Mở đầu về hệ động lực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN **************** LÊ THỊ KIM DUNG MỞ ĐẦU VỀ HỆ ĐỘNG LỰC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học Ts. Bùi Kiên Cường Hà Nội - 2015 2 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Bùi Kiên Cường đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Lê Thị Kim Dung LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo Bùi Kiên Cường khóa luận "Mở đầu về hệ động lực" được hoàn thành không trùng với bất kỳ đề tài nào khác. Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Lê Thị Kim Dung Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. MỞ ĐẦU HỆ ĐỘNG LỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. Định nghĩa của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1. Không gian trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Toán tử tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Định nghĩa của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Quỹ đạo và đường cong pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Tập hợp bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Định nghĩa và các lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Tính ổn định của tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Phương trình vi phân và hệ động lực . . . . . . . . 2.1. Mô tả các ví dụ bằng phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 26 27 2.1.1. Ví dụ 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2. Ví dụ 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3. Ví dụ 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Ánh xạ Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1. Ánh xạ trượt theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Ánh xạ Poincaré và sự ổn định của chu trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Cũng như môn khoa khác, phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển khoa học, kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Những bài toán cơ học và vật lí dẫn đến sự nghiên cứu của các phương trình vi phân tương ứng. Với mong muốn được đi sâu tìm hiểu về bộ môn này. Trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng sự hướng dẫn của thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường, em xin trình bày hiểu biết của mình về đề tài "Mở đầu về hệ động lực". 2. Mục đích nghiên cứu Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn về Hệ động lực. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác ứng dụng của phương trình vi phân trong vật lí, đặc biệt là "hệ động lực" 4. Phương pháp nghiên cứu Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá. 5. Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khoá luận bao gồm 2 chương: Chương 1: Mở đầu về hệ động lực Chương 2: Phương trình vi phân và hệ động lực 1 Chương 1 MỞ ĐẦU HỆ ĐỘNG LỰC Trong chương này, chúng ta giới thiệu một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản. Đầu tiên là định nghĩa hệ động lực và đưa ra một số ví dụ bao gồm cả biểu trưng động lực học, sau đó chúng ta giới thiệu các khái niệm về quỹ đạo, tập bất biến và sự ổn định của nó. Cuối cùng, chúng ta thảo luận tại sao hệ phương trình vi phân có thể xác định các hệ động lực trong cả không gian hữu hạn và vô hạn chiều 1.1. Định nghĩa của hệ động lực Khái niệm của hệ động lực là sự hình thức hóa toán học của các khái niệm về một quá trình đơn định của khoa học. Trạng thái tương lai và quá khứ của nhiều ngành vật lý, hóa học, sinh học, sinh thái, kinh tế và thậm chí cả hệ thống xã hội có thể được dự đoán đến một mức độ nhất định bằng cách biết tình trạng hiện tại của nó và các luật điều chỉnh sự phát triển của nó. Miễn là các luật này không thay đổi theo thời gian, 2 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung dáng điệu của hệ như vậy được coi là hoàn toàn xác định bởi trạng thái ban đầu của nó. Như vậy, khái niệm của hệ động lực bao gồm tập hợp các trạng thái có thể của nó (không gia trạng thái) và luật của sự phát triển của trạng thái theo thời gian. Chúng ta hãy thảo luận về những thành phần riêng biệt và sau đó đưa ra một định nghĩa chính thức của hệ động lực 1.1.1. Không gian trạng thái Tất cả các trạng thái có thể có của một hệ động lực được đặc trưng bởi các điểm của một tập X nào đó. Tập này được gọi là không gian trạng thái của hệ. Trên thực tế, sự diễn tả của một điểm x ∈ X phải có đủ không chỉ mô tả các vị trí hiện tại của hệ mà còn để xác định quá trình phát triển của nó. Thường, không gian trạng thái được gọi là một không gian pha, theo truyền thống từ cơ học cổ điển. Ví dụ 1.1. (con lắc) Trạng thái của một con lắc lý tưởng được đặc trưng hoàn toàn bởi việc xác định sự dịch chuyển góc ϕ của nó (mod 2π) so với vị trí thẳng đứng và vận tốc góc ϕ˙ tương ứng (Hình 1.1). Nhận thấy rằng góc ϕ là không đủ để xác định trạng thái tương lai của con lắc. Do đó, với hệ cơ học đơn giản này, không gian trạng thái là X = S 1 × R1 , trong đó S 1 là đường tròn đơn vị được tham số hóa bởi góc, và R1 là trục số thực tương ứng của tập tất cả các vận tốc có thể. Khi đó tập X có thể được coi là một đa tạp trơn 2 chiều (hình trụ) trong R3 . 3 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Hình 1.1: Con lắc cổ điển Ví dụ 1.2. (hệ cơ học tổng quát) Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ bị cô lập (không phụ thuộc) với bậc tự do s đặc trưng bởi véc tơ thực 2s chiều: T q , q , ..., q , p, p, ..., p 1 2 s 1 2 s Trong đó qi là hệ tọa độ suy rộng, pi là động lượng suy rộng tương ứng. Do đó, trong trường hợp này X = R2s . Nếu hệ tọa độ k là tuần hoàn X = S k × R2s−k . Trong trường hợp của con lắc s = k = 1, q1 = ϕ, chúng ta có thể lấy p1 = ϕ˙ Ví dụ 1.3. (hệ lượng tử) Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hệ với 2 trạng thái có thể quan sát được đặc trưng bởi véc tơ   a1 ψ =   ∈ C2 , a2 Trong đó, ai , i = 1, 2 là số thực gọi là biên độ thỏa mãn điều kiện |a1 |2 + |a2 |2 = 1. Xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái thứ i là bằng pi = |ai |2 , i=1,2 4 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Ví dụ 1.4. (biểu trưng động lực học) Xét tập hợp Ω2 gồm tất cả dãy song-vô hạn của 2 kí tự {1, 2}. Một điểm ω ∈ X là dãy ω = {..., ω−2 , ω−1 , ω0 , ω1 , ω2 , ...} , Trong đó, ωi ∈ {1, 2}. Chú ý rằng vị trí không trong mỗi dãy phải được chỉ ra. Chẳng hạn, có 2 dãy phân biệt tuần hoàn có thể được viết như ω = {..., 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...} , với ω0 = 1 cho một dãy và ω0 = 2 cho dãy còn lại. Không gian Ω2 sẽ đóng một vai trò quan trọng trong những gì tiếp theo. Đôi khi, rất hữu ích việc đồng nhất hai dãy chỉ khác nhau bởi chỉ bằng một phép dịch chuyển điểm gốc. Những dãy như vậy được gọi là tương đương. Lớp các dãy tương đương tạo thành một tập, kí hiệu bởi ˜ 2 . Hai dãy tuần hoàn đã đề cập ở trên biểu diễn cùng một điểm trong Ω ˜ Ω. Trong tất cả các ví dụ trên, không gian trạng thái có một cấu trúc tự nhiên nhất định, cho phép so sánh giữa các trạng thái khác nhau. Cụ thể hơn, khoảng cách ρ giữa hai trạng thái được xác định hoàn toàn, làm thành tập hợp các không gian mêtric. Trong các ví dụ về cơ học các không gian trạng thái là các không gian véc tơ thực Rn hữu hạn n chiều hay là một đa tạp con trong không gian này. Chuẩn Euclide có thể sử dụng để đo khoảng cách giữa hai trạng 5 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung thái được tham số hóa bởi các điểm x, y ∈ Rn , tức là n ρ (x, y) = x − y = (xi − yi )2 x − y, x − y = (1.1) i=1 trong đó, ·, · là tích vô hướng chuẩn tắc trong Rn , n T x, y = x · y = xi · yi i=1 Khoảng cách giữa hai trạng thái ψ, ϕ của hệ lượng tử từ Ví dụ 1.3 có thể được xác định bằng cách sử dụng tích vô hướng chuẩn tắc trong Cn , n ψ, ϕ = ψ −T ψ¯i ϕi , ϕ= i=1 Với n = 2, khi đó ψ, ψ = ϕ, ϕ = 1 Khi không gian trạng thái là không gian hàm số, có nhiều khoảng cách có thể tùy thuộc vào độ trơn (tính khả vi) của hàm số đã được thừa nhận. Ví dụ, chúng ta có thể giới thiệu khoảng cách giữa hai hàm số liên tục có giá trị véc tơ thực u (x) và v (x) được xác định trong miền giới nội đóng Ω ∈ Rm bởi ρ (u, v) = u − v = max sup |ui (x) − vi (x)| , i=1,...,n x∈Ω (1.2) Theo số chiều của không gian trạng thái cơ bản X, thì hệ động lực được gọi là hữu hạn chiều hoặc vô hạn chiều. 1.1.2. thời gian Sự phát triển của một hệ động lực có nghĩa là một sự thay đổi trạng thái của hệ đối với thời gian t ∈ T , trong đó T là một tập hợp số nào đó. 6 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Chúng ta sẽ xem xét hai loại hệ động lực là: hệ động lực với thời gian liên tục (thực) T = R1 , và hệ động lực thời gian gián đoạn (nguyên) T = Z. Loại hệ đầu tiên được gọi là hệ động lực liên tục theo thời gian. Loại thứ hai gọi là hệ động lực gián đoạn theo thời gian. Hệ gián đoạn theo thời gian xuất hiện một cách tự nhiên trong sinh thái học và kinh tế khi trạng thái của hệ tại một thời điểm nhất định của thời gian t hoàn toàn xác định trạng thái của nó sau một năm, tức là tại t + 1. 1.1.3. Toán tử tiến hóa Các thành phần chính của hệ động lực là quy luật phát triển, nó xác định trạng thái xt tại thời điểm t, miễn là trạng thái ban đầu x0 là đã biết. Cách chung nhất để định rõ quá trình phát triển là giả thiết rằng với mỗi t ∈ T đã cho, ánh xạ ϕt được xác định trong không gian trạng thái X, ϕt : X → X, biến trạng thái ban đầu x0 ∈ X thành một trạng thái xt ∈ X tại thời điểm t: xt = ϕt xo . Ánh xạ ϕt thường được gọi là toán tử tiến hóa của hệ động lực. Nó có thể cho dưới dạng hiện; tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, nó được định nghĩa một cách gián tiếp và có thể chỉ được tính toán qua một cách xấp xỉ. Trong trường hợp liên tục theo thời gian, họ {ϕt }t∈T các toán tử tiến hóa được gọi là các dòng. Chú ý rằng ϕt x có thể không xác định với mọi cặp (x, t) ∈ X × T . Hệ 7 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung động lực toán tử tiến hóa ϕt xác định đồng thời cho cả t ≥ 0 và t < 0 được gọi là khả nghịch. Trong những hệ như vậy, trạng thái ban đầu x0 không chỉ hoàn toàn xác định các trạng thái tương lai của hệ mà còn xác định dáng điệu trong quá khứ. Tuy nhiên, thật là hữu ích khi xem xét hệ động lực, mà dáng điệu của hệ đông lực trong tương lai với t > 0 là hoàn toàn xác định bởi trạng thái ban đầu x0 tại t = 0, nhưng lịch sử với t < 0 không thể tái tạo được. Một hệ động lực như vậy được mô tả bởi toán tử tiến hoá xác định cho miền t ≥ 0 (tức là, cho t ∈ R1+ hoặc Z+ ). Trong trường hợp liên tục theo thời gian, họ gọi là nửa dòng. Nó cũng có thể là ϕt x0 chỉ được xác định một cách địa phương theo thời gian, chẳng hạn 0 ≤ t < t0 , khi đó t0 phụ thuộc vào x0 ∈ X. Một ví dụ quan trọng của những dáng điệu đó là sự “bùng nổ”, khi đó hệ liên tục theo thời gian trong X = Rn đạt đến vô hạn trong một thời gian, tức là ϕt x0 → +∞, cho t → ∞ Toán tử tiến hóa có hai đặc tính tự nhiên, nó phản xạ tất định đặc trưng của hình dạng hệ động lực. Trước hết, ϕ0 = id, text(DS.0) Với id là ánh xạ đồng nhất trên X, idx = x với mọi x ∈ X. Thuộc tính (DS.0) suy ra hệ không thay đổi trạng thái của nó là “tự phát”. Thuộc tính thứ hai của toán tử tiến hóa là: text(DS.1) ϕt+s = ϕt ◦ ϕs . 8 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Nó có nghĩa là: ϕt+s x = ϕt (ϕs x) Với mọi x ∈ X và t, s ∈ T , sao cho cả hai vế của phương trình cuối được xác định. Về cơ bản, tính chất (DS.1) phát biểu rằng kết quả của sự tiến hóa của hệ trong quá trình t + s đơn vị thời gian, bắt đầu tại một điểm x ∈ X cũng giống như nếu hệ thống lần đầu tiên được phép thay đổi từ trạng thái x chỉ s đơn vị thời gian và sau đó phát triển tiếp t đơn vị thời gian đến trạng thái kết thúc ϕs x (nhìn Hình 1.2). Tính chất này có nghĩa là các luật điều chỉnh hình dạng của hệ không thay đổi theo thời gian: Hệ thống là “hệ Ôtônôm” Với các hệ thống khả nghịch, toán tử tiến hóa ϕt đáp ứng tính chất (DS.1) cho t và s cả âm lẫn không âm. Trong hệ thống như vậy, các toán −1 tử ϕ−t là khả nghịch của ϕt , (ϕt ) = ϕ−t , tức là ϕ−t ◦ ϕt = id. Hệ động Hình 1.2: Toán tử tiến hóa lực gián đoạn theo thời gian với số nguyên t là hoàn toàn xây dựng bằng cách xác định chỉ một ánh xạ f = ϕ1 , gọi là “ánh xạ một - thời gian”. Thật vậy, sử dụng (DS.1), chúng ta được ϕ2 = ϕ1 ◦ ϕ1 = f ◦ f = f 2 , 9 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung trong đó, f 2 là sự lặp thứ hai của ánh xạ f . Tương tự, ϕk = f k với mọi k > 0. Nếu hệ gián đoạn theo thời gian là khả nghịch, phương trình ở trên đúng cho cả k ≤ 0, ở đó f 0 = id. Cuối cùng, chúng ta hãy chỉ ra rằng, đối với nhiều hệ, ϕt x là hàm số liên tục của x ∈ X, và nếu t ∈ R1 , nó cũng là liên tục trong thời gian. Ở đây sự liên tục được cho là được xác định đối với mêtric hoặc chuẩn tương ứng trong X. Hơn nữa, nhiều hệ xác định trên Rn hoặc trên đa tạp trơn trong Rn , sao cho ϕt x là trơn như là một hàm của (x, t). Những hệ như vậy được gọi là hệ động lực trơn. 1.1.4. Định nghĩa của hệ động lực Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa chính xác về hệ động lực Định nghĩa 1.1. Hệ động lực là bộ ba gồm {T, X, ϕt }, trong đó T là tập thời gian, X là không gian trạng thái, và ϕt : X → X là một họ toán tử tiến hóa được tham số hóa bởi t ∈ T và thỏa mãn tính chất (DS.0) và (DS.1) Cho hai ví dụ minh họa định nghĩa: Ví dụ 1.5. (hệ tuyến tính 2 chiều) Xét không gian 2 chiều X = R2 và phép biến đổi tuyến tính không suy biến trên X cho bởi ma trận phụ thuộc vào t ∈ R1 :   λt 0 0 µt e e   trong đó, λ, µ = 0 là các số thực. Hiển nhiên, nó xác định một hệ động lực liên tục theo thời gian trên X. Hệ thống này là khả nghịch và được 10 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung định nghĩa cho tất cả cặp (x, t). Ánh xạ ϕt là liên tục (và trơn) đối với x, cũng như đối với t. Ví dụ 1.6. (biểu trưng động lực học) Lấy không gian X = Ω2 của tất cả chuỗi vô hạn hai kí hiệu {1, 2} giới thiệu trong Ví dụ 1.4. Xem xét một ánh xạ σ : X → X, mà biến đổi chuỗi ω = {..., ω−2 , ω−1 , ω0 , ω1 , ω2 , ...} ∈ X thành chuỗi θ = σ (x) , θ = {..., θ−2 , θ−1 , θ0 , θ1 , θ2 , ...} ∈ X, trong đó, θk = ωk+1 , k ∈ Z Ánh xạ σ chỉ thay đổi các chuỗi bằng phép dịch chuyển một vị trí tọa độ sang bên trái. Nó được gọi là ánh xạ trượt. Ánh xạ trượt định nghĩa một hệ động lực gián đoạn theo thời gian trên X, ϕk = σ k , đó là khả nghịch. Chú ý rằng hai chuỗi θ và ω là tương đương nhau nếu và chỉ nếu θ = σ k0 (ω) với k0 ∈ Z. 1.2. Quỹ đạo và đường cong pha Các đối tượng hình học cơ bản liên kết với một hệ động lực {T, X, ϕt } bởi quỹ đạo của nó trong không gian trạng thái và đường cong pha quỹ đạo Định nghĩa 1.2. Một quỹ đạo bắt đầu từ x0 là một tập con sắp thứ tự của không gian trạng thái X, Or (x0 ) = x ∈ X : x = ϕt x0 , ∀t ∈ T 11 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung sao cho ϕt x0 được xác định Quỹ đạo của hệ liên tục theo thời gian với toán tử tiến hóa liên tục là đường cong trong không gian trạng thái X được tham số hóa bởi thời gian t và định hướng bởi hướng tăng của tham số (nhìn Hình 1.3) Hình 1.3: Quỹ đạo của một hệ liên tục theo thời gian Quỹ đạo của hệ gián đoạn theo thời gian là một dãy các điểm trong không gian trạng thái X liệt kê bằng cách tăng số nguyên. Nếu y0 = ϕt0 x0 cho một số t0 , tập hợp Or(x0 ) và Or(y0 ) trùng nhau. Ví dụ, hai chuỗi tương ứng θ, ω ∈ Ω2 sinh ra các quỹ đạo đều biểu tượng động lực Z, Ω2 , σ k . Do đó, tất cả các quỹ đạo khác nhau của biểu tượng động ˜ 2 giới thiệu trong Ví dụ lực là được biểu diễn bởi các điểm trong tập Ω 1.4. Các quỹ đạo đơn giản nhất là sự cân bằng Định nghĩa 1.3. Một điểm x0 ∈ X được gọi là cân bằng (điểm cố định) nếu ϕt x0 = x0 với ∀t ∈ T . Toán tử tiến hoá ánh xạ một điểm cân bằng vào chính nó. Hay tương đương, một hệ được đặt ở vị trí cấn băng sẽ duy trì trạng thái cân bằng 12 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung mãi mãi. Vì vậy, sự cân bằng đại diện cho một kiểu đơn giản hình nhất dáng điệu của hệ. Chúng ta sẽ dùng các tên “cân bằng” cho hệ động lực liên tục theo thời gian, trong khi sử dụng thuật ngữ “điểm cố định” cho đối tượng tương ứng của hệ gián đoạn theo thời gian. Hệ từ Ví dụ 1.5 rõ ràng là có một điểm cân bằng duy nhất tại gốc, x0 = (0, 0)T . Nếu λ, µ < 0 thì tất cả các quỹ đạo hội tụ đến x0 khi t → +∞ Một loại tương đối đơn giản khác của quỹ đạo là chu trình Định nghĩa 1.4. Một chu trình là một quỹ đạo tuần hoàn, cụ thể là một quỹ đạo không cân bằng L0 , sao cho mỗi điểm x0 ∈ L0 thỏa mãn ϕt+T0 x0 = ϕt x0 với một số T0 > 0 với mọi t ∈ T Số tối tiểu T0 có tính chất này được gọi là chu kỳ của chu trình L0 . Nếu một hệ bắt đầu tiến hóa tại một điểm x0 trên chu trình, nó sẽ quay lại chính xác đến điểm này sau mỗi T0 đơn vị thời gian. Hệ này trưng bày dao động tuần hoàn. Trong trường hợp liên tục theo thời gian, một chu trình L0 là một đường cong khép kín (nhìn Hình 1.4(a)) Định nghĩa 1.5. Chu trình của một hệ động lực liên tục theo thời gian, trong một lân cận của nó không có những chu trình khác được gọi là chu trình giới hạn. Trong trường hợp chu trình gián đoạn theo thời gian là tập (hữu hạn) các điểm x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ), ........, f N0 (x0 ). Trong đó f = ϕ1 và chu kỳ T0 = N0 rõ ràng là một số nguyên (Hình 1.4(b)). Chú ý rằng mỗi điểm của tập là một điểm cố định của phép lặp thứ N0 , f N0 của ánh xạ f . Hệ từ ví dụ 13 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Hình 1.4: Quỹ đạo định kì của hệ liên tục theo thời gian (a) Quỹ đạo định kì của hệ gián đoạn theo thời gian(b) 1 không có chu trình. Ngược lại, biểu trưng hệ động lực (Ví dụ 1.4) có một số lượng vô hạn của chu trình. Chúng ta có thể phân loại tất cả quỹ đạo có thể trong hệ động lực thành điểm cố định, chu trình và các phần còn lại. Định nghĩa 1.6. Đường cong pha của hệ động lực là sự phân chia của không gian trạng thái thành quỹ đạo. Đường cong pha bao hàm một khối lượng lớn thông tin về hình dạng của một hệ động lực. Bằng cách nhìn vào đường cong pha, chúng ta có thể xác định số lượng và loại của trạng thái tiệm cận mà hệ đó dần tới khi t → +∞ (và t → −∞ nếu hệ là khả nghịch). Tất nhiên không thể vẽ tất cả các quỹ đạo trong một hình vẽ minh họa. Trong thực tế, chỉ có vài quỹ đạo chủ chốt được mô tả trong biểu đồ để biểu diễn đường cong pha dưới biểu đồ (như chúng tôi đã làm trong hình 1.3). Hệ động 14 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung lực liên tục theo thời gian có thể được thể hiện như là một hình ảnh của dòng chảy của một số chất, trong đó quỹ đạo cho thấy “con đường của hạt lỏng” như theo dòng nước. Điều này tương tự giải thích việc sử dụng của các thuật ngữ “dòng” cho toán tử tiến hóa trong trường hợp thời gian liên tục 1.3. Tập hợp bất biến 1.3.1. Định nghĩa và các lớp Để phân loại các phần tử của đường cong pha, đặc biệt là trạng thái tiệm cận của hệ các định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.7. Một tập hợp bất biến của hệ động lực {T, X, ϕt } là tập con S ⊂ X sao cho x0 ∈ S bao hàm ϕt x0 ∈ S cho tất cả t ∈ T Định nghĩa có nghĩa là ϕt S ⊆ S với mọi t ∈ T . Rõ ràng, một tập bất biến S bao gồm các quỹ đạo của hệ động lực. Bất kì quỹ đạo riêng lẻ Or(x0 ) là một tập bất biến. Chúng ta luôn luôn có thể giới hạn toán tử tiến hóa ϕt của hệ lên tập bất biến S và xem xét một hệ động lực {S, T, ψ t }, trong đó ψ t : S → S là ánh xạ cảm sinh bởi ϕt trong S. Chúng ta sẽ sử dụng các biểu trưng ϕt cho những hạn chế thay vì ψ t . Nếu không gian trạng thái X là được cho một mêtric ρ, chúng ta có thể xem xét tập bất biến đóng trong X. Điểm cân bằng (điểm cố định) và chu trình là ví dụ đơn giản rõ ràng của tập bất biến đóng. Có nhiều loại tập bất biến đóng khác nhau. Một số tập bất biến đóng có chứa một số quỹ đạo của chu trình và không tuần hoàn. Chúng ta xét ví dụ Smale 15 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Ví dụ 1.9 (Móng ngựa Smale) Hình 1.5: Xây dựng ánh xạ móng ngựa Xem xét việc xây dựng hình học trong hình 1.5. Lấy hình vuông S trên mặt (hình 1.5(a)). Co rút ngắn nó theo chiều nằm ngang và mở rộng theo chiều dọc (Hình 1.5(b)). Gấp nó ở giữa (Hình 1.5(c)) và đặt nó để nó cắt hình vuông S ban đầu cùng hai dải dọc (Hình 1.5(d)). Khi đó xác định một ánh xạ f : R2 → R2 . Ảnh f (S) của hình vuông S dưới sự biến đổi giống như một móng ngựa. Đó là lí do tại sao nó được gọi là ánh xạ móng ngựa. Hình dạng chính xác của ảnh f (S) là không thích hợp; tuy nhiên, chúng ta hãy đơn giản giả định rằng cả hai sự co và mở rộng là tuyến tính và các ván mỏng dải dọc trong giao là các hình chữ nhật. Ánh xạ f có thể lấy ánh xạ ngược và trơn cùng ánh xạ ngược của nó. Ánh xạ f −1 biến đổi hình móng ngựa f (S) trở thành hình vuông S qua các giai đoạn (d)-(a). Biến đổi nghịch đảo này biến các ánh xạ hình vuông chấm S trong hình 1.5(d) thành các chấm móng ngựa ngang hình 16 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung 1.5(a), mà chúng ta giả định cắt hình vuông ban đầu S cùng hai hình chữ nhật nằm ngang. Kí hiệu các ván mỏng dải dọc trong sự giao nhau S ∩ f (S) bởi V1 và V2 , S ∩ f (S) = V1 ∪ V2 Hình 1.6: Dải dọc và ngang (nhìn Hình 1.6(a)). Bây giờ thực hiện các bước quan trọng nhất: thực hiện hai sự lặp đi lặp lại của ánh xạ f . Dưới sự lặp lại này, các dải dọc V1,2 sẽ biến đổi thành hai “móng ngựa mỏng” mà giao với hình vuông S dọc theo bốn dải hẹp dọc: V11 , V21 , V22 và V12 . Chúng ta viết như sau: S ∩ f (S) ∩ f 2 (S) = V11 ∪ V21 ∪ V22 ∪ V12 . Tương tự như vậy, S ∩ f −1 (S) = H1 ∪ H2 17 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung trong đó H1,2 là những dải ngang thể hiện trong hình 1.6(c), và S ∩ f −1 (S) ∩ f −2 (S) = H11 ∪ H12 ∪ H22 ∪ H21 , Với bốn sọc hẹp ngang Hij (hình 1.6(d)). Chú ý rằng f (Hij ) = Vi , i = 1, 2, cũng như f 2 (Hij ) = Vij , i, j = 1, 2(Hình 1.7) Hình 1.7: Biến đổi f 2 (Hij ) = Vij , i, j = 1, 2 Lặp lại ánh xạ f hơn nữa, chúng ta có được 2k dải dọc mỏng trong sự giao nhau S∩f k (S) , k = 1, 2, ..... Tương tự như vậy, lặp đi lặp lại của f −1 cung cấp 2k dải ngang mỏng trong sự giao nhau S ∩ f −k (S) , k = 1, 2, .... Hầu hết các điểm rời khỏi hình vuông S dưới sự lặp của f hoặc f −1 . Bỏ đi điểm như vậy và thay thế vào đó xem xét một tập hợp của tất cả các điểm trong mặt phẳng mà vẫn còn trong hình vuông S dưới tất cả 18 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung sự lặp của f và f −1 : Λ = x ∈ S : f k (x) ∈ S, ∀k ∈ Z . Rõ ràng, nếu tập Λ là rỗng thì Λ là tập bất biến của hệ động lực gián đoạn theo thời gian xác định bởi f . Tập này có thể được trình bày một cách khác như là vô hạn sự giao nhau, Λ = ... ∩ f −k (S) ∩ ... ∩ f −2 (S) ∩ f −1 (S) ∩ S ∩ f (S) ∩ f 2 (S) ... ∩ f k (S) ∩ ... (bất kì điểm x ∈ Λ phải thuộc về mỗi tập có liên quan). Rõ ràng, từ biểu diễn này mà tập Λ có một hình dạng đặc biệt. Thật vậy, nó phải được đặt trong f −1 (S) ∩ S ∩ f (S) , Được hình thành bởi 4 ô vuông nhỏ (nhìn Hình 1.8(a)). Hơn nữa nó nên được đặt bên trong f −2 (S) ∩ f −1 (S) ∩ S ∩ f (S) ∩ f 2 (S) , Đó là sự kết hợp của 16 ô vuông nhỏ (nhìn Hình 1.8(b)). Trong giới hạn chúng ta có được một tập Cantor Bổ đề 1.1. Có một phép tương ứng 1-1 h : Λ → Ω2 , giữa các điểm của Λ tất cả các dãy song vô hạn của hai biểu trưng. Chứng minh. Cho bất kì điểm x ∈ Λ, xác định một chuỗi của hai biểu trưng {1, 2} ω = {..., ω−2 , ω−1 , ω0 , ω1 , ω2 , ...} 19 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Hình 1.8: Vị trí của các tập bất biến bởi công thức  1 nếu f k (x) ∈ H1 ωk = 2 nếu f k (x) ∈ H 2 (1.3) Cho k = 0, ±1, ±2, ....Ở đây, f 0 = id là ánh xạ đồng nhất. Rõ ràng, công thức này xác định một ánh xạ h : Λ → Ω2 , mà gán một chuỗi cho mỗi điểm của tập bất biến. Để kiểm tra ánh xạ này là khả nghịch, lấy một dãy ω ∈ Ω2 cố định m > 0, và xem xét một tập Rm (ω) của tất cả các điểm x ∈ S, không nhất thiết phải thuộc Λ, do đó f k (x) ∈ Hωk , với −m ≤ k ≤ m − 1. Ví dụ, nếu m = 1, tập R1 là một trong bốn giao Vi ∩ Hk . Nói chung, Rm thuộc về các giao của một dải dọc và một dải ngang. Những dải đang càng ngày càng mỏng khi m → +∞, xấp xỉ theo 20 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung giới hạn cạnh dọc và chiều ngang tương ứng. Các cạnh như vậy rõ ràng là cắt nhau tại một điểm đơn x với h(x) = ω. Do đó, h : Λ → Ω2 là ánh xạ 1-1. Điều đó có nghĩa Λ là rỗng. Chú ý: Ánh xạ h : Λ → Ω2 là liên tục cùng với nghịch đảo của nó (một phép đồng phôi) nếu chúng ta sử dụng chuẩn mêtric (1.1) trong S ⊂ R2 và chuẩn mêtric trong Ω2 Bây giờ xét một điểm x ∈ Λ và dãy tương ứng của nó ω = h(x), trong đó h là ánh xạ xác định trước đây. Tiếp theo xét một điểm y = f (x), đó là hình ảnh của ánh xạ móng ngựa f . Cho y ∈ Λ, theo định nghĩa có một dãy tương ứng với y : θ = h(y). Liệu có một hệ thức liên hệ giữa dãy ω và θ? Như chúng ta có thể dễ dàng nhìn thấy từ (1.3), có một mối quan hệ tồn tại và rất đơn giản. Cụ thể, θk = ωk+1 , k ∈ Z, khi f k (f (x)) = f k+1 (x). Nói cách khác dãy θ có thể thu được từ dãy ω bởi ánh xạ trượt σ, được định nghĩa trong Ví dụ 1.6: θ = σ (ω) Do đó, những hạn chế của f để trên tập bất biến Λ ⊃ R2 là tương đương với các ánh xạ trượt σ trên các tập của chuỗi Ω2 . Hãy để chúng tôi xây dựng công thức này như bổ đề sau đây: Bổ đề 1.2. h (f (x)) = σ (h (x)) , ∀x ∈ Λ Chúng ta có thể viết ngắn gọn bằng: f |Λ = h−1 ◦ σ ◦ h 21 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Kết hợp bổ đề 1.1 và 1.2 với tính chất rõ ràng của sự thay đổi động lực trên Ω2 , chúng ta nhận được một định lý mô tả khá đầy đủ hình dạng của ánh xạ móng ngựa. Định lý 1.1. (Smale [1963]) Ánh xạ móng ngựa f có tập bất biến đóng Λ có chứa một tập đếm được các quỹ đạo tuần hoàn chu kì dài tùy ý và một tập đếm được của các quỹ đạo không tuần hoàn, trong đó có quỹ đạo tùy ý qua một tập đóng tùy ý của bất kì điểm nào của Λ. Các tính năng quan trọng tiếp theo của ví dụ móng ngựa là chúng ta có thể hơi xáo trộn cách xây dựng ánh xạ f mà không cần thay đổi định nghĩa của nó. Rõ ràng, Smale’s xây dựng đủ mạnh dựa trên sự co lại hoặc sự mở rộng, được liên hợp với một sự gấp. Do đó, một sự nhiễu loạn f˜ sẽ có dải dọc và dải ngang giống nhau, các dải dọc và dải ngang không còn dài hơn hình chữ nhật mà là miền đường cong. Tuy nhiên, với điều kiện là nhiễu loạn đủ nhỏ, các dải sẽ thu nhỏ để đường cong đi chỉ hơi chệch đường dọc và đường ngang. Do đó, việc xây dựng có thể thực hiện thông qua đúng nguyên văn và ánh xạ bị nhiễu f˜ có một tập ˜ mà các động lực hoàn toàn mô tả bởi các ánh xạ trượt hợp bất biến Λ σ. Trên chuỗi không gian Ω2 , đây là một ví dụ về hình dạng cấu trúc ổn định. 1.3.2. Tính ổn định của tập bất biến Để mô tả một trạng thái tiệm cận quan sát được của hệ động lực, một tập bất biến S0 phải được ổn định. Giả sử chúng ta có một hệ động lực 22 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung {T, X, ϕt } với một không gian trạng thái mêtric đầy X. Lấy S0 là một tập bất biến đóng. Định nghĩa 1.8. Một tập bất biến S0 được gọi là ổn định nếu: (i) cho bất kì một lân cận đủ nhỏ U ⊃ S0 tồn tại một lân cận V ⊃ S0 sao cho ϕt x ∈ U, ∀x ∈ V và ∀t > 0; (ii) có tồn tại một lân cận U0 ⊃ S0 sao cho ϕt x → S0 , ∀x ∈ U0 khi t → +∞ Nếu S0 là một điểm cân bằng hoặc một chu trình, định nghĩa này trở thành định nghĩa tiêu chuẩncho sự ổn định cân bằng hay chu trình. Tính chất (i) của định nghĩa được gọi là ổn định Liapunov. Nếu tập S0 là ổn định Liapunov các quỹ đạo gần đó không để lại lân cận của nó. Tính chất (ii) đôi khi được gọi là ổn định tiệm cận. Có những tập bất biến ổn định Liapunov nhưng không ổn định tiệm cận (nhìn hình 1.9(a)). Ngược lại, có những tập bất biến ổn định nhưng không ổn định tiệm Liapunov(nhìn Hình 1.9(b)) Nếu x0 là một điểm cố định của hệ động lực gián đoạn theo thời gian, hệ này trơn và hữu hạn chiều, điều kiện đủ cho sự ổn định của nó có thể được xây dựng trong điều kiện của ma trận Jacobian tại x0 Định lý 1.2. Xét một hệ động lực gián đoạn thời gian x → f (x) , x ∈ Rn , trong đó, f là ánh xạ trơn. Giả sử nó có một điểm bất động x0 , cụ thể là f x0 = x0 và kí hiệu A là ma trận Jacobian của f (x) tại x0 , A = fx x0 . Khi đó, các điểm cố định là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng µ1 , µ2 , ..., µn của A thỏa mãn |µ| < 1 23 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Hình 1.9: (a) Ổn định Lapunov so với (b) ổn định tiệm cận Các giá trị riêng của một điểm cố định thường được gọi là “nhân”. Trong các trường hợp tuyến tính các định lí là rõ ràng từ các dạng tiêu chuẩn Jordan. Định lí 1.2, được áp dụng cho các N0 th lặp lại f N0 của các ánh xạ f tại bất kì điểm nào của quỹ đạo, định lí cũng đưa ra một điều kiện đủ cho sự ổn định của một chu trình N0 Một trường hợp quan trọng mà chúng ta có thể thiết lập sự ổn định của một điểm cố định của hệ động lực gián đoạn theo thời gian được cung cấp bởi những định lí sau đây: Định lý 1.3. (Nguyên lí ánh xạ co) Cho X là không gian mêtric đầy với khoảng cách được xác định bởi . Giả sử có một ánh xạ f : X → X là liên tục và thỏa mãn cho tất cả 24 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung x, y ∈ X, sao cho: ρ (f (x) , f (y)) ≤ λρ (x, y) , với 0 < λ < 1. Khi đó, hệ động lực gián đoạn theo thời gian Z+ , X, f k ổn định có điểm cố định x0 ∈ X. Hơn nữa, f k (x) → x0 khi k → +∞, bắt đầu từ bất kì điểm x ∈ X. Các chứng minh định lí cơ bản này có thể được tìm thấy trong bất kì văn bản phân tích toán học về phương trình vi phân. Nguyên lí ánh xạ co là một công cụ mạnh mẽ: Sử dụng nguyên lí này, chúng ta có thể chứng minh định lí hàm số ẩn, định lí hàm số ngược, cũng như Định lí 2.1 trước. Chúng ta sẽ áp dụng Nguyên lí ánh xạ co trong chương 4 chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất và sự ổn định của một đường cong bất biến khép kín xuất hiện dưới sự thay đổi tham số từ điểm cố định của một mặt phẳng ánh xạ. Cũng chú ý rằng Định lí 1.3 cho sự ổn định tiệm cận toàn cục: Bất kì quỹ đạo nào của Z+ , X, f k x0 25 đều hội tụ tới Chương 2 Phương trình vi phân và hệ động lực Cách phổ biến nhất để xác định hệ động lực liên tục theo thời gian là bằng phương trình vi phân. Giả sử rằng không gian trạng thái của hệ là X = Rn có tọa độ (x1 , x2 , ..., xn ). Thường định luật của sự phát triển của hệ được đưa ra dưới dạng ẩn, nhờ vận tốc x˙ i là hàm số của các tọa độ (x1 , x2 , ..., xn ): x˙ i = fi (x1 , x2 , ..., xn ) , i = 1, 2, ..., n, hoặc ở dạng véc tơ: x˙ = f (x) , (2.1) trong đó, hàm giá trị véc tơ f : Rn → Rn được giả thiết là đủ trơn. Hàm số trong vế phải của (2.1) được gọi là một trường véc tơ bởi nó gán một véc tơ f (x) cho mỗi điểm x. Phương trình (2.1) miêu tả một hệ của n phương trình vi phân thường Ôtônôm, viết tắt là ODEs. Chúng ta xem xét lại một số ví dụ giới thiệu trước đây bằng cách biểu diễn bằng phương trình vi phân bao trùm các sự phát triển của hệ tương ứng. 26 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung 2.1. Mô tả các ví dụ bằng phương trình vi phân 2.1.1. Ví dụ 1.1 Động lực của con lắc lí tưởng được mô tả bởi Định luật 2 Niu tơn, ϕ¨ = −k 2 sin ϕ, với g k2 = , l trong đó, l là độ dài con lắc, và g là hằng số trọng lực gia tốc. Nếu chúng ta đặt ψ = ϕ, ˙ khi đó, (ϕ, ψ) là một điểm trong không gian trạng thái X = S1 × R1 , phương trình vi phân ở trên có thể được viết dưới dạng của phương trình (2.1):   ϕ˙ = ψ, .  ψ˙ = −k 2 sin ϕ ở đây   ϕ x =  , ψ Khi đó,     ϕ ψ . f = 2 ψ −k sin ϕ 27 (2.2) Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung 2.1.2. Ví dụ 1.2 Hình dạng của một hệ cơ học lưu trữ năng lượng bị cô lập với bậc tự do s được xác định bởi 2s phương trình Hamitơn ∂H ∂H , p˙i = − , ∂pi ∂qi q˙i = (2.3) Cho i = 1, 2, ..., s. Ở đây, các hàm số H = H (q, p) là hàm Hamiton. Phương trình chuyển động của con lắc (2.2) là phương trình Hamiton với (q, p) = (ϕ, ψ) và H (ϕ, ψ) = ψ2 2 + k 2 cos ϕ. 2.1.3. Ví dụ 1.3 Hình dạng của một hệ lượng tử với hai trạng thái có năng lượng khác nhau có thể được mô tả bằng phương trình Heisenberg, dψ = Hψ, dt i với i2 = −1,  ψ= a1 a2   , ai ∈ C1 Ma trận thực đối xứng  H= E0 −A −A E0 là ma trận Hamiton của hệ và   , E0 , A > 0, là hàm số Plank’s chia cho 2π. Các phương trình Heisenberg có thể được viết như hệ sau đây của hai phương trình tuyến tính phức cho các biên độ   a˙ 1 = 1 (E0 a1 − Aa2 ) , i a˙ = 2 1 i (−Aa1 + E0 a2 ) . 28 (2.4) Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Trong điều kiện rất chung chung, nghiệm của ODEs xác định hệ động lực trơn liên tục theo thời gian. Một vài loại của phương trình vi phân có thể giải, giải tích (nhờ các hàm cơ bản). Tuy nhiên, với vế phải trơn, nghiệm được bảo đảm tồn tại nhờ định lí dưới đây: Định lý 2.1. (Sự tồn tại, tính duy nhất và sự phụ thuộc trơn) Hãy xét phương trình của một hệ vi phân thường x˙ = f (x) , x ∈ Rn , trong đó, f : Rn → Rn , là trơn trong một miền mở U ⊂ Rn . Khi đó, có duy nhất một hàm số x = x (t, x0 ) , x : R1 × Rn → Rn , hàm này là trơn theo (t, x), và với mỗi x0 ∈ U , điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) x (0, x0 ) = x0 ; (ii) có một khoảng J = (−δ1 , δ2 ), trong đó, δ1,2 = δ1,2 (x0 ) > 0, như vậy rằng, đối với tất cả t ∈ J, y (t) = x (t, x0 ) ∈ U, và y˙ (t) = f (y (t)). Mức độ trơn của x (t, x0 ) đối với x0 trong Định lí 2.1 cũng giống của f như là hàm số của x. Các hàm số x = x (t, x0 ), coi như là hàm số của thời gian t, được gọi là nghiệm ban đầu tại x0 . Với mỗi x0 ∈ U , nó định nghĩa hai đối tượng: đường cong nghiệm: Cr (x0 ) = {(t, x) : x = x (t, x0 ) , t ∈ J} ⊂ R1 × Rn và một quỹ đạo, đó là hình chiếu của Cr (x0 ) lên không gian trạng thái, Or (x0 ) = {x : x = x (t, x0 ) , t ∈ J} ⊂ Rn (Nhìn hình 2.1). Cả hai đường cong được tham số hóa bởi thời gian t và định hướng bởi hướng tăng của thời gian. Một véc tơ f (x0 ) khác 29 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Hình 2.1: Đường cong và quỹ đạo không tiếp xúc với quỹ đạo Or(x0 ) taị x0 . Có một quỹ đạo duy nhất đi qua một điểm x0 ∈ U . Theo các điều kiện của định lí, các quỹ đạo hoặc là U tại t = −δ1 (hoặc t = δ2 ), hoặc ở trong U ; trong các trường hợp sau chúng ta có thể lấy J = (−∞, +∞). Bây giờ chúng ta định nghĩa toán tử tiến hóa ϕt : Rn → Rn bởi công thức ϕt x0 = x (t, x0 ) , gán cho x0 một điểm trên quỹ đạo thông qua x0 đó là thông qua đơn vị thời gian sau này. Rõ ràng, R1 , Rn , ϕt là hệ động lực liên tục theo thời gian. Hệ này là khả nghịch. Mỗi toán tử tiến hoá ϕt là được xác định cho x ∈ U và t ∈ J, trong đó J phụ thuộc vào x0 và là trơn đối với x. 30 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Điều kiện đủ cho một điểm cân bằng x0 ổn định được cung cấp bởi các định lí cổ điển sau: Định lý 2.2. (Liapunov [1892]) Xét một hệ động lực được xác định bởi x˙ = f (x) , x ∈ Rn , trong đó, f là trơn. Giả sử rằng, nó có điểm cân bằng x0 (tức là, f (x0 ) = 0), và kí hiệu ma trận Jacôbian của f (x) tại điểm cân bằng là A = fx x0 . Khi đó, x0 là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn của A thỏa mãn Re λ < 0 Nhớ lại rằng, các giá trị riêng là nghiệmcủa phương trình đặc trưng det (A − λI) = 0, trong đó, I là ma trận đồng nhất thức n × n. Định lí có thể dễ dàng được chứng minh đối vói một hệ tuyến tính x˙ = Ax, x ∈ Rn , Bởi rõ ràng nghiệm của nó trong cơ sở ở đó A có dạng chuẩn tắc Jordan, cũng như đối với một hệ thống phi tuyến tổng quát bằng cách xây dựng hàm Liapunov L (x) gần điểm cân bằng. Chính xác hơn, bởi một sự thay đổi tọa độ người ta có thể đặt tại điểm cân bằng, x0 = 0, và tìm thấy một số dạng phương trình toàn phương L (x) có mặt mức L (x) = L0 bao quanh điểm gốc sao cho trường véc tơ gắn một cách chặt chẽ bên trong mức bề mặt bằng phẳng đủ gần điểm cân bằng x0 (nhìn Hình 2.2). Trên thực tế, hàm Liapunov L (x) là giống nhau cho cả hệ tuyến tính và hệ phi tuyến và hoàn toàn xác đinh bởi ma trận Jacôbian A. 31 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Hình 2.2: Hàm Liapunov 2.2. Ánh xạ Poincaré Có rất nhiều trường hợp các hệ động lực gián đoạn theo thời gian tự nhiên xuất hiện trong các nghiên cứu của hệ động lực liên tục theo thời gian xác định bởi phương trình vi phân. Sự ra đời của ánh xạ như vậy cho phép chúng ta áp dụng các kết quả liên quan đến ánh xạ phương trình vi phân. Điều này đặc biệt hiệu quả nếu kết quả của ánh xạ được định nghĩa trong không gian chiều thấp hơn không gian hệ ban đầu. Chúng ta sẽ gọi ánh xạ phát sinh từ ODEs là ánh xạ Poincaré. 2.2.1. Ánh xạ trượt theo thời gian Cách đơn giản nhất để tách hệ động lực gián đoạn theo thời gian từ hệ liên tục theo thời gian R1 , X, ϕt là cố định một vài T0 > 0 và xem xét một hệ trên X được tạo ra bởi sự lặp lại của ánh xạ f = ϕT0 . Ánh xạ 32 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung này được gọi là trượt theo thời gian T0 cùng quỹ đạo của R1 , X, ϕt đã bị cô lập điểm cân bằng. Xét bài toán nghịch đảo: Câu hỏi đặt ra là nó có thể xây dựng một hệ thống các ODEs mà ánh xạ trượt theo thời gian T0 là ϕT0 đưa ra ánh xạ f trơn và nghịch? Nếu chúng ta yêu cầu các hệ gián đoạn theo thời gian để có kích thước tương tự như hệ liên tục theo thời gian, câu trả lời là “phủ định”. Các ví dụ đơn giản được kể ra và cho các ánh xạ vô hướng tuyến tính. 1 x → f (x) = − x, x ∈ R1 . 2 (2.5) Các ánh xạ trong (2.5) có một điểm cố định đơn x0 = 0 là ổn định. Rõ ràng, không có phương trình vi phân vô hướng nào x˙ = F (x) , x ∈ R1 , (2.6) thỏa mãn phương trình tiến hóa ϕT0 = f . 2.2.2. Ánh xạ Poincaré và sự ổn định của chu trình Xét một hệ động lực liên tục thời gian xác định bởi x˙ = f (x) , x ∈ Rn , (2.7) với f trơn. Giả sử rằng, (2.7) có một quỹ đạo tuần hoàn L0 . Lấy một điểm x0 ∈ L0 và giới thiệu mặt cắt ngang với chu trình tại điểm này (nhìn Hình 2.3). Các mặt cắt ngang là siêu phẳng trơn (n − 1) chiều, giao L0 tại góc khác 0. Vì số chiều của là nhỏ hơn so với số chiều của không gian trạng thái, chúng ta nói rằng siêu phẳng 33 “có số đối chiều 1”, codim Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Hình 2.3: Ánh xạ Poincaré liên kết với một chu trình = 1. Giả sử rằng, là xác định ở gần điểm x0 bởi tập mức 0 của của hàm vô hướng trơn g : Rn → R1 , g (x0 ) = 0, = {x ∈ Rn : g (x) = 0} . Một góc giao khác không có nghĩa là gradien ∇g (x) = ∂g (x) ∂g (x) ∂g (x) , , ..., ∂x1 ∂x2 ∂xn T , không phải là trực giao với L0 tại x0 , ∇g (x0 ) , f (x0 ) = 0, trong đó, ·, · là tích vô hướng chuẩn tắc trong Rn . Sự lựa chọn đơn giản nhất của là siêu phẳng trực giao với chu trình L0 tại x0 . Như vậy một mặt cắt ngang là rõ ràng được đưa ra bởi tập mức 0 của hàm số tuyến tính. g (x) = f (x0 ) , x − x0 . Bây giờ xem xét quỹ đạo của (2.7) gần chu trình L0 . Chu trình của chính nó là một quỹ đạo, bắt đầu từ một điểm trên 34 và trở về tới Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung tại cùng một điểm (x0 ∈ ).Vì nghiệm có tính trơn phụ thuộc vào điểm ban đầu, một quỹ đạo xuất phát tại x ∈ tại một điểm x˜ ∈ đủ gần x0 cũng trở về gần x0 . Hơn nữa, gần quỹ đạo cũng sẽ giao với một góc khác không. Như vậy ánh xạ P : −→ (2.8) x −→ x = P (x) Định nghĩa 2.1. Ánh xạ P được gọi là ánh xạ Poincaré liên kết với các chu trình L0 . Các ánh xạ Poincaré được xác định tại địa phương là trơn như vế phải của (2.7) và khả nghịch gần x0 . Tính nghịch đảo ngược theo sau từ các tính nghịch đảo của hệ động lực được xác định bởi (2.7). Các ánh xạ ngược P −1 : đạo qua → có thể được xác định bằng cách mở rộng các quỹ lùi theo thời gian cho đến khi đạt đến giao trước đó với mặt . Giao điểm x0 là một điểm cố định của ánh xạ Poincaré. P (x0 ) = x0 . Cho toạ độ địa phương ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn−1 ) trên khi đó ξ = 0 tương ứng với x0 . Khi đó, các ánh xạ Poincaré sẽ được đặc trưng bởi một định nghĩa ánh xác định địa phương P : Rn−1 → Rn−1 , mà biến đổi ξ tương ˜ ứng với x để ξ˜ thành x˜, P (ξ) = ξ. Điểm gốc ξ = 0 của Rn−1 là một điểm cố định của ánh xạ P : P (0) = 0. Sự ổn định của chu trình L0 là tương đương với sự ổn định của điểm cố định ξ0 = 0 của ánh xạ Poincaré. Do đó, chu trình là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng µ1 , µ2 , ..., µn−1 của ma trận Jacôbian 35 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung cấp (n − 1) × (n − 1) của P, A= dP dξ , ξ=0 là nằm trên vòng tròn đơn vị |µ| = 1 (xem định lí 1.2) Bổ đề 2.1. Cho các nhân tử µ1 , µ2 , ..., µn−1 của ma trận Jacôbian A của ánh xạ Poincaré P liên kết với chu trình L0 là độc lập của các điểm x0 trên L0 , mặt cắt ngang Chứng minh. Lấy 1 , và tọa độ địa phương trên nó và 2 là hai mặt cắt ngang cùng một chu trình L0 tại điểm x1 và x2 tương ứng (nhìn Hình 2.4, trường hợp có một mặt phẳng được biểu diễn đơn giản). Giả sử các điểm x1,2 trùng nhau và chúng lấy mặt cắt ngang 1,2 đại diện bề mặt giống hệt nhau trong Rn mà chỉ khác nhau ở tham số hóa. Kí hiệu P1 : 1 → 1 và P2 : 2 → 2 là các ánh xạ Poincaré tương ứng. Cho ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn−1 ) là tọa độ trên 1 và cho η = (η1 , η2 , ..., ηn−1 ) là tọa độ trên 2, khi đó ξ = 0 tương ứng với x1 và η = 0 cho x2 . Cuối cùng, kí hiệu A1 và A2 là các ma trận Jacôbian liên kết với P1 và P2 tương ứng. Do các đối số tương tự như nhau, chúng ta sử dụng để xác định ánh xạ Poincaré, có tồn tại định nghĩa cục bộ, trơn và nghịch tương ứng ánh xạ Q : 1 → 2 cùng quỹ đạo của (2.7): η = Q (ξ) . Rõ ràng, chúng ta có, P 2 ◦ Q = Q ◦ P1 , hoặc ở tọa độ, P2 (Q (ξ)) = Q (P1 (ξ)) , 36 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung với mọi ξ đủ nhỏ (nhìn Hình 2.3). Khi đó Q là khả nghịch, chúng ta có được các mối quan hệ sau đây giữa P1 và P2 : P1 = Q−1 ◦P2 ◦Q. Phân biệt phương trình này đối với ξ và sử dụng các quy tắc dây chuyền, chúng ta thấy: dP1 dQ−1 dP2 dQ = . dξ dη dη dξ Đánh giá kết quả tại ξ = 0 cho các phương trình ma trận A1 = B −1 A2 B, trong đó, B= dQ dξ ξ=0 là điểm kì dị (nghĩa là det B = 0). Do đó, các phương trình đặc trưng cho A1 và A2 là trùng nhau, cũng như các nhân tử trùng nhau. Thật vậy, det (A1 − µI) = det B −1 det (A2 − µI) det (B) = det (A2 − µI) , Khi định thức của các tích ma trận bằng tích của ma trận phức tạp và det B −1 det (B) = 1. Hình 2.4: Hai mặt cắt ngang với chu trình L0 37 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Theo Bổ đề 2.1, chúng ta có thể sử dụng bất kì mặt cắt ngang để tính các nhân tử của chu trình. Vấn đề tiếp theo cần được giải quyết là mỗi quan hệ giữa các nhân tử của một chu trình và các phương trình vi phân (2.7) xác định hệ động lực mà có chu trình này. Cho x0 (t) là một nghiệm của (2.7), x0 (t + T0 ), tương ứng một chu trình L0 . Biểu diễn cho một nghiệm của (2.7) dưới dạng x (t) = x0 (t) + u (t) trong đó u (t) là một sự sai lệch từ các nghiệm tuần hoàn. Khi đó, u˙ (t) = x˙ (t)−x˙ 0 (t) = f x0 (t) + u (t) −f x0 (t) = A (t) u (t)+O . Bỏ số hạng O u 2 u (t) , ở kết quả chỉ còn hệ tuyến tính tuần hoàn chu kì T0 u˙ = A (t) u, u ∈ Rn (2.9) trong đó, A (t) = fx x0 (t) , A (t + T0 ) = A (t) . Định nghĩa 2.2. Hệ (2.9) được gọi là phương trình biến phân về chu trình L0 Định nghĩa 2.3. Ma trận phụ thuộc thời gian M (t) được gọi là ma trận nghiệm cơ bản của (2.7) nếu nó thỏa mãn M˙ = A (t) M, với điều kiện ban đầu M (0) = I , ma trân đơn vị vuông cấp n × n. Bất kì nghiệm u (t) của (2.9) đều thỏa mãn: u (T0 ) = M (T0 ) u (0). Các ma trận M (T0 ) được gọi là ma trận đơn đạo của chu trình L0 . Các 38 2 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung công thức Liouville sau biểu thị các định thức của ma trận đơn về các ma trận A (t): detM (T0 ) = exp    T0 0   trA (t)dt  (2.10) Định lý 2.3. Ma trận đơn đạo M (T0 ) có giá trị riêng 1, µ1 , µ2 , ..., µn−1 , trong đó µi là các nhân tử của ánh xạ Poincare liên kết với chu trình L0 . Tóm tắt chứng minh: Cho toán tử tiến hóa ϕt (lực lượng) xác định bởi hệ (2.7) gần chu trình L0 . Xem xét các ánh xạ: ϕT0 : Rn → Rn Rõ ràng, ϕT0 x0 = x0 , trong đó, x0 là điểm ban đầu của chu trình, mà chúng ta giả định được đặt tại điểm gốc, x0 = 0. Ánh xạ là trơn và nó là ma trận Jacôbian tại x0 trùng với ma trận đơn: ∂ϕT0 x ∂x = M (T0 ) . x=x0 Các ma trận M (T0 ) có một giá trị riêng µ0 = 1. Thật vậy, v (t) = x˙ 0 (t) là nghiệm của (2.9). Vì vậy, q = v (0) = f (x0 ) là được biểu diễn bởi M (T0 ) vào chính nó: M (T0 ) q = q. Không có véc tơ riêng tổng quát liên quan đến q. Như vậy, ma trận đơn M (T0 ) có một không gian con bất biến một chiều kéo dài bởi q và bổ xung không gian con (n − 1) chiều con : M (T0 ) = . Lấy không gian như một mặt cắt ngang với chu trình tại x0 = 0. Có thể thấy rằng những hạn chế của các biến đổi tuyến tính xác định bởi M (T0 ) để không gian con bất biến P xác định bởi hệ (2.7) trên là các ma trận Jacôbian của ánh xạ Poincaré . Do đó, họ các giá trị riêng µ1 , µ2 , ..., µn−1 trùng nhau. 39 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Theo (2.10) các tích của tất cả các giá trị riêng của M (T0 ) có thể được thể hiện như sau: µ1 µ2 ...µn−1 = exp    T0 0   0 (divf ) x (t) dt ,  (2.11) trong đó, theo định nghĩa, sự phân kì trường véc tơ f (x) được cho bởi: n (divf ) (x) = i=1 ∂fi (x) . ∂xi Do đó, các tích của tất cả nhân tử của bất kì chu trình là dương. Chú ý rằng, trong trường hợp phẳng (n = 2) công thức (2.11) cho phép chúng ta tính toán chỉ nhân tử µ1 với điều kiện là các nghiệm tương ứng định kì với chu trình là đã biết. 40 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận "Mở đầu về hệ động lực”. Khóa luận giới thiệu một số thuật ngữ cơ bản, định nghĩa hệ động lực và đưa ra một số ví dụ bao gồm cả biểu trưng động lực học, giới thiệu các khái niệm về quỹ đạo, tập bất biến và sự ổn định của nó. Cuối cùng, dần tới lí do sử dụng phương trình vi phân có thể xác định các hệ động lực trong không gian hữu hạn chiều. Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận vẫn còn nhiều sai sót, nhất là mặt dịch thuật. Em rất mong các thầy cô, các bạn góp ý và nhận xét để khóa luận này được đầy đủ và hoàn thiện hơn. Trước khi kết thúc khóa luận này, một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô giáo trong trường, đặc biệt là Thầy giáo Bùi Kiên Cường đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. 41 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Cơ sở phương trình vi phân - Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Thu 2. Giải tích hàm - Nguyễn Phụ Hy 3. Element of Applied Bifurction Theory Second Edition - Yuria. Kuznetsov 42 [...]... trạng thái cơ bản X, thì hệ động lực được gọi là hữu hạn chiều hoặc vô hạn chiều 1.1.2 thời gian Sự phát triển của một hệ động lực có nghĩa là một sự thay đổi trạng thái của hệ đối với thời gian t ∈ T , trong đó T là một tập hợp số nào đó 6 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Chúng ta sẽ xem xét hai loại hệ động lực là: hệ động lực với thời gian liên tục (thực) T = R1 , và hệ động lực thời gian gián đoạn... Những hệ như vậy được gọi là hệ động lực trơn 1.1.4 Định nghĩa của hệ động lực Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa chính xác về hệ động lực Định nghĩa 1.1 Hệ động lực là bộ ba gồm {T, X, ϕt }, trong đó T là tập thời gian, X là không gian trạng thái, và ϕt : X → X là một họ toán tử tiến hóa được tham số hóa bởi t ∈ T và thỏa mãn tính chất (DS.0) và (DS.1) Cho hai ví dụ minh họa định nghĩa: Ví dụ 1.5 (hệ. .. Loại hệ đầu tiên được gọi là hệ động lực liên tục theo thời gian Loại thứ hai gọi là hệ động lực gián đoạn theo thời gian Hệ gián đoạn theo thời gian xuất hiện một cách tự nhiên trong sinh thái học và kinh tế khi trạng thái của hệ tại một thời điểm nhất định của thời gian t hoàn toàn xác định trạng thái của nó sau một năm, tức là tại t + 1 1.1.3 Toán tử tiến hóa Các thành phần chính của hệ động lực. .. mọi cặp (x, t) ∈ X × T Hệ 7 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung động lực toán tử tiến hóa ϕt xác định đồng thời cho cả t ≥ 0 và t < 0 được gọi là khả nghịch Trong những hệ như vậy, trạng thái ban đầu x0 không chỉ hoàn toàn xác định các trạng thái tương lai của hệ mà còn xác định dáng điệu trong quá khứ Tuy nhiên, thật là hữu ích khi xem xét hệ động lực, mà dáng điệu của hệ đông lực trong tương lai với... phép lặp thứ N0 , f N0 của ánh xạ f Hệ từ ví dụ 13 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung Hình 1.4: Quỹ đạo định kì của hệ liên tục theo thời gian (a) Quỹ đạo định kì của hệ gián đoạn theo thời gian(b) 1 không có chu trình Ngược lại, biểu trưng hệ động lực (Ví dụ 1.4) có một số lượng vô hạn của chu trình Chúng ta có thể phân loại tất cả quỹ đạo có thể trong hệ động lực thành điểm cố định, chu trình và... và các phần còn lại Định nghĩa 1.6 Đường cong pha của hệ động lực là sự phân chia của không gian trạng thái thành quỹ đạo Đường cong pha bao hàm một khối lượng lớn thông tin về hình dạng của một hệ động lực Bằng cách nhìn vào đường cong pha, chúng ta có thể xác định số lượng và loại của trạng thái tiệm cận mà hệ đó dần tới khi t → +∞ (và t → −∞ nếu hệ là khả nghịch) Tất nhiên không thể vẽ tất cả các... nguyên văn và ánh xạ bị nhiễu f˜ có một tập ˜ mà các động lực hoàn toàn mô tả bởi các ánh xạ trượt hợp bất biến Λ σ Trên chuỗi không gian Ω2 , đây là một ví dụ về hình dạng cấu trúc ổn định 1.3.2 Tính ổn định của tập bất biến Để mô tả một trạng thái tiệm cận quan sát được của hệ động lực, một tập bất biến S0 phải được ổn định Giả sử chúng ta có một hệ động lực 22 Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Kim Dung {T,... tiệm cận của hệ các định nghĩa sau đây Định nghĩa 1.7 Một tập hợp bất biến của hệ động lực {T, X, ϕt } là tập con S ⊂ X sao cho x0 ∈ S bao hàm ϕt x0 ∈ S cho tất cả t ∈ T Định nghĩa có nghĩa là ϕt S ⊆ S với mọi t ∈ T Rõ ràng, một tập bất biến S bao gồm các quỹ đạo của hệ động lực Bất kì quỹ đạo riêng lẻ Or(x0 ) là một tập bất biến Chúng ta luôn luôn có thể giới hạn toán tử tiến hóa ϕt của hệ lên tập... Liapunov(nhìn Hình 1.9(b)) Nếu x0 là một điểm cố định của hệ động lực gián đoạn theo thời gian, hệ này trơn và hữu hạn chiều, điều kiện đủ cho sự ổn định của nó có thể được xây dựng trong điều kiện của ma trận Jacobian tại x0 Định lý 1.2 Xét một hệ động lực gián đoạn thời gian x → f (x) , x ∈ Rn , trong đó, f là ánh xạ trơn Giả sử nó có một điểm bất động x0 , cụ thể là f x0 = x0 và kí hiệu A là ma trận... Bất kì quỹ đạo nào của Z+ , X, f k x0 25 đều hội tụ tới Chương 2 Phương trình vi phân và hệ động lực Cách phổ biến nhất để xác định hệ động lực liên tục theo thời gian là bằng phương trình vi phân Giả sử rằng không gian trạng thái của hệ là X = Rn có tọa độ (x1 , x2 , , xn ) Thường định luật của sự phát triển của hệ được đưa ra dưới dạng ẩn, nhờ vận tốc x˙ i là hàm số của các tọa độ (x1 , x2 , , xn ): ... chương: Chương 1: Mở đầu hệ động lực Chương 2: Phương trình vi phân hệ động lực Chương MỞ ĐẦU HỆ ĐỘNG LỰC Trong chương này, giới thiệu số thuật ngữ khái niệm Đầu tiên định nghĩa hệ động lực đưa số ví... loại hệ động lực là: hệ động lực với thời gian liên tục (thực) T = R1 , hệ động lực thời gian gián đoạn (nguyên) T = Z Loại hệ gọi hệ động lực liên tục theo thời gian Loại thứ hai gọi hệ động lực. .. nữa, nhiều hệ xác định Rn đa tạp trơn Rn , cho ϕt x trơn hàm (x, t) Những hệ gọi hệ động lực trơn 1.1.4 Định nghĩa hệ động lực Bây đưa định nghĩa xác hệ động lực Định nghĩa 1.1 Hệ động lực ba gồm