9 5 3 ma trận hàm mũ eat

9.5.3 Ma trận hàm mũ eAt Trong việc giải các bài tập về kỹ thuật điều khiển, thường thì việc tính eAt là cần thiết. Nếu ma trận A gồm có những phần tử là số, thì ta có thể dùng MATLAB để tính eAT, với T là hằng số. Bên cạnh việc tính toán bằng máy tính, cũng có nhiều cách khác nhau để tính eAt. Sau đây là 3 phương pháp để tính eAt. Tính eAt : phương pháp 1 Nếu ma trận A có thể chuyển được sang dạng đường chéo, thì eAt được tính theo công thức: e λ1t    e At = Pe Dt P −1 = P      0 e λ2t . . . 0     −1 P    e λnt  (9.46) Trong đó, P là ma trận chéo hóa đối với A. [Chi tiết để tìm ra biểu thức (9.46) đọc giả xem ở Bài tập A.9.11.] Nếu ma trận A có thể chuyển được sang dạng chuẩn tắc Jordan, thì eAt được tính theo công thức: e At = Se Jt S −1 Trong đó, S là ma trận chuyển tiếp để chuyển ma trận A sang dạng chuẩn tắc Jordan J. Cụ thể, ta xét ma trận A có dạng: 0 1 0  A = 0 0 1 1 − 3 3 Khi đó phương trình đặc trưng sẽ là: λI − A = λ3 − 3λ2 + 3λ − 1 = (λ − 1) 3 = 0 Ma trận A có 3 giá trị riêng bội tại λ = 1 . Như vậy, ma trận chuyển tiếp S chuyển ma trận A sang dạng chuẩn tắc Jordan có dạng:  1 0 0 1 0 0 S =  λ1 1 0 = 1 1 0  λ12 2λ1 1 1 2 1 Và nghịch đảo của ma trận S là: S −1 0 1 = −1 1   1 −2 0 0  1  Từ đó, ta có ma trận chuẩn tắc Jordan J là:  1 0 0  0 1 0 1 0 0  1 1 0 J = S −1 AS =  − 1 1 0  0 0 1 1 1 0 =  0 1 1  1 − 2 1  1 − 3 3 1 2 1  0 0 1 Chú ý rằng: e Jt Ta tìm được:  t e = 0  0   te t et 0 1 2 t t e  2 te t   t e    e At = Se Jt S −1 1 2 t  t t e te t e  1 0 0 1 0 0  2 = 1 1 0  0 e t te t  − 1 1 0 1 2 1   0 0 e t   1 − 2 1   1 2 t 1 2 t  t  t t 2 t e − te + t e te − t e t e   2 2  1 2 t 1 2 t  t t 2 t t = t e e − te − t e te + t e  2 2   1 1  te t + t 2 e t − 3te t − t 2 et e t + 2te t + t 2 e t    2 2 Tính eAt : phương pháp 2 Phương pháp thứ hai để tính eAt là dùng phép bến đổi Laplace. Từ biểu thức (9.36), ta có: [ e At = L −1 ( sI − A) −1 ] Vì vậy, để tính eAt, trước hết là lấy nghịch đảo của (sI – A). Kết quả này là một ma trận gồm các phần tửcó chứa hàm hữu tỷ theo biến s. Sau đó là thực hiện biến đổi Laplace ngược của từng phần tử trong ma trận đó. VÍ DỤ 9.7: Cho ma trận A của hệ thống có dạng: 0 1  A=  0 − 2  Tính eAt bằng cách sử dụng 2 phương pháp đã nêu ở trên TRẢ LỜI: Phương pháp 1 Ta có: giá trị riêng của ma trận A là 0 và -2 (λ1 = 0, λ2 = -2). Khi đó ma trận chuyển tiếp P sẽ là:  1 1  1 1  P=  = 0 − 2  λ λ 2    1 Và eAt được tính theo công thức: eλ1t e = Pe P = P  0 At Dt −1 0  −1 P eλ2 t  1 1   e =  0 − 2  0 0 1    1 0  2  = 1   e − 2 t  0 − 1  0   2 1  (1 − e − 2t ) 2  e − 2t  Phương pháp 2 Ta có:  s 0  0 1   s − 1  ( sI − A) =   − 0 − 2  =  0 s + 2  0 s       Nghịch đảo của (sI – A) là: 1  ( sI − A) −1 =  s 0  1  1 s ( s + 2)  =  s   1   0 s + 2   1 1 1  ( − ) 2 s ( s + 2)  1   s+2 Vậy: e At  1 = L [( sI − A) ] =  0  −1 −1 1  (1 − e −2t ) 2  e −2 t  Tính eAt : phương pháp 3 Phương pháp thứ 3 dựa vào phương pháp nội suy của Sylvester. (Xem chi tiết ở Bài tập A.9.12). Trước hết ta sẽ xét trường hợp nghiệm của đa thức tối giản φ(λ) của ma trân A là riêng biệt, sau đó là sẽ xét đến trường hợp nghiệm bội. Trường hợp 1: Đa thức tối giản của A có nghiệm riêng biệt Giả sử bậc của đa thức tối giản φ(λ) là m. Bằng cách sử dụng công thức nội suy của Sylvester, ta có thể tìm eAt khi giải phương trình định thức sau: λ1 1 λ2 . . . . . . 1 λm I A 1 λ12 λ22 . . . λ2m A2  λ1m−1 e λ1t  λm2 −1 e λ2t . . . . =0 . .  λmm−1 e λmt  Am−1 e At (9.47) Khi giải phương trình (9.47), kết quả là eAt có thể chứa các thành phần Ak (k=1, 2, … m-1) và eλ t (i=1, 2,…, m). eAt có thể viết theo dạng: i e At = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2 +  + α m −1 (t ) Am −1 (9.48) Các giá trị α k (t ) (k=1, 2, …, m-1) được xác định bằng cách giải hệ gồm m phương trình sau: α 0 (t ) + α1 (t )λ1 + α 2 (t )λ12 +  + α m −1 (t )λ1m −1 = eλ1t α 0 (t ) + α1 (t )λ2 + α 2 (t )λ22 +  + α m−1 (t )λm2 −1 = eλ2t  α 0 (t ) + α1 (t )λm + α 2 (t )λ2m +  + α m−1 (t )λmm−1 = e λmt Nếu ma trận A có n giá trị riêng khác nhau, thì số giá trị α k (t ) sẽ là m = n. Còn khi A có các giá trị riêng bội, nhưng đa thức tối giản của A chỉ có nghiệm đơn, thì số các giá trị α k (t ) sẽ là m < n. Trường hợp 2: Đa thức tối giản của A có nghiệm bội Giả sử rằng đa thức tối giản của A có 3 nghiệm bội (λ1 = λ2 = λ3) và các nghiệm riêng biệt khác (λ3, λ3, …,λm). Áp dụng công thức nội suy Sylvester, ta cũng tìm được eAt từ phương trình sau: 0 0 0 1 1 λ1 1 λ4 . . . . . . 1 λm I A 1 3λ1  2λ1 3λ12 λ12 λ13 λ24 λ34 . . . . . . λ2m λ3m A 2 A3         (m − 1)(m − 2) m−3 λ1 2 (m − 1)λ1m−2 λ1m−1 λm4 −1 . . . λmm−1 Am−1 t 2 λ1t e 2 te λ1t eλ1t e λ4t =0 (9.49) eλmt e At Cũng giống như ở trường hợp 1 ở trên, nghiệm eAt từ phương trình (9.49) có thể viết theo dạng: (9.50) At 2 m −1 e = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A +  + α m −1 (t ) A Các giá trị α k (t ) (k=1, 2, …, m-1) được xác định bằng cách giải hệ m phương trình: (m − 1)(m − 2) t 2 λ1t m−3 α 2 (t ) + 3α 3 (t )λ1 +  + α m −1 (t )λ1 = e 2 2 α1 (t ) + 2α 2 (t )λ1 + 3α 3 (t )λ12 +  + (m − 1)α m−1 (t )λ1m−2 = te λ1t α 0 (t ) + α1 (t )λ1 + α 2 (t )λ12 +  + α m −1 (t )λ1m −1 = eλ1t α 0 (t ) + α1 (t )λ4 + α 2 (t )λ24 +  + α m−1 (t )λm4 −1 = eλ4t  α 0 (t ) + α1 (t )λm + α 2 (t )λ2m +  + α m−1 (t )λmm−1 = e λmt Trong trường hợp có hai hay nhiều nghiệm bội giống nhau, nếu không tìm được đa thức tối giản của A, thì thay thế bằng đa thức đặc trưng. Khi đó quá trình tính toán sẽ phức tạp hơn. VÍ DỤ 9.8: Cho ma trận A của hệ thống có dạng: 0 1  A=  0 − 2  Tính eAt bằng cách sử dụng công thức nội suy Sylvester. TRẢ LỜI: Như đã trình bày ở phương pháp 3, từ phương trình (9.47), ta có: 1 λ1 e λ1t 1 λ2 I A e λ2t = 0 e At Thay λ1 = 0, λ2 = -2 vào, ta được: 1 0 1 1 − 2 e − 2t = 0 I A e At ⇔ −2e At + A + 2 I − Ae −2t = 0 Hay: 1 ( A + 2 I − Ae −2t ) 2 1 0 1  2 0 0 1  −2t  =  + − e  2 0 − 2 0 2 0 − 2  e At =  1 = 0  1  (1 − e −2t ) 2 e −2t  Mặt khác, ta có thể sử dụng công thức (9.48) để xác định các giá trị α 0 (t ) và α1 (t ) : α 0 (t ) + α1 (t )λ1 = eλ1t α 0 (t ) + α1 (t )λ2 = e λ2t Với λ1 = 0, λ2 = -2, ta có: α 0 (t ) = 1 α 0 (t ) − 2α1 (t ) = e −2t Suy ra: α 0 (t ) = 1 1 α1 (t ) = (1 − e −2t ) 2 Từ đó, ta tính được eAt: 1 e At = α 0 (t ) I + α1 (t ) A = I + (1 − e −2t ) A 2 1  1 1 (1 − e −2t ) 1 0 1 − 2 t 0  = + (1 − e )  = 2   0 1  2 0 − 2 0 e −2t   ... (sI – A) Kết ma trận gồm phần tửcó chứa hàm hữu tỷ theo biến s Sau thực biến đổi Laplace ngược phần tử ma trận VÍ DỤ 9.7: Cho ma trận A hệ thống có dạng: 0  A=  0 −  Tính eAt cách sử dụng... trình đặc trưng là: λI − A = λ3 − 3λ2 + 3λ − = (λ − 1) = Ma trận A có giá trị riêng bội λ = Như vậy, ma trận chuyển tiếp S chuyển ma trận A sang dạng chuẩn tắc Jordan có dạng:  0 1 0 S =... nêu TRẢ LỜI: Phương pháp Ta có: giá trị riêng ma trận A -2 (λ1 = 0, λ2 = -2) Khi ma trận chuyển tiếp P là:  1  1  P=  = 0 −  λ λ 2    Và eAt tính theo công thức: eλ1t e = Pe P = P