CHƯƠNG 10 THIẾT kế HT điều KHIỂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP KGTT

THIẾT kế HỆ THỐNG, điều KHIỂN, BẰNG PHƯƠNG PHÁP KGTT

CHƯƠNG 10 THIẾT KẾ HT ĐIỀU KHIỂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP KGTT

10.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Thiết kế đặt cực và thiết kế các bộ quan sát

Các hệ thống điều chỉnh là các hệ thống điều khiển phản hồi mà nó sẽ đưa các trạng thái khác không (tạo ra bởi nhiễu ngoài) về trạng thái ban đầu với một tốc độ phù hợp

Một phương pháp để thiết kế các HT điều chỉnh là xây dựng hệ thống vòng kín ổn định tiệm cận bằng cách xác định vị trí mong muốn của các cực vòng kín Điều này có thể được hoàn thành bằng cách sử dụng phản hồi trạng thái; chúng ta giả sử vec-tơ điều khiển u = - Kx (với u là thành phần không bị giới hạn) và xác định ma-trận hệ số phản hồi K sao cho hệ thống sẽ có phương trình đặc tính mong muốn Thiết kế này được gọi là đặt cực

Trong trường hợp này, chỉ số thực hiện có thể được viết như sau:

µi là các giá trị riêng mong muốn của các sai số động học của hệ thống

si là các giá trị riêng thực tế của các sai số động học của hệ thống thiết kế

Trong trường hợp này chỉ số thực hiện có thể được tạo ra bằng 0 nhờ sự phù hợp chính xác các si với các µi, làm cho hệ thống được xét là điều khiển được hoàn toàn trạng thái

Phương pháp điều khiển tối ưu toàn phương

Phương pháp khác để thiết kế hệ thống điều chỉnh là giả sử vec-tơ điều khiển phản hồi trạng thái có dạng u = - Kx (với u không bị giới hạn) và xác định ma-trận hệ số phản hồi K sao cho chỉ số thực hiện toàn phương là cực tiểu Công thức này để xác định quy luật điều khiển tối ưu thường được gọi là vấn đề điều khiển tối ưu toàn phương (quadratic optimal control problem)

Cả hai phương pháp đặt cực và điều khiển tối ưu toàn phương yêu cầu có phản hồi tất cả các biến trạng thái Vì vậy, cần thiết tất cả các biến trạng thái có thể lấy phản hồi được Tuy nhiên, một vài biến trạng thái có thể không đo được và không lấy phản hồi được Khi đó chúng ta cần ước lượng các biến trạng thái không đo được này bằng cách sử dụng các bộ quan sát trạng thái

Phương pháp đặt cực và phương pháp điều khiển tối ưu toàn phương là không thể áp dụng nếu hệ thống là không điều khiển được trạng thái hoàn toàn

Thiết kế các bộ quan sát (được yêu cầu trong nhiều sơ đồ phản hồi trạng thái) không thể áp dụng nếu hệ thống không quan sát được

Do đó, tính điều khiển được và quan sát được đóng một vai trò quan trọng trong thiết kế các hệ thống điều khiển

Thiết kế các hệ thống servo

Chúng ta sẽ nghiên cứu thiết kế các hệ thống servo loại 1 dựa trên phương pháp đặt cực Chúng

ta sẽ xem xét hai trường hợp: (1) đối tượng có một khâu tích phân; (2) đối tượng không có khâu tích phân

Các hệ thống điều khiển tối ưu dựa trên các chỉ số thực hiện toàn phương

Trong nhiều hệ thống điều khiển thực tế, chúng ta mong muốn tối thiểu hóa hàm tín hiệu sai lệch Ví dụ, cho hệ thống

Bu Ax

x& = +chúng ta có thể mong muốn tối thiểu hóa hàm sai lệch tổng quát sau

Tuy nhiên ngoài các sai lệch đang xét như là phép đo sự thực hiện của hệ thống, chúng ta thường phải chú ý đến năng lượng yêu cầu cho tác động điều khiển Vì tín hiệu điều khiển có thể có thứ nguyên của lực hoặc mô-men, cho nên năng lượng điều khiển tỷ lệ với tích phân của bình phương tín hiệu điều khiển Nếu hàm sai lệch được tối thiểu hóa mà không chú ý đến năng lượng yêu cầu, thì kết quả thiết kế có thể là quá lớn không phù hợp Tín hiệu điều khiển biên độ lớn ở bên ngoài dải hoạt động Vì vậy, việc xem xét thực tế đặt một giới hạn lên vec-tơ điều khiển, chẳng hạn,

∫0T u∗(t)R u(t)dt = K

với R là ma-trận Hermitian hoặc ma-trận đối xứng thực xác định dương và K là một hằng số dương Chỉ số thực hiện của một hệ thống điều khiển trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ T khi đó có thể được viết, sử dụng hệ số nhân Lagrange λ, là

Hệ số nhân Lagrange λ là một hằng số dương biểu thị trọng số giá trị điều khiển (weight of control cost) để tối thiểu hóa hàm sai lệch Chú ý rằng trong công thức này u(t) là không bị giới hạn Thiết kế dựa trên chỉ số thực hiện này có ý nghĩa thực tế là HT được thiết kế thỏa hiệp được giữa tối thiểu hóa tích phân tín hiệu sai lệch và tối thiểu hóa năng lượng điều khiển

Nếu T = ∞ và ξ ở gốc tọa độ (ξ = 0), thì chỉ số thực hiện ở trên có thể được biểu diễn

= 0∞[x∗(t)Q x(t) u∗(t)R u(t)]dt J

Hệ thống điều khiển mô hình tham khảo và hệ thống điều khiển thích nghi

Một phương pháp hưu ích để xác định sự thực hiện của hệ thống là sử dụng một mô hình để tạo tín hiệu ra mong muốn với một tín hiệu vào cho trước Mô hình này chỉ là một mô hình toán học được mô phỏng trên máy tính Trong một hệ thống điều khiển tham khảo mô hình, tín hiệu ra của mô hình là tín hiệu ra của đối tượng được so sánh và sai lệch được sử dụng để tạo ra tín hiệu điều khiển Thông qua các ví dụ, chúng ta sẽ nghiên cứu việc thiết kế hệ thống điều khiển mô hình tham khảo sử dụng phương pháp Liapunov Chúng ta cũng sẽ nghiên cứu tổng quan về các hệ thống điều khiển thích nghi

10-2 THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT CỰC

Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra phương pháp thiết kế được gọi là kỹ thuật đặt cực hay kỹ thuật gán cực (pole placement or pole assignment technique) Chúng ta giả sử rằng tất cả các biến trạng thái là đo được và có thể lấy tín hiệu phản hồi Có thể chứng minh được rằng nếu hệ thống được xét là điều khiển được trạng thái hoàn toàn, thì các cực của hệ thống vòng kín có thể được đặt ở các vị trí mong muốn nhờ phản hồi trạng thái thông qua ma-trận hệ số phản hồi trạng thái phù hợp

Kỹ thuật thiết kế này bắt đầu với việc xác định các cực vòng kín mong muốn dựa trên đáp ứng quá độ và / hoặc các yêu cầu đáp ứng tần số, như tốc độ, hệ số tắt dần (damping ratio), hoặc dải tần, cũng như các yêu cầu trạng thái ổn định

Giả sử rằng chúng ta quyết định các cực vòng kín mong muốn đặt tại s = µ1, s = µ2, , s = µn, Bằng cách chọn ma-trận hệ số phù hợp cho phản hồi trạng thái, thì có thể ép hệ thống có các cực vòng kín tại các vị trí mong muốn, miễn là hệ thống ban đầu là điều khiển được trạng thái hoàn toàn

Sau đây chúng ta sẽ xem xét trường hợp tín hiệu điều khiển là vô hướng và chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các cực vòng kín có thể được đặt ở các vị trí tùy ý trong mặt phẳng s là hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn Sau đó chúng ta sẽ nghiên cứu 3 phương pháp xác định ma-trận hệ số phản hồi trạng thái yêu cầu

Chú ý rằng khi tín hiệu điều khiển là một thông số vec-tơ, thì các khía cạnh toán học của sơ đồ đặt cực sẽ trở nên phức tạp Do đó, chúng ta sẽ không nghiên cứu trường hợp này Cũng cần chú ý rằng khi tín hiệu điều khiển là một thông số vec-tơ, thì ma-trận hệ số phản hồi trạng thái không phải là duy nhất Có thể chọn một cách tự do nhiều hơn n thông số; tức là, ngoài việc có thể đặt n cực vòng kín phù hợp, chúng ta có quyền thỏa mãn một vài hoặc tất cả các yêu cầu khác, nếu có của hệ thống vòng kín

Thiết kế bằng phương pháp đặt cực (Design via pole placement)

Khác với việc chỉ xác định các cực vòng kín trội (p/p thiết kế thông thường), p/p đặt cực ở đây xác định tất cả các cực vòng kín Yêu cầu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn Xét HT

Bu Ax

với x = vec-tơ trạng thái (n-vector)

u = tín hiệu điều khiển (vô hướng)

)()(

)(t A BK x t

x& = −Nghiệm của phương trình này là

) 0 ( )

với x(0) là trạng thái ban đầu tạo ra bởi nhiễu ngoại Tính ổn định và các đặc tính đáp ứng quá độ được xác định bởi các giá trị riêng của ma-trận A - BK Nếu ma-trận K được chọn phù hợp, thì ma-trận A - BK có thể là ma-trận ổn định tiệm cận, và với tất cả x(0) ≠ 0 có thể làm cho x(t) tiến đến 0 khi t tiến đến vô cùng Các giá trị riêng của ma-trận A - BK được gọi là các cực của bộ điều chỉnh Nếu các cực bộ điều chỉnh được đặt bên trái mặt phẳng s, thì x(t) tiến đến 0 khi t tiến đến vô cùng

Hình 10-1(a) vẽ hệ thống ở phương trình (10-1) Đây là một hệ thống điều khiển vòng hở; vì x không được cấp đến tín hiệu điều khiển u Hình 10-1(b) vẽ hệ thống có phản hồi trạng thái Đây được gọi là hệ thống điều khiển vòng kín, vì trạng thái x được cấp đến tín hiệu điều khiển u

Sau đây chúng ta sẽ chứng minh rằng việc đặt tùy ý các cực với một hệ thống cho trước là có thể được nếu và chỉ nếu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn

Điều kiện cần và đủ để đặt cực tùy ý

Xét hệ thống điều khiển được xác định bởi phương trình (10-1) Chúng ta giả sử rằng biên độ của tín hiệu điều khiển u là không bị giới hạn Nếu tín hiệu điều khiển u được chọn

Kx

với K là ma-trận hệ số phản hồi trạng thái (1 x n matrix), thì hệ thống sẽ trở thành hệ thống điều khiển vòng kín như được vẽ trên hình 10-1(b) và nghiệm của phương trình (10-1) sẽ như phương trình (10-3), hay x(t) = e(A−BK)t x(0)

Các giá trị riêng của ma-trận A - BK (µ1,µ2, , µn) là các cực vòng kín mong muốn

Hình 10-1 (a) Hệ thống điều khiển vòng hở; (b) Hệ thống điều khiển vòng kín với u = -Kx

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đặt cực tùy ý là hệ thống điều khiển được trạng thái hoàn toàn

Điều kiện cần Chúng ta bắt đầu bằng việc c/m rằng nếu hệ thống không điều khiển được trạng thái hoàn toàn, thì tồn tại giá trị riêng của ma-trận A - BK không thể điều khiển được bằng phản hồi trạng thái

Giả sử hệ phương trình (10-1) là không điều khiển được trạng thái hoàn toàn Khi đó hạng của ma-trận điều khiển (controllability matrix) nhỏ hơn n, hay

1 . n

rank B   M AB M M A − B  = <  q n (10-143) Có nghĩa rằng tồn tại vec-tơ cột độc lập tuyến tính q trong ma-trận điều khiển Gọi vec-tơ cột độc lập tuyến tính q = [f1, f2, , fn] Chọn thêm vec-tơ (n-q) vq + 1, vq + 2, , vq + n sao cho

biểu diễn vec-tơ Af1, Af2, …, Afq dưới dạng q vec-tơ sau:

+ +

Do đó, (10-146) có thể được viết:

11 21

0

b b

với Iq là ma-trận đồng nhất (q) và In-q là ma-trận đồng nhất (n -q)

Chú ý rằng các giá trị riêng của A22 không phụ thuộc vào K Vì vậy, nếu hệ thống là không điều khiển được trạng thái hoàn toàn, thì tồn tại giá trị riêng của ma-trận A không thể đặt một cách tùy ý

Do đó, để đặt các giá trị riêng của ma-trận A - BK một cách tùy ý, thì hệ thống phải điều khiển được hoàn toàn trạng thái(điều kiện cần)

Điều kiện đủ:

Nếu hệ thống là điều khiển được hoàn toàn trạng thái [có nghĩa là ma-trận M ở phương trình (10-5) có nghịch đảo], thì khi đó tất cả các giá trị riêng của ma-trận A có thể đặt tùy ý

Để thuận lợi cho việc chứng minh điều kiện đủ, chúng ta chuyển phương trình trạng thái (10-1) sang dạng chuẩn tắc điều khiển được

Gọi ma-trận chuyển T là T = MW (10-4)

với M là ma-trận điều khiển được

[B AB A B]

M = M M M n−1 (10-5) và

00 1

0

1

1

3 2

1 2

1

a

a a

a a

a

W

n n

n n

(10-6)

với các ai là các hệ số của đa thức đặc tính

n 1

n 1

n 1

sA

Đặt vec-tơ trạng thái mới x bằng

x T

1

1

1

0

00

0

1

00

0

0

10

a a

a a

AT T

n n

n

Chúng ta chọn một tập hợp các giá trị riêng mong muốn là µ1, µ2, , µn Khi đó phương trình đặc tính mong muốn sẽ là

n n

n n

s s

được sử dụng để điều khiển hệ thống cho bởi phương trình (10-7), phương trình hệ thống trở thành

xBKTT

xATT

xˆ& = −1 ˆ − −1 ˆPhương trình đặc tính là sI −T −1AT +T−1BKT = 0

Phương trình này là phương trình đặc tính với hệ thống xác định bởi phương trình (10-1), với u = -Kx được sử dụng như là tín hiệu điều khiển Điều này có thể được chứng minh như sau: Vì

x BK A

Bu Ax

x& = + = ( − )cho nên phương trình đặc tính với hệ thống này là

0)

1

=+

−

=+

−

=+

− A BK T− sI A BK T sI T− AT T − BKT sI

Bây giờ chúng ta đơn giản hóa phương trình đặc tính của hệ thống ở dạng chuẩn tắc điều khiển được Từ các phương trình (10-8), (10-9), và (10-11), chúng ta có:

0 ) (

) (

)

(

.

.

.

.

.

.

.

0

0

0

1

.

1 0 0

.

1 0

0

.

.

.

.

.

.

0 1

0

1 1

1 1 1

1 1 1

1

1 1

1 1

1 1

= +

+ +

+ +

+ +

n n

n

n n

n n

n n

n n

a s a

s a

s

a s a

a

s s

a a

a sI

BKT T

AT T

sI

δδ

δ

δδ

δ

δδ

δ

(10-12)

Đây là phương trình đặc tính với hệ thống có phản hồi Vì vậy, nó phải bằng phương trình đặc tính mong muốn (10-10)

n n

n n

s s

Cân bằng các hệ số cùng số mũ của s, ta có

n n

n

a

a a

α δ

α δ

α δ

=+

=+

=+

2 2

2

1 1

1

Giải phương trình trên với các δi và thay chúng vào phương trình (10-11), ta có

1 1

1

2 1

Các bước thiết kế để đặt cực

Giả sử hệ thống được xác định bởi x& = Ax+ Bu

và tín hiệu điều khiển được cho u = −Kx

Ma-trận hệ số phản hồi K đưa các giá trị riêng của A - BK là µ1, µ2, , µn (các giá trị mong muốn) có thể được xác định bởi các bước sau (nếu µi là một giá trị riêng phức, thì liên hợp của nó cũng phải là một giá trị riêng của A - BK.)

Bước 1: Kiểm tra điều kiện điều khiển được cho hệ thống Nếu hệ thống là điều khiển được hoàn toàn trạng thái, thì sử dụng các bước sau

Bước 2: Từ đa thức đặc tính với ma-trận A:

n n

n n

a s a s

a s

A

xác định các giá trị a1, a2, , an

Bước 3: Xác định ma-trận chuyển T chuyển phương trình trạng thái hệ thống thành dạng chuẩn tắc điều khiển được (Nếu hệ thống cho trước đã là dạng chuẩn tắc điều khiển được, thì T = I.) Không cần phải viết phương trình trạng thái ở dạng chuẩn tắc điều khiển được Tất cả chúng ta cần ở đây là tìm ma-trận T Ma-trận chuyển T được cho bởi phương trình (10-4), hay

MW

với M được cho bởi phương trình (10-5) và W được cho bởi phương trình (10-6)

Bước 4: Sử dụng các giá trị riêng mong muốn (các cực vòng kín mong muốn), viết đa thức đặc tính mong muốn:

n n

n n

s s

(và xác định các giá trị α1, α2, , αn

Bước 5: Ma-trận hệ số phản hồi trạng thái yêu cầu K có thể được xác định từ phương trình (10-13):

1 1 2

2 1

)(

( −µ1 −µ2 −µ3

=+

sI

Vì cả hai vế của phương trình đặc tính này là các đa thức biến s, cân bằng các hệ số cùng số mũ của s ở hai vế, có thể xác định các giá trị k1, k2, và k3 Phương pháp này thuận lợi nếu n = 2 hoặc 3 (với n = 4, 5, 6, , phương pháp này có thể rất khó thực hiện.)

Có các phương pháp khác để xác định ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K Sau đây, chúng ta sẽ đưa ra một công thức nổi tiếng, được gọi là công thức Ackermann, để xác định ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K

Công thức Ackermann

Xét hệ thống được cho bởi phương trình (10-1): x& = Ax+ Bu

Chúng ta giả sử rằng hệ thống này là điều khiển được hoàn toàn trạng thái Chúng ta cũng giả sử rằng các cực vòng kín mong muốn là s = µ1, s = µ2, , s = µn

Sử dụng điều khiển phản hồi trạng thái

0)(

))(

(

1

1 1

2 1

=+

++

−

−

−

n n

n n

n

s s

s

s s

s BK

A sI

α α

α

µ µ

µ

Vì định lý Cayley-Hamilton phát biểu rằng A thỏa mãn phương trình đặc tính của nó, ta có

0

~

~

~)

~(A = A n +α1A n−1 + +αn−1A+αn I =

Ta sẽ sử dụng phương trình (10-15) để rút ra công thức Ackermann Xét trường hợp n = 3

Xét các đồng nhất thức sau:

2 2

3 3

3

2 2

2

~

~)

(

~

~)

(

~

~

A BK A

ABK BK

A A

BK A

A

A BK ABK

A BK

A A

BK A

A

I I

Nhân các phương trình trên theo thứ tự với α1, α2, α3, α0 (với α0 = 1), và cọng kết quả lại,

BK A A BK ABK

BK A

A A

I

A BK A

ABK

BK A A

A BK ABK

A BK

A I

A A

A I

2 1

1 2

3 2

1 2

3

2

2 3

2 1 2

3

3 2

1 2

)(

++

=

−

−

−+

−

−+

−+

=

++

+

α α

α α

α α

α α

α

α α

Từ phương trình (10-15), chúng ta có

0)

~(

~

~

1 2

3I +α A+α A + A =φ A =

α

Chúng ta cũng có

0)(3

2 1 2

3I +α A+α A + A =φ A ≠

α

Thay hai phương trình cuối cùng vào phương trình (10-16), chúng ta có

BK A A ABK A

BK A

BK BK

K K AB

A K A K K

=

K

A K K

A K A K K

B A AB

~

~1

2 1

2 2

α

α α

M

Vì HT là điều khiển được hoàn toàn trạng thái, nghịch đảo của ma-trận điều khiển được

[B M AB M A2B]