Đặc trưng Chern của nhóm Lie compact

Mục lục Mở đầu Cấu trúc nhóm Lie compact 1.1 Các khái niệm 1.2 Cấu trúc đại số nhóm Lie compact 1.3 Đối đồng điều nhóm Lie compact 1.4 K - nhóm nhóm Lie compact 11 18 Đặc trưng Chern nhóm Lie compact 22 2.1 Đặc trưng Chern SU(n+1) 22 2.2 Đặc trưng Chern SO(2n+1) 23 2.3 Đặc trưng Chern SO(2n+1) với n = 1,2,3 24 Kết luận luận văn 28 Tài liệu tham khảo 29  Mở đầu Bài toán nghiên cứu cấu trúc nhóm Lie compact toán quan trọng Đại số nói riêng Toán học nói chung Các cách tiếp cận thông thường đưa tới hai lý thuyết: K lý thuyết Atiyah-Singer lý thuyết đối đồng điều de Rham Hàm tử liên quan hai lý thuyết đặc trưng Chern Đặc trưng Chern xuất nhiều toán Toán học Vật lý học Vì việc tính đặc trưng Chern toán nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Khi X X không gian tôpô, H (X) nhóm đồng điều với hệ số hữu tỷ mô tả tích phân de Rham, đại diện dạng vi phân với độ sai khác tới vi phân toàn phần, lấy tích phân theo chu trình tương ứng ta nhận giá trị số Mặt khác X K (X) K nhóm không gian tôpô có phần tử sinh với đại diện phân thớ véctơ Khi đặc trưng Chern X đồng cấu ch : K (X) H (X) Trong trường hợp điều de Rham G nhóm Lie compact, ký hiệu HDR (G; Q) nhóm đồng Z/(2) phân bậc với hệ số hữu tỷ, K (G) K nhóm G Khi đặc trưng Chern G đồng cấu ch : K (G) Q HDR (G; Q) Bằng phương pháp sử dụng lý thuyết biểu diễn có trọng trội nhóm Lie compact, năm 1994 T Watanabe, L Hodgkin, R Held, U Stuter H Minamin lần tính đặc trưng Chern cho nhóm Lie compact SU (n + 1) Sp(n) Ngoài trường hợp trên, việc tính đặc trưng Chern nhóm Lie compact toán mở Bản luận văn dựa vào kết biết đặc trưng Chern đặc biệt công trình On the Chern characters of symmetric spaces related to SU (n), J Math.Kyoto Univ (JMKYAZ), 34 -1 (2004) 149 - 169 tác giả T Watanabe để tính đặc trưng Chern nhóm Lie compact SO(2n+1) Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo Danh mục công trình liên quan đến luận văn, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Cấu trúc nhóm Lie compact Trong chương này, hệ thống kiến thức liên quan như: Khái niệm nhóm Lie, đại số Lie, lý thuyết biểu diễn, cấu trúc đại số nhóm Lie compact, nhóm đối đồng điều, xây dựng đối đồng điều K- nhóm nhóm Lie compact Chương 2: Đặc trưng Chern nhóm Lie compact Đây nội dung Luận văn Trước hết trình bày kết biết đặc trưng Chern nhóm Lie compact SU (n + 1) Cuối sử dụng kết biết đặc trưng Chern nhóm Lie compact để tính đặc trưng Chern cho nhóm Lie compact mô tả chi tiết cho trường hợp SO(2n + 1) n = 1, 2, Luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn Thầy, người đặt toán, tận tình dẫn cho tác giả học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tác giả chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán học, Phòng đào tạo Sau đại học, Tổ Đại số Quý Thầy, Quý Cô Chuyên ngành Đại số Lý Thuyết số nói riêng Chuyên ngành khác nói chung tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học viên cao học, giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành Luận văn Tác giả chân thành cảm ơn bạn Lớp CH19, Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, bạn đồng nghiệp giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô bờ bến đến cha mẹ, đặc biệt người cha cố tác giả, mong đợi tác giả thành đạt đường học vấn Cảm ơn hy sinh vợ - niềm tin, chỗ dựa tinh thần vững ! để tác giả vượt qua khó khăn hoàn thành chương trình học tập Xin trân trọng kính tặng Gia đình thân yêu quà tinh thần với lòng biết ơn chân thành Do lực nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý nhà khoa học đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện tốt Nghệ An, ngày 28 tháng năm 2013 Tác giả " Chương Cấu trúc nhóm Lie compact Trong Chương này, trước hết trình bày khái niệm nhóm Lie, đại số Lie, lý thuyết biểu diễn, đặc biệt cấu trúc nhóm Lie compact Sau dựa khái niệm trình bày để xây dựng đối đồng điều K nhóm nhóm Lie compact cụ thể SU (2n), Sp(n), SU (n + 1), SO(n + 1) SO(2n + 1) 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Tập hợp i) L gọi đại số Lie nếu: L không gian véctơ trường K ii) Cùng với ánh xạ : L ì L L, xác định (x, y) = [x, y] thỏa mãn điều kiện a Tính phản xứng b Là dạng song tuyễn tính c Thỏa mãn đẳng thức Jacoobi [[x, y], z] = [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = # 1.1.2 Định nghĩa Tập hợp i) ii) G gọi nhóm Lie, nếu: G nhóm trừu tượng G đa tạp khả vi : G ì G G iii) Các ánh xạ : G G x x1 (x, y) xy ánh xạ trơn 1.1.3 Định nghĩa Cho G nhóm Lie, thành phần liên thông đơn vị e G ký hiệu G0 , định nghĩa sau: G0 = {g G \ g(t) cho g(0) = e, g(1) = g} Từ định nghĩa, ta có: +) G0 vừa đóng, vừa mở +) G0 nhóm Lie nhóm Lie Trước hết ta thấy chứng minh Giả sử G0 G Thật vậy: đa tạp con, nhóm G0 vừa đóng, vừa mở G Bây ta G g1 , g2 G, theo định nghĩa G0 ta có: Tồn đường cong g1 (t) g1 (0) cho G0 G = e, g1 (1) = g tồn đường cong g2 (t) g2 (0) = e, g2 (1) = g Bây ta thấy đường cong g11 g2 (t) nối g11 g2 g11 g2 (1) = g11 (g2 (t)) = g11 g2 với cho e, tức là: g11 g2 (0) = g11 (g2 (0)) = g11 (e) = e Do g11 g2 G0 Vậy G0 G Tóm lại: G0 nhóm Lie nhóm Lie 1.1.4 Định nghĩa Giả sử Aut(V ) V C là nhóm tự đẳng cấu đồng cấu T : G Aut(G) G không gian véctơ hữu hạn chiều Ký hiệu V Một biểu diễn nhóm hữu hạn Biểu diễn ký hiệu (V, T ) G Khi đó: dim(T ) = dim(V, T ) = dimC V Nếu (V, T ) biểu diễn nhóm hữu hạn G, ta xem V Gmôđun 1.1.5 Định nghĩa Hai biểu diễn toán tử (V, T ) (W, S) gọi tương đương, tồn A Iso(V, W ) cho sơ đồ sau giao hoán $ A V W T (g) S(g) có nghĩa hiệu là: g G, ta có V W AT (g) = S(g)A Hai biểu diễn tương đương ký (V, T ) (W, S) 1.1.6 Định nghĩa Giả sử tác động Biểu diễn Ký hiệu: (V, T ) biểu diễn G V1 V Ta nói V1 bất biến G (hay G bất biến) T (g)V1 V1 , với g G (V1 , T ) biểu diễn biểu diễn (V, T ) (V1 , T ) = (V1 , T /V1 ) < (V, T ) Biểu diễn (V1 , T1 ) biểu diễn tầm thường V1 không gian véctơ tầm thường Biểu diễn (V, T ) biểu diễn bất khả quy, biểu diễn tầm thường 1.1.7 Mệnh đề Giả sử quy Chứng minh: Vì (V, T ) (W, S) G Khi biểu diễn (V, T ) bất khả (W, S) bất khả quy (V, T ) (W, S) tồn toán tử A Iso(V, W ), cho sơ đồ sau giao hoán A V W T (g) S(g) V W có nghĩa g G, ta có S(g) = AT (g)A Giả sử W1 W, lấy ảnh qua A1 V Vì (V, T ) bất khả quy V1 1.1.8 Định nghĩa Cho hai biểu diễn ta Do V1 biểu diễn biểu diễn tầm thường (V, T ) hai biểu diễn xác định sau: V1 V (W, S) nhóm G, tổng (V, T ) + (W, S) = V W, T S, (T S)(g) = T (g) S(G) (V, T ) (W, S) hai biểu diễn nhóm G, ta nói (V, T ) bội (W, S) tồn không gian véc tơ X cho: V = W X Khi dim(X) Giả sử gọi bội (W, S) (V, T ) % 1.2 Cấu trúc đại số nhóm Lie compact Trong tiết tác giả trình bày hệ thống lại khái niệm hệ nghiệm, trọng trội, xuyến cực đại nhóm Lie compact để nhằm phục vụ cho việc tính toán sau Những khái niệm trình bày dạng định nghĩa, hệ thống lại tính chất dạng Định lý, Mệnh đề, Hệ đưa Ví dụ minh họa 1.2.1 Định nghĩa Giả sử V K không gian véctơ tập hữu hạn, sinh không gian ii) Đối với véc tơ vuông góc với iii) Đối với chuyển tập , S qua mặt phẳng, qua gốc V gọi hạng hệ nghiệm V gọi hệ rút gọn, cộng tuyến với chứa hai nghiệm có dạng Ngược lại không chứa véctơ không , ta có: S () = n, với n Z gọi nghiệm không gian Hệ nghiệm V vào Khi chiều không gian véc tơ V tồn phép đối xứng tập V, thỏa mãn điều kiện sau: gọi hệ nghệm không gian véc tơ i) t trong Định nghĩa 1.2.1, ta có nghiệm , phần tử , nghiệm hệ rút gọn, < t < t = , Khi theo tính chất iii), nghiệm cộng tuyến với có dạng: , /2, /2, 1.2.2 Sự xếp tương đối hai nghiệm Giả sử n(x, y) := x, y hai nghiệm tùy ý Đặt 2y cos x góc x y, (x, y) = n xk yk Do k=1 n(y, x) := 2y 2x 2x cos = n(x, y).n(y, x) = cos cos = cos2 y x y Sau ta đưa bảng cho biết vị trí tương đối hai nghiệm bất kỳ: n(x, y) = 0, n(y, x) = 0, = /2 & n(x, y) = 1, n(y, x) = 1, = /3 n(x, y) = 1, n(y, x) = 2, = /4 n(x, y) = 1, n(y, x) = 3, = /6 n(x, y) = 1, n(y, x) = 3, = 2/3 n(x, y) = 1, n(y, x) = 2, = 3/4 1.2.3 Mệnh đề Hệ nghiệm y = x y = 2x bất biến với tất phép đối xứng xV 1.2.3 Định nghĩa Véctơ gọi quy S (x, y) = 0, y T = {tập hợp tất véc tơ quy V } Khi Đặt T = {x \ (x, xi ) = 0, i Nếu ta cố định nón C= = 1.2.4 Mệnh đề Hệ nghiệm = ii) 1.2.5 Mệnh đề Mọi nghiệm nghiệm đơn xi } gọi nón : gọi hệ nghiệm đơn V hệ nghiệm đơn khi: x, y x tổ hợp tuyến tính hệ số nguyên dấu Có nghĩa: : hệ nghiệm với hệ số âm > sinh phép đối xứng S , đó: Nhóm hệ nghiệm tương S = {1 , , ã ã ã , n } , V nhóm tuyến tính đầy G đại số Lie phức nửa đơn, B đại số Cartan hợp nghiệm dương Với + ta chọn hai phần tử X G và + tập X G [X , Y ] = H 1.2.7 Định nghĩa Giả sử B Ký hiệu V w hệ nghiệm không gian véc tơ ứng Ta cố định hệ nghiệm sở gian + GL(V ) gọi nhóm Weyl hệ nghiệm cho : hệ nghiệm với hệ số dương 1.2.6 Định nghĩa Giả sử Giả sử = + W =< S \ : gọi buồng Weyl 2(x, y) N = Z\N, (x, x) sở V i) đủ y = x y = 2x y = 3x V G môđun w B dạng tuyến tính không không gian gồm phần tử v V, cho Hv = w(H)v, H B Mỗi phần tử thuộc không gian ta nói có trọng w Thứ nguyên dim(V n ) gọi bội w Một dạng W gọi trọng không gian ' V, V W = Khi V = W w 1.2.8 Định nghĩa i) ii) T T phép phân tích thành không gian nghiệm T gọi là nhóm G, nếu: G xuyến với nhóm 1.2.9 Ví dụ Giả sử U G T U T = U G = SU (2n) Khi xuyến cực đại G có dạng i1 { e ei2 T = Chứng minh xuyến cực đại } 2n i = \ e i2n i=1 Như ta biết SU (2n) = {X M at2n (C) \ XX = X X = I2n , det(X) = 1} Giả sử a11 a21 A SU (2n), không tính tổng quát, giả sử A = a12 a22 a12n a22n a2n1 a2n2 a2n2n Vì T SU (2n), ta có T A = A T det(T ) = Mặt khác T = T , TA = AT, i1 e ei2 T.A = = i1 a11 e e a12 ei1 a11 a 21 i2n a12 a22 a12n a22n a2n1 a2n2 a2n2n a12n ei1 a2n1 ei2n a2n2 ei2n a2n2n ei2n a11 a21 a12 a22 ei1 a12n ei2 a22n 0 A.T = i2n a a a2n2n 0 e 2n1 i 2n2 i i a11 e a12 e a12n e = a2n1 ei2n a2n2 ei2n a2n2n ei2n Vì T SU (2n), theo ta có: AT = T A det(T ) = Do ta chọn  1.3.4 Đối đồng điều nhóm Lie compact SU(2n + 1) đồng điều nhóm Lie compact Để xây dựng SU (2n + 1), trước hết ta định nghĩa ánh xạ s1 : SU (2n + 1) SU (2n + 1) xác định bởi: s1 (A) = A, với A SU (2n + 1) A liên hợp A Chọn xuyến cực đại T SU (2n + 1) cho s1 (T ) T , , ã ã ã ã ã ã , 2n : L(T ) R Khi chọn hệ nghiệm hệ nghiệm đơn định tích vô hướng xác L(T ) = HomR (L(T ); R) sau: (i , i ) = i 2n (i , i+1 ) = i < 2n(i , j ) = với i = j Vậy s1 H (BT ; Q) = Q[1 , , ã ã ã ã ã ã , 2n ] Ký hiệu s1 : T T hạn chế T Theo [9] ta có Bs1 : H (BT ; Q) H (BT ; Q) xác định Giả sử Bs1 (i ) = 2n+1i i = 1, 2n w1 , w2 , ã ã ã ã ã ã , w2n (1.14) trọng trội xác định , , ã ã ã ã ã ã , 2n Khi ta có i1 wi = (1/2n + 1))((2n + i) +i j=1 H (BT ; Z) = Z(w1 , w2 , ã ã ã ã ã ã , w2n Do 2n (2n + j)j (1.15) j=i Từ (1.14) (1.15) ta có: Bs1 : H (BT ; Z) H (BT ; Z) xác định Bs1 (wi ) = w2n+1i , i = 1, 2n Giả sử (1.16) Ri phép chiếu vuông góc L(T ) tương i Khi tác động W (SU (2n + 1)) H (BT ; Z xác định R1 (w1 ) = w1 + w2 Ri (wi ) = wi1 wi + wi+1 R2n (w2n ) = w2n1 w2n { Đặt ti = Ri1 (ti1 ) = wi1 + wi t2n+1 = R2n (t2n ) = w2n i = 2, 2n i = 2, 2n # Khi H (BT ; Z) = Z[t1 , t2 , ã ã ã ã ã ã , t2n+1 ]/(c1 ), với (c1 ) = (t1 , t2 , ã ã ã ã ã ã , t2n+1 ]/(c1 ) Từ (1.16), ta có: Giả sử Bs1 (ti ) = t2n+2i i = 1, 2n + ci+1 = i+1 (t1 , t2 , ã ã ã ã ã ã , t2n+1 H 2i+2 (BT ; Z) Khi H (BT ; Z)W (SU (2n+1)) = Z[c2 , c3 , ã ã ã ã ã ã , c2n+1 ] từ (1.17) ta có : Bs1 (ci+1 = (1)i+1 ci+1 với i = 1, 2n (1.18) Theo [2], ta có H (BSU (2n + 1); Z) = H (BT ; Z)W (SU (2n+1)) = Z[c1 , c2 , ã ã ã ã ã ã , c2n+1 ] Giả sử x2i+1 = (ci+1 ) H 2i+1 (SU (2n + 1); Z) Khi ta có H (SU (2n + 1); Z) = Z (x3 , x5 , ã ã ã ã ã ã , x4i+1 ) (1.19) 1.3.5.Mệnh đề s1 : H (SU (2n + 1); Z H (SU (2n + 1); Z xác định bởi: Chứng minh Ta có s1 (x2i+1 ) = (1)i+1 x2i+1 i = 1, 2n s1 (x2i+1 ) = s1 ( (ci+1 )) = (Bs1 (ci+1 )) = ((1)i+1 (ci+1 ) = (1)i+1 (ci+1 ) = (1)i+1 x2i+1 1.3.6 Đối đồng điều nhóm Lie compact SO(2n + 1) Chọn T xuyến cực đại SO(2n + 1) cho i1 (T ) T, i1 : SO(2n + 1) SU (2n + 1) phép nhúng tự nhiên Khi lấy hệ nghiệm: , , ã ã ã ã ã ã , n : L(T ) R xác định tích vô hướng (, ) sau: (i , i ) = i < n (n , n ) = ( , ) = với i n i i+1 (i , j ) = với i = j Khi H (BT ; Q) = Q[1 , , ã ã ã ã ã ã , n ] Ký hệu i1 : T T i1 T Theo [9], ta có Bi1 : H (BT ; Q) H (BT ; Q) $ hạn chế cho Bi1 (i ) = i = Bi1 (2n+1i ) với i = 1, n Giả sử , , ã ã ã ã ã ã , n (1.20) dãy trọng số giới hạn , , ã ã ã ã ã ã , n Khi có wi = i1 2n j + i j=1 j=i n i wn = (1/2) jj (1.21) j=1 Vậy H (BT ; Z) = [1 , , ã ã ã ã ã ã , n ] Từ (1.15), (1.20) (1.21) ta có: Bi1 : H (BT ; Z) H (BT ; Z) xác định Bi1 (i ) = = Bi1 (2n+1i ) Bi1 (n ) = 2n = Bi1 (n+1 ) Giả sử Ri vành tương i = 1, n i = 1, n (1.22) i Khi tác động W (SU (2n + 1)) H (BT ; Z) cho R (w ) = w + w 1 Ri (wi ) = wi1 wi + wi+1 R (w ) = w w + 2w n1 n1 n2 n1 n Rn (wn ) = wn1 wn Đặt t1 = w1 ti = Ri1 (ti1 ) = wi1 + wi tn = Rn1 (tn1 ) = wn1 + 2wn Khi i = 2, n i = 2, n H (BT ; Z) = Z[t1 , t2 , ã ã ã ã ã ã , tn ] từ (1.22) ta có: Bi1 (ti ) = ti i = 1, n Bi (tn+1 ) = Bi (t2n+2i ) = ti % i = 1, n Giả sử pi = i (t1 , t2 , ã ã ã ã ã ã , tn ) H 4i (BT ; Z động Vì W (SO(2n + 1)) tác H (BT ; Z) nhóm hoán vị t1 , t2 , ã ã ã ã ã ã , tn với phép ti ti , đó: H (BT ; Z)W (SO(2n+1)) = Z[p1 , p2 , ã ã ã ã ã ã , pn ] từ (1.23) ta có { Bi1 (c2i ) = (1)i pi Bi1 (c2i+1 ) = Giả sử K trường có đặc số i = 1, n i = 1, n p = Vì H (SO(2n + 1); Z) không xoắn, theo [2] ta có H (BSO(2n + 1); K) = H (BT ; K)W (SO(2n+1)) Do H (BSO(2n + 1); K) = K[p1 , p2 , ã ã ã ã ã ã , pn ] Giả sử x4i1 (pi ) H 4i1 (SO(2n + 1); K) Khi theo [2], ta có H (SO(2n + 1); K) = K (x3 , x7 , ã ã ã ã ã ã , x4n1 ) 1.4 K - nhóm nhóm Lie compact 1.4.1 K - nhóm nhóm Lie compact SU(n+1) Khi biểu diễn nhóm Lie compact G đồng cấu f : G U (n) nhóm tôpô, với n số chiều Khi ta có nhận xét sau đây: 1.4.1.1 Nhận xét i) Vành biểu diễn toán tử tuyến tính lũy thừa ii) Giả sử R(G) G có cấu trúc vành cho k : R(G) R(G) với k : R(G) K (G) cho bởi: () = [in ] [G, U ] = K (G) Khi đó: - Nếu , biểu diễn G có số chiều n1 (1 ) = n2 (1 ) + n1 (2 ) & n2 , - Nếu biểu diễn tầm thường G có số chiều n, (n) = 0, n Z Xét bao hàm thức ta thấy tập hợp Ký hiệu R(SU (2n)) cho có tác dụng trội = ti , {ti \ i = 1, 2, ã ã ã ã ã ã , 2n} tập hợp trội k = k (1 ) Ta có: R(SU (2n)) = Z[1 , , ã ã ã ã ã ã , 2n1 ] s2 : R(SU (2n)) R(SU (2n)) cho s2 (k ) = 2nk Vì k = 1, 2n với , , ã ã ã ã ã ã , 2n1 biểu diễn bất khả quy xác định , , ã ã ã ã ã ã , 2n1 , ta xem k có trọng trội k Xét toán tử = i1 : Sp(n) U (2n), điều có nghĩa, với phần tử thấy R(Sp(n)), có trọng trội = t1 , {ti \ i = 1, 2, ã ã ã ã ã ã , n} tập hợp trọng trội Do vậy, đặt k = k (1 , theo [8], ta có R(Sp(n)) = Z[1 , , ã ã ã ã ã ã , n ] đồng cấu i2 : R(SU (2n)) R(Sp(n)) xác định i2 (k ) = k = i2 (2nk ), k = 1, n Ta thấy kết trương đương với (1.7), bất khả quy xác đính Theo Hodgkin, với , , ã ã ã ã ã ã , n biểu diễn , , ã ã ã ã ã ã , n G nhóm compact liên thông, có cấu trúc đại số Hopf Z/(2) K (G) phân bậc Nếu G không xoắn nửa đơn R(G) = Z(1 , , ã ã ã ã ã ã , n ), K (G) = Z ((1 ), (2 ), ã ã ã ã ã ã , (n ) đại số sinh Bây với (1 ), (2 ), ã ã ã ã ã ã , (n ) G = SU (n + 1), K nhóm G mô tả sau K (SU (n + 1)) = Z ((1 ), (2 ), ã ã ã ã ã ã , (n )) ' 1.4.2 K - nhóm nhóm Lie compact SO(2n+1) Lập luận tương tự trường hợp SU (2n + 1), trước hết ta tìm vành biểu diễn R(SU (2n + 1)) Xét bao hàm thức phần tử : SU (2n + 1) U (2n + 1), R(SU (2n + 1)), có trọng trội điều có nghĩa với = t1 Khi tập hợp {ti \ i = 1, 2, ã ã ã ã ã ã , 2n + 1} tập hợp tất trọng trội Nếu đặt k = k (1 ) theo [8] ta có : R(SU (2n + 1)) = Z[1 , , ã ã ã ã ã ã , 2n ] đống cấu s1 : R(SU (2n+1)) R(SU (2n+1)) xác định s1 (k ) = 2n+1k k = 1, 2n Ta xét hợp thành = i1 : SO(2n + 1) U (2n + 1) R(SO(2n + 1)), chấp nhận trọng trội t1 , Với phần tử tập hợp {ti \ i = 1, 2, ã ã ã ã ã ã , n} tập hợp tất trọng trội Đặt k = k (1 ) theo [8], ta có R(SO(2n + 1)) = Z[1 , , ã ã ã ã ã ã , n ] đồng cấu i1 : R(SU (2n + 1)) R(SO(2n + 1)) xác định i1 (k ) = k = i1 (2n+1k ), k = 1, n Xét nhóm spinor Spin(2n + 1) nhóm phổ dụng SO(2n + 1) Giả sử p : Spin(2n + 1) SO(2n + 1) phủ hai lá, xét hợp thành = p : Spin(2n + 1) U (2n + 1) Khi với phần tử R(Spin(2n + 1)), ta đặt k = k (1 ) giả sử 2n+1 : Spin(2n + 1) U (2n ) phép biểu diễn Spin Khi R(Spin(2n + 1)) = Z[1 , , ã ã ã ã ã ã , n 1, 2n+1 ], hệ thức 2n+1 xác định 22n+1 = + + + ã ã ã ã ã ã + n Theo Hodgkin [7], ta có: K (Spin(2n + 1)) = Z [(1 ), (2 ), ã ã ã ã ã ã , (n1 , (2n+1 ))  Bổ sung hai phần tử 2n+1 K (SO(2n + 1)) 2n+1 K (SO(2n + 1)) cho: K (SO(2n + 1)) = [Z ((1 , ã ã ã , (n1 , 2n+1 ) T2n+1 ]/(2n+1 2n+1 ), Xét T2n+1 = Z{1} Z(2n ){2n+1 } p : K (SO(2n+1)) K (Spin(2n+1)) cho p ((k )) = (k ) p (2n+1 ) = 2(2n+1 ) 1.4.2.1 Mệnh đề Với ký hiệu trên, ta có K (SO(2n + 1))/T or = Z ((1 ), ã ã ã ã ã ã , (n1 ), 2n+1 )  Chương Đặc trưng Chern nhóm Lie compact Trong Chương này, tính đặc trưng Chern số nhóm Lie compact, đặc biệt nhóm 2.1 SO(2n + 1) Đặc trưng Chern SU(n+1) Đặc trưng Chern nhóm nhóm Lie compact thể cho tất n 1, (xem [12]) SU (n + 1) tính toán cụ Cho nên tiết nhắc lại kết T Watanabe sử dụng kết để tính cho nhóm Lie compact khác 2.1.1 Nhận xét Để tính đặc trưng Chern nhóm Lie compact, trước hết ta định nghĩa hàm : N ì N ì N Z xác định n ( i1 (n, k, q) = (1) i=1 ) n iq1 k1 2.1.2 Định lý Đặc trưng Chern nhóm Lie compact SU (n + 1) đồng cấu ch : K (SU (n + 1)) H (SO(n + 1; Q)) 2n xác định ch((k )) = ((1)i /i!)(n + 1, k, i + 1)x2i+1 i=1 k1 2.2 Đặc trưng Chern SO(2n+1) Mục đích tiết này, tính toán tường mimh đặc trưng Chern nhóm Lie compact SO(2n + 1) Nội dung thể Định lý 2.2.1, sau áp dụng cho số trường hợp cụ thể 2.2.1 Định lý Với ký hiệu Mệnh đề 4.2.1 Chương 1, đặc trưng Chern nhóm Lie compact SO(2n + 1) đồng cấu ch : K (SO(2n + 1)) H (SO(2n + 1)) xác định n i) ch((k )) = ((1))i1 2/(2i1)!(2n+1, k, 2i)x4i1 i=1 n n i=1 k=1 k = 1, n ii) ch(2n+1 ) = ((1))i1 2/(2i 1)!(1/2n )) (2n + 1, k, 2i)x4i1 Chứng minh Theo ta xây dựng tự đồng cấu i1 : H (SU (2n + 1); Q) H (SU (2n + 1); Q) Khi tác động tác động phía phải ta có: i i1 (ch((k ))) = ch((i1 (k ))) = h((k )) Mặt khác theo Định lý 2.1.2, Chương2, ta có: 2n ch((k )) = ((1)i /i!)(2n + 1, k, i + 1)x2i+1 i=1 Khi 2n i1 (ch((k ))) = i1 ( ((1)i /i!)(2n + 1, k, i + 1)x2i+1 i=1 2n = ((1)i /i!)(2n + 1, k, i + 1)i1 (x2i+1 ) i=1 n = ((1)2i1 /(2i 1)!)(2n + 1, k, 2i)i1 (x4i1 ) i=1 n = ((1)2i1 /(2i 1)!)(2n + 1, k, 2i)(1)i 2x4i1 ) i=1 ! n = ((1)i1 2/(2i 1)!)(2n + 1, k, 2i)x4i1 i=1 Vậy n ((1)i1 2/(2i 1)!)(2n + 1, k, 2i)x4i1 = i1 (ch(())) = ch((k )) i=1 Tóm lại: n ch((k )) = ((1)i1 2/(2i 1)!)(2n + 1, k, 2i)x4i1 i=1 Do (i) chứng minh Bây ta chứng minh (ii) n Thật vậy, i=1 n Do K (SO(2n + 1))/T or ta có: 2n 2n+1 = (k ) 2n+1 = (1/2n ) (k ) Khi đó, ta có i=1 n n ch(2n+1 ) = ch((1/2n ) (k ) = (1/2n ) ch((k )) n i=1 n i=1 = (1/2n ) ( ((1)i1 2/(2i 1)!)(2n + 1, k, 2i))x4 i 1) n k=1 i=1 n = ((1)i1 2/(2i 1)!)(1/2n ) (2n + 1, k, 2i))x4 i 1) i=1 k=1 Vậy (ii) chứng minh 2.3 Khi Đặc trưng Chern SO(2n+1) với n = 1,2,3 n = 1, 2, ta có nhóm Lie compact tương ứng SO(3), SO(5) SO(7) 2.3.1 Đặc trưng Chern SO(3) Theo chứng minh ta có ch : K (SO(3))/T or H (SO(3); Q) xác định ch(3 ) = (3, 1, 2)x3 Theo nhận xét 1.1, Chương ta có: Vậy đặc trưng Chern xác định SO(3) (3, 1, 2) = = ch(3 ) = x3 đồng cấu ch(3 ) = x3 " ch : K (SO(3)) H (SO(3)) 2.3.2 Đặc trưng Chern SO(5) Theo chứng minh ta có ch : K (SO(5))/T or H (SO(5); Q) xác định i) ch((1 ) = ((1)i1 2/(2i 1)!)(5, 1, 2i)x4i1 i=1 = 2(5, 1, 2)x3 (1/3)(5, 1, 4)x7 Mặt khác Do (5, 1, 2) = (5, 1, 4) = ch((1 ) = 2x3 (1/3)x7 ii) ch(5 ) = ((1)i1 2/(2i 1)!)((1/4) (5, k, 2i)x4i1 i=1 k=1 2 = 2((1/4) (5, k, 2)x3 (1/3)((1/4) (5, k, 4)x7 k=1 k=1 2 = (1/2) (5, k, 2)x3 (1/12) (5, k, 4)x7 k=1 k=1 = (1/2)((5, 1, 2) + (5, 2, 2))x3 (1/12)((5, 1, 4) + (5, 2, 4))x7 (5, 1, 2) =((5, 1,)4) = (5, 2, 2) = (1)i1 i=3 i) i=1 ( (5, 2, 4) = (1)i1 i3 = 2i i=1 Do ch(5 ) = 2x3 + (1/6)x7 Mặt khác, ta có: Vậy đặc trưng Chern SO(5) đồng cấu ch : K (SO(5))/T or H (SO(5); Q) xác định ch((1 )) = 2x3 (1/3)x7 ch(5 ) = 2x3 + (1/6)x7 2.3.3 Đặc trưng Chern SO(7) Theo chứng minh ta có ch : K (SO(7))/T or H (SO(7); Q) xác định i) ch((k ) = ((1)i1 2/(2i 1)!)(7, 1, 2i)x4i1 Với i=1 k = 1, k = 1, ta có ch((1 ) = ((1)i1 2/(2i 1)!)(7, 1, 2i)x4i1 i=1 = 2(7, 1, 2)x3 (1/3)(7, 1, 4)x7 + (1/6)(7, 1, 6)x11 Ta có (7, 1, 2) = (7, 1, 4) = (7, 1, 6) = # ch((1 ) = 2x3 (1/3)x7 + (1/6)x11 Do k = 2, ta có Với ch((2 ) = ((1)i1 2/(2i 1)!)(7, 2, 2i)x4i1 i=1 = 2(7, 2, 2)x3 (1/3)(7, ( 2, 4)x )7 + (1/6)(7, 2, 6)x11 i1 Ta có (7, 2, 2) = (1) i=5 ( )i (7, 2, 4) = (1)i1 i3 = i ( ) i1 (7, 2, 6) = (1) i5 = 25 2i Do ch((2 ) = 10x3 + (1/3)x7 (5/12)x11 ii) ch(7 ) = ((1)i1 2/(2i 1)!)((1/8) (7, k, 2i)x4i1 i=1 k=1 = (1/4) (7, k, 2)x3 (1/24) (7, k, 4)x7 + (1/480) (7, k, 6)x11 k=1 k=1 k=1 Mặt khác, ta có: +) k=1 (7, k, 2) = (7, 1, 2) + (7, 2, 2) + (7, 3, 2) Trong (7, 1, 2) = ( ) (7, 2, 2) = (1) i=5 i) i=1 ( (7, 3, 2) = (1)i1 i = 10 2i i=1 i1 Vậy (7, k, 2) = 16 k=1 +) (7, k, 4) = (7, 1, 4) + (7, 2, 4) + (7, 3, 4) k=1 Trong (7, 1, 4) = ( ) (7, 2, 4) = (1) i3 = i=1 (2 i) i3 = (7, 3, 4) = (1)i1 2i i=1 i1 Vậy (7, k, 4) = k=1 +) (7, k, 6) = (7, 1, 6) + (7, 2, 6) + (7, 3, 6) k=1 Trong (7, 1, 6) = ( ) i5 = 25 (7, 2, 6) = (1)i1 i i=1 ) ( i1 i5 = 40 (7, 3, 6) = (1) i i=1 $ Vậy (7, k, 6) = 16 k=1 Do ch(7 ) = (1/4).16.x3 + (1/24).8.x7 + (1/480).16.x11 = 4x3 + (1/3)x7 + (1/30)x11 Vậy đặc trưng Chern SO(7) đồng cấu ch : K (SO(7))/T or H (SO(7); Q) xác định ch((1 ) = 2x3 (1/3)x7 + (1/60)x11 ch((2 ) = 10x3 + (1/3)x7 (5/12)x11 ch(7 ) = 4x3 + (1/3)x7 + (1/30)x11 % Kết luận luận văn Luận văn hoàn thành nội dung sau đây: Trình bày lại kết lý thuyết biểu diễn, đồng điều, K- nhóm nhóm Lie compact nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Trình bày khái niệm đặc trưng Chern nhóm Lie compact đặc biệt nhóm SU (n + 1) Mô tả đặc trưng Chern nhóm Lie compact áp dụng cho trường hợp SO(2n + 1) (Định lý 2.2.1 ) SO(3), SO(5), SO(7) & Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Đ N Diệp (2010), Lý thuyết biểu diễn, Giáo trình Sau Đại hoc, Viện Toán học, Hà Nội [2] N H V Hưng (1999), [3] N V Trung (2002), [4] N Q Thơ (2012), Đại số đại cương, Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐHQG, Hà Nội Nhà xuất ĐHQG, Hà Nội Đặc trưng Chern không giao hoán nhóm Lie compact nhóm lượng tử tương ứng, C đại số Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh: [1] B Harris,(1986) The K theory of a homogeneous spaces, Trans Amer Math.Soc.,131 , 323 - 332 [2] M Mimuara and H Toda,( 1991) Topology of Lie groups, I and II, Transl, Math, Monog, 91, Amer Math Soc [3] H Minimi, (1975) K groups of symmetric spaces I, Osaka J Math, 12, 623 - 634 [4] T Watanabe, (1995) Chern characters on compact Lie groups of low rank, Osaka J Math., 22, 463 - 488 [5] T Watanabe, (2004) On the Chern characters of symmetric spaces related to SU (n), J Math.Kyoto Univ (JMKYAZ), 34 -1, 149 - 169 ' [...]... 2 Đặc trưng Chern của nhóm Lie compact Trong Chương này, chúng tôi tính đặc trưng Chern của một số nhóm Lie compact, đặc biệt là nhóm 2.1 SO(2n + 1) Đặc trưng Chern của SU(n+1) Đặc trưng Chern của nhóm nhóm Lie compact thể cho tất cả n 1, (xem [12]) SU (n + 1) đã được tính toán cụ Cho nên trong tiết này chúng tôi nhắc lại các kết quả của T Watanabe và sử dụng các kết quả đó để tính cho các nhóm Lie. .. det(T ) = ei1 ei2 ã ã ã ei2n = et = 1 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact Trong tiết này, chúng tôi xây dựng các đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU (2n), Sp(n), SU (2n + 1) và SO(2n + 1) 1.3.1 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n) Sự dụng cách xây dựng đồng điều của các nhóm Lie compact, đối với nhóm Lie compact xuyến cực đại T của SU (2n) sao cho s2 (T ) T, trong đó SU (2n), ta... nhóm Lie compact khác 2.1.1 Nhận xét Để tính đặc trưng Chern của nhóm Lie compact, trước hết ta định nghĩa hàm : N ì N ì N Z được xác định bởi n ( i1 (n, k, q) = (1) i=1 ) n iq1 k1 2.1.2 Định lý Đặc trưng Chern của nhóm Lie compact SU (n + 1) là đồng cấu ch : K (SU (n + 1)) H (SO(n + 1; Q)) 2n được xác định bởi ch((k )) = ((1)i /i!)(n + 1, k, i + 1)x2i+1 i=1 k1 2.2 Đặc trưng Chern của SO(2n+1)... 1); K) = K (x3 , x7 , ã ã ã ã ã ã , x4n1 ) 1.4 K - nhóm của các nhóm Lie compact 1.4.1 K - nhóm của các nhóm Lie compact SU(n+1) Khi đó một biểu diễn của nhóm Lie compact G là đồng cấu f : G U (n) của nhóm tôpô, với n là số chiều Khi đó ta có các nhận xét sau đây: 1.4.1.1 Nhận xét i) Vành biểu diễn bởi toán tử tuyến tính lũy thừa ngoài ii) Giả sử R(G) của G có cấu trúc vành được cho k : R(G) R(G) với... quả về lý thuyết biểu diễn, đồng điều, K- nhóm của các nhóm Lie compact nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn 2 Trình bày khái niệm về đặc trưng Chern của nhóm Lie compact và đặc biệt là nhóm SU (n + 1) 3 Mô tả đặc trưng Chern của nhóm Lie compact và áp dụng cho các trường hợp SO(2n + 1) (Định lý 2.2.1 ) SO(3), SO(5), SO(7) & Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Đ N Diệp... 2i))x4 i 1) i=1 k=1 Vậy (ii) được chứng minh 2.3 Khi Đặc trưng Chern của SO(2n+1) với n = 1,2,3 n = 1, 2, 3 ta có các nhóm Lie compact tương ứng SO(3), SO(5) và SO(7) 2.3.1 Đặc trưng Chern của SO(3) Theo chứng minh trên ta có ch : K (SO(3))/T or H (SO(3); Q) được xác định bởi ch(3 ) = (3, 1, 2)x3 Theo nhận xét 1.1, Chương 1 ta có: Vậy đặc trưng Chern của được xác định bởi SO(3) (3, 1, 2) = 1 = ch(3... trưng Chern của SO(2n+1) Mục đích trong tiết này, chúng tôi tính toán tường mimh đặc trưng Chern của nhóm Lie compact SO(2n + 1) Nội dung chính được thể hiện trong Định lý 2.2.1, sau đó áp dụng cho một số trường hợp cụ thể 2.2.1 Định lý Với những ký hiệu trong Mệnh đề 4.2.1 ở trong Chương 1, khi đó đặc trưng Chern của nhóm Lie compact SO(2n + 1) là đồng cấu ch : K (SO(2n + 1)) H (SO(2n + 1)) được xác... + (1/30)x11 Vậy đặc trưng Chern của SO(7) là đồng cấu ch : K (SO(7))/T or H (SO(7); Q) được xác định bởi ch((1 ) = 2x3 (1/3)x7 + (1/60)x11 ch((2 ) = 10x3 + (1/3)x7 (5/12)x11 ch(7 ) = 4x3 + (1/3)x7 + (1/30)x11 % Kết luận của luận văn Luận văn đã hoàn thành những nội dung sau đây: 1 Trình bày lại các kết quả về lý thuyết biểu diễn, đồng điều, K- nhóm của các nhóm Lie compact nhằm mục... Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n + 1) đồng điều của các nhóm Lie compact Để xây dựng SU (2n + 1), trước hết ta định nghĩa ánh xạ s1 : SU (2n + 1) SU (2n + 1) xác định bởi: s1 (A) = A, với A SU (2n + 1) và A là liên hợp của A Chọn xuyến cực đại T SU (2n + 1) sao cho s1 (T ) T 1 , 2 , ã ã ã ã ã ã , 2n : L(T ) R Khi đó chọn hệ nghiệm hệ nghiệm đơn định tích vô hướng trên của và xác L(T... tính, Nhà xuất bản ĐHQG, Hà Nội Nhà xuất bản ĐHQG, Hà Nội Đặc trưng Chern không giao hoán của nhóm Lie compact và nhóm lượng tử tương ứng, C đại số của Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh: [1] B Harris,(1986) The K theory of a homogeneous spaces, Trans Amer Math.Soc.,131 , 323 - 332 [2] M Mimuara and H Toda,( 1991) Topology of Lie groups, I and II, Transl, Math, Monog, 91, Amer Math ... Chương Đặc trưng Chern nhóm Lie compact Trong Chương này, tính đặc trưng Chern số nhóm Lie compact, đặc biệt nhóm 2.1 SO(2n + 1) Đặc trưng Chern SU(n+1) Đặc trưng Chern nhóm nhóm Lie compact. .. K- nhóm nhóm Lie compact Chương 2: Đặc trưng Chern nhóm Lie compact Đây nội dung Luận văn Trước hết trình bày kết biết đặc trưng Chern nhóm Lie compact SU (n + 1) Cuối sử dụng kết biết đặc trưng. .. K- nhóm nhóm Lie compact nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Trình bày khái niệm đặc trưng Chern nhóm Lie compact đặc biệt nhóm SU (n + 1) Mô tả đặc trưng Chern nhóm Lie compact