Luật số lớn hai chỉ số

Luận văn hoàn thành Trường Đại học Đại học KHTN - ĐHQGHN Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Mảng phù hợp mảng hiệu martingale 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên 1.4 Một số dạng hội tụ mảng hai chiều biến ngẫu nhiên 1.5 Một số bổ đề 10 1.6 Khái niệm khả tích theo nghĩa Cesàro 15 Chương Luật số lớn hai số 16 2.1 Luật yếu số lớn 16 2.1.1 Luật yếu số lớn Feller 16 2.1.2 Luật yếu số lớn mảng khả tích 25 2.2 Luật mạnh số lớn 27 Kết luận 33 Hướng phát triển khóa luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học khoa học tự nhiên ĐHQGHN hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học học sống Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán Cơ - Tin, Phòng sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo Bộ môn Lý thuyết xác suất thống kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tác giả trình học tập hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng lực hạn chế nên khóa luận chắn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nguyễn Hữu Thành Mở đầu Luật số lớn đóng vai trò vô quan trọng Lý thuyết Xác suất Luật số lớn J.Bernoulli công bố vào năm 1713 Về sau kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, mở rộng Trong năm qua có hướng nghiên cứu luật số lớn mở rộng kết Luật số lớn trường hợp dãy (một số) cho trường hợp nhiều số Smythe (1972) thu luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều số biến ngẫu nhiên Luật số lớn Marcinkiewicz - Zygmund dãy nhiều chiều Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập Thời gian gần có nhiều báo nghiên cứu trường hợp hai số cho biến ngẫu nhiên thực nhận giá trị không gian Banach như: Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Quang, Nguyễn Văn Huấn, Lê Văn Thành, Trên sở nghiên cứu đề tài LUẬT SỐ LỚN HAI CHỈ SỐ Bố cục khóa luận gồm chương • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm không gian Banach p- trơn đều, không gian Banach p- khả trơn, khái niệm tính bị chặn ngẫu nhiên, khái niệm mảng phù hợp, mảng hiệu martingale, khả tích cấp r theo nghĩa Cesàro(r > 0) Đồng thời đưa số bổ đề chìa khóa để có kết Luật số lớn khóa luận • Chương Luật số lớn hai số Nội dung khóa luận trình bày chương này, bao gồn hai phần Phần 2.1 trình bày luật yếu số lớn Feller thiết lập điều kiện khả tích điều kiện đủ để thu Luật yếu số lớn tổng kép biến ngẫu nhiên có số ngẫu nhiên Phần 2.2 thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng hiệu martingale, luật số lớn kiểu Marcinkiewicz cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên Chương Kiến Thức Chuẩn Bị Trong toàn luận văn, ta giả sử (Ω, F , P ) không gian xác suất đầy đủ cố định Với a, b ∈ R, {a, b} max {a, b} kí hiệu a ∧ b a ∨ b Kí hiệu C số dương, số không thiết phải giống lần xuất Kí hiệu log logarit số log+ x = log (1 ∨ x) Với x ≥ 0, kí hiệu [x] số nguyên lớn không vượt x 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi không gian p-trơn (1 ≤ p ≤ 2) modun trơn ρ(τ ) thỏa mãn: ρ(τ ) = O(τ p ) (khi τ → 0) modun trơn định nghĩa: x+y + x−y ρ(τ ) := Sup − 1; x, y ∈ E, x = 1, y = τ Nhận xét 1.1.2 Đường thẳng thực R trường hợp đặc biệt không gian Banach p-trơn với p = Định lí sau Assouad đưa điều kiện cần đủ để không gian Banach khả ly X không gian Banach p-trơn Định lí 1.1.3 (Assouad) Không gian Banach khả ly X không gian Banach p-trơn (1 ≤ p ≤ 2) với q ≥ 1, tồn số C > cho với martingale {Sn , Fn , n ≥ 1} nhận giá trị X có: n E Sn p Si − Si−1 ≤ CE p q/ p (1.1) , ∀n ∈ N i=1 (Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund) Định lí 1.1.4 (Assouad, Hoffmann Jørgensen) Không gian Banach nhận giá trị thực X p-trơn (1 ≤ p ≤ 2) tồn số dương L cho với x, y ∈ X , ta có: p x+y + x−y p ≤2 x p +L y (1.2) p Hơn nữa, E không gian p-trơn (1 < p ≤ 2) không gian r-trơn ≤ r < p Chi tiết ta có đánh giá sau: ( x+y r p p + x − y r ) r ≤ r−1 (2 x p + C y p ) ≤ (2 x r p + C y r) r Định nghĩa 1.1.5 Không gian Banach E gọi không gian p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2) tồn chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu cho E với chuẩn trở thành không gian p-trơn 1.2 Mảng phù hợp mảng hiệu martingale Cho (Ω, F , P ) không gian xác suất, X không gian Banach khả li B(X ) σ - đại số tất tập Borel X Mảng chiều {Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} σ - đại số F với số N x N Khi mảng chiều {Xmn , Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi mảng phù hợp thỏa mãn điều kiện sau (1) Xmn Fmn /B(X ) đo (2) Với n ∈ N m2 > m1 Fm1 n ⊂ Fm2 n với m ∈ N n2 > n1 Fn1 m ⊂ Fn2 m Kí hiệu F∞n = σ ( m≥1 Fmn ) , Fm∞ = σ ( n≥1 Fmn ) ∗ = σ (Fm−1,∞ ∪ F∞,n−1) Ta quy ước F0,∞ = F∞,0 = {φ, Ω} Fmn Một mảng phù hợp {Xmn , Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi mảng hiệu ∗ martingale nếu: E {Xmn |Fmn } = 0, ∀m, n ∈ N Ví dụ sau cho thấy tồn khái niệm mảng hiệu martingale Ví dụ 1.2.1 Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập có kì vọng Với m ≥ 1, n ≥ 1, gọi Fmn σ - đại số sinh ∗ Xmn , E {Xmn |Fmn } = EXmn = {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} lập thành mảng hiệu martingale Ví dụ 1.2.2 Cho dãy (Xn , Fn, n ≥ 1) hiệu martingale (Xn , n ≥ 1) không độc lập Với n ≥ 1, đặt Xmn = Xn m = Xmn = m > 1; Fmn = Fn , m ≥ Ta có Xmn ∈ Fmn , ∀m, n ≥ ∞ ∗ Fmn = Fn−1, m = ∗ 1; Fmn Fn m > =σ n=1 Khi {Xmn , Fmn, m ≥ 1, n ≥ 1} mảng hiệu martingale không mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng Từ hai ví dụ ta thấy tập hợp tất mảng hiệu martingale thực rộng tập hợp tất phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên Mảng phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} gọi bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X tồn số C < ∞ thỏa mãn: P { Xmn > t} ≤ CP { X > t} , ∀t ≥ 0, m ≥ 1, n ≥ (1.3) Nhận xét 1.3.1 Nếu {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên phân phối bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X11 C=1 1.4 Một số dạng hội tụ mảng hai chiều biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.4.1 Ta nói mảng {xmn} ⊂ E hội tụ tới x ⊂ E m ∨ n → ∞ với ε > tồn số nguyên dương n0 cho với (m, n) ∈ N2 mà m ∧ n ≥ n0 xmn − x < ε Định nghĩa 1.4.2 1) Mảng biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X m ∧ n → ∞ với ε > 0,    lim P sup Xkl − X > ε = m∧n→∞ Khi đó, ta kí hiệu  k≥m l≥n lim Xn = X h.c.c Hoặc Xn → X h.c.c m ∧ n → m∧n→∞ ∞ 2) Cho mảng biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1}, đặt m n Smn = Xkl Chuỗi k=1 l=1 ∞ ∞ m=1 n=1 Xmn gọi hội tụ hầu chắn Smn hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên E- giá trị m ∧ n → ∞ Khi đó, ta nói ∞ ∞ m=1 n=1 Xmn hội tụ h.c.c Định nghĩa 1.4.3 Mảng biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X m ∧ n → ∞ với ε > 0, lim P ( Xmn − X > ε) = m∧n→∞ P Khi đó, ta kí hiệu Xmn → X m ∧ n → ∞ Do (2.4) nên để chứng minh Bmn → m ∧ n → ∞ ta cần chứng minh    P max  1≤k≤u a m mn  k l (V ′ mnij − Cmnij ) > i=1 j=1 1≤l≤vm ta có   ε 2  → m ∧ n → ∞ E (V ′ mnij − E (V ′ mnij |Fij ) |Fij ) = với m ≥ 1, n ≥ 1, ≤ i ≤ um, ≤ j ≤ Áp dụng bất đẳng thức Markov bổ đề (1.5.2) ta P    max  1≤k≤um amn 1≤l≤vn k (V ′ mnij − Cmnij ) > i=1 j=1  2p  ≤ p p E  max 1≤k≤um ε amn 1≤l≤vn u m C ≤ p p ε amn i=1 l k i=1 j=1 ′ E Vmnij − Cmnij p 2  p l   ε   (V ′ mnij − Cmnij )  → m ∧ n → ∞ (do (2.6)) j=1 Định lí chứng minh hoàn toàn Định lí 2.1.4 Cho {Xij ; i, j ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p - khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2) Cho {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} , {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} hai mảng số dương cho amn ր ∞ bmn ր ∞ m ∨ n → ∞ Cho {kmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} mảng số nguyên dương cho kmn → ∞ m ∨ n → ∞ kmn → m ∨ n → ∞ apmn 21 (2.8) Giả sử tồn hàm không giảm nhận giá trị dương g [0, ∞) thỏa mãn ∞ a→0 j=1 Và kmn Sup p m≥1,n≥1 amn kmn −1 Nếu Sup Sup a>0 m≥1,n≥1 kmn Và Lim Sup a→∞ m≥1,n≥1 j gp Lim g (a) = 0, kmn j=1 um (2.9) g (a)} = (2.12) i=1 j=1 um i=1 j=1 Thì max 1≤k≤um 1≤l≤vn k amn l P (2.13) (Xij − Cmnij ) → m ∨ n → ∞ i=1 j=1 Hơn nữa, {Tn ; n ≥ 1} , {τn ; n ≥ 1} dãy đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (2.4), Tm amn τn P (2.14) (Xij − Cmnij ) → i=1 j=1 Trong Cmnij = E (Xij I ( Xij < g (kmn )) |Fij ) ′ Chứng minh Đặt bmn = g (kmn ) , Vmnij = Vij I ( Xij < bmn) Để chứng minh (2.13) ta chứng tỏ giả thiết định lí 2.1.1 thỏa mãn Từ (2.12) lấy a = kmn bmn = g (kmn ) (2.1) thỏa mãn Bây ta chứng tỏ điều kiện (2.2) thỏa mãn Vì g hàm không giảm nên apmn um E ′ Vmnij − Cmnij p ≤C i=1 j=1 22 apmn um ′ E Vmnij i=1 j=1 p (2.15) (bất đẳng thức Cr ) =C +C apmn p E Xij I ( Xij < g (1)) apmn um um i=1 j=1 ∞ E Xij I (g (l − 1) < Xij ≤ g (l)) p i=1 j=1 l=1 (2.16) = C.Mmn + C.Nmn Do (2.8), (2.9) (2.11), ta có Mmn = ≤ ≤ ≤ apmn apmn um apmn um ∞ E Xij I g 1/(l + 1) < Xij ≤ g 1/l i=1 j=1 l=1 um v ∞ gp P l gp (l − 1) i=1 j=1 l=1 v ∞ i=1 j=1 l=2 g p 1/l g p (1) + (l + 1) g − gp < Xij ≤ g P l   Sup Sup a>0 m≥1,n≥1  kmn ∞ kmn apmn l=1 → m ∨ n → ∞ Xij > g um l l aP { Xij > g (a)} i=1 j=1 (2.17) Với Nmn , ta có Nmn ≤ apmn um + apmn um vm vm kmn g p (l) P {g (l − 1) < Xij < g (l)} i=1 j=1 l=2 ≤ g p (1) p  um  apmn i=1 j=1 kmn −1  P { Xij > g (1)} (g p (l + 1) − g p (l)) P { Xij > g (l)} i=1 j=1 l=1 23    = g p (1) kmn −1 p  kmn  apmn kmn um i=1 j=1 p   P { Xij > g (1)} um vm  (g (l + 1) − g (l))  (lP { Xij > g (l)}) l i=1 j=1 l=1   um kmn = g p (1) p sup sup aP { Xij > g (a)} amn a>0 m≥1,n≥1 kmn i=1 j=1   um vm kmn −1 p p (g (l + 1) − g (l))  kmn lP { Xij > g (l)} + p amn l=1 l kmn i=1 j=1 + apmn Lại (2.8) (2.11) ta có   um kmn  sup sup aP { Xij > g (a)} → m ∨ n → ∞ p amn a>0 m≥1,n≥1 kmn i=1 j=1 Mặt khác từ (2.10) (2.12) bổ đề Toeplitz ta có   u kmn −1 v m m (g p (l + 1) − g p (l))  kmn lP { Xij > g (l)} p amn l kmn i=1 j=1 l=1 → m ∨ n → ∞ Nmn → m ∨ n → ∞ (2.18) Từ (2.15) , (2.17) (2.18) suy giả thiết (2.2) thỏa mãn Theo định lí 2.1.1 ta thu kết (2.13) Áp dụng định lí 2.1.3 ta có kết (2.14) Định lí chứng minh hoàn toàn Hệ 2.1.5 Cho ≤ p ≤ < r < p Cho {Xij ; i, j ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p - khả trơn X Giả sử {Vmn ; m, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X Nếu Lim aP { X r > a} = a→∞ 24 max p 1≤k≤m (mn) 1≤l≤n k l P (Xij − Cmnij ) → m ∨ n → ∞ (2.19) i=1 j=1 Trong r Cmnij = E (Xij I ( Xij ≤ mn) |Fij ) 1 Chứng minh Lấy g (t) = t /r , un = = n, kmn = mn amn = (mn) /r điều kiện (2.8) , (2.9), (2.11) (2.12) thỏa mãn Mặt khác, từ bất đẳng thức kmn p p −1 r ,suy điều kiện (2.10) l r −2 ≤ C.kmn l=1 thỏa mãn Do ta thu kết (2.19) Hệ 2.1.6 Cho < r < Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy đại lượng ngẫu nhiên bị chặn phần tử ngẫu nhiên đại lượng X Nếu Lim aP {|X|r > a} = a→∞ 1 max n r 1≤l≤n l P (Xj − E (Xj I (|Xj |r ≤ n) |Fj )) → n → ∞ j=1 Fj = σ (Xj , ≤ i ≤ j) 2.1.2 Luật yếu số lớn mảng khả tích Định lí 2.1.7 Cho ≤ r < p ≤ {Xmn ; m, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p - khả trơn X Giả sử {Xmn ; m, n ≥ 1} khả tích cấp r theo nghĩa Cesàro Cho {Tn; n ≥ 1} {τn ; n ≥ 1} dãy đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương cho Lim P {Tn > un } = Lim P {τn > un} = n→∞ n→∞ 25 (2.20) Tm 1 r kmn τn P (2.21) (Xij − E (Xij |Fij )) → m ∧ n → ∞ i=1 j=1 Chứng minh Với ε > tùy ý   Tm τn   (Xij − E (Xij |Fij )) > ε P   k 1/r mn   ≤P   k /r Tm  τn i=1 j=1 mn i=1 j=1 (Xij − E (Xij |Fij )) > ε   (τn ≤ )  (Tm ≤ um ) (2.22) +P {Tm > um } + P {τn > vn} Với m, n, ≤ i ≤ um , ≤ j = vn, đặt V ′mnij = Xij I ( Xij r ≤ kmn ) , V ′′mnij = Xij I ( Xij r > kmn) U ′mnij = E V ′mnij |Fij , U ′′mnij = E V ′′mnij |Fij Ta có   P   k /r Tm  τn mn i=1 j=1 ≤P   um (Xij − E (Xij |Fij )) > ε   1/r  kmn i=1 j=1 k i=1 j=1   =P max max  k 1/r 1≤k≤um 1≤l≤vn mn   max max ≤P  k 1/r 1≤k≤um 1≤l≤vn mn l k (Tm ≤ um )   (τn ≤ )     (Xij − E (Xij |Fij )) > ε  l (Xij − E (Xij |Fij )) > ε i=1 j=1 k l V ′mnij − U ′mnij i=1 j=1 26 > ε/2         +P max max  k 1/r 1≤k≤um 1≤l≤vn k V ′′mnij − U ′′mnij i=1 j=1 mn C ≤ p p ε kmn C ≤ r ε kmn ≤ +  um E V ′mnij − U ′mnij E V ′′mnij − U ′′mnij r (theo bổ đề 1.5.2) i=1 j=1 C p/r εp kmn   um E Xij p I ( Xij C p/r εp kmn  r i=1 j=1 r j=1  um > kmn ) ( theo bất đẳng thức Cr ) i=1 j=1 um ≤ kmn )  E Xij p I ( Xij C sup εr m≥1,n≥1 kmn  E Xij r I ( Xij ≤ p   ε > /2  i=1 j=1 C  εr kmn i=1 + um um l r ≤ kmn ) E Xij r I ( Xij i=1 j=1  r  > kmn ) → m ∧ n → ∞(do bổ đề 1.5.1 với β = p (1.13)) (2.23) Vì từ (2.20) , (2.22) (2.23) ta có kết luận (2.21) 2.2 Luật mạnh số lớn Trong phần thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p- trơn Đầu tiên luật mạnh số lớn cho mảng hiệu martingale 27 Định lí 2.2.1 Cho α > 0, β > < p ≤ Cho {Xij ; ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} họ m.n phần tử ngẫu nhiên không gian Banach khả li Khi < p ≤ ta giả thiết thêm {Xij , Fij ; ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} mảng hiệu martingale không gian Banach p- trơn Nếu ∞ ∞ i=1 j=1 Thì m α m nβ E Xij p p < ∞ (iα j β ) (2.24) n (2.25) Xij → h.c.c m ∨ n → ∞ i=1 j=1 Chứng minh Đặt m n Smn = Xij , Tkl = i=1 j=1 max 2k ≤m≤2k+1 2l ≤n≤2l+1 S2 k l Smn − mα nβ (2αk 2βl ) với ε > theo bất đẳng thức Markov ta có ∞ 2k i=1 ∞ ≤C k=1 l=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ≤C i=1 j=1 k=[log i] l=[log j] ∞ ∞ ≤C i=1 j=1 p 2l j=1 E Xij p (2αk 2βl ) E Xij p p ≤C (2αk 2βl ) ∞ (do(1.7)) ∞ i=1 j=1 E Xij p 2α[log i] 2β[log j] p E Xij p p < ∞ (theo 2.24) (iα j β ) theo bổ đề 1.5.1 ta có S2 k l → h.c.c k ∨ l → ∞ (2αk 2βl ) (2.26) tiếp theo, với ε > tùy ý, ta có P {|Tkl | > ε} ≤ P ε S2 k l > αk βl (2 ) 28 +P    max k+1  2kl≤m (2αk 2βl ) ≤P ≤P ≤ 2p p E S2 k l (2αk 2βl ) εp +P p +   ε Smn > k+1 (2αk 2βl )  2 2kl≤m S2 k l       max ≤n αp nβp m m=1 n=1 m (2.29) n Xij i=1 j=1 mα nβ (2.30) → h.c.c Lp với m ∨ n → ∞ Chứng minh Từ ∞ p 2l X ij j=1 αk 2βl 2k i=1 ∞ E k=1 l=1 ∞ ∞ ≤C 2k i=1 k=1 l=1 p 2l j=1 E Xij p (2αk 2βl ) (theo bổ đề 1.5.2) ∞ ∞ ≤C k=1 l=1 E Xij p p < ∞ theo (2.29) (iα j β ) (2.31) theo bổ đề 1.5.3, ta suy 2k i=1 2l j=1 Xij 2αk 2βl Đặt m → h.c.c k ∨ l → ∞ n Smn = Xij , m ≥ 1, n ≥ i=1 j=1 Và Tkl = max S2 k l Smn − mα nβ 2αk 2βl với k ≥ 1, l ≥ 2k ≤m[...]... trong tài liệu [13] 15 Chương 2 Luật số lớn hai chỉ số 2.1 Luật yếu số lớn Trong chương nay chúng tôi thiết lập luật yếu số lớn Feller cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên E- giá trị với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên, luật yếu số lớn đối với tổng có chỉ số ngẫu nhiên đối với mảng hai chiều dưới điều kiện khả tích 2.1.1 Luật yếu số lớn Feller Định lí 2.1.1 Cho {Xij ; i, j ≥ 1} là mảng các phần... về Luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Kết quả chính của khóa luận là: 1 Thiết lập luật yếu số lớn Feller và luật yếu số lớn dưới điều kiện khả tích đều đối với mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 2 Thiết lập được luật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale, đó là định lý 2.2.1 Luật. .. → ∞(do bổ đề 1.5.1 với β = p và (1.13)) (2.23) Vì vậy từ (2.20) , (2.22) và (2.23) ta có kết luận (2.21) 2.2 Luật mạnh số lớn Trong phần nay chúng tôi sẽ thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach p- trơn đều Đầu tiên là luật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale 27 Định lí 2.2.1 Cho α > 0, β > 0 và 0 < p ≤ 2 Cho {Xij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j... các số nguyên dương sao cho lim kmn = m∨n→∞ lim umn = m∨n→∞ lim vmn = ∞ m∨n→∞ Bổ đề 1.6.1 (xem [13]) Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên khả tích {Xij , i ≥ 1, j ≥ 1} là khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro Khi đó, nếu r < β thì 1 β/ kmnr um vn E Xij β I ( Xij r ≤ kmn ) → 0 khi ∨ n → ∞ (1.14) i=1 j=1 Chứng minh của bổ đề trên xem tại bổ đề 2.1.2 trong tài liệu [13] 15 Chương 2 Luật số lớn hai chỉ số. .. kiểu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz cho mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên Định lí 2.2.3 Cho 1 < r < p ≤ 2 và {Xmn , Fmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng phù hợp trong không gian Banach p-trơn đều X Giả sử {Xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử X Nếu E X r log+ X < ∞ thì m 1 (mn) 1/r n → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ (2.33) Xij − E Xij Fij∗ i=1 j=1 Chứng minh Gọi F là hàm phân phối của X , d (k) là số. .. Thiết lập được luật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale, đó là định lý 2.2.1 Luật mạnh số lớn kiểu Marcinkiewicz- Zygmund được thiết lập trong định lý 2.2.3 3 Hướng phát triển khóa luận: Sử dụng khái niệm mảng các hiệu martingale để thiết lập các định lý hội tụ theo trung bình, đặc biệt là các luật số lớn Mở rộng các kết quả cho mảng đa trị 33 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Duy Tiến... l =  l Xij p  E Xij p i=1 j=1 Bổ đề 1.5.5 (xem [12]) Cho k là số nguyên dương Gọi d (k) là số ước số dương của k Khi đó ta có ∞ (1) log i d (k) , ∀p > r > 0 ≤C p p r r −1 k (i + 1) k=i+1 14 (1.11) p n (2) k=1 1 d (k) ≤ C.n1− r log n, ∀r > 1 1 k /r (1.12) Chứng minh của bổ đề trên có thể tìm thấy từ bổ đề 4 và 5 trong [12] hoặc một số tài liệu về giải tích 1.6 Khái niệm khả tích đều theo nghĩa Cesàro... ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p - khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2) Cho {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} , {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các số dương sao cho amn ր ∞ và bmn ր ∞ khi m ∨ n → ∞ Cho {kmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số nguyên dương sao cho kmn → ∞ khi m ∨ n → ∞ và kmn → 0 khi m ∨ n → ∞ apmn 21 (2.8) Giả sử tồn tại hàm không giảm nhận giá trị dương g trên [0, ∞) thỏa... bị chặn bởi phần tử ngẫu nhiên bởi đại lượng X Nếu Lim aP {|X|r > a} = 0 a→∞ thì 1 1 max n r 1≤l≤n l P (Xj − E (Xj I (|Xj |r ≤ n) |Fj )) → 0 khi n → ∞ j=1 trong đó Fj = σ (Xj , 1 ≤ i ≤ j) 2.1.2 Luật yếu số lớn đối với mảng khả tích đều Định lí 2.1.7 Cho 1 ≤ r < p ≤ 2 và {Xmn ; m, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p - khả trơn X Giả sử {Xmn ; m, n ≥ 1} khả tích... đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X khi |n| → ∞ nếu Định nghĩa 1.4.4 Mảng các biến ngẫu nhiên E- giá trị p lim E Xn − X |n|→∞ =0 Lp Khi đó, ta kí hiệu Xn → X khi |n| → ∞ 1.5 Một số bổ đề Bổ đề 1.5.1 Giả sử {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên (1) Với ε > 0 bất kì, nếu ∞ ∞ P ( Xmn > ε) < ∞ m=1 n=1 thì Xmn → 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞ (2) Với p > 0, nếu ∞ ∞ E Xmn p ... Chương Luật số lớn hai số 2.1 Luật yếu số lớn Trong chương thiết lập luật yếu số lớn Feller cho mảng hai chiều biến ngẫu nhiên E- giá trị với số ngẫu nhiên không ngẫu nhiên, luật yếu số lớn tổng... nghiên cứu luật số lớn mở rộng kết Luật số lớn trường hợp dãy (một số) cho trường hợp nhiều số Smythe (1972) thu luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều số biến ngẫu nhiên Luật số lớn Marcinkiewicz... cứu Luật yếu số lớn luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều phần tử ngẫu nhiên không gian Banach p-trơn Kết khóa luận là: Thiết lập luật yếu số lớn Feller luật yếu số lớn điều kiện khả tích mảng hai