ánh xạ tuyến tính mơ tả tích

Ngày đăng: 03/09/2020, 18:18

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Bảng các ký hiệu trong luận văn Ký hiệuÝ nghĩa (trang) - Đại số hopf của tích quasi – shuffle
Bảng c ác ký hiệu trong luận văn Ký hiệuÝ nghĩa (trang) (Trang 3)
Định nghĩa 1.10. 1. Một từ trên bảng chữ cá iA là một dãy hữu hạn các chữ cái của - Đại số hopf của tích quasi – shuffle
nh nghĩa 1.10. 1. Một từ trên bảng chữ cá iA là một dãy hữu hạn các chữ cái của (Trang 11)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w