Xét một hệ động lực liên tục thời gian xác định bởi
˙
x = f (x), x ∈ Rn, (2.7) với f trơn. Giả sử rằng, (2.7) có một quỹ đạo tuần hoàn L0. Lấy một điểm x0 ∈ L0 và giới thiệu mặt cắt ngang P
với chu trình tại điểm này (nhìn Hình 2.3).
Các mặt cắt ngang P
là siêu phẳng trơn (n−1) chiều, giao L0 tại góc khác 0. Vì số chiều của P
là nhỏ hơn so với số chiều của không gian trạng thái, chúng ta nói rằng siêu phẳng P
Hình 2.3:Ánh xạ Poincaré liên kết với một chu trình
P
= 1. Giả sử rằng, P
là xác định ở gần điểm x0 bởi tập mức 0 của của hàm vô hướng trơn g : Rn → R1, g(x0) = 0,
X
= {x ∈ Rn : g(x) = 0}.
Một góc giao khác không có nghĩa là gradien
∇g(x) = ∂g(x) ∂x1 , ∂g(x) ∂x2 , ..., ∂g(x) ∂xn T ,
không phải là trực giao với L0 tại x0, h∇g(x0), f(x0)i 6= 0,
trong đó, h·,·i là tích vô hướng chuẩn tắc trong Rn. Sự lựa chọn đơn giản nhất của P
là siêu phẳng trực giao với chu trình L0 tại x0. Như vậy một mặt cắt ngang là rõ ràng được đưa ra bởi tập mức 0 của hàm số tuyến tính.
g(x) = hf (x0), x −x0i.
Bây giờ xem xét quỹ đạo của (2.7) gần chu trình L0. Chu trình của chính nó là một quỹ đạo, bắt đầu từ một điểm trên P
tại cùng một điểm (x0 ∈ P
).Vì nghiệm có tính trơn phụ thuộc vào điểm ban đầu, một quỹ đạo xuất phát tại x ∈ P
đủ gần x0 cũng trở về P tại một điểm x˜ ∈ P
gần x0. Hơn nữa, gần quỹ đạo cũng sẽ giao với P một góc khác không. Như vậy ánh xạ
P : X −→ X
x 7−→ ex = P(x)
(2.8)
Định nghĩa 2.1. Ánh xạ P được gọi là ánh xạ Poincaré liên kết với các chu trình L0.
Các ánh xạ Poincaré được xác định tại địa phương là trơn như vế phải của (2.7) và khả nghịch gần x0. Tính nghịch đảo ngược theo sau từ các tính nghịch đảo của hệ động lực được xác định bởi (2.7). Các ánh xạ ngược P−1 : P
→ P
có thể được xác định bằng cách mở rộng các quỹ đạo qua P
lùi theo thời gian cho đến khi đạt đến giao trước đó với mặt P
. Giao điểm x0 là một điểm cố định của ánh xạ Poincaré. P (x0) = x0. Cho toạ độ địa phương ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn−1) trên P
khi đó ξ = 0tương ứng với x0. Khi đó, các ánh xạ Poincaré sẽ được đặc trưng bởi một định nghĩa ánh xác định địa phương P : Rn−1 → Rn−1, mà biến đổi ξ tương ứng với x để ξ˜thành x˜, P (ξ) = ˜ξ.
Điểm gốc ξ = 0 của Rn−1 là một điểm cố định của ánh xạ P :
P (0) = 0. Sự ổn định của chu trình L0 là tương đương với sự ổn định của điểm cố định ξ0 = 0 của ánh xạ Poincaré. Do đó, chu trình là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng µ1, µ2, ..., µn−1 của ma trận Jacôbian
cấp (n−1)×(n−1) của P, A = dP dξ ξ=0 ,
là nằm trên vòng tròn đơn vị |µ| = 1 (xem định lí 1.2)
Bổ đề 2.1. Cho các nhân tử µ1, µ2, ..., µn−1 của ma trận Jacôbian A của ánh xạ Poincaré P liên kết với chu trình L0 là độc lập của các điểm x0
trên L0, mặt cắt ngang P
, và tọa độ địa phương trên nó Chứng minh. Lấy P
1 và P
2 là hai mặt cắt ngang cùng một chu trìnhL0
tại điểmx1 và x2 tương ứng (nhìn Hình 2.4, trường hợp có một mặt phẳng được biểu diễn đơn giản). Giả sử các điểm x1,2 trùng nhau và chúng lấy mặt cắt ngang P
1,2 đại diện bề mặt giống hệt nhau trong Rn mà chỉ khác nhau ở tham số hóa. Kí hiệu P1 : P
1 → P
1 và P2 : P
2 → P 2 là các ánh xạ Poincaré tương ứng. Cho ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn−1) là tọa độ trên P
1 và cho η = (η1, η2, ..., ηn−1) là tọa độ trên P
2, khi đó ξ = 0 tương ứng với x1 và η = 0 cho x2. Cuối cùng, kí hiệu A1 và A2 là các ma trận Jacôbian liên kết với P1 và P2 tương ứng.
Do các đối số tương tự như nhau, chúng ta sử dụng để xác định ánh xạ Poincaré, có tồn tại định nghĩa cục bộ, trơn và nghịch tương ứng ánh xạ Q : P
1 →P
2 cùng quỹ đạo của (2.7): η = Q(ξ).
Rõ ràng, chúng ta có,
P2 ◦Q= Q◦P1,
hoặc ở tọa độ,
với mọikξk đủ nhỏ (nhìn Hình 2.3). Khi đó Q là khả nghịch, chúng ta có được các mối quan hệ sau đây giữaP1 và P2:P1 = Q−1◦P2◦Q.Phân biệt phương trình này đối với ξ và sử dụng các quy tắc dây chuyền, chúng ta thấy: dP1 dξ = dQ−1 dη dP2 dη dQ dξ .
Đánh giá kết quả tại ξ = 0 cho các phương trình ma trận A1 = B−1A2B,
trong đó, B = dQ dξ ξ=0
là điểm kì dị (nghĩa là detB 6= 0). Do đó, các phương trình đặc trưng cho A1 và A2 là trùng nhau, cũng như các nhân tử trùng nhau. Thật vậy, det (A1 −µI) = det B−1det (A2 −µI) det (B) = det (A2 −µI),
Khi định thức của các tích ma trận bằng tích của ma trận phức tạp và det B−1det (B) = 1.
Theo Bổ đề 2.1, chúng ta có thể sử dụng bất kì mặt cắt ngang P để tính các nhân tử của chu trình. Vấn đề tiếp theo cần được giải quyết là mỗi quan hệ giữa các nhân tử của một chu trình và các phương trình vi phân (2.7) xác định hệ động lực mà có chu trình này. Cho x0(t) là một nghiệm của (2.7), x0(t+T0), tương ứng một chu trình L0. Biểu diễn cho một nghiệm của (2.7) dưới dạng
x(t) = x0(t) +u(t)
trong đó u(t) là một sự sai lệch từ các nghiệm tuần hoàn. Khi đó, ˙ u(t) = ˙x(t)−x˙0(t) = f x0(t) +u(t)−f x0(t) = A(t)u(t)+O ku(t)k2 . Bỏ số hạng O
kuk2, ở kết quả chỉ còn hệ tuyến tính tuần hoàn chu kì T0
˙
u = A(t)u, u ∈ Rn (2.9) trong đó, A(t) = fx x0(t), A(t+T0) = A(t).
Định nghĩa 2.2. Hệ (2.9) được gọi là phương trình biến phân về chu trình L0
Định nghĩa 2.3. Ma trận phụ thuộc thời gian M (t) được gọi là ma trận nghiệm cơ bản của (2.7) nếu nó thỏa mãn
˙
M = A(t)M,
với điều kiện ban đầu M (0) = I , ma trân đơn vị vuông cấp n×n. Bất kì nghiệm u(t) của (2.9) đều thỏa mãn: u(T0) = M (T0)u(0). Các ma trận M (T0) được gọi là ma trận đơn đạo của chu trình L0. Các
công thức Liouville sau biểu thị các định thức của ma trận đơn về các ma trận A(t): detM (T0) = exp T0 Z 0 trA(t)dt (2.10)
Định lý 2.3. Ma trận đơn đạo M (T0) có giá trị riêng 1, µ1, µ2, ..., µn−1, trong đó µi là các nhân tử của ánh xạ Poincare liên kết với chu trình L0.
Tóm tắt chứng minh: Cho toán tử tiến hóa ϕt (lực lượng) xác định bởi hệ (2.7) gần chu trình L0. Xem xét các ánh xạ: ϕT0 : Rn → Rn Rõ ràng, ϕT0x0 = x0, trong đó, x0 là điểm ban đầu của chu trình, mà chúng ta giả định được đặt tại điểm gốc, x0 = 0. Ánh xạ là trơn và nó là ma trận Jacôbian tại x0 trùng với ma trận đơn:
∂ϕT0x ∂x x=x0 = M (T0).
Các ma trận M (T0) có một giá trị riêng µ0 = 1. Thật vậy, v(t) = ˙
x0(t) là nghiệm của (2.9). Vì vậy, q = v(0) = f (x0) là được biểu diễn bởi M (T0) vào chính nó: M (T0)q = q.
Không có véc tơ riêng tổng quát liên quan đến q. Như vậy, ma trận đơn
M (T0) có một không gian con bất biến một chiều kéo dài bởi q và bổ xung không gian con (n−1) chiều P
: M (T0)P
= P
. Lấy không gian con P
như một mặt cắt ngang với chu trình tại x0 = 0. Có thể thấy rằng những hạn chế của các biến đổi tuyến tính xác định bởi M (T0) để không gian con bất biến P
là các ma trận Jacôbian của ánh xạ Poincaré P xác định bởi hệ (2.7) trên P
. Do đó, họ các giá trị riêng µ1, µ2, ..., µn−1
Theo (2.10) các tích của tất cả các giá trị riêng của M (T0) có thể được thể hiện như sau:
µ1µ2...µn−1 = exp T0 Z 0 (divf) x0(t)dt , (2.11)
trong đó, theo định nghĩa, sự phân kì trường véc tơ f (x) được cho bởi: (divf) (x) = n X i=1 ∂fi(x) ∂xi .
Do đó, các tích của tất cả nhân tử của bất kì chu trình là dương. Chú ý rằng, trong trường hợp phẳng (n = 2) công thức (2.11) cho phép chúng ta tính toán chỉ nhân tử µ1 với điều kiện là các nghiệm tương ứng định kì với chu trình là đã biết.
KẾT LUẬN
Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận "Mở đầu về hệ động lực”. Khóa luận giới thiệu một số thuật ngữ cơ bản, định nghĩa hệ động lực và đưa ra một số ví dụ bao gồm cả biểu trưng động lực học, giới thiệu các khái niệm về quỹ đạo, tập bất biến và sự ổn định của nó. Cuối cùng, dần tới lí do sử dụng phương trình vi phân có thể xác định các hệ động lực trong không gian hữu hạn chiều. Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận vẫn còn nhiều sai sót, nhất là mặt dịch thuật. Em rất mong các thầy cô, các bạn góp ý và nhận xét để khóa luận này được đầy đủ và hoàn thiện hơn. Trước khi kết thúc khóa luận này, một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô giáo trong trường, đặc biệt là Thầy giáo Bùi Kiên Cường đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Cơ sở phương trình vi phân - Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Thu 2. Giải tích hàm - Nguyễn Phụ Hy
3. Element of Applied Bifurction Theory Second Edition - Yuria. Kuznetsov