CHUYÊN đề cơ học THIÊN văn

Sau này khi Johannes Kepler phát hiện ra ba định luật Kepler và Isacc Newton đưa ra định luật luật vạn vật hấp dẫn thì con người mới khảo sát một cách chính xác và có hệ thống sự chuyển

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ: CƠ HỌC THIÊN VĂN

Tác giả: Phạm Văn Đoàn

Trường THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn của đời sống mà ngành thiên văn học ra đời từ rất sớm Khi mới hình thành thì đối tượng nghiên cứu của thiên văn học chủ yếu là khảo sát sự chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời với phương pháp quan sát trực quan là chủ yếu Sau này khi Johannes Kepler phát hiện ra ba định luật Kepler và Isacc Newton đưa ra định luật luật vạn vật hấp dẫn thì con người mới khảo sát một cách chính xác và có hệ thống sự chuyển động của các hành tinh, các thiên thể trong hệ Mặt Trời và sự chuyển động của các vệ tinh quanh hành tinh Chuyên đề này với nội dung khảo sát sự chuyển động của các vật thể bằng cách áp dụng ba định luật Kepler và định luật vạn vật hấp dẫn nhằm giúp giáo viên và học sinh thu được kết quả tốt hơn trong quá trình dạy và học phần nội dung này

1 HỆ TOẠ ĐỘ CỰC

a Định nghĩa về hệ toạ độ cực

Hệ toạ độ là phương tiện giúp ta xác định vị trí một điểm trong mặt phẳng cũng như trong không gian ba chiều Hệ toạ độ thường dùng nhất là hệ toạ độ Descartes, trong hệ này vị trí của một điểm được xác định thông qua bộ ba tọa độ (x, y, z)

Các bài toán về chuyển động của một vật, ta đều có thể sử dụng hệ toạ độ Descartes để xác định vị trí của vật Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là các bài toán chuyển động của các hành tinh và chuyển động của các vật có quỹ đạo phức tạp thì việc sử dụng hệ toạ độ Descartes là rất cồng kềnh và khó tính toán trong khi đó việc giải các bài toán này trong hệ toạ

độ cực lại đơn giản hơn rất nhiều

Với hệ toạ độ cực

vị trí của một điểm trong

mặt phẳng được xác định

thông qua hai thông số (r,

φ) trong đó r là khoảng

cách từ gốc O tới vị trí của

vật, φ là góc hợp bởi véc tơ

r và trục gốc (hình 1), giá

trị của φ trong đoạn [0;

2π] Sở dĩ ta có thể sử

dụng hệ toạ độ cực với hai

thông số để xác định vị trí một hành tinh của hệ Mặt Trời trong

quá trình chuyển động trong không gian là vì các hành tinh

chuyển động quanh Mặt Trời dưới tác dụng của lực hấp dẫn, đây

là trường lực thế xuyên tâm nên mômen động lượng của các

hành tinh bảo toàn do đó các hành tinh trong hệ Mặt Trời sẽ

Page 1 of 16

Hình 1 Hệ tọa độ cực

r

x O

φ y

x y

P(r, φ)≡P(x, y)

r

1 O

φ y

x P(2, π/3)

Hình 2 Các véc tơ đơn vị

r

O φ

chuyển động trên cùng một mặt phẳng Chính vì vậy ta chỉ cần một hệ trục toạ độ với hai thông

số là có thể xác định được vị trí của hành tinh trong không gian

Từ hình vẽ ta thấy mối qua hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ cực:

x

 ⇒ =  +  =  +  ϕ = + ϕ

 = ϕ  ÷   ÷  ÷    ÷

Descartes véc tơ đơn vị theo trục Ox và Oy lần lượt là ir và jr khi đó vận tốc của vật được viết

x y

v v i v j= +

và gia tốc a a i a jr= xr+ yr Để xác định vận tốc và gia tốc của vật trong hệ toạ độ cực theo hai toạ độ r và φ ta cũng phải xác định hai véc tơ đơn vị r$ và $ϕ (hình 2).

Trong hệ Descartes: r xi y jr= +r r, chuyển qua toạ độ cực ta có:

r

r

r xi y j r cos i r sin j h r cos i sin j

r

∂

= + = ϕ + ϕ ⇒ = = ϕ + ϕ

∂

r

$ Với hr là hệ số Lame được xác định bởi:

r

   

= ÷ + ÷ = ϕ + ϕ = → =

Suy ra véc tơ đơn vị: r cos i sin j$= ϕ +r ϕr

Tương tự đối với véc tơ đơn vị $ϕ ta có: h rϕ = ∂r = −r sin i r cos jϕ + ϕ

∂ϕ

r

$

Trong đó

hϕ =∂  + ∂  =r sin ϕ +r cos ϕ = →r hϕ =r

∂ϕ÷ ∂ϕ÷

   

Do đó, véc tơ đơn vị : $ϕ = −sin i cos jϕ +r ϕr

b Vận tốc trong hệ toạ độ cực.

Với r rrr= $ → vận tốc v d d(r.r) rr rdr

r

= = = +

r

r

$

&

Mặt khác r cos i sin j dr sin i cos j $ v rr r $

dt

= ϕ +r ϕ →r $ = −ϕ ϕ + ϕr ϕ = ϕϕ ⇒ = + ϕϕr r

c Gia tốc trong hệ toạ độ cực.

Gia tốc a dv d(rr r $) rr rdr r $ r $ r d$

= = = + + ϕϕ + ϕϕ + ϕ

r

r & &

$

&& & & & && &

dt

ϕ

ϕ = − ϕ +r ϕ →r = −ϕ& ϕ − ϕr & ϕ = −ϕr &$

Thay biểu thức của dr

dt

$

và d$ dt

ϕ vào biểu thức của ar ta có:

ϕ

= + $+ ϕϕ + ϕϕ + ϕ = + ϕϕ + ϕϕ + ϕϕ − ϕ = − ϕ + ϕ + ϕ ϕ

r

&& & & & && & && & & & & && & && & && & &

Vậy trong hệ toạ độ cực hai thành phần của véc tơ gia tốc là:

2 r

aϕ r 2r

 = − ϕ



 = ϕ+ ϕ



&& &

&& & &

d Phương trình động lực học trong hệ toạ độ cực.

2

r r

F =ma =m(r r )&&− ϕ&

Fϕ =maϕ =m(rϕ − ϕ&& 2r )& &

Nếu quỹ đạo của hành tinh là quỹ đạo tròn thì r 0; r 0& = &&= và Fϕ = ⇔ ϕ − ϕ =0 r&& 2r& & 0

e Năng lượng của hành tinh

Năng lượng toàn phần của hành tinh trong quá trình chuyển động gồm động năng và thế năng của hành tinh với Mặt Trời: E E= đ +Et

Trong đó

+ Động năng của hành tinh:

2 2 2 2 2 2 2

® = = & + ϕ =& & + ϕ&

Vì hành tinh chuyển động dưới tác dụng của lực thế xuyên tâm nên mômen động lượng của hành tinh là không đổi:

L rmv= ↔ =L rmϕ =& const suy ra động năng của hành tinh được viết là:

2

2

®

+ Thế năng của hành tinh: t

mM

r

= − Vậy năng lượng toàn phần của hành tinh là:

2 2

Trường hợp quỹ đạo chuyển động của hành tinh là tròn thì:

2 2

đ 2

= → = → = → =

r

& &

s

Do đó năng lượng toàn phần của hành tinh là:

2 2

2 Chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời

Dựa trên số liệu quan sát thiên văn trong 20 năm của nhà thiên văn học Tikho Brahe và số liệu quan sát của bản thân, nhà thiên văn học và toán học lỗi lạc người Đức là Johannes Kepler

đã tìm ra ba định luật về sự chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời cũng như sự chuyển động của các vệ tinh xung quanh các hành tinh Ba định luật này được mang tên ông và

là ba định luật cơ bản đóng vai trò quan trọng trong ngành thiên văn học Sau này khi Isacc Newton phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn thì người ta đã sử dụng nó để chứng minh chặt chẽ và chính xác hoá ba định luật Kepler

* Định luật I Kepler (Định luật về quỹ đạo): Các hành tinh trong hệ Mặt Trời chuyển động

trên quỹ đạo là đường elip nhận Mặt Trời là một trong hai tiêu điểm

Khoảng cách từ Mặt Trời tới điểm cực viễn Cv của hành tinh là:

v max

OC =r = + =a c a(1 e)+ Khoảng cách từ Mặt Trời tới điểm cực cận Cc của hành tinh là:

c min

OC =r = − =a c a(1 e)−

- Trong quá trình chứng minh định luật ta nhận được mối quan hệ giữa vận tốc của hành tinh và quỹ đạo chuyển động của nó:

2 2K

r p r

1 e.cos

 = +





 = + ϕ



Trong đó B; C; K; p; e là các hằng số thoả mãn K G M m= ( + );

2

C p K

= và e2 1 Bp

K

= +

Như vậy, dạng cụ thể của quỹ đạo phụ thuộc vào vận tốc ban đầu và khoảng cách giữa hai vật Tức là phụ thuộc và năng lượng toàn phần của hệ vật Ta có các trường hợp sau:

M(x,y)≡M(r,φ)

Trong hệ toạ độ Descartes

Trong hệ toạ độ cực

C

v

O

Cc

MT

r φ

y

x a p

b

Phương trình chuyển động của hành tinh

Elip

+ Khoảng cách hai tiêu điểm là c với: 2c = F1F2

+ Bán trục lớn là a với: MF1+MF2=2a + Bán trục nhỏ là b với: b2=a2 - c2

+ Tâm sai của elip là e với: e=c/a + Thông số elip

2

2

b

a

= = −

K G(M m) v

+

= = thì quỹ đạo chuyển động là đường tròn

2 1

r a

= − thì quỹ đạo chuyển động là đường elip 2K

v r

= thì quỹ đạo chuyển động là đường parabol

2 1

r a

= + thì quỹ đạo chuyển động là đường hypebol

Áp dụng kết quả trên cho chuyển động của vệ tinh nhân tạo quanh Trái Đất ta thấy

+ Để vệ tinh nhân tạo trở thành một vệ tinh của Trái Đất thì vệ tinh phải có vận tốc ban đầu băng vận tốc vũ trụ cấp I: v0 =VI=7 91km s, /

+ Để vệ tinh nhân tạo thoát khỏi Trái Đất và trở thành vệ tinh của Mặt Trời thì vận tốc ban đâu của vệ tinh phải đạt vận tốc parabol đối với Trái Đất (vận tốc vũ trụ cấp II):

0 II I 2

v =V = V =11,2 km/s + Vận tốc ban đầu cần thiết để vệ tinh phóng từ mặt đất có thể thoát khỏi hệ Mặt Trời phụ thuộc rõ rệt vào chiều chuyển động của vệ tinh khi vượt ra khỏi cầu tác dụng của Trái Đất Nó nằm trong giới hạn: 11 6km s v 72 8km s, / ≤ 0 ≤ , /

Vận tốc bé nhất bằng 11,6km/s được gọi là vận tốc vũ trụ cấp III

* Định luật II Kepler (Định luật về diện tích): Đường nối một hành tinh với Mặt Trời quét

những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau

2 d

dtϕ = (hằng số)

+ Phương trình này tương đương với phương trình của định luật bảo toàn mômen động lượng của hành tinh

+ Từ định luật này ta thấy khi hành tinh chuyển động càng gần Mặt Trời thì vận tốc càng lớn và chuyển động xa Mặt Trời thì vận tốc của hành tinh càng nhỏ Do đó trong quá trình chuyển động tại vị trí cực viễn (xa Mặt Trời nhất) thì vận tốc của hành tinh là nhỏ nhất, tại điểm cực cận vận tốc hành tinh là lớn nhất

* Định luật III Kepler (Định luật về chu kỳ chuyển động): Bình phương chu kỳ quay T (quanh

Mặt Trời) của bất kỳ hành tinh nào cũng tỉ lệ với lập phương bán trục lớn a của quỹ đạo nó

3

+ = π

hay

2 2 3

π

= với K G M m= ( + )

- Áp dụng định luật III Kepler cho hai hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời ta có:

T (M m ) a

T (M m ) a

+ = + Với m1, m2, a1, a2 lần lượt là khối lượng và bán trục lớn của quỹ đạo của hai hành tinh Vì trong hệ Mặt Trời khối lượng các hành tinh rất bé so với khối lượng Mặt Trời nên gần đúng ta có:

2 3

1 1

2 3

2 2

T =a

- Sử dụng biểu thức của định luật III Kepler ta có thể xác định được tỉ số giữa khối lượng Mặt Trời và khối lượng của hành tinh nếu hành tinh này có vệ tinh

Kí hiệu lần lượt khối lượng của Mặt Trời, hành tinh và vệ tinh là M, m và m1; chu kỳ chuyển động của hành tinh quanh Mặt Trời và chu kỳ chuyển động của vệ tinh quanh hành tinh

là T và T1; bán trụ lớn của quỹ đạo hành tinh và về tinh lần lượt a và a1 ta có:

3 3

1

T a

+ = ⇔ + =

Thực tế khối lượng Mặt Trời rất lớn so với khối lượng hành tinh (M>>m) nên trong trường hợp khối lượng hành tinh rất lớn so với khối lượng vệ tinh thì gần đúng ta có:

3 3 1

3 3 1

T a M

m = T a

CÁC BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Một vệ tinh nhân tạo chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo elip có tâm sai e, bán trục

lớn a và chu kỳ T Cho biết diện tích của elip là: 2 2

S= π = πab a 1 e−

a Tính vận tốc dài của vệ tinh ở cận điểm và viễn điểm So sánh độ lớn hai vận tốc ấy.

b Cho e = 0, 2; a 10000km; R= đ =6370km.Tính khoảng cách gần nhất và xa nhất từ vệ tinh đến mặt đất

Bài làm:

Cách 1.

a Theo định luật II Kepler ta có:

2 d

dtϕ = =hằng số ↔ r2dφ=Cdt ↔ rds=Cdt ↔

2dS=Cdt (*) (Trong đó: ds=rdφ là chiều dài cung chắn góc dφ

dS= rds/2 là diện tích quạt mà bán kính quét trong thời gian dt.) + Lấy tích phân hai vế phương trình (*) trên toàn quỹ đạo ta có: 2S CT=

(Với S là diện tích elip → S= πab; T là chu kỳ chuyển động của vệ tinh) Suy ra C 2 ab

T

π

= → ta có thể viết lại phương trình định luật II Kepler như sau:

2d 2 ab r

ϕ= π

ϕ= ω = ⇒ = π + Tại điểm cực cận:

C

v

e

= − =

−

−

+ Tương tự tại điểm cực viễn ta có vận tốc dài của vệ tinh là: vV 2 a 1 e

π −

=

+

dφ r

Ta có tỉ số: C

V

+

=

−

Chú ý: Với cách tính toán này ta có thể suy ra được định luật III Kepler từ định luật I và II.

Cách 2: Vì quỹ đạo chuyển động của hành tinh là elip nên vận tốc của vệ tinh trên quỹ đạo

chuyển động là: v K(2 1)

r a

= −

Ta biết:

+ Vị trí cực viễn: OCv =rmax = + =a c a(1 e)+

+ Vị trí cực cận: OCc =rmin = − =a c a(1 e)−

+ Mối quan hệ giữa bán trục lớn a và chu kỳ T là:

2 2 3

π

=

Suy ra vận tốc của vệ tinh tại điểm cực viễn là: V

max

π −

+

Vận tốc của vệ tinh tại điểm cực cận là: C

min

π +

−

b Khoảng cách gần nhất, xa nhất của vệ tinh đối với mặt đất.

+ Khi vệ tinh nằm tại điểm cực viễn thì khoảng cách của vệ tinh tới tâm Trái Đất là lớn nhất:

max

r = + =a c a(1 e)+ Khoảng cách của vệ tinh tới mặt đất là: hmax =rmax−R®

+ Khi vệ tinh nằm tại điểm cực cận thì khoảng cách của vệ tinh tới tâm Trái Đất là nhỏ nhất:

min

r = − =a c a(1 e)− Khoảng cách của vệ tinh tới mặt đất là: hmin =rmin −R®

Khoảng cách từ Mặt Trời tới điểm cực cận Cc của hành tinh là: OCc =rmin = − =a c a(1 e)−

Bài 2: Người ta muốn phóng một vệ tinh nhân tạo theo phương án sau:

Từ mặt đất truyền cho vệ tinh vận tốc v0 theo phương thẳng đứng Tại độ cao h khi vệ tinh có vận tốc bằng không, người ta truyền cho nó vận tốc v1 theo phương nằm ngang để nó chuyển động theo quỹ đạo elip có tâm sai e và thông số p cho trước

a Tính vận tốc v0

b Tính vận tốc v1

c Khi vệ tinh quay đến viễn điểm thì người ta giảm vận tốc

của nó để quỹ đạo mới có khoảng cách cận điểm bằng bán

kính R0 của Trái Đất (nghĩa là đưa vệ tinh trở về Trái Đất)

Hãy tính độ giảm vận tốc đó

Bài làm

a Tính vận tốc v0

R0

v'

Cv v

Do vệ tinh chuyển động trong trường lực hấp dẫn là trường lực thế xuyên tâm nên cơ năng của vệ tinh bảo toàn Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại vị trí mặt đất và vị trí có độ cao h so với mặt đất ta có:

0 0

E

= − = − với r r= +0 h Tại độ cao h vệ tinh dừng lại v 0=

Với 0 2

0

GM g

r

= là gia tốc trọng trường tại mặt đất

b Tính vận tốc v1: Có hai trường hợp cần khảo sát:

Trường hợp 1: Điểm vệ tinh dừng lại là điểm cực cận khi đó:

c

r

1 e cos 1 e

+ ϕ + do góc ϕ =0 Vận tốc của vệ tinh tại vị trí này là:

2 c

Vì khối lượng của vệ tinh là rất nhỏ so với khối lượng Trái Đất nên

2 c

Thay c

p

r

1 e

=

+ và 2

p a

1 e

=

− ta có:

0

1 c 0

g

v v r (1 e)

p

= = +

Trường hợp 2: Điểm vệ tinh dừng lại là điểm cực viễn khi đó

c

r

1 e cos 1 e

+ ϕ − do góc ϕ = π

2 v 0

g

v v r (1 e)

p

= = −

c Gọi v là vận tốc của vệ tinh tại viễn điểm quỹ đạo ban đầu, v’ là vận tốc cũng tại điểm đó

nhưng sau khi đã giảm vận tốc một lượng Δv; a’ là bán trục của quỹ đạo mới; r và r’ là viễn điểm

cũ và mới của vệ tinh ta có:

0 0

2

0 0

g

v r (1 e)

p

r ' a '









Trong đó

1 e

a '

p

r r’

)





 +

−

=



=



Ta có: 0 02 0 02 0 0 [ 0 ]

2r g

r p

2(1 2) 2

−

−

0

0

2r g

v v v ' r (1 e) 1

∆ = − = −  − 

+ −

Bài 3: Người ta phóng một trạm vũ trụ theo quỹ đạo năng lượng cực tiểu từ Trái Đất lên Mặt

Trăng Cho biết khối lượng Trái Đất là:M 5 9 1= , 024kg; bán kính Trái Đất là: r 637 km0 = 0 ; khoảng các từ Trái Đất đến quỹ đạo Mặt Trăng là 6 r Quỹ đạo năng lượng cực tiểu là quỹ đạo 00

của một trạm vũ trụ được phóng từ Trái Đất theo phương trình năng lượng

0 0

a Xác định vận tốc lúc phóng và vận tốc lúc trạm đến Mặt Trăng.

b Xác định thời gian trạm bay từ Trái Đất đến Mặt Trăng.

Bài làm

a Để tính vận tốc của vệ tinh lúc phóng và lúc vệ tinh đến Mặt Trăng ta sử dụng công thức:

Chú ý trong quỹ đạo chuyển động của vệ tinh thì vị trí phóng vệ tinh là điểm cực cận và vị trí vệ tinh đến Mặt Trăng là điểm cực viễn, a 3 r = 00 là bán trục lớn của quỹ đạo bằng một nửa khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng

Vận tốc của vệ tinh lúc phóng là: v2 GM(2 1)

r a

Với r = r0 là bán kính Trái Đất Thay số vào ta có: v=11,13km/s

Vận tốc của vệ tinh khi đến Mặt Trăng là: 2 2 1

r a

= − với r =59r0 thay số vào ta có:

v= 185km s

b Theo định luật III Kepler ta có

3

+ = π (trong đó M là khối lượng Trái Đất; m là khối lượng của trạm vũ trụ)

Vì M>>m nên T32 4 2 T 4 a2 3

= ↔ =

Thời gian bay của trạm vũ trụ từ mặt đất tới Mặt Trăng là:

2

T t

∆ = Thay số ta có: ∆ =t 4 3 ng y, à

Bài 4: Biết rằng khoảng cách xa nhất của Mộc Tinh tới Mặt Trời là 5,2 đơn vị thiên văn (đvtv),

và chu kỳ quay của nó quanh Mặt Trời là T 11 9 n m= ,ă Vệ tinh Ganimet của Mộc Tinh có quỹ đạo với bán trục lớn a1=7,14.10-3 đvtv, chu kỳ vệ tinh quanh Mộc Tinh là , 0ă2

1

T =1 9 1 − n m Tính gần đúng khối lượng của Mộc Tinh

Bài làm

Sử dụng định luật III Kepler trong trường hợp hệ gồm Mặt Trời; hành tinh và vệ tinh của hành tinh

3 3

1

T a

+ = ⇔ + =

Thực tế khối lượng Mặt Trời rất lớn so với khối lượng hành tinh (M>>m) nên trong trường hợp khối lượng hành tinh rất lớn so với khối lượng vệ tinh thì ta có gần đúng:

3 3 1

3 3 1

T a M

m = T a Trong công thức này:

T 11,9 năm= là chu kì Mộc Tinh quay quanh Mặt Trời

2 1

T =1,9.10 năm− là chu kỳ vệ tinh Ganimet quanh Mộc Tinh

a 5, 2đvtv= là bán trục lớn quỹ đạo Mộc Tinh quanh Mặt Trời

3 1

a =7,14.10đvtv− là bán trục lớn quỹ đạo vệ tinh Ganimet quanh Mộc Tinh

Thay vào ta có khối lượng gần đúng của Mộc Tinh là: m 1,015.10 M= −3

Bài 5: Một sao chổi di chuyển tới Mặt Trời với vận tốc ban đầu v0 Khối lượng Mặt Trời là M

và bán kính R Coi Mặt Trời là đứng yên và bỏ qua ảnh hưởng của các hành tinh Tìm tiết diện toàn phần σ của sao chổi để xảy ra va chạm với Mặt Trời Coi Mặt Trời đứng yên và bỏ qua ảnh hưởng của các hành tinh

Bài làm

Gọi thông số va chạm của sao chổi với Mặt Trời là b

+ Do sao chổi chuyển động trong trường lực hấp dẫn của Mặt Trời là trường lực thế xuyên tâm nên cơ năng của sao chổi và mômen động lượng của nó được bảo toàn

+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng và bảo toàn mômen động lượng của sao chổi tại vị trí rất xa Mặt Trời và vị trí cách Mặt Trời khoảng rmin gần nhất ta có:

0 min

v r

∞

Nếu rmin < R thì sao chổi sẽ va chạm với Mặt Trời do đó tiết diện toàn phần để xảy ra va

0

2GM

v R

σ = π = π +

Bài 6: Xét một hành tinh có khối lượng m quay quanh Mặt Trời có khối lượng M Giả sử không

gian xung quanh Mặt Trời có một lượng bụi phân bố đều mật độ ρ

a Chỉ ra rằng lực tác động của bụi là cộng vào lực hút xuyên tâm ’F = −mkr,trong đó

3

4 G

k= πρ

Bỏ qua lực cản của bụi đối với hành tinh

b Xét một chuyển động tròn của hành tinh tương ứng với mômen động lượng L Tìm phương

trình của bán kính chuyển động r0 theo L, G, M, m và k

c Giả sử F’ là nhỏ so với lực hút của Mặt Trời và xét quỹ đạo chỉ lệch một chút so với quỹ

đạo ở phần b Bằng cách xét các tần số của chuyển động xuyên tâm và chuyển động quay