Hỏi đáp về dập tấm và cán kéo kim loại

Môc lôc 1 2 3 4 Nhãm vµ nhãm con 1.1 §Þnh nghÜa nhãm vµ vÝ dô . . . 1.2 Mét sè tÝnh chÊt . . . . . . . . 1.3 Nhãm con . . . . . . . . . . . . 1.4 Nhãm con cña mét nhãm xyclic . . . . . . . . Líp ghÐp, ®ång cÊu nhãm 2.1 Líp ghÐp, ®Þnh lÝ Langrange . . . . 2.2 Nhãm con chuÈn t¾c, nhãm th−¬ng 2.3 §ång cÊu nhãm . . . . . . . . . . . 2.4 Çc ®Þnh lÝ ®ång cÊu nhãm . . . . T¸c 3.1 3.2 3.3 3.4 ®éng cña nhãm lªn tËp hîp Nhãm ®èi xøng . . . . . . . . G−tËp . . . . . . . . . . . . . C«ng thøc çc líp . . . . . . Mét øng dông vµo tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 12 18 22 . . . . 26 26 28 32 37 . . . . 43 43 51 54 60 Nhãm h÷u h¹n, §Þnh lÝ Sylow 68 4.1 p−nhãm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2 §Þnh lÝ Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Mét sè øng dông cña §Þnh lÝ Sylow . . . . . . . . . . . . . . 77 1 2 5 6 Nhãm gi¶i ®−îc, nhãm tù do 5.1 Chuçi hîp thµnh . . . . . . . . 5.2 Nhãm gi¶i ®−îc . . . . . . . . . 5.3 Nhãm tù do . . . . . . . . . . . 5.4 BiÓu diÔn nhãm b»ng hÖ sinh vµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . çc quan hÖ Nhãm Aben 6.1 Ph©n tÝch nhãm thµnh tæng trùc tiÕp 6.2 Nhãm Abel tù do . . . . . . . . . . 6.3 Nhãm Abel h÷u h¹n - §Þnh lÝ c¬ së 6.4 Nhãm Abel h÷u h¹n sinh . . . . . . Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 81 88 94 98 . . . . . 106 106 112 120 124 132 3 Lêi nãi ®Çu Môc ®Ých cña gi¸o tr×nh lµ cung cÊp nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ nhãm ®Ó phôc vô c«ng t¸c gi¶ng d¹y vµ häc tËp m«n “LÝ thuyÕt nhãm” ë cÊp ®¹i häc. Gi¸o tr×nh gåm 6 ch−¬ng. Ch−¬ng I vµ Ch−¬ng II tr×nh bµy kiÕn thøc c¬ së vÒ nhãm, nhãm con, líp ghÐp vµ ®ång cÊu nhãm. Ch−¬ng III quan t©m ®Õn mét sè kÕt qu¶ mang tÝnh kÜ thuËt vÒ nhãm nh− nhãm ®èi xøng, t¸c ®éng cña nhãm lªn tËp hîp, vµ mét øng dông trong bµi to¸n tæ hîp. Ch−¬ng IV tr×nh bµy vÒ nhãm h÷u h¹n, §Þnh lÝ Sylow vµ øng dông trong bµi to¸n ph©n lo¹i nhãm. PhÇn ®Çu cña Ch−¬ng V viÕt vÒ chuçi hîp thµnh vµ nhãm gi¶i ®−îc, mét lo¹i nhãm liªn quan chÆt chÏ víi tÝnh gi¶i ®−îc b»ng c¨n thøc cña çc ®a thøc. PhÇn sau nghiªn cøu vÒ nhãm tù do, ®ång thêi nªu mét øng dông cña nhãm tù do trong bµi to¸n biÓu diÔn nhãm b»ng hÖ sinh vµ çc quan hÖ. Ch−¬ng cuèi tr×nh bµy çc vÊn ®Ò vÒ nhãm Abel. Ng−êi ®äc cã thÓ tù häc m«n “LÝ thuyÕt nhãm” víi cuèn gi¸o tr×nh nµy, nÕu ® ®−îc trang bÞ mét sè kiÕn thøc s¬ l−îc vÒ tËp hîp, quan hÖ, ¸nh x¹, sè phøc vµ kh«ng gian vÐc t¬. NÕu ai ® häc “§¹i sè ®¹i c−¬ng” ë ch−¬ng tr×nh ®¹i häc th× cã thÓ bá qua çc ch−¬ng I vµ II ®Ó tiÕp cËn th¼ng çc ch−¬ng sau. §Ó ng−êi ®äc dÔ theo dâi, trong suèt gi¸o tr×nh, çc kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ ®Òu ®−îc diÔn gi¶i chi tiÕt, cã vÝ dô minh ho¹; côm tõ “hiÓn nhiªn ta cã” tr¸nh ®−îc dïng trong çc chøng minh; phÇn bµi tËp ®−îc thiÕt 4 kÕ ngay sau mét vµi môc nhá cña ch−¬ng. Trong toµn bé cuèn s¸ch, çc nhãm ®−îc kÝ hiÖu bëi G, H, K, ...; çc ®ång cÊu nhãm th−êng ®−îc kÝ hiÖu bëi f, g, h, k...; t¸c ®éng cña mét phÇn tö x cña nhãm G lªn phÇn tö s cña tËp hîp S th−êng ®−îc kÝ hiÖu lµ xs hay x • s; tËp çc sè tù nhiªn, tËp çc sè nguyªn, tËp çc sè h÷u tû, tËp çc sè thùc vµ tËp çc sè phøc lÇn l−ît ®−îc kÝ hiÖu bëi N, Z, Q, R vµ C. Trong rÊt nhiÒu kiÕn thøc vÒ lÝ thuyÕt nhãm, ®Ó chän nh÷ng néi dung cÇn thiÕt viÕt trong khu«n khæ mét gi¸o tr×nh nhá phï hîp víi ch−¬ng tr×nh ®µo t¹o bËc ®¹i häc lµ rÊt khã kh¨n. Çc t¸c gi¶ mong muèn nhËn ®−îc nh÷ng nhËn xÐt, gãp ý cña çc ®ång nghiÖp, çc sinh viªn vµ ®äc gi¶ vÒ nh÷ng thiÕu sãt cña cuèn gi¸o tr×nh ®Ó söa ch÷a vµ hoµn thiÖn trong lÇn t¸i b¶n sau. Çc t¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban §µo t¹o §¹i häc Th¸i Nguyªn, Dù ¸n TRIG §¹i häc Th¸i nguyªn thuéc Dù ¸n Gi¸o dôc §¹i häc 2 vµ Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Th¸i Nguyªn ® hç trî vÒ kinh phÝ còng nh− çc thñ tôc thuËn lîi ®Ó cuèn gi¸o tr×nh ®−îc xuÊt b¶n. Ch−¬ng 1 Nhãm vµ nhãm con 1.1 §Þnh nghÜa nhãm vµ vÝ dô 1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho X lµ tËp hîp. Mét phÐp to¸n (hai ng«i) trªn X lµ mét ¸nh x¹ tõ X × X ®Õn X. NÕu T lµ mét phÐp to¸n trªn X th× ¶nh cña phÇn tö (a, b) ∈ X × X qua T ®−îc kÝ hiÖu lµ aT b. Ta kÝ hiÖu ¶nh cña (a, b) lµ ab nÕu phÐp to¸n ®−îc kÝ hiÖu theo lèi nh©n, vµ lµ a + b nÕu phÐp to¸n ®−îc kÝ hiÖu theo lèi céng. Râ rµng phÐp céng th«ng th−êng lµ phÐp to¸n trªn N vµ còng lµ phÐp to¸n trªn Z. PhÐp trõ th«ng th−êng lµ phÐp to¸n trªn Z nh−ng kh«ng lµ phÐp to¸n trªn N. 1.1.2. §Þnh nghÜa. Cho X lµ tËp hîp cã trang bÞ mét phÐp to¸n T . Bé phËn A cña X ®−îc gäi lµ bé phËn æn ®Þnh nÕu aT b ∈ A víi mäi a, b ∈ A. Khi ®ã ta còng nãi phÐp to¸n trªn X c¶m sinh phÐp to¸n trªn A. Ch¼ng h¹n, tËp S = {1, −1} lµ mét bé phËn æn ®Þnh cña Z víi phÐp nh©n th«ng th−êng. TËp N lµ bé phËn æn ®Þnh cña Z víi phÐp céng, nh−ng 5 6 kh«ng æn ®Þnh víi phÐp trõ. 1.1.3. §Þnh nghÜa. Cho X lµ tËp hîp. PhÐp to¸n T trªn X ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt kÕt hîp nÕu aT (bT c) = (aT b)T c víi mäi a, b, c ∈ X, vµ ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt giao ho¸n nÕu aT b = bT a víi mäi a, b ∈ X. PhÐp to¸n T ®−îc gäi lµ ph©n phèi víi phÐp to¸n ∗ trªn X nÕu aT (b ∗ c) = (aT b) ∗ (aT c) vµ (b ∗ c)T a = (bT a) ∗ (cT a) víi mäi a, b, c ∈ X. Trªn çc tËp sè Z, Q, R, phÐp céng vµ phÐp nh©n th«ng th−êng cã tÝnh chÊt kÕt hîp, giao ho¸n vµ phÐp nh©n ph©n phèi hai phÝa víi phÐp céng. Tuy nhiªn phÐp trõ vµ phÐp chia kh«ng cã tÝnh chÊt giao ho¸n, còng kh«ng cã tÝnh chÊt kÕt hîp. 1.1.4. §Þnh nghÜa. Cho X lµ tËp hîp víi mét phÐp to¸n T . PhÇn tö e ∈ X ®−îc gäi lµ trung hoµ tr¸i nÕu eT a = a víi mäi a ∈ X. T−¬ng tù ta cã kh¸i niÖm trung hoµ ph¶i. NÕu e lµ trung hoµ c¶ hai phÝa th× e ®−îc gäi lµ phÇn tö trung hoµ. Gi¶ sö X cã phÇn tö trung hoµ e. Víi a, b ∈ X, ta nãi r»ng b lµ phÇn tö ng−îc tr¸i cña a nÕu bT a = e. T−¬ng tù ta cã kh¸i niÖm phÇn tö ng−îc ph¶i. NÕu b lµ phÇn tö ng−îc c¶ hai phÝa th× ta nãi b lµ phÇn tö ng−îc cña a. DÔ thÊy r»ng phÇn tö trung hoµ cña X ®èi víi phÐp to¸n T (nÕu cã) lµ duy nhÊt, bëi v× nÕu e, e lµ hai phÇn tö trung hoµ th× e = eT e = e . Ta gäi phÇn tö trung hoµ lµ phÇn tö ®¬n vÞ nÕu phÐp to¸n kÝ hiÖu theo lèi nh©n, vµ gäi lµ phÇn tö kh«ng nÕu phÐp to¸n kÝ hiÖu theo lèi céng. Chó ý r»ng nÕu T cã tÝnh chÊt kÕt hîp th× phÇn tö ng−îc cña a (nÕu cã) lµ duy nhÊt, bëi v× nÕu b, b lµ hai phÇn tö ng−îc cña a th× b = bT e = bT (aT b ) = (bT a)T b = eT b = b . 7 NÕu phÐp to¸n kÝ hiÖu theo lèi nh©n, phÇn tö ng−îc cña a ®−îc gäi lµ nghÞch ®¶o cña a, vµ ®−îc kÝ hiÖu lµ a−1 . Khi a cã nghÞch ®¶o, ta nãi a lµ kh¶ nghÞch. NÕu phÐp to¸n kÝ hiÖu theo lèi céng, phÇn tö ng−îc cña a ®−îc gäi lµ ®èi xøng cña a, vµ ®−îc kÝ hiÖu lµ −a. PhÇn tö a ∈ X ®−îc gäi lµ chÝnh quy ph¶i nÕu xT a = yT a kÐo theo x = y víi mäi x, y ∈ X. T−¬ng tù ta cã kh¸i niÖm phÇn tö chÝnh quy tr¸i. NÕu a chÝnh quy hai phÝa th× ta nãi a lµ chÝnh quy. Khi a lµ chÝnh quy th× ta còng nãi luËt gi¶n −íc thùc hiÖn ®−îc ®èi víi a. 1.1.5. §Þnh nghÜa. Pháng nhãm lµ mét tËp hîp cïng víi mét phÐp to¸n. Nöa nhãm lµ mét pháng nhãm víi phÐp to¸n cã tÝnh chÊt kÕt hîp. VÞ nhãm lµ mét nöa nhãm víi phÇn tö ®¬n vÞ. Cho X = ∅ lµ tËp hîp. KÝ hiÖu Γ lµ tËp çc ¸nh x¹ tõ X ®Õn X. Víi phÐp hîp thµnh çc ¸nh x¹, ¸nh x¹ ®ång nhÊt 1X ®ãng vai trß lµ phÇn tö ®¬n vÞ cña Γ, vµ phÇn tö f ∈ Γ lµ kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi f lµ song ¸nh. V× phÐp hîp thµnh çc ¸nh x¹ cã tÝnh chÊt kÕt hîp nªn Γ lµ mét vÞ nhãm. Tõ nay vÒ sau, nÕu kh«ng nãi râ thªm, ta quy −íc phÐp to¸n ®−îc kÝ hiÖu theo lèi nh©n. 1.1.6. §Þnh nghÜa. Nhãm lµ mét vÞ nhãm mµ mäi phÇn tö ®Òu kh¶ nghÞch. Nh− vËy, mét tËp G cïng víi mét phÐp to¸n lµm thµnh nhãm nÕu nã tho¶ m n çc ®iÒu kiÖn (i) PhÐp to¸n cã tÝnh kÕt hîp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G. (ii) G cã ®¬n vÞ: ∃e ∈ G sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ G. (iii) Mäi phÇn tö cña G ®Òu kh¶ nghÞch: Víi mçi x ∈ G, tån t¹i x−1 ∈ G sao cho xx−1 = x−1 x = e. 8 Mét nhãm G ®−îc gäi lµ nhãm giao ho¸n (hay nhãm Abel) nÕu phÐp to¸n lµ giao ho¸n. NÕu G cã h÷u h¹n phÇn tö th× sè phÇn tö cña G ®−îc gäi lµ cÊp cña G. NÕu G cã v« h¹n phÇn tö th× ta nãi G cã cÊp v« h¹n. Trong phÇn cßn l¹i cña tiÕt nµy, chóng ta ®−a ra mét sè vÝ dô vÒ nhãm. 1.1.7. VÝ dô. Çc tËp hîp Z, Q, R, C víi phÐp céng th«ng th−êng lµ çc nhãm giao ho¸n cÊp v« h¹n. TËp hîp Q∗ çc sè h÷u tû kh¸c 0 (tËp R∗ çc sè thùc kh¸c 0, tËp C∗ çc sè phøc kh¸c 0) víi phÐp nh©n th«ng th−êng lµ nhãm giao ho¸n cÊp v« h¹n. 1.1.8. VÝ dô. Cho X lµ mét tËp hîp kh¸c rçng. Mét phÐp thÕ cña X hay mét ho¸n vÞ cña tËp X lµ mét song ¸nh tõ X ®Õn X. KÝ hiÖu S(X) lµ tËp çc phÐp thÕ cña X. Khi ®ã S(X) cïng víi phÐp hîp thµnh çc ¸nh x¹ lµ mét nhãm víi ®¬n vÞ lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt 1X vµ nghÞch ®¶o cña phÇn tö f ∈ S(X) lµ ¸nh x¹ ng−îc f −1 cña f. Nhãm S(X) ®−îc gäi lµ nhãm ®èi xøng cña X hay nhãm çc phÐp thÕ cña X. Khi X cã n phÇn tö th× S(X) ®−îc kÝ hiÖu lµ Sn . Çc phÇn tö cña Sn cã thÓ ®ång nhÊt víi çc song ¸nh tõ tËp {1, 2, . . . , n} ®Õn chÝnh nã. Chó ý r»ng Sn cã cÊp lµ n! vµ lµ nhãm kh«ng giao ho¸n khi n ≥ 3. NÕu n kh«ng lín, ng−êi ta th−êng viÕt mçi phÇn tö s ∈ Sn b»ng çch liÖt kª çc phÇn tö x ∈ {1, 2, . . . , n} vµ çc gi¸ trÞ t−¬ng øng s(x). Ch¼ng h¹n, nÕu n = 5 th× s= 12345 35214 lµ ho¸n vÞ cña X x¸c ®Þnh bëi s(1) = 3, s(2) = 5, s(3) = 2, s(4) = 1, s(5) = 4. Ta ®Þnh nghÜa mét chu tr×nh hay mét xÝch (a1 , a2 , . . . , ak ) lµ mét phÐp thÕ s ∈ Sn , trong ®ã a1 , . . . , ak lµ çc phÇn tö cña tËp {1, 2, . . . , n} sao cho s(a1 ) = a2 , s(a2 ) = a3 , . . . , s(ak−1 ) = ak , s(ak ) = a1 vµ s(a) = a 9 ´ víi mäi a ∈ / {a1 , . . . , ak }. Anh x¹ ®ång nhÊt lµ chu tr×nh rçng v× nã gi÷ nguyªn mäi phÇn tö, vµ nã ®−îc kÝ hiÖu lµ e hay (1). Ch¼ng h¹n, ta cã thÓ viÕt çc phÇn tö cña nhãm ®èi xøng S3 d−íi d¹ng chu tr×nh nh− sau: S3 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 2)} 1.1.9. VÝ dô. Cho m ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn. Víi mçi a ∈ Z, kÝ hiÖu a = {b ∈ Z : a ≡ b(mod m)} lµ líp t−¬ng ®−¬ng cña a theo quan hÖ ®ång d− theo m«®un m, vµ Zm = {a : a ∈ Z} lµ tËp çc líp t−¬ng ®−¬ng. Chó ý r»ng hai líp a, b ∈ Zm lµ b»ng nhau nÕu vµ chØ nÕu a − b chia hÕt cho m. (i) Trªn Zm ta ®Þnh nghÜa quy t¾c céng nh− sau: víi mäi a, b ∈ Zm , a + b = a + b. Quy t¾c céng nh− trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän ®¹i diÖn cña çc líp t−¬ng ®−¬ng, tøc lµ nÕu a = a vµ b = b th× a + b = a + b . V× thÕ nã x¸c ®Þnh mét phÐp to¸n hai ng«i trªn Zm , gäi lµ phÐp céng çc líp thÆng d−. H¬n n÷a, tËp Zm cïng víi phÐp céng lµ mét nhãm giao ho¸n cÊp m víi phÇn tö kh«ng lµ 0 vµ phÇn tö ®èi xøng cña a lµ −a. Nhãm Zm ®−îc gäi lµ nhãm céng çc líp thÆng d− theo m«®un m hay nhãm céng çc sè nguyªn modulo m. (ii) Trªn Zm ta ®Þnh nghÜa quy t¾c nh©n nh− sau: víi mäi a, b ∈ Zm , a . b = ab. Quy t¾c nh©n nh− trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän ®¹i diÖn cña çc líp t−¬ng ®−¬ng, vµ v× thÕ nã x¸c ®Þnh mét phÐp to¸n hai ng«i trªn Zm , gäi lµ phÐp nh©n çc líp thÆng d−. TËp Zm cïng víi phÐp nh©n lµ vÞ nhãm giao ho¸n, nh−ng kh«ng lµ nhãm. Chó ý r»ng nÕu a = b ∈ Zm th× a vµ m 10 nguyªn tè cïng nhau nÕu vµ chØ nÕu b vµ m nguyªn tè cïng nhau. Do ®ã ta cã thÓ ®Æt Z∗m = {a ∈ Zm : a vµ n nguyªn tè cïng nhau}. TËp Z∗m lµ bé phËn æn ®Þnh cña Zm víi phÐp nh©n vµ cïng víi phÐp to¸n nµy Z∗m lµ mét nhãm giao ho¸n cã cÊp ϕ(m), trong ®ã ϕ lµ hµm Euler ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: ϕ(1) = 1; ϕ(m) lµ sè çc sè nguyªn d−¬ng nhá h¬n m vµ nguyªn tè cïng nhau víi m. Nhãm Z∗m ®−îc gäi lµ nhãm nh©n çc líp thÆng d− theo m«®un m nguyªn tè víi m. 1.1.10. VÝ dô. Cho H lµ tËp çc ®iÓm cña mét h×nh nµo ®ã. Mét phÐp thÕ s cña H ®−îc gäi lµ mét phÐp ®¼ng cù nÕu víi mäi M, N ∈ H, kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm M, N b»ng kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm s(M ), s(N ). TËp hîp çc phÐp ®¼ng cù cña h×nh H lµm thµnh mét nhãm víi phÐp hîp thµnh çc ¸nh x¹, vµ ta gäi nã lµ nhãm çc phÐp ®¼ng cù cña H. Ch¼ng h¹n, gäi H lµ tËp çc ®iÓm n»m trªn chu vi mét tam gi¸c ®Òu víi çc ®Ønh lµ 1, 2, 3. Khi ®ã ®é dµi cña mçi c¹nh lµ lín nhÊt trong çc ®é dµi cña çc ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm tuú ý trªn H. V× thÕ mçi phÐp ®¼ng cù cña h×nh H ®Òu biÕn çc ®Ønh thµnh çc ®Ønh. Theo tiªu chuÈn nµy, ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc cã ®óng 6 phÐp ®¼ng cù cña h×nh H, ®ã lµ 3 phÐp quay 1200 , 2400 , 3600 víi t©m quay lµ träng t©m cña tam gi¸c ®Òu vµ chiÒu quay ng−îc kim ®ång hå; vµ 3 phÐp ®èi xøng qua 3 ®−êng cao. NÕu ta ®ång nhÊt çc phÐp quay 1200 , 2400 , 3600 ë trªn lÇn l−ît víi 3 phÐp thÕ (123), (132), (1); vµ ®ång nhÊt 3 phÐp ®èi xøng qua 3 ®−êng cao ®i qua çc ®Ønh 1, 2, 3 lÇn l−ît víi çc phÐp thÕ (23), (13), (12) th× b¶ng to¸n nh©n cña nhãm çc phÐp ®¼ng cù cña H trïng víi b¶ng to¸n nh©n cña nhãm çc phÐp thÕ S3 . 11 1.1.11. VÝ dô. Cho K lµ mét tr−êng. KÝ hiÖu GL(n, K) lµ tËp çc ma trËn vu«ng cÊp n kh¶ nghÞch víi phÇn tö trong K. Khi ®ã GL(n, K) lµ mét nhãm víi phÐp nh©n çc ma trËn. Gi¶ sö V lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ n chiÒu trªn K. KÝ hiÖu GL(V ) lµ tËp çc tù ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh cña V . Khi ®ã GL(V ) lµm thµnh mét nhãm víi phÐp hîp thµnh çc ¸nh x¹. Nhãm GL(V ) ®−îc gäi lµ nhãm tuyÕn tÝnh tæng qu¸t trªn V. Chän mét c¬ së S cña V. Khi ®ã mçi f ∈ GL(V ) x¸c ®Þnh mét ma tr©n M (f) cña f øng víi c¬ së S. Chó ý r»ng M (f) lµ ma trËn vu«ng cÊp n. V× f lµ ®¼ng cÊu nªn M (f ) lµ ma trËn kh¶ nghÞch. Víi f, g ∈ GL(V ), chóng ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc ma trËn M (gf ) cña ¸nh x¹ tÝch gf chÝnh lµ tÝch cña ma trËn M (g) cña g vµ ma trËn M (f) cña f. V× thÕ ta cã thÓ ®ång nhÊt nhãm tuyÕn tÝnh tæng qu¸t GL(V ) víi nhãm nh©n GL(n, K). 1.1.12. VÝ dô. Cho {Gi }i∈I lµ mét hä nhãm. KÝ hiÖu i∈I Víi (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ Gi = {(xi )i∈I : xi ∈ Gi , ∀i ∈ I}. Gi , ®Þnh nghÜa (xi )i∈I (yi )i∈I = (xi yi )i∈I . Khi ®ã i∈I Gi cïng víi phÐp nh©n ®Þnh nghÜa nh− trªn lµm thµnh mét nhãm. PhÇn i∈I tö ®¬n vÞ lµ (ei )i∈I , trong ®ã ei lµ ®¬n vÞ cña Gi víi mäi i ∈ I. PhÇn tö nghÞch ®¶o cña (xi )i∈I ∈ xi trong Gi . Nhãm i∈I i∈I Gi = {(xi )i∈I ∈ Khi ®ã −1 Gi lµ (x−1 lµ nghÞch ®¶o cña i )i∈I , trong ®ã xi i∈I Gi ®−îc gäi lµ tÝch trùc tiÕp cña hä {Gi }i∈I . §Æt i∈I Gi : chØ cã h÷u h¹n chØ sè i sao cho xi = ei }. Gi lµ mét bé phËn æn ®Þnh cña i∈I Gi , h¬n n÷a i∈I Gi lµ mét i∈I 12 nhãm, gäi lµ tæng trùc tiÕp cña hä (Gi )i∈I . 1.2 Mét sè tÝnh chÊt 1.2.1. Bæ ®Ò. Cho G lµ mét nhãm víi ®¬n vÞ e. Khi ®ã (i) PhÇn tö ®¬n vÞ cña G lµ duy nhÊt; PhÇn tö nghÞch ®¶o cña mçi phÇn tö cña G lµ duy nhÊt. (ii) Mäi phÇn tö cña G ®Òu chÝnh quy. (iii) Víi mäi a, b ∈ G, çc ph−¬ng tr×nh ax = b vµ ya = b cã nghiÖm duy nhÊt trong G. (iv) NghÞch ®¶o cña e lµ e. NghÞch ®¶o cña a−1 lµ a víi mäi a ∈ G. NghÞch ®¶o cña tÝch ab lµ b−1 a−1 víi mäi a, b ∈ G. Chøng minh. (i). § ®−îc chØ ra trong TiÕt 1.1. (ii). Cho a, x, y ∈ G. Gi¶ sö ax = ay. Khi ®ã a−1 ax = a−1 ay. Suy ra ex = ey hay x = y. T−¬ng tù, nÕu xa = ya th× x = y víi mäi x, y ∈ G. VËy a lµ chÝnh quy. (iii) Râ rµng x = a−1 b lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ax = b. NÕu c ∈ G còng lµ nghiÖm th× ac = b, suy ra a−1 (ac) = a−1 b, do ®ã c = a−1 b. T−¬ng tù, ph−¬ng tr×nh ya = b cã nghiÖm duy nhÊt. (iv). V× ee = e nªn e lµ nghÞch ®¶o cña e. V× a−1 a = e = aa−1 nªn a−1 lµ nghÞch ®¶o cña a. V× (b−1 a−1 )(ab) = e = (ab)(b−1 a−1 ) nªn b−1 a−1 lµ nghÞch ®¶o cña ab. 1.2.2. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm. (i) TÝch cña h÷u h¹n phÇn tö a1 , . . . , an ∈ G ®−îc ®Þnh nghÜa b»ng quy n¹p nh− sau: a1 . . . an = (a1 . . . an−1 )an . 13 (ii) Víi a ∈ G vµ n ∈ Z, luü thõa bËc n cña a, kÝ hiÖu lµ an , ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: a0 = e. NÕu n > 0, ®Æt an = aa . . . a (trong tÝch cã n nh©n tö a). Khi n < 0, ®Æt an = a−1 a−1 . . . a−1 (trong tÝch cã −n nh©n tö a−1 ). Tõ ®Þnh nghÜa trªn, chóng ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc çc tÝnh chÊt sau ®©y. 1.2.3. Çc tÝnh chÊt. Cho G lµ mét nhãm. Çc ph¸t biÓu sau lµ ®óng. (i) (a1 . . . am )(am+1 . . . an ) = a1 . . . an víi mäi phÇn tö a1 , . . . , an ∈ G vµ mäi sè tù nhiªn m < n. (ii) NÕu G lµ nhãm giao ho¸n th× a1 . . . an = aϕ(1) . . . aϕ(n) víi mäi phÐp thÕ ϕ cña tËp {1, 2, . . . , n} vµ mäi a1 , . . . , an ∈ G. (iii) an am = an+m vµ (an )m = anm víi mäi a ∈ G vµ mäi n, m ∈ Z. 1.2.4. Chó ý. Trong tr−êng hîp phÐp to¸n cña nhãm G ®−îc kÝ hiÖu theo lèi céng, víi mçi sè nguyªn n vµ mçi phÇn tö a ∈ G, ta ®Þnh nghÜa béi n cña mét phÇn tö a, kÝ hiÖu lµ na, nh− sau: 0a = 0. NÕu n > 0, ®Æt na = a + a + . . . + a (trong tæng cã n h¹ng tö a). Khi n < 0, ®Æt na = (−a) + (−a) + . . . + (−a) (trong tæng cã −n h¹ng tö −a). Khi ®ã víi mäi a ∈ G vµ mäi n, m ∈ Z ta cã (na) + (ma) = (n + m)a vµ n(ma) = (nm)a. Sau ®©y lµ mét sè ®iÒu kiÖn t−¬ng ®−¬ng víi ®Þnh nghÜa nhãm. 1.2.5. §Þnh lý. Cho G lµ mét nöa nhãm kh¸c rçng. Çc ph¸t biÓu sau lµ t−¬ng ®−¬ng. (i) G lµ mét nhãm. (ii) Víi mäi a, b ∈ G, çc ph−¬ng tr×nh ax = b vµ ya = b cã nghiÖm. (iii) G cã ®¬n vÞ tr¸i, vµ øng víi ®¬n vÞ tr¸i nµy, mäi phÇn tö cña G ®Òu cã nghÞch ®¶o tr¸i. 14 Chøng minh. (i)⇒(ii) ® chøng minh trong Bæ ®Ò 1.2.1. (ii)⇒(iii). Do G = ∅ nªn tån t¹i a ∈ G. Theo gi¶ thiÕt, ph−¬ng tr×nh ax = a cã nghiÖm trong G. Gäi e ∈ G lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy. Cho b ∈ G. Gäi c lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ax = b. Khi ®ã b = ac. V× thÕ eb = e(ac) = (ea)c = ac = b. Do ®ã e lµ ®¬n vÞ tr¸i cña G. Víi mçi a ∈ G, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ya = e lµ nghÞch ®¶o tr¸i cña a. (iii)⇒(i). Cho a ∈ G. Gäi a lµ nghÞch ®¶o tr¸i cña a vµ gäi a lµ nghÞch ®¶o tr¸i cña a . Khi ®ã aa = e(aa ) = (a a )(aa ) = a (a a)a = a ea = a a = e. V× thÕ a lµ nghÞch ®¶o ph¶i cña a. Ta l¹i cã ae = a(a a) = (aa )a = ea = a víi mäi a ∈ G. V× thÕ e lµ ®¬n vÞ ph¶i cña G. PhÇn cuèi cña tiÕt nµy dµnh ®Ó tr×nh bµy vÒ nhãm xyclic, mét lo¹i nhãm ®Ñp nhÊt. 1.2.6. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm. G ®−îc gäi lµ nhãm xyclic nÕu tån t¹i a ∈ G sao cho mçi phÇn tö cña G ®Òu lµ mét luü thõa cña a. Trong tr−êng hîp nµy ta nãi G lµ nhãm xyclic sinh bëi a, vµ ta viÕt G =< a > hay G = (a). Nh− vËy, G lµ nhãm xyclic sinh bëi a nÕu G = {an : n ∈ Z}, vµ a ®−îc gäi lµ mét phÇn tö sinh cña G. 15 1.2.7. Chó ý. Gi¶ sö phÐp to¸n cña nhãm G ®−îc kÝ hiÖu theo lèi céng. Khi ®ã G lµ nhãm xyclic nÕu tån t¹i phÇn tö a ∈ G sao cho mçi phÇn tö cña G ®Òu lµ béi cña a. Nh− vËy, G lµ nhãm xyclic sinh bëi a nÕu G = {na : n ∈ Z}. 1.2.8. VÝ dô. (i) Nhãm Z çc sè nguyªn víi phÐp céng th«ng th−êng lµ nhãm xyclic sinh bëi 1 hoÆc −1. Nhãm céng Zm çc líp thÆng d− theo m«®un m víi phÐp céng çc líp thÆng d− lµ nhãm xyclic sinh bëi 1 hoÆc m − 1. (ii) Nhãm céng Q kh«ng lµ nhãm xyclic. ThËt vËy, gi¶ sö Q lµ nhãm xyclic sinh bëi a/b víi a, b ∈ Z, b = 0. Khi ®ã a = 0. H¬n n÷a a/2b ph¶i lµ béi cña a/b, tøc lµ tån t¹i n ∈ Z sao cho a a 2na =n = . 2b b 2b Suy ra a = 2na, hay 1 = 2n. §iÒu nµy lµ v« lÝ. 1.2.9. Bæ ®Ò. Gi¶ sö G = (a) lµ nhãm xyclic. Çc ph¸t biÓu sau lµ ®óng. (i) NÕu an = am víi mäi n = m th× G cã cÊp v« h¹n. (ii) NÕu tån t¹i n = m sao cho an = am th× G cã cÊp h÷u h¹n. Trong tr−êng hîp nµy, tån t¹i nh÷ng sè nguyªn d−¬ng r sao cho ar = e, vµ cÊp cña G lµ sè nguyªn d−¬ng r nhá nhÊt sao cho ar = e. Chøng minh. (i). V× an = am víi mäi n = m, m, n ∈ Z nªn ¸nh x¹ f : Z −→ G cho bëi f(n) = an lµ song ¸nh. V× thÕ G cã cÊp v« h¹n. (ii). V× n = m nªn n − m = 0. V× an = am nªn an−m = e = am−n . Trong hai sè n−m vµ m−n ¾t ph¶i cã mét sè nguyªn d−¬ng. Do ®ã, tån t¹i nh÷ng sè nguyªn d−¬ng r sao cho ar = 2. Gäi r lµ sè nguyªn d−¬ng bÐ nhÊt cã tÝnh chÊt ar = e. Ta thÊy r»ng çc phÇn tö e, a, a2 , . . . , ar−1 lµ ®«i mét kh¸c 16 nhau. ThËt vËy, nÕu ai = aj víi 0 i j < r th× aj−i = e, do ®ã theo çch chän cña r ta cã i = j. B©y giê ta chøng minh G = {e, a, a2 , . . . , ar−1 }. Râ rµng G ⊇ {e, a, a2 , . . . , ar−1 }. Cho b ∈ G. Khi ®ã b = ak víi k ∈ Z. ViÕt k = rq + s trong ®ã q, s ∈ Z vµ 0 s r − 1. Ta cã b = ak = arq+s = (ar )q as = as ∈ {e, a, a2 , . . . , ar−1 }. V× thÕ G = {e, a, a2 , . . . , ar−1 }. Do ®ã G cã cÊp r. Tõ chøng minh bæ ®Ò trªn ta suy ra ngay hÖ qu¶ sau ®©y. 1.2.10. HÖ qu¶. Cho G = (a) lµ nhãm xyclic vµ n > 0 lµ mét sè nguyªn. Çc ph¸t biÓu sau lµ t−¬ng ®−¬ng (i) G cã cÊp n. (ii) n lµ sè nguyªn d−¬ng bÐ nhÊt sao cho an = e. (iii) an = e vµ nÕu ak = e th× k lµ béi cña n víi mäi k ∈ Z. Bµi tËp 1. H y cho vÝ dô vÒ vÞ nhãm mµ kh«ng lµ nhãm; mét vÝ dô vÒ nöa nhãm mµ kh«ng lµ vÞ nhãm. 2. Cho G lµ nhãm vµ a, b ∈ G. Chøng minh r»ng nÕu ab = ba th× (ab)n = an bn víi mäi n. 3. Chøng minh çc tËp hîp sau víi phÐp to¸n ® cho lµm thµnh mét nhãm. (a) TËp hîp mZ çc sè nguyªn lµ béi cña m víi phÐp céng (m lµ sè nguyªn cho tr−íc). (b) TËp hîp çc sè thùc d−¬ng víi phÐp nh©n. 17 (c) TËp hîp çc sè phøc cã m«®un b»ng 1 víi phÐp nh©n. (d) TËp çc c¨n phøc bËc n cña ®¬n vÞ víi phÐp nh©n (0 = n ∈ N). (e) TËp çc sè h÷u tû cã d¹ng 2n , n ∈ Z, víi phÐp nh©n. (g) TËp {1, −1} víi phÐp nh©n. √ (h) TËp çc sè thùc cã d¹ng a + b 3, a, b ∈ Z víi phÐp céng. √ (i) TËp {a + b 3 : a, b ∈ Q, a2 + b2 = 0} víi phÐp nh©n. (k) TËp çc sè phøc cã d¹ng a + bi, a, b ∈ Z víi phÐp céng. 4. Chøng minh çc tËp hîp sau víi phÐp to¸n ® cho lµm thµnh mét nhãm. (a) TËp çc vÐc t¬ cña kh«ng gian Rn víi phÐp céng vÐc t¬ (0 = n ∈ N). (b) TËp çc ma trËn cÊp m × n víi çc phÇn tö lµ çc sè thùc cïng víi phÐp céng ma trËn (0 = m, n ∈ N). (c) TËp çc ma trËn thùc vu«ng kh«ng suy biÕn cÊp n víi phÐp nh©n ma trËn (0 = n ∈ N). (d) TËp çc ®a thøc cã hÖ sè thùc víi phÐp céng çc ®a thøc. (e) TËp gåm ®a thøc 0 vµ çc ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n víi phÐp céng ®a thøc (n lµ sè tù nhiªn cho tr−íc). 5. H y lËp b¶ng to¸n cho mét tËp X ®Ó ®−îc nh÷ng nhãm víi (a) X gåm 2 phÇn tö. (b) X gåm 3 phÇn tö. 6. Chøng minh r»ng tÝch trùc tiÕp G1 × G2 × . . . × Gn lµ giao ho¸n khi vµ chØ khi çc nhãm G1 , G2 , . . . , Gn lµ giao ho¸n. 7. Cho m > 0 lµ mét sè tù nhiªn. Chøng minh r»ng tËp Z∗m çc líp thÆng d− nguyªn tè víi m lµ mét nhãm víi phÐp nh©n çc líp thÆng d−. 8. Chøng minh §Þnh lÝ Wilson: NÕu m lµ sè nguyªn tè th× tÝch cña çc phÇn tö trong nhãm Z∗m b»ng −1. 18 9. Cho G lµ nhãm víi ®¬n vÞ e sao cho a2 = e víi mäi a ∈ G. Chøng minh r»ng G lµ nhãm giao ho¸n. 10. Cho G lµ nöa nhãm kh¸c rçng. Víi mçi a ∈ G ta kÝ hiÖu aG = {ax : x ∈ G} vµ Ga = {xa : x ∈ G}. Chøng minh r»ng G lµ nhãm nÕu vµ chØ nÕu aG = Ga = G, ∀a ∈ G. 11. Cho G lµ nöa nhãm h÷u h¹n kh¸c rçng. Chøng minh r»ng G lµ nhãm nÕu vµ chØ nÕu luËt gi¶n −íc thùc hiÖn ®−îc ®èi víi mäi phÇn tö cña G. §iÒu nµy cßn ®óng kh«ng khi G cã v« h¹n phÇn tö. 12. Chøng minh r»ng mäi nhãm xyclic ®Òu giao ho¸n. Tõ ®ã suy ra r»ng nhãm ®èi xøng Sn kh«ng lµ xyclic víi n ≥ 3. 13. Chøng minh r»ng nhãm Z2 × Z2 kh«ng lµ nhãm xyclic; nhãm Z2 × Z3 lµ xyclic. 14. Cho G = (a) lµ nhãm xyclic. Chøng minh r»ng nÕu G cã cÊp v« h¹n th× G cã ®óng hai phÇn tö sinh lµ a vµ a−1 . 15. Cho G = (a) lµ nhãm xyclic. Chøng minh r»ng nÕu G cã cÊp n th× phÇn tö ak lµ phÇn tö sinh cña G nÕu vµ chØ nÕu k vµ n nguyªn tè cïng nhau. 1.3 Nhãm con 1.3.1. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm. TËp con H cña G ®−îc gäi lµ nhãm con cña G nÕu nã tho¶ m n çc ®iÒu kiÖn sau ®©y (i) ab ∈ H víi mäi a, b ∈ H. (ii) e ∈ H. (iii) a−1 ∈ H víi mäi a ∈ H. 19 Nh− vËy, mét nhãm con cña G lµ mét bé phËn æn ®Þnh H cña G sao cho H cïng víi phÐp to¸n ®−îc c¶m sinh trªn G lµ mét nhãm. NhËn xÐt r»ng trong mét nhãm G bÊt k×, çc bé phËn G vµ {e} lu«n lµ çc nhãm con cña G. Nhãm con {e} lµ nhãm con bÐ nhÊt cña G vµ ta gäi nã lµ nhãm con tÇm th−êng. Çc nhãm con kh¸c G ®−îc gäi lµ nhãm con thùc sù cña G. 1.3.2. MÖnh ®Ò. Cho G lµ mét nhãm vµ H ⊆ G. Khi ®ã H lµ nhãm con cña G nÕu vµ chØ nÕu H = ∅ vµ ab−1 ∈ H víi mäi a, b ∈ H. Chøng minh. Gi¶ sö H lµ nhãm con cña G. Khi ®ã e ∈ H vµ do ®ã H = ∅. Cho a, b ∈ H. Khi ®ã b−1 ∈ H. Suy ra ab−1 ∈ H. Ng−îc l¹i, gi¶ sö H = ∅ vµ ab−1 ∈ H víi mäi a, b ∈ H. Do H = ∅ nªn tån t¹i a ∈ H. Suy ra e = aa−1 ∈ H. Cho b ∈ H. V× e ∈ H nªn b−1 = eb−1 ∈ H. Cho a, b ∈ H. Khi ®ã b−1 ∈ H. Do ®ã ab = a(b−1 )−1 ∈ H. VËy H lµ nhãm con cña G. 1.3.3. VÝ dô. (i) Trong nhãm çc phÐp thÕ S3 , çc tËp con sau ®©y lµ çc nhãm con cña S3 . H1 = S3 , H2 = {e}, H3 = {e, (123), (132)}, H4 = {e, (12)}, H5 = {e, (23)}, H6 = {e, (13)}. (ii) Trong nhãm céng Z, çc tËp con cã d¹ng mZ víi m ∈ Z lµ çc nhãm con cña Z. 1.3.4. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm vµ a ∈ G. §Æt (a) = {an : n ∈ Z}. 20 Khi ®ã (a) lµ nhãm con cña G, ®−îc gäi lµ nhãm con xyclic sinh bëi a. CÊp cña nhãm con (a) ®−îc gäi lµ cÊp cña phÇn tö a. Tõ Bæ ®Ò 1.2.9 ta cã ngay çc kÕt qu¶ sau ®©y. 1.3.5. HÖ qu¶. Cho G lµ nhãm vµ a ∈ G. Khi ®ã a cã cÊp v« h¹n nÕu vµ chØ nÕu an = 0 kÐo theo n = 0, ∀n ∈ Z. 1.3.6. HÖ qu¶. Cho G lµ nhãm, a ∈ G vµ r lµ sè nguyªn d−¬ng. Çc mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng. (ii) a cã cÊp r (ii) r lµ sè nguyªn d−¬ng bÐ nhÊt sao cho ar = e. (iii) ar = e vµ nÕu ak = e th× k lµ béi cña r víi mäi k ∈ Z. 1.3.7. Bæ ®Ò. Giao cña mét hä tuú ý nh÷ng nhãm con cña mét nhãm G lµ nhãm con cña G. Chøng minh. Cho (Hi )i∈I lµ mét hä nhãm con cña G. §Æt H = i∈I Hi . Do e ∈ Hi víi mäi i ∈ I nªn e ∈ H. V× thÕ H = ∅. Cho a, b ∈ H. Khi ®ã a, b ∈ Hi víi mäi i ∈ I. V× Hi lµ nhãm con cña G nªn ab−1 ∈ Hi víi mäi i ∈ I. Suy ra ab−1 ∈ H. VËy H lµ nhãm con cña G. 1.3.8. Bæ ®Ò. Cho (Hi )i∈I lµ mét hä nh÷ng nhãm con cña mét nhãm G. Gi¶ sö víi mäi i, j ∈ I, tån t¹i k ∈ I sao cho Hi , Hj ⊆ Hk . Khi ®ã i∈I Hi lµ nhãm con cña G. Chøng minh. §Æt L = i∈I Hi . V× e ∈ Hi víi mäi i ∈ I nªn e ∈ L. V× thÕ L = ∅. Cho a, b ∈ L. Khi ®ã tån t¹i i, j ∈ I sao cho a ∈ Hi vµ b ∈ Hj . Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i k ∈ I sao cho Hi , Hj ⊆ Hk . Do ®ã a, b ∈ Hk . Do Hk 21 lµ nhãm con cña G nªn ab−1 ∈ Hk . V× thÕ ab−1 ∈ L. VËy L lµ nhãm con cña G. PhÇn cßn l¹i cña tiÕt nµy dµnh ®Ó tr×nh bµy mét lo¹i nhãm con gäi lµ nhãm con sinh bëi mét tËp. Bæ ®Ò 1.3.7 cho phÐp chóng ta ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm sau ®©y. 1.3.9. §Þnh nghÜa. Cho A lµ bé phËn cña mét nhãm G. Khi ®ã tån t¹i nh÷ng nhãm con cña G chøa A, ch¼ng h¹n G. Giao cña tÊt c¶ çc nhãm con cña G chøa A lµ nhãm con nhá nhÊt cña G chøa A. Nhãm con nµy ®−îc gäi lµ nhãm con cña G sinh bëi tËp A vµ kÝ hiÖu lµ (A) hay < A > . NÕu G sinh bëi tËp A th× ta nãi A lµ mét hÖ sinh cña G. NÕu G cã mét hÖ sinh h÷u h¹n th× ta nãi G lµ h÷u h¹n sinh. Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy nhãm con sinh bëi tËp rçng lµ {e}. Khi A = ∅ chóng ta cã thÓ m« t¶ nhãm con sinh bëi tËp A nh− sau. 1.3.10. MÖnh ®Ò. Cho A lµ bé phËn kh¸c rçng cña mét nhãm G. §Æt A−1 = {x−1 | x ∈ A}. Khi ®ã (A) = {a1 a2 . . . an | n ∈ N, a1 , . . . , an ∈ A ∪ A−1 }. Chøng minh. §Æt H = {a1 a2 . . . an | n ∈ N, a1 , . . . , an ∈ A ∪ A−1 }. Râ rµng H ⊇ A. Do A = ∅ nªn H = ∅. Cho x, y ∈ H. ViÕt x = a1 . . . an vµ −1 y = b1 . . . bm víi a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ∈ A ∪ A−1 . Râ rµng b−1 1 , . . . , bm ∈ A ∪ A−1 . V× thÕ −1 xy −1 = a1 . . . an b−1 m . . . b1 ∈ H. Do ®ã H lµ nhãm con cña G chøa A. Cho L lµ nhãm con cña G chøa A. Khi ®ã L chøa çc tÝch h÷u h¹n a1 a2 . . . an víi a1 , . . . , an ∈ A∪A−1 . V× thÕ L ⊇ H. VËy H lµ nhãm con nhá nhÊt cña G chøa A, tøc lµ H = (A). 22 1.4 Nhãm con cña mét nhãm xyclic 1.4.1. MÖnh ®Ò. Nhãm con cña nhãm xyclic lµ xyclic Chøng minh. Gi¶ sö G = (a) lµ nhãm xyclic vµ H lµ nhãm con cña G. NÕu H = {e} th× H lµ nhãm xyclic sinh bëi e. Gi¶ sö H = {e}. Khi ®ã tån t¹i phÇn tö e = x ∈ H. Do x ∈ G = (a) nªn x = ak víi k ∈ Z. Do H lµ nhãm con nªn a−k ∈ H. V× x = ak = e nªn k = 0. Trong hai sè k vµ −k, ¾t ph¶i cã mét sè nguyªn d−¬ng. V× thÕ H chøa nh÷ng luü thõa nguyªn d−¬ng cña a. Gäi r lµ sè nguyªn d−¬ng bÐ nhÊt sao cho ar ∈ H. Ta chøng minh H = (ar ). Râ rµng (ar ) ⊆ H. Cho y ∈ H. V× y ∈ G = (a) nªn y = ak víi k ∈ Z. ViÕt k = rq + s, trong ®ã 0 s < r. Ta cã y = ak = arq+s = (ar )q as . Do H lµ nhãm con cña G nªn as = y(ar )−q ∈ H. Tõ ®Þnh nghÜa cña r ta suy ra s = 0. VËy k = rq vµ v× thÕ y = (ar )q , tøc lµ y ∈ (ar ). VËy H = (ar ) lµ nhãm xyclic. Chó ý r»ng nhãm céng Z lµ nhãm xyclic. H¬n n÷a, víi mäi m ∈ Z ta cã mZ = (−m)Z. V× thÕ, theo MÖnh ®Ò 1.4.1 ta cã ngay kÕt qu¶ sau ®©y. 1.4.2. HÖ qu¶. Çc nhãm con cña nhãm céng Z lµ vµ chØ lµ çc tËp con cã d¹ng mZ víi m ∈ N. 1.4.3. Chó ý. Cho a1 , . . . , an lµ nh÷ng sè nguyªn kh«ng ®ång thêi b»ng 0. Nh¾c l¹i r»ng −íc chung lín nhÊt cña a1 , . . . , an lµ sè tù nhiªn d sao cho d lµ −íc chung cña a1 , . . . , an vµ nÕu t lµ −íc chung cña a1 , . . . , an th× t lµ −íc cña d. Ta cã thÓ dïng HÖ qu¶ 1.4.2 ®Ó t×m −íc chung lín nhÊt cña 23 a1 , . . . , an nh− sau: §Æt H = {a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn | x1 , . . . , xn ∈ Z}. KiÓm tra thÊy r»ng H lµ nhãm con cña Z. Theo HÖ qu¶ 1.4.2, H lµ nhãm xyclic. V× thÕ tån t¹i sè tù nhiªn d sao cho H = dZ. Ta kh¼ng ®Þnh d lµ −íc chung lín nhÊt cña a1 , . . . , an . V× ai = 0a1 + . . . + 0ai−1 + 1ai + 0ai+1 + . . . + 0an nªn ai ∈ H = dZ víi mäi i = 1, . . . , n. Suy ra ai chia hÕt cho d víi mäi i = 1, . . . , n. Gi¶ sö t lµ mét −íc chung cña a1 , . . . , an . V× d ∈ H nªn d biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng d = a1 x1 + . . . + an xn , trong ®ã x1 , . . . , xn lµ çc sè nguyªn nµo ®ã. Do xi chia hÕt cho t víi mäi i = 1, . . . , n nªn d chia hÕt cho t. VËy d lµ −íc chung lín nhÊt cña çc ai . 1.4.4. HÖ qu¶. (§Þnh lÝ Bezout). Çc sè nguyªn a1 , . . . , an lµ nguyªn tè cïng nhau nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i çc sè nguyªn x1 , . . . , xn sao cho 1 = a1 x1 + . . . + an xn . Chøng minh. §Æt H = {a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn | xi ∈ Z, ∀i}. Theo chó ý trªn, H = dZ, trong ®ã d lµ −íc chung lín nhÊt cña a1 , . . . , an . NÕu a1 , . . . , an nguyªn tè cïng nhau th× d = 1 vµ v× thÕ H = Z. Do 1 ∈ H nªn 1 cã biÓu diÔn 1 = a1 x1 + . . . + an xn víi x1 , . . . , xn ∈ Z. Ng−îc l¹i, nÕu 1 cã biÓu diÔn 1 = a1 x1 + . . . + an xn th× 1 ∈ H = dZ. Suy ra d = 1. KÕt qu¶ sau ®©y (xem Bµi tËp 15) lµ mét hÖ qu¶ cña §Þnh lÝ Bezout. 24 1.4.5. HÖ qu¶. Cho G = (a) lµ nhãm xyclic. NÕu G cã cÊp n th× phÇn tö ak lµ phÇn tö sinh cña G nÕu vµ chØ nÕu k vµ n nguyªn tè cïng nhau. Chøng minh. Gi¶ sö ak lµ phÇn tö sinh cña G. Do a ∈ G nªn a = (ak )t . Suy ra a1−kt = e. V× a cã cÊp n nªn 1 − kt chia hÕt cho n, tøc lµ tån t¹i q ∈ Z sao cho 1 − kt = nq. Do ®ã 1 = kt + nq. Theo hÖ qu¶ 1.4.4, n vµ k nguyªn tè cïng nhau. Ng−îc l¹i, gi¶ sö n vµ k nguyªn tè cïng nhau. Theo HÖ qu¶ 1.4.4, ta cã biÓu diÔn 1 = kt + nq víi t, q ∈ Z. Suy ra a = a1 = (ak )t (an )q = (ak )t . V× thÕ a ∈ (ak ). Suy ra G ⊆ (ak ). Râ rµng G ⊇ (ak ). Suy ra G = (ak ), tøc ak lµ phÇn tö sinh cña G. Bµi tËp 16. T×m cÊp cña çc phÇn tö trong nhãm Z6 ; H y liÖt kª çc nhãm con cña nhãm Z6 . 17. Gi¶ sö H, K lµ çc nhãm con cña nhãm G sao cho H ∪ K lµ nhãm con cña G. Chøng minh r»ng H ⊆ K hoÆc K ⊆ H. 18. Chøng minh r»ng tËp çc phÇn tö cã cÊp h÷u h¹n cña mét nhãm giao ho¸n G lµ nhãm con cña G. §iÒu nµy cßn ®óng kh«ng khi G lµ nhãm kh«ng giao ho¸n. 19. Chøng minh r»ng mäi bé phËn kh¸c rçng æn ®Þnh cña mét nhãm h÷u h¹n G lµ nhãm con. §iÒu nµy cßn ®óng kh«ng khi G lµ nhãm v« h¹n. 20. Cho A lµ nhãm con cña nhãm G. §Æt xA = {xa : a ∈ A} víi mçi x ∈ G. Chøng minh r»ng xA lµ nhãm con cña G nÕu vµ chØ nÕu x ∈ A. 21. Cho G lµ nhãm vµ a, b ∈ G. Chøng minh r»ng ab vµ ba cã cïng cÊp. 25 22. Cho G lµ nhãm vµ a, b, c lµ çc phÇn tö cña G. Chøng minh r»ng abc, bca, cab cã cïng cÊp. 23. Cho G lµ mét nhãm. Víi çc tËp con A, B = ∅ cña G ta kÝ hiÖu A−1 = {a−1 : a ∈ A}, AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}. Chøng minh r»ng (a) A(BC) = (AB)C víi mäi tËp con A, B, C cña G. (b) (A−1 )−1 = A vµ (AB)−1 = B −1 A−1 . (c) NÕu A lµ nhãm con cña G th× A−1 = A. (d) A lµ nhãm con cña G nÕu vµ chØ nÕu AA−1 = A. 24. T×m nhãm con sinh bëi tËp tÊt c¶ çc sè nguyªn tè cña nhãm nh©n çc sè h÷u tû d−¬ng. 25. Cho A, B lµ çc nhãm con cña mét nhãm G. Chøng minh r»ng (a) NÕu AB lµ nhãm con cña G th× BA còng lµ çc nhãm con cña G. (b) AB lµ nhãm con cña G nÕu vµ chØ nÕu AB = BA. 26. Cho G = (a) lµ nhãm xyclic cÊp n vµ k ∈ Z. Chøng minh r»ng cÊp cña phÇn tö ak lµ n/d, trong ®ã d lµ −íc chung lín nhÊt cña n vµ k. H¬n n÷a, ak lµ phÇn tö sinh cña G nÕu vµ chØ nÕu n vµ k nguyªn tè cïng nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng sè phÇn tö sinh cña G lµ ϕ(n), trong ®ã ϕ lµ hµm Euler. 27. Cho G = (a) lµ nhãm xyclic cÊp n vµ m lµ mét −íc nguyªn d−¬ng cña n. Chøng minh r»ng G cã duy nhÊt mét nhãm con H cÊp m. H¬n n÷a, mäi phÇn tö cÊp m cña G ®Òu thuéc H. 28. Cho X, Y lµ çc nhãm xyclic cã cÊp lÇn l−ît lµ m, n. Chøng minh r»ng X × Y lµ nhãm xyclic nÕu vµ chØ nÕu m vµ n nguyªn tè cïng nhau. 29. Cho G lµ mét nhãm vµ a, b ∈ G cã cÊp lÇn l−ît lµ r, s. Chøng minh r»ng nÕu r vµ s nguyªn tè cïng nhau vµ ab = ba th× cÊp cña ab lµ rs vµ (a) ∩ (b) = {e}. NÕu bá gi¶ thiÕt ab = ba th× bµi to¸n cßn ®óng kh«ng? 30. Chøng minh r»ng mäi nhãm cÊp v« h¹n ®Òu cã v« h¹n nhãm con. Ch−¬ng 2 Líp ghÐp, ®ång cÊu nhãm 2.1 Líp ghÐp, ®Þnh lÝ Langrange 2.1.1. §Þnh nghÜa. Cho H lµ mét nhãm con cña mét nhãm G. Ta ®Þnh nghÜa mét quan hÖ ∼ trªn G nh− sau: a ∼ b nÕu vµ chØ nÕu ab−1 ∈ H víi mäi a, b ∈ G. DÔ kiÓm tra ®−îc ∼ lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. Víi mçi a ∈ G, gäi a lµ líp t−¬ng ®−¬ng cña a. Ta cã a = {b ∈ G : b ∼ a} = {b ∈ G : ba−1 ∈ H} = {b ∈ G : b = ha víi h ∈ H} = {ha : h ∈ H} = Ha Mçi líp t−¬ng ®−¬ng Ha ®−îc gäi lµ mét líp ghÐp tr¸i cña H trong G. TËp th−¬ng cña G theo quan hÖ t−¬ng ®−¬ng ∼ ®−îc kÝ hiÖu bëi G/H. Khi H chØ cã h÷u h¹n líp ghÐp tr¸i th× ta gäi chØ sè cña H trong G lµ sè çc líp ghÐp tr¸i cña H vµ kÝ hiÖu lµ (G : H). Râ rµng cÊp cña G lµ (G : e). 2.1.2. Chó ý. Cho H lµ nhãm con cña nhãm G. Víi a, b ∈ G, ta ®Þnh nghÜa a ∼ b khi vµ chØ khi a−1 b ∈ H. Khi ®ã ∼ lµ quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn G. 26 27 Líp t−¬ng ®−¬ng cña phÇn tö a ∈ G lµ tËp con aH = {ah : h ∈ H} cña G. Ta nãi aH lµ mét líp ghÐp ph¶i cña H trong G. 2.1.3. §Þnh lý. (Lagrange). Trong mét nhãm h÷u h¹n, cÊp vµ chØ sè cña mét nhãm con lµ −íc cña cÊp cña toµn nhãm. Chøng minh. Gi¶ sö G lµ nhãm cã cÊp n vµ H lµ nhãm con cña G cã cÊp m. Víi mçi a ∈ G ta cã a = ea ∈ Ha. V× thÕ, mçi phÇn tö cña G ®Òu n»m trong mét líp ghÐp tr¸i cña H. Gi¶ sö Ha∩Hb = ∅. Khi ®ã tån t¹i h, h ∈ H sao cho ha = h b. Suy ra a = h−1 h b. Cho xa ∈ Ha, trong ®ã x ∈ H. Khi ®ã xa = (xh−1 h )b ∈ Hb. Suy ra Ha ⊆ Hb. T−¬ng tù, Hb ⊆ Ha vµ do ®ã Ha = Hb. VËy hai líp ghÐp tr¸i bÊt k× cña H hoÆc lµ trïng nhau, hoÆc lµ rêi nhau. Víi mçi a ∈ G, dÔ kiÓm tra ®−îc ¸nh x¹ f : H −→ Ha x¸c ®Þnh bëi f(h) = ha lµ mét song ¸nh. V× thÕ mçi líp ghÐp tr¸i cña H ®Òu cã ®óng m phÇn tö. Gäi chØ sè cña H lµ s. Khi ®ã n = sm vµ v× thÕ s vµ m ®Òu lµ −íc cña n. Cã thÓ dïng tÝnh chÊt chia líp cña quan hÖ t−¬ng ®−¬ng ®Ó chøng minh §Þnh lÝ Lagrange ng¾n gän h¬n. Tuy nhiªn ë trªn chóng ta vÉn ®−a ra mét chøng minh trùc tiÕp cho ®Þnh lÝ nµy. Gi¶ sö G lµ nhãm cÊp n vµ H lµ nhãm con cÊp m cña G. NÕu chØ sè cña H lµ s vµ sè çc líp ghÐp ph¶i cña H lµ s th× t−¬ng tù nh− chøng minh ®Þnh lÝ Lagrange ta cã n = ms = ms. V× thÕ s = s, tøc lµ chØ sè cña H còng lµ sè çc líp ghÐp ph¶i cña H. 2.1.4. HÖ qu¶. Cho G lµ nhãm cÊp n vµ a ∈ G. Khi ®ã cÊp cña a lµ −íc cña n. H¬n n÷a, an = e. Chøng minh. Gäi cÊp cña a lµ k. Khi ®ã nhãm con xyclic (a) cã cÊp k. Theo ®Þnh lÝ Lagrange, k lµ −íc cña n, vµ do ®ã an = e. 28 2.1.5. HÖ qu¶. Mäi nhãm cÊp nguyªn tè ®Òu lµ nhãm xyclic. Chøng minh. Gi¶ sö G lµ nhãm cÊp p nguyªn tè. LÊy a ∈ G, a = e. Theo §Þnh lÝ Lagrange, a cã cÊp lµ −íc cña p. V× p nguyªn tè nªn cÊp cña a lµ 1 hoÆc lµ p. Do a = e nªn cÊp cña a kh¸c 1. VËy cÊp cña a lµ p, tøc G lµ nhãm xyclic sinh bëi a. 2.1.6. HÖ qu¶. (§Þnh lÝ Euler). Cho n ≥ 1 lµ mét sè tù nhiªn vµ a lµ mét sè nguyªn sao cho a vµ n nguyªn tè cïng nhau. Khi ®ã aϕ(n) ≡ 1(mod n), trong ®ã ϕ lµ hµm Euler. Chøng minh. XÐt nhãm nh©n Z∗n çc líp thÆng d− theo m«®un n nguyªn tè víi n. Nhãm nµy cã cÊp ϕ(n). V× a vµ n nguyªn tè cïng nhau nªn a ∈ Z∗n . Theo §Þnh lÝ Lagrange, cÊp cña a lµ −íc cña ϕ(n). V× thÕ aϕ(n) = (a)ϕ(n) = 1, tøc lµ aϕ(n) ≡ 1(mod n). 2.1.7. HÖ qu¶. (§Þnh lÝ Fermat bÐ). Cho p lµ mét sè nguyªn tè vµ a lµ mét sè nguyªn. Khi ®ã ap ≡ a(mod p). Chøng minh. NÕu a lµ béi cña p th× ap ≡ 0 ≡ a(mod p). Gi¶ sö a kh«ng lµ béi cña p. Khi ®ã a vµ p lµ nguyªn tè cïng nhau. Chó ý r»ng ϕ(p) = p − 1, trong ®ã ϕ lµ hµm Euler. Theo HÖ qu¶ 2.1.6, ap−1 ≡ 1(mod p). V× thÕ ap ≡ a(mod p). 2.2 Nhãm con chuÈn t¾c, nhãm th−¬ng 2.2.1. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm. Mét nhãm con H cña G ®−îc gäi lµ nhãm con chuÈn t¾c nÕu Ha = aH víi mäi a ∈ G. 29 NhËn xÐt r»ng trong mét nhãm giao ho¸n, mäi nhãm con ®Òu chuÈn t¾c. Trong mét nhãm G, çc nhãm con {e} vµ G lµ nh÷ng nhãm con chuÈn t¾c. H¬n n÷a, nÕu K lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G vµ H lµ nhãm con cña G chøa K th× K còng lµ nhãm con chuÈn t¾c cña H. 2.2.2. VÝ dô. Trong nhãm ®èi xøng S3 , nhãm con H = {e, (1, 2)} kh«ng chuÈn t¾c v× víi s = (2, 3) ta tÝnh to¸n ®−îc Hs = {(2, 3), (1, 3, 2)} vµ sH = {(2, 3), (1, 2, 3)}. T−¬ng tù, cã thÓ kiÓm tra r»ng çc nhãm con {e, (2, 3)} vµ {e, (1, 3)} còng kh«ng chuÈn t¾c. Nhãm S3 cã 3 nhãm con chuÈn t¾c lµ S3 , {e} vµ {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. 2.2.3. MÖnh ®Ò. Cho G lµ mét nhãm vµ H lµ nhãm con cña G. Khi ®ã H lµ chuÈn t¾c nÕu vµ chØ nÕu aha−1 ∈ H víi mäi a ∈ G, h ∈ H. Chøng minh. Gi¶ sö H lµ nhãm con chuÈn t¾c. Cho a ∈ G vµ h ∈ H. Khi ®ã ah ∈ aH = Ha. Suy ra, tån t¹i h ∈ H sao cho ah = h a. V× thÕ aha−1 = h ∈ H. Ng−îc l¹i, cho a ∈ G. Ta cÇn chøng minh aH = Ha. Cho ah ∈ aH víi h ∈ H. Theo gi¶ thiÕt aha−1 = h ∈ H. V× thÕ ah = h a ∈ Ha. V× thÕ aH ⊆ Ha. T−¬ng tù, Ha ⊆ aH, vµ do ®ã aH = Ha. VËy H lµ nhãm con chuÈn t¾c. 2.2.4. MÖnh ®Ò. Giao cña mét hä tuú ý nh÷ng nhãm con chuÈn t¾c cña mét nhãm G lµ mét nhãm con chuÈn t¾c. Chøng minh. Gi¶ sö (Hi )i∈I lµ mét hä nh÷ng nhãm con chuÈn t¾c cña G. §Æt H = i∈I Hi . Theo Bæ ®Ò 1.3.7, H lµ mét nhãm con cña G. Cho a ∈ G vµ h ∈ H. Khi ®ã h ∈ Hi víi mäi i ∈ I. V× Hi lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G nªn aha−1 ∈ Hi víi mäi i ∈ I. V× thÕ aha−1 ∈ H. VËy H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. 30 2.2.5. §Þnh lý. Cho H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña mét nhãm G. KÝ hiÖu G/H lµ tËp çc líp ghÐp tr¸i cña H trong G. Khi ®ã quy t¾c nh©n HaHb = Hab víi mäi Ha, Hb ∈ G/H lµ mét phÐp to¸n trªn G/H, vµ cïng víi phÐp to¸n nµy, G/H lµm thµnh mét nhãm . Nhãm G/H x¸c ®Þnh nh− trªn ®−îc gäi lµ nhãm th−¬ng cña G theo nhãm con chuÈn t¾c H. Chøng minh. Cho Ha = Ha1 , Hb = Hb1 . Khi ®ã a1 a−1 , b1 b−1 ∈ H. Do H lµ chuÈn t¾c nªn a1 (b1 b−1 )a−1 1 ∈ H. V× thÕ (a1 b1 )(ab)−1 = a1 b1 b−1 a−1 = a1 (b1 b−1 )a−1 (a1 a−1 ) ∈ H. 1 Suy ra Ha1 b1 = Hab. Do ®ã phÐp nh©n ®Þnh nghÜa nh− trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän ®¹i diÖn cña çc líp ghÐp cña H, vµ v× thÕ nã lµ phÐp to¸n trªn G/H. DÔ kiÓm tra ®−îc phÐp to¸n cã tÝnh chÊt kÕt hîp, phÇn tö ®¬n vÞ lµ He vµ nghÞch ®¶o cña Ha lµ Ha−1 víi mçi Ha ∈ G/H. V× thÕ G/H lµ mét nhãm. 2.2.6. VÝ dô. XÐt nhãm céng Z. Víi mçi m ∈ N, tËp mZ çc béi cña m lµ mét nhãm con chuÈn t¾c cña Z. V× thÕ ta cã nhãm th−¬ng Z/mZ. Mçi phÇn tö cña Z/mZ lµ mét líp ghÐp a + mZ víi a ∈ Z. PhÐp céng trong Z/mZ cho bëi a + mZ + b + mZ = (a + b) + mZ. Chó ý r»ng a + mZ = b + mZ nÕu vµ chØ nÕu a − b ∈ mZ, nÕu vµ chØ nÕu a − b chia hÕt cho m. V× thÕ, phÇn tö a + mZ ∈ Z/mZ chÝnh lµ phÇn tö a ∈ Zm , vµ nhãm th−¬ng Z/mZ chÝnh lµ nhãm céng Zm çc líp thÆng d− theo m«®un m. 31 Bµi tËp 31. T×m çc nhãm con vµ nhãm con chuÈn t¾c cña nhãm S3 . 32. Cho H lµ nhãm con cña mét nhãm G. Chøng minh r»ng nÕu H cã chØ sè 2 th× H lµ nhãm con chuÈn t¾c vµ a2 ∈ H víi mäi a ∈ G. 33. Chøng minh r»ng mäi nhãm cÊp kh«ng v−ît qu¸ 5 ®Òu giao ho¸n. 34. Cho A lµ nhãm con cña mét nhãm G vµ B lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Chøng minh r»ng AB = BA. Tõ ®ã suy ra r»ng AB lµ nhãm con cña G. 35. Chøng minh r»ng nÕu A, B lµ çc nhãm con chuÈn t¾c cña mét nhãm G th× AB lµ chuÈn t¾c. 36. Cho G lµ mét nhãm. Víi mçi cÆp a, b ∈ G ta gäi phÇn tö aba−1 b−1 lµ ho¸n tö cña a vµ b. KÝ hiÖu H lµ nhãm con cña G sinh bëi tÊt c¶ çc ho¸n tö cña çc cÆp phÇn tö cña G. Ta gäi H lµ nhãm con çc ho¸n tö cña G. Chøng minh r»ng H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. 37. Cho G lµ nhãm vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Chøng minh r»ng nhãm th−¬ng G/H lµ giao ho¸n nÕu vµ chØ nÕu H chøa nhãm con çc ho¸n tö cña G. 39. Chøng minh r»ng nhãm th−¬ng cña mét nhãm xyclic lµ xyclic. 40. Cho G lµ mét nhãm. §Æt C(G) = {a ∈ G : ax = xa víi mäi x ∈ G}. C(G) ®−îc gäi lµ t©m cña G. Chøng minh r»ng C(G) lµ nhãm con cña G vµ mäi nhãm con cña C(G) ®Òu lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. 41. Cho G lµ mét nhãm. KÝ hiÖu C(G) lµ t©m cña G. Chøng minh r»ng nÕu nhãm th−¬ng G/C(G) lµ xyclic th× G lµ nhãm giao ho¸n. 32 42. KÝ hiÖu SL(n, R) lµ tËp çc ma trËn vu«ng cÊp n víi phÇn tö thùc vµ cã ®Þnh thøc b»ng 1. Chøng minh r»ng SL(n, R) lµ nhãm con chuÈn t¾c cña nhãm tuyÕn tÝnh tæng qu¸t GL(n, R). 43. Chøng minh c«ng thøc vÒ chØ sè: NÕu H, K lµ çc nhãm con cña G sao cho H ⊆ K th× (G : H) = (G : K)(K : H). 44. Cho G lµ nhãm vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Chøng minh r»ng quy t¾c ϕ cho øng mçi nhãm con K cña G chøa H víi nhãm con K/H cña G/H lµ mét song ¸nh b¶o toµn thø tù bao hµm tõ tËp çc nhãm con cña G chøa H ®Õn tËp çc nhãm con cña G/H. 45. Cho G lµ nhãm vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Chøng minh r»ng quy t¾c ϕ cho øng mçi nhãm con chuÈn t¾c K cña G chøa H víi nhãm con chuÈn t¾c K/H cña G/H lµ mét song ¸nh b¶o toµn quan hÖ bao hµm tõ tËp çc nhãm con chuÈn t¾c cña G chøa H ®Õn tËp çc nhãm con chuÈn t¾c cña G/H. 2.3 §ång cÊu nhãm ´ 2.3.1. §Þnh nghÜa. Cho G vµ H lµ çc nhãm. Anh x¹ f : G −→ H ®−îc gäi lµ ®ång cÊu nhãm nÕu f(xy) = f (x)f (y) víi mäi x, y ∈ G. Mét ®ång cÊu nhãm ®−îc gäi lµ ®¬n cÊu (toµn cÊu, ®¼ng cÊu) nÕu nã lµ ®¬n ¸nh (toµn ¸nh, song ¸nh). Hai nhãm G vµ H ®−îc gäi lµ ®¼ng cÊu víi nhau, viÕt lµ G ∼ = H, nÕu cã mét ®¼ng cÊu gi÷a G vµ H. §ång cÊu (®¼ng cÊu) tõ nhãm G ®Õn G ®−îc gäi lµ tù ®ång cÊu cña G (tù ®¼ng cÊu cña G). ´ 2.3.2. VÝ dô. Anh x¹ log tõ nhãm nh©n çc sè thùc d−¬ng ®Õn nhãm céng çc sè thùc lµ mét ®ång cÊu nhãm v× ta cã log(xy) = log x + log y víi mäi x, y ∈ R, x, y > 0. 33 2.3.3. VÝ dô. Gi¶ sö H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Khi ®ã ¸nh x¹ p : G −→ G/H cho bëi p(x) = xH lµ mét toµn cÊu nhãm vµ ta gäi nã lµ toµn cÊu tù nhiªn hay toµn cÊu chÝnh t¾c. 2.3.4. VÝ dô. Gi¶ sö G lµ mét nhãm. Víi mçi phÇn tö a ∈ G, ¸nh x¹ fa : G −→ G cho bëi fa (x) = a−1 xa, ∀x ∈ G lµ mét tù ®¼ng cÊu cña G. Ta gäi fa lµ mét tù ®¼ng cÊu trong cña G. Cho H lµ nhãm con cña G. Cã thÓ kiÓm tra r»ng H lµ nhãm con chuÈn t¾c nÕu vµ chØ nÕu fa (H) = H víi mäi a ∈ G, tøc lµ H bÊt biÕn ®èi víi mäi ®¼ng cÊu trong cña G. V× lÝ do ®ã, ng−êi ta cßn gäi nhãm con chuÈn t¾c lµ nhãm con bÊt biÕn. 2.3.5. Çc tÝnh chÊt. Gi¶ sö f : G −→ H lµ ®ång cÊu nhãm. Khi ®ã f (e) = e vµ f(x−1 ) = (f (x))−1 víi mäi x ∈ G. Chøng minh. Ta cã f(e) = f (ee) = f (e)f (e). Gi¶n −íc hai vÕ cho f (e) ta ®−îc e = f (e). Víi x ∈ G ta cã e = f (e) = f (xx−1 ) = f (x)f (x−1 ). Nh©n bªn tr¸i vµo hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn víi nghÞch ®¶o cña f (x) ta ®−îc (f(x))−1 = f (x−1 ). 2.3.6. Bæ ®Ò. Hîp thµnh cña hai ®ång cÊu nhãm lµ ®ång cÊu nhãm. Chøng minh. Cho f : G −→ X vµ g : X −→ Y lµ çc ®ång cÊu nhãm. Víi a, b ∈ G ta cã gf (ab) = g(f(ab)) = g(f (a)f (b)) = g(f (a))g(f (b)) = gf (a)gf (b). V× thÕ gf lµ ®ång cÊu nhãm. 34 2.3.7. §Þnh lý. Cho f : G −→ H lµ ®ång cÊu nhãm, A lµ nhãm con cña G vµ B lµ nhãm con cña H. Khi ®ã (i) f (A) lµ mét nhãm con cña H. (ii) f −1 (B) lµ mét nhãm con cña G. (iii) NÕu B lµ nhãm con chuÈn t¾c cña H th× f −1 (B) lµ chuÈn t¾c. Chøng minh. (i). V× e ∈ A nªn e = f(e) ∈ f (A). Suy ra f(A) = ∅. Cho b, b1 ∈ f(A). Khi ®ã b = f (a) vµ b1 = f (a1 ) víi a, a1 ∈ A. Ta cã −1 −1 bb−1 = f (a)f (a−1 1 = f(a)(f (a1 )) 1 ) = f (aa1 ). −1 −1 Do a, a1 ∈ A nªn aa−1 1 ∈ A. V× thÕ f(aa1 ) ∈ f (A), tøc lµ bb1 ∈ f (A). VËy f (A) lµ mét nhãm con cña H. (ii). Ta cã f (e) = e ∈ B. V× thÕ e ∈ f −1 (B). Suy ra f −1 (B) = ∅. Cho a, a1 ∈ f −1 (B). Khi ®ã f (a), f(a1 ) ∈ B. V× B lµ nhãm con nªn −1 f (aa−1 ∈ B. Do ®ã aa−1 ∈ f −1 (B). VËy f −1 (B) lµ 1 ) = f (a)(f (a1 )) 1 nhãm con cña G. (iii). Gi¶ thiÕt B lµ nhãm con chuÈn t¾c cña H. Cho x ∈ G vµ a ∈ f −1 (B). Khi ®ã f (x) ∈ H vµ f(a) ∈ B. Suy ra f(xax−1 ) = f(x)f(a)(f (x))−1 ∈ B. Do ®ã xax−1 ∈ f −1 (B). VËy B lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Chó ý r»ng ¶nh qua ®ång cÊu cña mét nhãm con chuÈn t¾c kh«ng nhÊt thiÕt lµ nhãm con chuÈn t¾c. Ch¼ng h¹n, ¸nh x¹ f : Z2 −→ S3 cho bëi f (0) = e vµ f (1) = (12) lµ mét ®ång cÊu nhãm tõ nhãm Z2 ®Õn nhãm ®èi xøng S3 . Râ rµng Z2 lµ nhãm con chuÈn t¾c cña Z2 nh−ng f (Z2 ) = {e, (12)} kh«ng lµ nhãm con chuÈn t¾c cña S3 . 2.3.8. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f : G −→ H lµ ®ång cÊu nhãm. V× G lµ nhãm con cña G vµ {e} lµ nhãm con chuÈn t¾c cña H nªn, theo §Þnh lÝ 2.3.7, 35 f (G) lµ mét nhãm con cña H vµ f −1 {e} lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Nhãm con f (G) cña H ®−îc gäi lµ ¶nh cña f vµ ®−îc kÝ hiÖu bëi Im f. Nhãm con chuÈn t¾c f −1 {e} cña G ®−îc gäi lµ h¹t nh©n cña f vµ ®−îc kÝ hiÖu bëi Ker f. Nh− vËy, Im f = {f (x) | x ∈ G}; Ker f = {x ∈ G | f (x) = e}. ´ 2.3.9. VÝ dô. Cho G lµ nhãm vµ a ∈ G. Anh x¹ f : Z −→ G cho bëi f (n) = an lµ mét ®ång cÊu nhãm. Ta cã Im f lµ nhãm con xyclic sinh bëi a vµ Ker f = {n ∈ Z | an = e}. 2.3.10. MÖnh ®Ò. Cho G lµ nhãm vµ H lµ nhãm con cña G. Khi ®ã H lµ nhãm con chuÈn t¾c nÕu vµ chØ nÕu H lµ h¹t nh©n cña mét ®ång cÊu nhãm tõ G ®Õn mét nhãm nµo ®ã. Chøng minh. Gi¶ sö H lµ nhãm con chuÈn t¾c. XÐt nhãm th−¬ng G/H vµ toµn cÊu chÝnh t¾c p : G −→ G/H. DÔ kiÓm tra ®ùoc H = Ker p. Ng−îc l¹i, nÕu H = Ker f, trong ®ã f : G −→ X lµ ®ång cÊu nhãm, th× H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. 2.3.11. MÖnh ®Ò. Cho f : G −→ X lµ ®ång cÊu nhãm. Khi ®ã f lµ ®¬n cÊu nÕu vµ chØ nÕu Ker f = {e}. Chøng minh. Cho f lµ ®¬n cÊu. Râ rµng e ∈ Ker f. Cho x ∈ Ker f. Khi ®ã f (x) = e = f (e). V× f lµ ®¬n cÊu nªn x = e. VËy Ker f = {e}. Ng−îc l¹i, gi¶ sö Ker f = {e}. Cho f (x) = f (y) víi x, y ∈ G. Khi ®ã e = f (x)(f (y))−1 = f(x)f (y −1 ) = f(xy −1 ). V× thÕ xy −1 ∈ Ker f. Suy ra xy −1 = e, tøc lµ x = y. VËy f lµ ®¬n cÊu. 36 Bµi tËp 46. Cho A, B lµ çc nhãm con chuÈn t¾c cña mét nhãm G. Chøng minh r»ng t−¬ng øng f : G/(A∩B) −→ G/A×G/B cho bëi f((A∩B)x) = (Ax, Bx) lµ mét ®¬n cÊu. Tõ ®ã suy ra bÊt ®¼ng thøc vÒ chØ sè (G : (A ∩ B)) (G : A)(G : B). 47. Cho G1 lµ nhãm xyclic vµ G2 lµ nhãm. Chøng minh r»ng nÕu G1 ∼ = G2 th× G2 còng lµ nhãm xyclic. Tõ ®ã suy ra r»ng çc nhãm Z12 vµ Z2 × Z6 cã cïng cÊp 12 nh−ng kh«ng ®¼ng cÊu víi nhau. 48. Chøng minh r»ng cã ®óng 2 tù ®¼ng cÊu cña nhãm céng Z, ®ã lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt 1Z vµ ¸nh x¹ −1Z cho bëi −1Z (n) = −n víi mäi n ∈ Z. 49. Cho n > 0 lµ mét sè tù nhiªn vµ f lµ mét tù ®ång cÊu cña Zn . Chøng minh r»ng f lµ tù ®¼ng cÊu cña G nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i mét sè tù nhiªn k nguyªn tè víi n sao cho f (a) = ka víi mäi a ∈ Zn . Tõ ®ã suy ra r»ng nhãm çc tù ®¼ng cÊu cña Zn ®¼ng cÊu víi nhãm nh©n Z∗n . 50. Cho n, m lµ çc sè tù nhiªn víi n lµ mét −íc cña m. Chøng minh r»ng cã mét ®¬n cÊu f : Zn −→ Zm sao cho Zm / Im f ∼ = Zm/n . 51. Cho X = (x) vµ Y = (y) lµ çc nhãm xyclic cã cÊp lÇn l−ît lµ s vµ t. Víi mçi sè tù nhiªn k > 0, chøng minh r»ng quy t¾c ϕ : X −→ Y cho bëi ϕ(xn ) = (y k )n lµ mét ®ång cÊu nÕu vµ chØ nÕu sk chia hÕt cho t. H¬n n÷a, nÕu sk = mt vµ ϕ lµ ®¼ng cÊu th× s vµ m nguyªn tè cïng nhau. 52. Cho G lµ nhãm giao ho¸n. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ ϕ : G −→ G cho bëi ϕ(a) = ak lµ ®ång cÊu víi mäi k ∈ Z. 53. Cho G lµ mét nhãm. Chøng minh r»ng G lµ nhãm giao ho¸n nÕu vµ chØ nÕu ¸nh x¹ ϕ : G −→ G cho bëi ϕ(a) = a−1 lµ ®¼ng cÊu. 37 54. Cho f : G1 −→ G2 lµ mét ®¼ng cÊu nhãm. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ ng−îc cña f còng lµ mét ®¼ng cÊu nhãm. Tõ ®ã suy ra r»ng tËp hîp çc tù ®¼ng cÊu cña mét nhãm G lµ mét nhãm víi phÐp hîp thµnh çc ¸nh x¹. 55. Cho A, B lµ çc nhãm con chuÈn t¾c cña nhãm G tho¶ m n A∩B = {e} vµ G = AB. Chøng minh r»ng G ∼ = A × B. NÕu bá gi¶ thiÕt chuÈn t¾c cña A hoÆc B th× ®¼ng cÊu trªn cßn ®óng kh«ng? 56. Chøng minh r»ng cã duy nhÊt mét ®ång cÊu tõ nhãm céng Q ®Õn nhãm céng Z. Tõ ®ã suy ra r»ng çc nhãm céng Q vµ Z kh«ng ®¼ng cÊu víi nhau. Chøng minh r»ng nhãm céng R ®¼ng cÊu víi nhãm nh©n çc sè thùc d−¬ng. 57. Chøng minh r»ng mäi nhãm cÊp 4 hoÆc ®¼ng cÊu víi nhãm Z4 hoÆc ®¼ng cÊu víi nhãm Z2 × Z2 . 58. T×m çc ®ång cÊu nhãm tõ Z4 ®Õn Z12 vµ tõ Z12 ®Õn Z4 . 59. Cho n, m ∈ N. T×m çc ®ång cÊu nhãm tõ mét nhãm xyclic cÊp n ®Õn chÝnh nã; tõ mét nhãm xyclic cÊp n ®Õn mét nhãm xyclic cÊp m. 60. Cho H lµ nhãm con cña G. KÝ hiÖu fx lµ tù ®¼ng cÊu trong cña G øng víi phÇn tö x ∈ G. Chøng minh r»ng H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G nÕu vµ chØ nÕu fx (H) = H víi mäi x ∈ G. 2.4 Çc ®Þnh lÝ ®ång cÊu nhãm 2.4.1. §Þnh lý. Cho f : G −→ H lµ toµn cÊu nhãm vµ g : G −→ K lµ ®ång cÊu nhãm. Çc ph¸t biÓu sau lµ t−¬ng ®−¬ng. (i) Tån t¹i ®ång cÊu h : H −→ K sao cho g = hf. (ii) Ker f ⊆ Ker g. NÕu çc ®iÒu kiÖn t−¬ng ®−¬ng trªn tho¶ m n th× 38 a) h lµ duy nhÊt. b) h lµ ®¬n cÊu nÕu vµ chØ nÕu Ker f = Ker g. c) h lµ toµn cÊu nÕu vµ chØ nÕu g lµ toµn cÊu. Chøng minh. (i)⇒ (ii). Cho x ∈ Ker f. Khi ®ã f(x) = e. Suy ra g(x) = hf (x) = h(f(x)) = h(e) = e. V× thÕ x ∈ Ker g. (ii)⇒ (i). §Þnh nghÜa t−¬ng øng h : H −→ K nh− sau: víi y ∈ H, ®Æt h(y) = g(x), trong ®ã x lµ mét phÇn tö cña G sao cho f (x) = y (v× f lµ toµn cÊu nªn phÇn tö x nh− thÕ lu«n tån t¹i). Ta chøng minh h lµ ®ång cÊu vµ g = hf. Gi¶ sö x, x1 ∈ G tho¶ m n f(x) = f (x1 ) = y. Khi ®ã −1 −1 f (xx−1 1 ) = e. Suy ra xx1 ∈ Ker f ⊆ Ker g. V× thÕ g(xx1 ) = e, tøc lµ g(x) = g(x1 ). Do ®ã h lµ ¸nh x¹. Cho y, y1 ∈ H. Khi ®ã tån t¹i x, x1 ∈ G sao cho f (x) = y, f (x1 ) = y1 . Suy ra f (xx1 ) = yy1 . V× thÕ h(yy1 ) = g(xx1 ) = g(x)g(x1 ) = h(y)h(y1 ). Do ®ã h lµ ®ång cÊu nhãm. Cho x ∈ G. Gi¶ sö f (x) = y. Theo çch x¸c ®Þnh h ta cã h(y) = g(x). Suy ra hf (x) = g(x). VËy hf = g. Gi¶ sö (i) vµ (ii) tho¶ m n. Ta cÇn chøng minh (a), (b), (c). a). Gi¶ sö h1 : H −→ K còng lµ ®ång cÊu nhãm tho¶ m n h1 f = g. Cho y ∈ H. Khi ®ã tån t¹i x ∈ G ®Ó f (x) = y. Ta cã h(y) = g(x) = h1 f (x) = h1 (y). V× thÕ h = h1 . Do ®ã h lµ duy nhÊt. b). Cho h lµ ®¬n ¸nh. Gi¶ sö x ∈ Ker g. Khi ®ã e = g(x) = hf (x) = h(f (x)). 39 Do h lµ ®¬n ¸nh nªn f (x) = e. Do ®ã x ∈ Ker f. VËy Ker f = Ker g. Ng−îc l¹i, cho Ker f = Ker g. Gi¶ sö y ∈ Ker h. LÊy x ∈ G sao cho f (x) = y. Khi ®ã e = h(y) = hf (x) = g(x). V× thÕ x ∈ Ker g. Suy ra x ∈ Ker f. Do ®ã y = f (x) = e. VËy Ker h = {e}, vµ v× thÕ h lµ ®¬n cÊu. c). Cho h lµ toµn cÊu. V× f lµ toµn cÊu nªn g = hf lµ toµn cÊu. Ng−îc l¹i, cho g lµ toµn cÊu. Khi ®ã hf lµ toµn cÊu vµ do ®ã h lµ toµn cÊu. 2.4.2. §Þnh lý. (§Þnh lÝ ®¼ng cÊu thø nhÊt). Cho f : G −→ H lµ ®ång cÊu nhãm víi h¹t nh©n K = Ker f. Khi ®ã G/K ∼ = Im f. Chøng minh. Gäi p : G −→ G/K lµ toµn cÊu tù nhiªn. §Þnh nghÜa ¸nh x¹ g : G −→ Im f x¸c ®Þnh bëi g(x) = f(x) víi mäi x ∈ G. Râ rµng g lµ toµn cÊu nhãm vµ Ker p = {x ∈ G | p(x) = Kx = Ke} = {x ∈ G | x ∈ K} = K = Ker g. V× thÕ, theo §Þnh lÝ 2.4.1, tån t¹i ®¼ng cÊu h : G/K −→ Im f sao cho hp = g. Do ®ã G/ Ker f ∼ = Im f. 2.4.3. HÖ qu¶. Cho N lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G vµ f : G −→ H lµ ®ång cÊu nhãm sao cho N ⊆ Ker f. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt ®ång cÊu h : G/N −→ H sao cho hp = f, trong ®ã p : G −→ G/N lµ toµn cÊu chÝnh t¾c. Chøng minh. Râ rµng Ker p = N ⊆ Ker f. V× thÕ, theo §Þnh lÝ 2.4.1, tån t¹i duy nhÊt ®ång cÊu h : G/N −→ H sao cho hp = f. Tr−íc khi tr×nh bµy ®Þnh lÝ ®¼ng cÊu thø hai, ta cÇn bæ ®Ò sau ®©y. 40 2.4.4. Bæ ®Ò. Cho S lµ nhãm con cña G vµ N lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Khi ®ã N S lµ nhãm con cña G chøa N ∪ S vµ N lµ nhãm con chuÈn t¾c cña NS. Chøng minh. Ta cã e = ee ∈ NS. Cho ab, cd ∈ N S trong ®ã a, c ∈ N vµ b, d ∈ S. V× N chuÈn t¾c nªn (bd−1 )c−1 (bd−1 )−1 ∈ N. Do ®ã (ab)(cd)−1 = abd−1 c−1 = a (bd−1 )c−1 (bd−1 )−1 (bd−1 ) ∈ N S. VËy NS lµ nhãm con cña G. Cho a ∈ N, b ∈ S. Khi ®ã a = ae ∈ N S vµ b = eb ∈ NS. VËy N S chøa N ∪ S. V× N lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G nªn nã lµ nhãm con chuÈn t¾c cña N S. 2.4.5. §Þnh lý. (§Þnh lÝ ®¼ng cÊu thø hai). Cho S lµ nhãm con cña G vµ N lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Khi ®ã N ∩ S chuÈn t¾c trong S vµ (N S)/N ∼ = S/(N ∩ S). Chøng minh. XÐt ¸nh x¹ f : S −→ NS/N cho bëi f (x) = N x. Râ rµng f lµ ®ång cÊu nhãm. Cho Nax ∈ N S/N, trong ®ã a ∈ N vµ x ∈ S. V× a ∈ N nªn Nax = N x = f (x). Do ®ã f lµ toµn cÊu. Ta cã Ker f = {x ∈ S : f (x) = N x = N e} = {x ∈ S : x ∈ N} = N ∩ S. Suy ra N ∩ S lµ nhãm con chuÈn t¾c cña S vµ theo §Þnh lÝ 2.4.2 ta cã ®¼ng cÊu S/(N ∩ S) ∼ = N S/N . 2.4.6. Chó ý. §¼ng cÊu trong §Þnh lÝ 2.4.5 cã thÓ ®−îc hiÓu nh− sau: NÕu N kh«ng chøa trong S th× ta cã hai çch lµm cho biÓu diÔn S/N cã nghÜa. Çch thø nhÊt lµ më réng S ®Õn nhãm con NS chøa N, vµ v× thÕ ta cã nhãm th−¬ng N S/N. Çch thø hai lµ thu hÑp N vÒ nhãm con N ∩ S chøa 41 trong S, vµ v× thÕ ta cã nhãm th−¬ng S/N ∩ S. Hai çch lµm nµy cho cïng mét kÕt qu¶. 2.4.7. HÖ qu¶. (§Þnh lÝ ®¼ng cÊu thø ba). Cho H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G vµ K lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G chøa H. Khi ®ã K/H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G/H vµ G/K ∼ = (G/H) (K/H). Chøng minh. XÐt t−¬ng øng f : G/H −→ G/K cho bëi f (Hx) = Kx. Gi¶ sö Hx = Hx1 . Khi ®ã xx−1 1 ∈ H ⊆ K. V× thÕ Kx = Kx1 . Suy ra f lµ ¸nh x¹. Ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc f lµ toµn cÊu nhãm vµ Ker f = K/H. Suy ra K/H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G/H vµ theo §Þnh lÝ 2.4.2 ta cã ®¼ng cÊu (G/H) (K/H) ∼ = G/K. Bµi tËp 61. Chøng minh r»ng mäi nhãm xyclic cÊp v« h¹n ®Òu ®¼ng cÊu víi Z; Mäi nhãm xyclic cÊp n ®Òu ®¼ng cÊu víi Zn . 62. T×m çc tù ®¼ng cÊu nhãm cña mét nhãm xyclic cÊp v« h¹n. Chøng minh r»ng nhãm çc tù ®¼ng cÊu cña mét nhãm xyclic cÊp v« h¹n ®¼ng cÊu víi nhãm {1, −1} (víi phÐp nh©n çc sè thùc). 63. Trong nhãm céng Z, chøng minh r»ng víi mäi n, m ∈ Z ta cã (a) mZ ∩ nZ = bZ, trong ®ã b lµ béi chung nhá nhÊt cña n vµ m. (b) nZ + mZ = dZ, trong ®ã d lµ −íc chung lín nhÊt cña n vµ m. (c) mZ/nmZ ∼ = Z/nZ. 64. Cho f : G −→ H lµ ®ång cÊu nhãm vµ G cã cÊp h÷u h¹n. Chøng minh 42 r»ng cÊp cña f (G) lµ −íc cña cÊp cña G vµ cÊp cña f (a) lµ −íc cña cÊp cña a víi mäi a ∈ G. 65. Gi¶ sö G1 , G2 lµ çc nhãm víi ®¬n vÞ lÇn l−ît lµ e1 , e2 . §Æt G = G1 ×G2 , A = G1 × {e2 } vµ B = {e1 } × G2 . Chøng minh r»ng A vµ B lµ çc nhãm con chuÈn t¾c cña G vµ AB = BA = G. H¬n n÷a, A ∼ = G1 vµ B ∼ = G2 . 66. Cho G lµ mét nhãm. Gäi C(G) lµ t©m cña G. Víi mçi a ∈ G, kÝ hiÖu fa lµ tù ®¼ng cÊu trong cña G. Chøng minh r»ng Int(G) = {fa | a ∈ G} lµ mét nhãm víi phÐp hîp thµnh çc ¸nh x¹ vµ nhãm th−¬ng G/C(G) ®¼ng cÊu víi Int(G). 67. Chøng minh r»ng t©m cña nhãm ®èi xøng Sn lµ nhãm con tÇm th−êng víi mäi n ≥ 3. KÕt hîp víi Bµi tËp 66, h y suy ra r»ng Int(Sn ) ∼ = Sn víi mäi n ≥ 3. 68. Cho G lµ mét nhãm. Gäi Aut(G) lµ nhãm çc tù ®¼ng cÊu cña G vµ Int(G) lµ nhãm çc tù ®¼ng cÊu trong cña G. Chøng minh r»ng gfa g −1 ∈ Int(G) víi mäi g ∈ Aut(G) vµ mäi fa ∈ Int(G). Suy ra r»ng Int(G) lµ nhãm con chuÈn t¾c cña Aut(G). 69. Chøng minh LuËt Modular: NÕu A, B, C lµ çc nhãm con cña G sao cho A ⊆ B, A ∩ C = B ∩ C vµ AC = BC th× A = B. 70. Chøng minh LuËt Dedekind: NÕu H, K, L lµ çc nhãm con cña G sao cho H ⊆ L th× HK ∩ L = H(K ∩ L). Ch−¬ng 3 T¸c ®éng cña nhãm lªn tËp hîp PhÇn ®Çu cña Ch−¬ng dµnh ®Ó tr×nh bµy çc tÝnh chÊt cña nhãm ®èi xøng, ®Æc biÖt lµ §Þnh lÝ Cayley: Mäi nhãm ®Òu nhóng ®−îc vµo nhãm ®èi xøng cña chÝnh nã. §Þnh lÝ Cayley lµ ®éng c¬ dÉn ®Õn chñ ®Ò “T¸c ®éng cña nhãm lªn tËp hîp” ®−îc quan t©m trong Môc 3.2 vµ Môc 3.3. KÜ thuËt t¸c ®éng cña nhãm lªn tËp hîp ®−îc sö dông trong Môc 3.4 ®Ó nghiªn cøu çc bµi to¸n tæ hîp, ®ång thêi phôc vô nghiªn cøu çc nhãm h÷u h¹n trong ch−¬ng tiÕp theo nh− p−nhãm, chøng minh §Þnh lÝ Sylow vµ mét sè øng dông cña ®Þnh lÝ Sylow vµo bµi to¸n ph©n lo¹i nhãm. 3.1 Nhãm ®èi xøng Nh¾c l¹i r»ng víi mçi tËp hîp X, tËp S(X) çc song ¸nh tõ X ®Õn X víi phÐp hîp thµnh çc ¸nh x¹ lµ mét nhãm. Nhãm S(X) ®−îc gäi lµ nhãm ®èi xøng cña X hay nhãm çc phÐp thÕ cña X. Khi X cã n phÇn tö th× nhãm ®èi xøng cña X ®−îc kÝ hiÖu bëi Sn . Chó ý r»ng cÊp cña Sn lµ n!, vµ mçi phÇn tö cña Sn cã thÓ ®ång nhÊt víi mét song ¸nh tõ tËp {1, 2, . . . , n} ®Õn 43 44 chÝnh nã. Víi s ∈ Sn , nÕu s(i) = ai víi mäi i = 1, . . . , n th× ta viÕt s= 1 2 ... n . a1 a2 . . . an §Þnh lÝ sau ®©y cho ta ý nghÜa cña nhãm ®èi xøng trong lÝ thuyÕt nhãm tæng qu¸t. 3.1.1. §Þnh lý. (Cayley, 1878). Mäi nhãm ®Òu nhóng ®−îc vµo nhãm ®èi xøng cña chÝnh nã. Chøng minh. Cho G lµ nhãm, gäi S(G) lµ nhãm ®èi xøng cña G. Víi mçi x ∈ G, kÝ hiÖu gx lµ ¸nh x¹ tõ G ®Õn G x¸c ®Þnh bëi gx(y) = xy, ∀y ∈ G. V× x chÝnh quy nªn gx lµ ®¬n ¸nh. Víi y ∈ G, ta cã gx (x−1 y) = y. Do ®ã gx lµ toµn ¸nh. Suy ra gx lµ song ¸nh. V× thÕ ta cã ¸nh x¹ Φ : G −→ S(G) cho bëi Φ(x) = gx , ∀x ∈ G. Víi x1 , x2 ∈ G ta cã gx1 x2 (y) = (x1 x2 )y = x1 (x2 y) = gx1 (x2 y) = gx1 (gx2 (y)) = gx1 gx2 (y) víi mäi y ∈ G. V× thÕ gx1 x2 = gx1 gx2 , tøc lµ Φ(x1 x2 ) = Φ(x1 )Φ(x2 ). Do ®ã Φ lµ ®ång cÊu nhãm. Gi¶ sö x1 , x2 ∈ G tho¶ m n Φ(x1 ) = Φ(x2 ). Khi ®ã gx1 = gx2 . Suy ra gx1 (e) = gx2 (e). Do ®ã x1 e = x2 e, hay x1 = x2 . VËy Φ lµ ®¬n cÊu, tøc lµ G cã thÓ nhóng vµo S(G). PhÇn tiÕp theo tr×nh bµy çc tÝnh chÊt cña nhãm ®èi xøng Sn . 3.1.2. §Þnh nghÜa. PhÐp thÕ s ∈ Sn ®−îc gäi lµ mét chu tr×nh ®é dµi k hay mét xÝch ®é dµi k nÕu cã çc sè a1 , . . . , ak ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho s(a1 ) = a2 , . . . , s(ak−1 ) = ak , s(ak ) = a1 , vµ s(a) = a víi mäi a ∈ / {a1 , . . . , ak }. Khi ®ã ta viÕt s = (a1 , a2 , . . . , ak ). TËp {a1 , . . . , ak } ®−îc gäi lµ tËp nÒn cña xÝch s. Hai xÝch s, s ∈ Sn ®−îc gäi lµ ®éc lËp nÕu çc tËp nÒn cña chóng rêi nhau. 45 Ta kÝ hiÖu ¸nh x¹ ®ång nhÊt lµ e vµ quy −íc e lµ xÝch cã ®é dµi 1 víi tËp nÒn gåm ®óng mét phÇn tö tuú ý. 3.1.3. §Þnh lý. Mçi phÐp thÕ s ∈ Sn ®Òu viÕt ®−îc thµnh tÝch nh÷ng xÝch ®éc lËp. Chøng minh. Ta chøng minh ®Þnh lÝ b»ng quy n¹p theo n. Râ rµng ®Þnh lÝ ®óng khi n = 1. Cho n > 1 vµ s ∈ Sn . Tr−êng hîp s = e lµ hiÓn nhiªn. Cho s = e. Gäi a1 lµ sè bÐ nhÊt sao cho s(a1 ) = a1 . §Æt a2 = s(a1 ). Gi¶ sö a1 , . . . , ak lµ çc sè ph©n biÖt sao cho s(a1 ) = a2 , s(a2 ) = a3 , . . . , s(ak−1 ) = ak vµ s(ak ) ∈ {a1 , . . . , ak−1 }. Do s lµ song ¸nh nªn s(ak ) = a1 . KÝ hiÖu s0 lµ xÝch (a1 , . . . , ak ) ∈ Sn . §Æt X = {1, 2, . . . , n} \ {a1 , . . . , ak }. V× s lµ song ¸nh nªn s(a) ∈ X víi mäi a ∈ X. V× thÕ ¸nh x¹ r : X −→ X x¸c ®Þnh bëi r(a) = s(a) lµ mét phÐp thÕ cña X. Chó ý r»ng X cã n − k phÇn tö. Gäi S(X) lµ nhãm çc phÐp thÕ cña X. Khi ®ã, theo gi¶ thiÕt quy n¹p, r = r1 . . . rt , trong ®ã çc ri ∈ S(X) lµ çc xÝch ®éc lËp. Víi mçi i = 1, . . . , t, kÝ hiÖu si ∈ Sn x¸c ®Þnh bëi si (a) = ri (a) víi mäi a ∈ X vµ si (a) = a víi mäi a ∈ / X. Khi ®ã çc xÝch s0 , s1 , . . . , st lµ ®éc lËp vµ s = s0 s1 . . . st . 3.1.4. Chó ý. Cho s ∈ Sn . Gi¶ sö s = s1 . . . st lµ sù ph©n tÝch cña s thµnh tÝch nh÷ng xÝch ®éc lËp. NÕu ta yªu cÇu sù ph©n tÝch nµy cã tÝnh chÊt a1 < a2 < . . . < at , trong ®ã ai lµ phÇn tö bÐ nhÊt trong tËp nÒn cña si víi mäi i = 1, . . . , t, th× râ rµng sù ph©n tÝch nh− thÕ cña s lµ duy nhÊt nÕu kh«ng kÓ ®Õn çc nh©n tö lµ çc xÝch cã ®é dµi 1. 3.1.5. VÝ dô. D−íi ®©y ta viÕt çc phÇn tö cña nhãm ®èi xøng S4 d−íi d¹ng 46 tÝch çc xÝch ®éc lËp: S4 = {e, (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}. 3.1.6. VÝ dô. Trong nhãm ®èi xøng S8 , ta cã 12345678 25671348 = (125)(36)(47). NhËn xÐt r»ng, trong nhãm ®èi xøng Sn , mçi xÝch ®é dµi k ®Òu cã cÊp lµ k. V× thÕ ta cã kÕt qu¶ sau ®©y 3.1.7. HÖ qu¶. Cho s ∈ Sn . Gi¶ sö s = s1 . . . st lµ biÓu diÔn cña s thµnh tÝch nh÷ng xÝch ®éc lËp. Khi ®ã cÊp cña s lµ béi chung nhá nhÊt cña çc ®é dµi cña çc xÝch s1 , . . . , st . 3.1.8. §Þnh nghÜa. Mçi xÝch ®é dµi 2 trong nhãm ®èi xøng Sn ®−îc gäi lµ mét chuyÓn trÝ hay mét phÐp thÕ s¬ cÊp. 3.1.9. MÖnh ®Ò. Mçi phÐp thÕ s ∈ Sn ®Òu lµ tÝch cña nh÷ng chuyÓn trÝ. V× thÕ Sn ®−îc sinh bëi çc chuyÓn trÝ cña nã. Chøng minh. Theo §Þnh lÝ 3.1.3, mçi phÐp thÕ trong Sn ®Òu lµ tÝch cña nh÷ng vßng xÝch ®éc lËp. Do ®ã ta chØ cÇn chøng minh r»ng mçi xÝch trong Sn lµ tÝch cña nh÷ng chuyÓn trÝ. Gi¶ sö (a1 , a2 , . . . , ak ) ∈ Sn lµ mét xÝch. Khi ®ã ta cã sù ph©n tÝch (a1 , a2 , . . . , ak ) = (a1 , a2 )(a2 , a3 ) . . . (ak−1 , ak ), tøc lµ (a1 , a2 , . . . , ak ) lµ tÝch nh÷ng chuyÓn trÝ. 47 XÐt nhãm ®èi xøng Sn . Víi mçi s ∈ Sn ta ®Æt sgn(S) = trong ®ã ∆n = (j −i) vµ s(∆n ) = 1 i 1. Theo gi¶ thiÕt, (G : Ga ) lµ béi cña p. Tõ ®¼ng thøc trªn ta suy ra cÊp cña C lµ béi cña p. Do C lµ nhãm giao ho¸n nªn theo Bæ ®Ò 4.1.5, C chøa mét nhãm con H cÊp p. Suy ra H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G vµ nhãm th−¬ng G/H cã cÊp n/p. V× n > p nªn H lµ nhãm con thùc sù cña G. Do ®ã chØ sè cña H lµ béi cña p, tøc lµ n/p chia hÕt cho p. V× thÕ, ¸p dông gi¶ thiÕt quy n¹p, tån t¹i p-nhãm con Sylow K cña G/H. Gi¶ sö n/p = pt m, trong ®ã m kh«ng lµ béi cña p. Khi ®ã cÊp cña K lµ 71 pt . Chó ý r»ng n = pt+1 m. Do ®ã nÕu G cã nhãm con cÊp pt+1 th× G cã p-nhãm con Sylow. §Æt K = f −1 (K), trong ®ã f : G −→ G/H lµ toµn cÊu chÝnh t¾c. Khi ®ã K lµ nhãm con cña G chøa H. V× f lµ toµn cÊu nªn K /H = f (K ) = f (f −1 (K)) = K, trong ®ã K /H = {Hx : x ∈ K }. Do ®ã (K : e) = (K : e)(H : e). V× thÕ cÊp cña K lµ pt+1 . Suy ra K lµ p-nhãm con Sylow cña G. 4.1.7. Chó ý. Wielandt ® dïng tÝnh chÊt sau ®©y cña lÝ thuyÕt sè ®Ó chøng minh sù tån t¹i cña çc p-nhãm con Sylow: NÕu p lµ sè nguyªn tè kh«ng lµ −íc cña m vµ k lµ mét sè tù nhiªn th× p pk m kh«ng lµ −íc cña , trong ®ã pk pk m pk = (pk m)! (pk )!(pk m − pk )! Cô thÓ, gi¶ sö G lµ nhãm cÊp pk m, trong ®ã p kh«ng lµ −íc cña m. Gäi X lµ tËp çc tËp con cña G gåm ®óng pk phÇn tö. Khi ®ã sè phÇn tö cña X pk m lµ . Theo tÝnh chÊt trªn, p kh«ng lµ −íc cña Card(X). Chó ý r»ng, pk víi mçi x ∈ G vµ mçi S = {a1 , . . . , apk } ∈ X, tËp xS = {xa1 , . . . , xapk } còng gåm ®óng pk phÇn tö, vµ v× thÕ xS ∈ X. V× thÕ G t¸c ®éng lªn X b»ng phÐp chuyÓn dÞch: nÕu x ∈ G vµ S ∈ X th× x • S = xS. NÕu tÊt c¶ çc quü ®¹o cña t¸c ®éng nµy ®Òu cã sè phÇn tö lµ béi cña p th× Card(X) lµ béi cña p, v« lÝ. V× thÕ tån t¹i S ∈ X sao cho quü ®¹o G • S = {xS | x ∈ G} cña S trong X cã sè phÇn tö kh«ng lµ béi cña p. Do ®ã chØ sè cña nhãm con ®¼ng h−íng GS = {x ∈ G | xS = S} kh«ng lµ béi cña p. V× thÕ cÊp cña GS lµ pk m , trong ®ã m lµ −íc cña m. MÆt kh¸c, víi mçi b0 ∈ S, nÕu x, y ∈ GS víi x = y th× xb0 , yb0 ∈ xS = S vµ xb0 = yb0 . V× thÕ cã ®¬n 72 ¸nh ϕ : GS −→ S cho bëi ϕ(x) = xb0 . Suy ra Card(GS ) Card(S) = pk . Do ®ã Card(GS ) = pk . VËy GS lµ p-nhãm con Sylow cña G. 4.1.8. HÖ qu¶. Cho G lµ nhãm cã cÊp n vµ p lµ mét −íc nguyªn tè cña n. Khi ®ã G lµ p-nhãm nÕu vµ chØ nÕu mäi nhãm con thùc sù cña G ®Òu cã chØ sè lµ béi cña p. Chøng minh. NÕu G lµ p-nhãm th× hiÓn nhiªn mäi nhãm con thùc sù cña G ®Òu cã chØ sè lµ béi cña p. Ng−îc l¹i, gi¶ thiÕt r»ng mäi nhãm con thùc sù cña G ®Òu cã chØ sè lµ béi cña p. ViÕt n = pt m, trong ®ã m kh«ng lµ béi cña p. Theo §Þnh lÝ 4.1.6, G chøa mét p-nhãm con Sylow K. Chó ý r»ng K cã cÊp lµ pt . NÕu K = G th× theo gi¶ thiÕt, chØ sè cña K lµ béi cña p vµ do ®ã n = pt (G : K) lµ béi cña pt+1 , v« lÝ. V× thÕ G = K lµ p-nhãm. 4.1.9. HÖ qu¶. (Cauchy, 1845). Cho G lµ nhãm cã cÊp n vµ p lµ −íc nguyªn tè cña n. Khi ®ã G cã mét phÇn tö cÊp p. Chøng minh. Theo §Þnh lÝ 4.1.6, G chøa mét p-nhãm con Sylow K. LÊy e = a ∈ K. Khi ®ã cÊp cña a lµ −íc cña cÊp cña K, do ®ã a cã cÊp lµ luü thõa cña p. Gi¶ sö cÊp cña a lµ pt . Khi ®ã phÇn tö b = ap t−1 cã cÊp lµ p. 4.1.10. HÖ qu¶. Cho G lµ nhãm cã cÊp n vµ p lµ mét sè nguyªn tè. Khi ®ã G lµ p-nhãm nÕu vµ chØ nÕu mçi phÇn tö cña G ®Òu cã cÊp lµ mét luü thõa cña p. Chøng minh. NÕu G lµ p-nhãm th× tån t¹i k ∈ N sao cho n = pk . V× thÕ theo §Þnh lÝ Lagrange, mçi phÇn tö cña G ®Òu cã cÊp lµ mét luü thõa cña p. NÕu G kh«ng lµ p-nhãm th× tån t¹i mét sè nguyªn tè q = p sao cho q lµ −íc cña n. Theo HÖ qu¶ 4.1.9, G chøa mét phÇn tö cÊp q. 73 4.1.11. HÖ qu¶. Mäi nhãm cÊp 6 hoÆc ®¼ng cÊu víi nhãm Z6 hoÆc ®¼ng cÊu víi nhãm ®èi xøng S3 . Chøng minh. Cho G lµ nhãm cÊp 6. Theo Theo HÖ qu¶ 4.1.9, G cã mét phÇn tö a cÊp 3 vµ mét phÇn tö b cÊp 2. NÕu ab = ba th× ab cã cÊp 6 vµ v× thÕ G ∼ = Z6 . Gi¶ sö ab = ba. Ta chøng minh G ∼ = S3 . Tr−íc hÕt ta thÊy G = {e, a, a2 , b, ab, a2 b}. ThËt vËy, v× a cã cÊp 3 nªn e, a, a2 lµ 3 phÇn tö ph©n biÖt. V× b cã cÊp 2 nªn b = e vµ b = a. Ta cã b = a2 (v× nÕu ng−îc l¹i th× e = b2 = a4 = a lµ v« lÝ). V× thÕ e, a, a2 , b lµ 4 phÇn tö ph©n biÖt. Ta cã ab = e (v× nÕu ng−îc l¹i th× a = (ab)b = eb = b, v« lÝ); ab = a (v× b = e); ab = a2 (v× b = a); ab = b (v× a = e). Do ®ã e, a, a2 , b, ab lµ 5 phÇn tö ph©n biÖt. T−¬ng tù, ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc a2 b = e, a, a2 , b, ab. Do ®ã e, a, a2 , b, ab, a2 b lµ 6 phÇn tö ph©n biÖt. VËy G = {e, a, a2 , b, ab, a2 b}. V× ba = e, a, a2 , b, ab nªn ba = a2 b. V× ba2 = e, a, a2 , b, ba vµ ba = a2 b nªn ba2 = ab. Tõ ®ã, ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc ¸nh x¹ f : G −→ S3 x¸c ®Þnh bëi f (a) = (123); f (b) = (12); f (e) = e; f (a2 ) = (123)2 = (132); f (ab) = (123)(12) = (13); f(a2 b) = (132)(12) = (23) lµ mét ®¼ng cÊu nhãm. 4.1.12. MÖnh ®Ò. Cho G lµ nhãm vµ H lµ nhãm con cña G sao cho chØ sè cña H lµ −íc nguyªn tè bÐ nhÊt p cña n. Khi ®ã H chuÈn t¾c. Chøng minh. KÝ hiÖu NH = {x ∈ G : xH = Hx} lµ nhãm con chuÈn ho¸ cña H. Khi ®ã H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña NH . V× (G : H) ≥ (G : NH ) nªn NH = H hoÆc NH = G. NÕu NH = G th× H lµ chuÈn t¾c trong G. Gi¶ sö NH = H. KÝ hiÖu T lµ tËp çc nhãm con liªn hîp víi H, vµ xÐt t¸c ®éng cña G lªn S b»ng phÐp liªn hîp. Khi ®ã quü ®¹o cña H lµ T vµ nhãm 74 con ®¼ng h−íng cña H lµ GH = {x ∈ G : xHx−1 = H} = NH . Suy ra Card(T ) = (G : GH ) = (G : NH ) = p. Do ®ã nhãm ®èi xøng S(T ) cña T cã cÊp lµ p!. XÐt ®ång cÊu ϕ : G −→ S(T ) x¸c ®Þnh bëi t¸c ®éng trªn (tøc lµ ϕ(x) = gx ∈ S(T ), trong ®ã gx (K) = xKx−1 víi mäi K ∈ T ). Ta cã Ker ϕ = {x ∈ G : gx = 1T } ⊆ {x ∈ G : xHx−1 = H} = NH . V× thÕ Ker ϕ ⊆ H. Cho x ∈ H. Víi mçi K = yHy −1 ∈ T, v× xyH = xHyH = yH vµ Hy −1 x−1 = Hy −1 Hx−1 = Hy −1 nªn ta cã gx (K) = xyHy −1 x−1 = yHy −1 = K. Do ®ã gx = 1T , tøc lµ x ∈ Ker ϕ. VËy H = Ker ϕ lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. 4.1.13. HÖ qu¶. Mäi nhãm cÊp 35 lµ xyclic. Chøng minh. Gi¶ sö G lµ nhãm cÊp 35. Gäi P vµ Q lÇn l−ît lµ 7-nhãm con Sylow vµ 5-nhãm con Sylow cña G. Khi ®ã P vµ Q cã cÊp lÇn l−ît lµ 7 vµ 5. Theo MÖnh ®Ò 4.1.12, P lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. V× thÕ ta cã t¸c ®éng cña Q lªn P b»ng phÐp liªn hîp. Gäi S(P ) lµ nhãm ®èi xøng cña P vµ xÐt ®ång cÊu ϕ : Q −→ S(P ) x¸c ®Þnh bëi t¸c ®éng nµy. Víi mçi x ∈ Q, kÝ hiÖu fx lµ tù ®¼ng cÊu trong cña P øng víi x. Khi ®ã ϕ(x) = fx . Do ®ã ϕ c¶m sinh ®ång cÊu nhãm ϕ1 : Q −→ Aut(P ), trong ®ã Aut(P ) lµ nhãm çc tù ®¼ng cÊu cña P. V× P lµ xyclic vµ cã cÊp 7 nªn Aut(P ) cã cÊp 6. Do Im ϕ1 lµ nhãm con cña Aut(P ) nªn Im ϕ1 cã cÊp lµ −íc cña 6. V× Im ϕ1 ∼ = Q/ Ker ϕ1 nªn Im ϕ1 cã cÊp lµ −íc cña 5. Do ®ã Im ϕ1 = {1P }, tøc lµ fx = 1P víi mäi x ∈ Q. Suy ra xax−1 = a, hay xa = ax víi mäi x ∈ Q, a ∈ P. Do ®ã ¸nh x¹ h : P × Q −→ P Q cho bëi h(a, x) = ax lµ mét ®ång cÊu nhãm (chó ý r»ng P Q lµ nhãm con cña G v× P lµ chuÈn t¾c). Râ rµng h lµ toµn cÊu nhãm. V× Q cÊp 5 vµ P cÊp 7 nªn P ∩ Q = {e}. Do 75 ®ã h lµ ®¬n cÊu, vµ v× thÕ h lµ ®¼ng cÊu. Suy ra P Q lµ xyclic cÊp 35. VËy G = P Q lµ xyclic. T−¬ng tù nh− chøng minh HÖ qu¶ 4.1.13 ta cã thÓ chØ ra r»ng nÕu p < q lµ çc sè nguyªn tè vµ q ≡ 1(mod p) th× mäi nhãm cÊp pq lµ xyclic. 4.2 §Þnh lÝ Sylow Cho G lµ mét nhãm h÷u h¹n vµ A lµ nhãm con cña G. Theo Bµi tËp 98, NA = {x ∈ G : xA = Ax} lµ nhãm con lín nhÊt cña G nhËn A lµm nhãm con chuÈn t¾c, nã ®−îc gäi lµ chuÈn ho¸ cña A trong G. 4.2.1. Bæ ®Ò. Cho G lµ mét nhãm h÷u h¹n vµ A lµ nhãm con cña G. Gi¶ sö H lµ nhãm con cña G sao cho H ⊆ NA , trong ®ã NA lµ chuÈn ho¸ cña A. Khi ®ã HA lµ nhãm con cña G chøa A vµ nhËn A lµm nhãm con chuÈn t¾c. Chøng minh. Râ rµng A = eA ⊆ HA. Cho ha ∈ HA víi h ∈ H vµ a ∈ A. V× h ∈ NA nªn ha ∈ hA = Ah ⊆ AH. V× thÕ HA ⊆ AH. T−¬ng tù AH ⊆ HA, vµ v× thÕ HA = AH. Suy ra HA lµ nhãm con cña G chøa A. Cho a ∈ A vµ hb ∈ HA víi h ∈ H, b ∈ A. V× h ∈ NA nªn hA = Ah. Do ®ã h(bab−1 ) = ch víi c ∈ A. Suy ra (hb)a(hb)−1 = h(bab−1 )h−1 = chh−1 = c ∈ A. VËy A chuÈn t¾c trong HA. 4.2.2. §Þnh lý. (Sylow, 1872). Cho G lµ nhãm h÷u h¹n cÊp n vµ p lµ −íc nguyªn tè cña n. Çc ph¸t biÓu sau lµ ®óng 76 (i) Mçi p-nhãm con cña G ®−îc chøa trong mét p-nhãm con Sylow. (ii) Çc p-nhãm con Sylow liªn hîp víi nhau. (iii) Sè çc p-nhãm con Sylow ®ång d− víi 1 theo m«®un p. Chøng minh. Theo §Þnh lÝ 4.1.6, tån t¹i p-nhãm con Sylow P cña G. Gäi S lµ tËp çc nhãm con liªn hîp víi P. XÐt t¸c ®éng tõ G lªn S b»ng phÐp liªn hîp: x • Q = xQx−1 víi mäi x ∈ G, Q ∈ S. T¸c ®éng nµy chØ cã mét quü ®¹o. Gäi GP = {x ∈ G : xP x−1 = P } lµ nhãm con ®¼ng h−íng cña P . Chó ý r»ng GP ⊇ P vµ (G : P ) nguyªn tè víi p. V× thÕ (G : GP ) nguyªn tè víi p. Do ®ã theo C«ng thøc çc líp, Card(S) nguyªn tè víi p. B©y giê ta chøng minh ®Þnh lÝ. (i). Cho H lµ p-nhãm con cña G. XÐt t¸c ®éng cña H lªn S b»ng phÐp liªn hîp. Theo c«ng thøc çc líp, Card(S) = Q∈S (H : HQ ), trong ®ã S ⊆ S lµ hä çc ®¹i diÖn cña çc quü ®¹o. Víi mçi Q ∈ S , do H lµ p-nhãm nªn nÕu HQ = H th× (H : HQ ) lµ béi cña p. V× Card(S) nguyªn tè víi p nªn tån t¹i Q ∈ S sao cho HQ = H. KÝ hiÖu N (Q) lµ nhãm con chuÈn ho¸ cña Q trong G. Do HQ = H nªn H ⊆ N (Q). Theo Bæ ®Ò 4.2.1, HQ lµ nhãm con cña G nhËn Q lµm nhãm con chuÈn t¾c. Ta cã nhãm th−¬ng HQ/Q ∼ = H/(H ∩ Q). V× H lµ p-nhãm nªn HQ/Q lµ p-nhãm. Do Q lµ p-nhãm nªn HQ lµ p-nhãm chøa Q. V× Q liªn hîp víi P nªn Q lµ p-nhãm con Sylow cña G. Suy ra HQ = Q. V× thÕ H ⊆ Q. (ii). Gi¶ sö H lµ p-nhãm con Sylow cña G. Theo chøng minh (i), tån t¹i Q ∈ S sao cho H ⊆ Q. Do cÊp cña H vµ Q b»ng nhau nªn H = Q. Do ®ã H liªn hîp víi P. (iii). XÐt t¸c ®éng cña P lªn S b»ng phÐp liªn hîp. Quü ®¹o cña P lµ {xP x−1 : x ∈ P } = {P }, nã gåm ®óng 1 phÇn tö. Víi Q ∈ S, nÕu quü 77 ®¹o cña Q gåm ®óng 1 phÇn tö th× (P : PQ ) = 1, trong ®ã PQ lµ nhãm con ®¼ng h−íng. V× thÕ PQ = P. Theo chøng minh (i), P ⊆ Q. Suy ra Q = P v× chóng cã cïng cÊp. V× thÕ, nÕu Q = P th× quü ®¹o cña Q gåm nhiÒu h¬n 1 phÇn tö víi mäi Q ∈ S, vµ do ®ã (P : PQ ) lµ béi cña p (do P lµ p-nhãm). Theo (ii), sè çc p-nhãm con Sylow lµ Card(S). Theo c«ng thøc çc líp ta cã kÕt qu¶. 4.3 Mét sè øng dông cña §Þnh lÝ Sylow 4.3.1. Bæ ®Ò. Cho G lµ nhãm cÊp n. Gi¶ sö p lµ mét −íc nguyªn tè cña n vµ P lµ mét p-nhãm con Sylow cña G. Khi ®ã (i) Sè çc p-nhãm con Sylow cña G lµ mét −íc cña n vµ nguyªn tè cïng nhau víi p. (ii) P lµ p-nhãm con Sylow duy nhÊt cña G nÕu vµ chØ nÕu P lµ chuÈn t¾c. Chøng minh. (i). Gäi sp lµ sè çc p-nhãm con Sylow. KÝ hiÖu S = {xP x−1 : x ∈ G} lµ tËp çc nhãm con liªn hîp víi P. Theo §Þnh lÝ Sylow, S cã sp phÇn tö. XÐt t¸c ®éng cña G lªn S b»ng phÐp liªn hîp. T¸c ®éng nµy chØ cã 1 quü ®¹o. Theo c«ng thøc çc líp, Card(S) = sp = (G : GP ), trong ®ã GP = {x ∈ G : xP x−1 = P } lµ nhãm con ®¼ng h−íng øng víi P. Do ®ã sp lµ −íc cña n. V× sp ≡ 1(mod p) nªn sp nguyªn tè cïng nhau víi p. (ii). Theo chøng minh (i), P lµ p-nhãm con Sylow duy nhÊt nÕu vµ chØ nÕu (G : GP ) = 1, tøc lµ xP = P x víi mäi x ∈ G. VËy P lµ p-nhãm con Sylow duy nhÊt cña G nÕu vµ chØ nÕu P lµ chuÈn t¾c. 4.3.2. §Þnh nghÜa. Mét nhãm G ®−îc gäi lµ nhãm ®¬n nÕu G = {e} vµ G 78 chØ cã hai nhãm con chuÈn t¾c lµ G vµ {e}. Nh− mét ¸p dông, chóng ta nhËn l¹i ®−îc kÕt qu¶ nh− trong HÖ qu¶ 4.1.13 vÒ çc nhãm cÊp pq víi p, q lµ çc sè nguyªn tè ph©n biÖt. 4.3.3. MÖnh ®Ò. Cho G lµ nhãm cÊp pq, trong ®ã p < q lµ çc sè nguyªn tè. Khi ®ã (i) G cã q-nhãm con Sylow chuÈn t¾c, v× thÕ G kh«ng lµ nhãm ®¬n. (ii) NÕu q ≡ 1(mod p) th× G cã mét p-nhãm con Sylow chuÈn t¾c. Trong tr−êng hîp nµy, G lµ nhãm xyclic. Chøng minh. (i). Gäi sq lµ sè çc q-nhãm con Sylow cña G. Theo Bæ ®Ò 4.3.1, sq lµ −íc cña pq, vµ theo §Þnh lÝ Sylow sq ≡ 1(mod q). V× thÕ sq = 1 hoÆc sq = p. Do p < q nªn p ≡ 1(mod q). Do ®ã sq = 1. Theo Bæ ®Ò 4.3.1, cã mét q-nhãm con Sylow chuÊn t¾c Q cña G. (ii). V× q ≡ 1(mod p) nªn, t−¬ng tù nh− chøng minh (i), G cã duy nhÊt mét p-nhãm con Sylow P vµ nhãm con nµy lµ chuÈn t¾c. V× P, Q lµ çc nhãm con chuÈn t¾c nªn P Q lµ nhãm con cña G. XÐt ¸nh x¹ f : P × Q −→ P Q cho bëi f (x, y) = xy, víi mäi (x, y) ∈ P × Q. V× P cÊp p vµ Q cÊp q nªn P ∩ Q = {e}. Do P, Q lµ chuÈn t¾c nªn (xy)(yx)−1 = (xyx−1 )y −1 = x(yx−1 y −1 ) ∈ P ∩ Q = {e}, v× thÕ xy = yx víi mäi x ∈ P, y ∈ Q. Suy ra f lµ ®ång cÊu. Râ rµng f lµ toµn cÊu. V× P ∩ Q = {e} nªn f lµ ®¬n cÊu. VËy f lµ ®¼ng cÊu. Do P × Q lµ nhãm xyclic cÊp pq nªn P Q lµ xyclic cÊp pq. V× thÕ P Q = G lµ nhãm xyclic. Ta xÐt mét tr−êng hîp phøc t¹p h¬n, ë ®ã cÊp cña nhãm lµ p2 q. Çc lËp luËn trong chøng minh kÕt qu¶ nµy lµ rÊt thó vÞ. 79 4.3.4. MÖnh ®Ò. Cho G lµ nhãm cÊp p2 q, trong ®ã p, q lµ çc sè nguyªn tè ph©n biÖt. Khi ®ã G kh«ng lµ nhãm ®¬n, vµ Ýt nhÊt mét trong hai tr−êng hîp sau x¶y ra (i) G cã p-nhãm con Sylow chuÈn t¾c. (ii) G cã q-nhãm con Sylow chuÈn t¾c. Chøng minh. Gäi sp , sq lÇn l−ît lµ sè çc p-nhãm con Sylow vµ sè çc qnhãm con Sylow. Gi¶ sö c¶ (i) vµ (ii) ®Òu sai. Khi ®ã sp > 1 vµ sq > 1. Theo Bæ ®Ò 4.3.1, sq lµ −íc cña p2 q vµ sq nguyªn tè cïng nhau víi q. V× thÕ sq = p2 hoÆc sq = p. Ta xÐt hai tr−êng hîp. - Tr−êng hîp sq = p2 . Chó ý r»ng nÕu Q lµ q-nhãm con Sylow th× Q cã cÊp q vµ do ®ã x cã cÊp q víi mäi e = x ∈ Q. V× thÕ, mçi q-nhãm con Sylow chøa ®óng q − 1 phÇn tö cÊp q. Gi¶ sö Q1 , Q2 lµ hai q-nhãm con Sylow. NÕu Q1 ∩ Q2 = {e} th× (x) = Q1 = Q2 víi mäi e = x ∈ Q1 ∩ Q2 . V× thÕ hai q-nhãm con Sylow tuú ý hoÆc lµ b»ng nhau, hoÆc cã giao lµ nhãm con tÇm th−êng. Do ®ã sè phÇn tö cã cÊp q cña G lµ sq (q − 1). Gäi L lµ tËp çc phÇn tö cña G kh«ng cã cÊp q. Ta cã Card(L) = p2 q − nq (q − 1) = p2 q − p2 (q − 1) = p2 . Gi¶ sö P lµ mét p-nhãm con Sylow. Khi ®ã cÊp cña P lµ p2 vµ v× thÕ tÊt c¶ p2 phÇn tö cña P ®Òu kh«ng cã cÊp q. Suy ra P = L. Do ®ã G chØ cã duy nhÊt mét p-nhãm con Sylow, tøc lµ sp = 1, v« lÝ. - Tr−êng hîp sq = p. Theo §Þnh lÝ Sylow, sq ≡ 1(mod q), v× thÕ p ≡ 1(mod q). Suy ra p > q. Theo Bæ ®Ò 4.3.1, sp lµ −íc cña p2 q vµ nguyªn tè cïng nhau víi p, v× thÕ sp = q. Theo §Þnh lÝ Sylow, sp ≡ 1(mod p), do ®ã q ≡ 1(mod p). V× thÕ q > p, v« lÝ. 80 Bµi tËp 111. Chøng minh r»ng mäi nhãm Abel kh«ng tÇm th−êng ®Òu chøa mét nhãm con cã chØ sè nguyªn tè. 112. Cho G lµ nhãm cÊp n vµ p lµ sè nguyªn tè chia hÕt n. Gäi sp lµ sè çc p−nhãm con Sylow cña G. Chøng minh r»ng G cã nhãm con chØ sè sp . 113. Chøng tá r»ng mäi nhãm cÊp 15, 33, 65 vµ 77 lµ xyclic. 114. Chøng minh r»ng mäi nhãm cÊp pq (trong ®ã p < q lµ çc sè nguyªn tè) hoÆc lµ nhãm xyclic, hoÆc lµ nhãm kh«ng giao ho¸n. NÕu tr−êng hîp thø hai x¶y ra th× q − 1 chia hÕt cho p. 115. Chøng minh r»ng mäi p-nhãm G = {e} ®Òu cã t©m kh«ng tÇm th−êng. 116. Cho p lµ sè nguyªn tè vµ G lµ nhãm cÊp p2 . KÝ hiÖu C(G) lµ t©m cña G. Chøng minh r»ng G/C(G) lµ nhãm xyclic. Tõ ®ã suy ra r»ng mäi nhãm cÊp p2 ®Òu giao ho¸n. 117. Cho p lµ mét sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng mäi nhãm cÊp p2 hoÆc ®¼ng cÊu víi Zp2 hoÆc ®¼ng cÊu víi Zp × Zp . Tõ ®ã suy ra r»ng mäi nhãm cÊp 4 hoÆc ®¼ng cÊu víi nhãm Z4 hoÆc ®¼ng cÊu víi nhãm Z2 × Z2 . 118. Cho G lµ nhãm cÊp pqr, trong ®ã p, q, r lµ çc sè nguyªn tè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng pqr ≥ 1 + sp (p − 1) + sq (q − 1) + sr (r − 1), trong ®ã sp , sq vµ sr lÇn l−ît lµ sè p−nhãm con Sylow, sè q−nhãm con Sylow vµ sè r−nhãm con Sylow. 119. Cho G lµ nhãm cÊp pqr, trong ®ã r < q < p lµ çc sè nguyªn tè ph©n biÖt. Víi kÝ hiÖu sp , sq , sr nh− trong Bµi tËp 108, chøng minh r»ng nÕu G lµ nhãm ®¬n th× sp = qr, sq ≥ p vµ sr ≥ q. 120. Cho G lµ nhãm cÊp pqr, trong ®ã r < q < p lµ çc sè nguyªn tè ph©n biÖt. Sö dông çc Bµi tËp 118, 119 ®Ò chØ ra r»ng G kh«ng lµ nhãm ®¬n. Ch−¬ng 5 Nhãm gi¶i ®−îc, nhãm tù do 5.1 Chuçi hîp thµnh 5.1.1. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm. Mét d y {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ . . . ⊆ Gr = G çc nhãm con cña G ®−îc gäi lµ mét xÝch ®é dµi r nÕu Gi lµ nhãm con chuÈn t¾c cña Gi+1 víi mäi i = 1, . . . , r − 1. Hai xÝch {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ . . . ⊆ Gr = G {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ . . . ⊆ Gs = G. ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu r = s vµ tån t¹i mét ho¸n vÞ π cña tËp {1, . . . , r} sao cho Gi+1 /Gi ∼ = Gπ(i+1) /Gπ(i) víi mäi i = 1, . . . , r − 1. 5.1.2. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm. Nhãm con chuÈn t¾c H cña G ®−îc gäi lµ nhãm con chuÈn t¾c tèi ®¹i cña G nÕu G/H lµ nhãm ®¬n (tøc lµ H = G vµ nÕu K lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G sao cho H ⊆ K ⊆ G th× 81 82 K = H hoÆc K = G). Mét xÝch {e} = G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gr = G ®−îc gäi lµ mét chuçi hîp thµnh cña G nÕu Gi lµ nhãm con chuÈn t¾c tèi ®¹i cña Gi+1 víi mäi i = 1, . . . , r − 1. Trong tiÕt nµy, chóng ta sÏ chøng minh §Þnh lÝ Jordan-Holder ph¸t biÓu r»ng nÕu nhãm G cã mét chuçi hîp thµnh th× hai chuçi hîp thµnh tuú ý cña G lµ t−¬ng ®−¬ng, tøc lµ chóng cã chung ®é dµi vµ sau mét phÐp ho¸n vÞ çc chØ sè, çc nhãm th−¬ng t−¬ng øng lµ ®¼ng cÊu víi nhau. Tr−íc hÕt, chóng ta cÇn çc bæ ®Ò sau ®©y. 5.1.3. Bæ ®Ò. Cho G lµ nhãm. Gi¶ sö H ⊇ K lµ çc nhãm con cña G. Çc ph¸t biÓu sau lµ ®óng. (i) NÕu K lµ chuÈn t¾c trong H vµ f : G −→ G lµ ®ång cÊu nhãm th× f (K) lµ chuÈn t¾c trong f (H). (ii) NÕu K lµ chuÈn t¾c trong H th× NK lµ chuÈn t¾c trong NH víi mäi nhãm con chuÈn t¾c N cña G. Chøng minh. (i). V× K lµ nhãm con cña H nªn f (K) lµ nhãm con cña f (H). Cho a ∈ f (K) vµ b ∈ f (H). Khi ®ã a = f (x), b = f (y) víi x ∈ K, y ∈ H. V× K chuÈn t¾c trong H nªn yxy −1 ∈ K. Do ®ã bab−1 = f(y)f (x)(f (y))−1 = f(yxy −1 ) ∈ f (K). VËy f (K) lµ chuÈn t¾c trong f(H). (ii). XÐt phÐp chiÕu chÝnh t¾c p : G −→ G/N. Ta cã p(K) = N K/N vµ p(H) = N H/N. Theo (i), N K/N lµ nhãm con chuÈn t¾c cña N H/N. Cho 83 a ∈ NK vµ x ∈ N H. Khi ®ã xax−1 + N = (x + N)(a + N )(x−1 + N) ∈ NK/N. V× thÕ xax−1 + N = b + N víi b ∈ NK. Suy ra xax−1 − b ∈ N ⊆ N K. Do b ∈ N K nªn xax−1 ∈ N K. VËy N K chuÈn t¾c trong N H. 5.1.4. Bæ ®Ò. Gi¶ sö N ⊆ L vµ P ⊆ Q lµ çc nhãm con cña G sao cho N chuÈn t¾c trong L vµ P chuÈn t¾c trong Q. Khi ®ã N (L ∩ P ) chuÈn t¾c trong N (L ∩ Q). Chøng minh. V× P chuÈn t¾c trong Q nªn dÔ thÊy L ∩ P chuÈn t¾c trong L ∩ Q. Chó ý r»ng N, L ∩ P, L ∩ Q ®Òu lµ nhãm con cña L. V× thÕ ¸p dông Bæ ®Ò 5.1.3 (ii) cho tr−êng hîp G = L ta cã kÕt qu¶. 5.1.5. Bæ ®Ò. Gi¶ sö N ⊆ L vµ P ⊆ Q lµ çc nhãm con cña G sao cho N chuÈn t¾c trong L vµ P chuÈn t¾c trong Q. Khi ®ã N(L ∩ P ) ∩ L ∩ Q = P (Q ∩ N ) ∩ Q ∩ L. Chøng minh. Cho x = ac ∈ N (L ∩ P ) ∩ L ∩ Q, trong ®ã a ∈ N, c ∈ L ∩ P. Do N chuÈn t¾c trong L nªn x = ac = c(c−1 ac) = ca víi a ∈ N. V× x ∈ Q vµ c ∈ P ⊆ Q nªn a = c−1 x ∈ Q. V× thÕ a ∈ Q ∩ N, vµ do ®ã x = ca ∈ P (Q ∩ N ). V× x = ac, trong ®ã a ∈ N ⊆ L vµ c ∈ L, nªn x ∈ L. Do ®ã x ∈ P (Q ∩ N ) ∩ Q ∩ L. T−¬ng tù, nÕu x ∈ P (Q ∩ N) ∩ Q ∩ L th× x ∈ N (L ∩ P ) ∩ L ∩ Q. 5.1.6. §Þnh nghÜa. Cho {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ . . . ⊆ Gr = G lµ mét xÝch cña nhãm G. Gi¶ sö cã mét chØ sè i vµ mét nhãm trung gian H gi÷a Gi vµ Gi+1 sao cho H chuÈn t¾c trong Gi+1 . Khi ®ã ta cã xÝch {e} = G0 ⊆ . . . ⊆ Gi ⊆ H ⊆ Gi+1 ⊆ . . . ⊆ Gr = G, 84 gäi lµ mét sù lµm mÞn cña xÝch ® cho. NÕu H = Gi vµ H = Gi+1 th× xÝch nµy ®−îc gäi lµ mét lµm mÞn thùc sù. 5.1.7. §Þnh lý. (§Þnh lÝ lµm mÞn Schreire, 1928). Cho hai xÝch cña mét nhãm G {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ . . . ⊆ Gn = G (1.1) {e} = H0 ⊆ H1 ⊆ . . . ⊆ Hk = G (1.2) Khi ®ã tån t¹i çc xÝch (2.1), (2.2) t−¬ng øng lµm mÞn çc xÝch (1.1) vµ (1.2) sao cho xÝch (2.1) t−¬ng ®−¬ng víi xÝch (2.2). Chøng minh. Víi i = 0, 1, . . . , n vµ j = 0, 1, . . . , k, ta ®Æt Gi,j = Gi (Gi+1 ∩ Hj ), vµ Hi,j = Hj (Hj+1 ∩ Gi ). Víi mçi i, j, v× Gi chuÈn t¾c trong Gi+1 vµ Hj chuÈn t¾c trong Hj+1 nªn theo Bæ ®Ò 5.1.4, Gi,j chuÈn t¾c trong Gi,j+1 . T−¬ng tù, Hi,j chuÈn t¾c trong Hi+1,j víi mäi i, j. V× thÕ ta cã çc xÝch Gi = Gi,0 ⊆ Gi,1 ⊆ . . . ⊆ Gi,k = Gi+1 , ∀i = 0, 1, . . . , n − 1, Hj = H0,j ⊆ H1,j ⊆ . . . ⊆ Hn,j = Hj+1 , ∀j = 0, 1, . . . , k − 1. Do ®ã hai xÝch sau ®©y lµ t−¬ng øng mÞn h¬n xÝch (1.1) vµ (1.2) {e} = G0 ⊆ G0,1 ⊆ . . . ⊆ G0,k−1 ⊆ G1 ⊆ G1,1 ⊆ . . . ⊆ G1,k−1 ⊆ . . . ⊆ Gn−1,1 ⊆ . . . ⊆ Gn−1,k−1 ⊆ Gn = G (2.1) {e} = H0 ⊆ H1,0 ⊆ . . . ⊆ Hn−1,0 ⊆ H1 ⊆ H1,1 ⊆ . . . ⊆ Hn−1,1 ⊆ . . . ⊆ H1,1 ⊆ . . . ⊆ Hn−1,k−1 ⊆ Hk = G (2.2) 85 Víi mçi i, j, v× Gi ⊆ Gi,j ⊆ Gi,j+1 nªn ta cã Gi,j Gi,j+1 = Gi,j+1 vµ Gi,j Gi = Gi,j . Do ®ã Gi,j+1 Gi,j Gi,j+1 Gi,j Gi (Gi+1 ∩ Hj+1 ) Gi,j (Gi+1 ∩ Hj+1 ) = = = . Gi,j Gi,j Gi,j Gi,j V× thÕ, theo §Þnh lÝ ®¼ng cÊu thø hai ta cã Gi,j+1 ∼ Gi+1 ∩ Hj+1 , = Gi,j Gi,j ∩ Gi+1 ∩ Hj+1 víi mäi i, j. T−¬ng tù, Hi+1,j ∼ Gi+1 ∩ Hj+1 , = Hi,j Hi,j ∩ Gi+1 ∩ Hj+1 víi mäi i, j. Theo Bæ ®Ò 5.1.5 ta cã Gi,j ∩ Gi+1 ∩ Hj+1 = Hi,j ∩ Gi+1 ∩ Hj+1 , ∀i, j. V× thÕ Gi,j+1 /Gi,j ∼ = Hi+1,j /Hi,j , víi mäi i, j. §¸nh l¹i chØ sè cña xÝch (2.1) b»ng çch øng (i, j) víi ik + j, vµ ®¸nh l¹i chØ sè cña (2.2) b»ng çch øng (i, j) víi jn + i. Khi ®ã c¶ hai xÝch (2.1) vµ (2.2) ®Òu cã ®é dµi nk. Chän ϕ : {1, 2, . . . , nk} −→ {1, 2, . . . , nk} cho bëi ϕ(ik + j) = jn + i víi n − 1 vµ 0 j k − 1. Râ rµng ϕ lµ song ¸nh, vµ tõ ®¼ng cÊu Gi,j+1 /Gi,j ∼ = Hi+1,j /Hi,j ta cã 0 i Gik+j+1 /Gik+j ∼ = Hϕ(ik+j)+1 /Hϕ(ik+j) , ∀i, j. Do ®ã (2.1) t−¬ng ®−¬ng víi (2.2). 5.1.8. §Þnh nghÜa. Cho R : {e} = G0 ⊇ G1 ⊇ . . . ⊇ Gn = G lµ mét xÝch cña nhãm G. Víi mçi i = {1, . . . , n}, ta nãi Gi lµ thµnh phÇn lÆp l¹i nÕu Gi = Gi−1 . 86 §Þnh lÝ sau ®©y lµ kÕt qu¶ chÝnh cña tiÕt nµy. 5.1.9. §Þnh lý. (§Þnh lÝ Jordan - Holder). NÕu nhãm G cã mét chuçi hîp thµnh th× mäi xÝch R : {e} = G0 ⊃ G1 ⊃ . . . ⊃ Gn = G kh«ng cã thµnh phÇn lÆp l¹i ®Òu cã thÓ ®−îc lµm mÞn bëi mét chuçi hîp thµnh. V× thÕ hai chuçi hîp thµnh tuú ý lµ t−¬ng ®−¬ng víi nhau. Chøng minh. Gäi S lµ mét chuçi hîp thµnh cña G. Theo §Þnh lÝ 5.1.7, cã hai xÝch R1 vµ S1 sao cho R1 lµm mÞn R, S1 lµm mÞn S vµ R1 t−¬ng ®−¬ng víi S1 . Bá ®i nh÷ng thµnh phÇn lÆp l¹i trong R1 vµ S1 , ta ®−îc hai xÝch R2 vµ S2 . Râ rµng R2 lµm mÞn R vµ S2 lµm mÞn S. Chó ý r»ng sè thµnh phÇn lÆp l¹i trong R1 vµ S1 t−¬ng øng lµ sè nhãm th−¬ng tÇm th−êng cña R1 vµ S1 . V× R1 vµ S1 lµ t−¬ng ®−¬ng nªn sè çc thµnh phÇn lÆp l¹i trong R1 vµ S1 lµ nh− nhau. Suy ra R2 vµ S2 lµ t−¬ng ®−¬ng. V× S lµ chuçi hîp thµnh nªn S = S2 . Do ®ã mçi nhãm th−¬ng cña R2 ®Òu lµ nhãm ®¬n, tøc lµ R2 còng lµ chuçi hîp thµnh. VËy R ®−îc lµm mÞn bëi chuçi hîp thµnh R2 . NÕu R còng lµ chuçi hîp thµnh th× theo chøng minh trªn R2 = R vµ v× thÕ S vµ R lµ t−¬ng ®−¬ng. V× thÕ hai chuçi hîp thµnh tuú ý cña G lµ t−¬ng ®−¬ng. Bµi tËp 121. Chøng minh r»ng nÕu nhãm G cã chuçi hîp thµnh th× mäi nhãm con chuÈn t¾c cña G còng cã chuçi hîp thµnh. 122. Cho mét vÝ dô vÒ mét nhãm kh«ng cã chuçi hîp thµnh. 123. Chøng minh r»ng mäi nhãm h÷u h¹n ®Òu cã chuçi hîp thµnh. 87 124. T×m çc chuçi hîp thµnh cña nhãm Z6 vµ nhãm ®èi xøng S3 . 125. Chøng tá r»ng S3 vµ Z6 kh«ng ®¼ng cÊu víi nhau, nh−ng cã mét chuçi hîp thµnh cña S3 t−¬ng ®−¬ng víi mét chuçi hîp thµnh cña Z6 . 126. XÐt nhãm ®èi xøng S4 . Gäi A4 lµ nhãm thay phiªn cña 4 phÇn tö. §Æt V = {(12)(34), (13)(24), (14)(23), e}. KiÓm tra trùc tiÕp r»ng V lµ nhãm con chuÈn t¾c cña S4 . Suy ra r»ng V lµ nhãm con chuÈn t¾c cña A4 . Tõ ®ã h y t×m mét chuçi hîp thµnh cña S4 . 127. Cho G lµ mét nhãm. Mét xÝch chuÈn t¾c cña G lµ mét d y {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ . . . ⊆ Gn = G sao cho Gi lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G víi mäi i = 1, . . . , n. Mét xÝch chuÈn t¾c {e} = G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gn = G ®−îc gäi lµ chuçi chÝnh nÕu nã kh«ng cã thµnh phÇn lÆp l¹i vµ kh«ng tån t¹i nhãm con chuÈn t¾c H cña G sao cho Gi ⊂ H ⊂ Gi+1 vµ H = Gi , H = Gi+1 víi mäi i = 0, 1, . . . , n − 1. Chøng minh r»ng nÕu G cã mét chuçi chÝnh th× mäi xÝch chuÈn t¾c kh«ng cã thµnh phÇn lÆp l¹i ®Òu cã thÓ ®−îc lµm mÞn bëi mét chuçi chÝnh. 128. Chøng minh r»ng nÕu G cã mét chuçi chÝnh th× hai chuçi chÝnh bÊt k× cña G lµ t−¬ng ®−¬ng. 129. Trong ®Þnh nghÜa chuçi hîp thµnh ta yªu cÇu Gi lµ nhãm con chuÈn t¾c tèi ®¹i cña Gi+1 víi mäi i. §èi víi chuçi chÝnh, ®iÒu kiÖn t−¬ng tù lµ g×? 130∗ . Cho n ≥ 5. Gäi An lµ nhãm thay phiªn cña n phÇn tö. Gi¶ sö N = An lµ nhãm con chuÈn t¾c cña An . Chøng minh r»ng N kh«ng thÓ chøa mét phÇn tö lµ tÝch cña Ýt nhÊt 4 chuyÓn trÝ rêi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng An lµ nhãm ®¬n. H¬n n÷a, nhãm ®èi xøng Sn cã mét chuçi hîp thµnh {e} ⊂ An ⊂ Sn. 88 5.2 Nhãm gi¶i ®−îc Nhãm gi¶i ®−îc ®−îc ®Æt tªn nh− thÕ v× nã liªn quan ®Õn tÝnh gi¶i ®−îc cña çc ph−¬ng tr×nh ®a thøc. 5.2.1. §Þnh nghÜa. Cho G lµ nhãm. G ®−îc gäi lµ nhãm gi¶i ®−îc nÕu tån t¹i mét xÝch {e} = G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gn = G, trong ®ã mçi Gi lµ nhãm con chuÈn t¾c cña Gi+1 vµ nhãm th−¬ng Gi+1 /Gi lµ giao ho¸n víi mäi i = 1, . . . , n. 5.2.2. VÝ dô. (i) Mäi nhãm Abel lµ gi¶i ®−îc. (ii) NÕu G lµ nhãm ®¬n vµ gi¶i ®−îc th× G lµ nhãm xyclic. (iii) Mäi nhãm ®¬n kh«ng giao ho¸n lµ kh«ng gi¶i ®−îc. V× thÕ nhãm thay phiªn An kh«ng gi¶i ®−îc víi mäi n ≥ 5. Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh (i) lµ râ rµng. (ii). V× G lµ nhãm ®¬n G cã duy nhÊt mét xÝch {e} ⊂ G. Do G gi¶i ®−îc nªn G = G/{e} lµ nhãm giao ho¸n. NÕu G cã cÊp v« h¹n th× G cã v« h¹n nhãm con, vµ nhãm con nµo cña G còng chuÈn t¾c, v« lÝ. V× thÕ G cã cÊp h÷u h¹n n. NÕu n mét −íc nguyªn tè p = n th× cã mét nhãm con cÊp p (theo Bæ ®Ò 4.1.5) vµ nhãm con nµy chuÈn t¾c, v« lÝ. VËy n lµ sè nguyªn tè vµ do ®ã G lµ xyclic cÊp nguyªn tè. (iii). Gi¶ sö G gi¶i ®−îc. V× G lµ nhãm ®¬n nªn theo (ii), G lµ xyclic. V× thÕ nã giao ho¸n, v« lÝ. Tr−íc khi ®Æc tr−ng çc nhãm gi¶i ®−îc, chóng ta quan t©m ®Õn mét lo¹i nhãm con víi tÝnh chÊt m¹nh h¬n tÝnh chuÈn t¾c. 89 5.2.3. §Þnh nghÜa. Mét nhãm con H cña nhãm G ®−îc gäi lµ tiªu biÓu nÕu nã bÊt biÕn qua mäi tù ®¼ng cÊu cña G. Gi¶ sö G lµ mét nhãm. Khi ®ã nÕu f lµ tù ®¼ng cÊu cña G vµ H lµ nhãm con tiªu biÓu cña G th× thu hÑp cña f vµo H lµ tù ®¼ng cÊu cña H. H¬n n÷a, ta biÕt r»ng mét nhãm con cña G lµ chuÈn t¾c nÕu vµ chØ nÕu nã bÊt biÕn qua mäi tù ®¼ng cÊu trong cña G. V× thÕ nÕu H lµ nhãm con tiªu biÓu th× H lµ nhãm con chuÈn t¾c. 5.2.4. Bæ ®Ò. Cho H ⊆ K lµ çc nhãm con cña nhãm G. (i) NÕu H lµ tiªu biÓu trong K vµ K lµ tiªu biÓu trong G th× H lµ tiªu biÓu trong G. (ii) NÕu H tiªu biÓu trong K vµ K chuÈn t¾c trong G th× H chuÈn t¾c trong G. Chøng minh. (i). Gi¶ sö f lµ mét ®¼ng cÊu cña G. V× K lµ tiªu biÓu trong G nªn thu hÑp cña f vµo K lµ tù ®¼ng cÊu cña K. Do H lµ tiªu biÓu trong K nªn f (H) = H. (ii). Gi¶ sö f lµ mét tù ®¼ng cÊu trong cña G. V× K chuÈn t¾c trong G nªn thu hÑp cña f vµ K lµ mét tù ®¼ng cÊu cña K. Do H tiªu biÓu trong K nªn f (H) = H. Gi¶ sö G lµ mét nhãm. Gäi H lµ nhãm con çc ho¸n tö (tøc lµ H lµ nhãm con sinh bëi çc ho¸n tö xyx−1 y −1 víi x, y ∈ G). Râ rµng G giao ho¸n khi vµ chØ khi H = {e}. Theo çc Bµi tËp 36, 37, H lµ nhãm con chuÈn t¾c nhá nhÊt cña G sao cho nhãm th−¬ng G/H lµ giao ho¸n. 5.2.5. Bæ ®Ò. Gi¶ sö H lµ nhãm con çc ho¸n tö cña mét nhãm G. Khi ®ã H lµ tiªu biÓu trong G. 90 Chøng minh. Gi¶ sö f lµ tù ®¼ng cÊu cña G. Víi mçi ho¸n tö xyx−1 y −1 , v× f lµ toµn cÊu nªn tån t¹i a, b ∈ G sao cho xyx−1 y −1 = f(aba−1 b−1 ). V× thÕ xyx−1 y −1 ∈ f(H). Suy ra H ⊆ f (H). Ng−îc l¹i, gi¶ sö f (h) ∈ f(H) víi h ∈ H. Khi ®ã h lµ tÝch cña h÷u h¹n ho¸n tö. V× f biÕn mçi ho¸n tö thµnh ho¸n tö nªn f (h) lµ tÝch cña h÷u h¹n ho¸n tö. V× thÕ f (h) ∈ H. Suy ra f (H) ⊆ H. Nh¾c l¹i r»ng mét xÝch chuÈn t¾c cña mét nhãm G lµ mét d y {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ . . . ⊆ Gn = G sao cho Gi lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G víi mäi i (xem Bµi tËp 119). Râ rµng mçi xÝch chuÈn t¾c lµ mét xÝch. D−íi ®©y lµ mét sè ®Æc tr−ng cña nhãm gi¶i ®−îc. Cho thuËn tiÖn ta ®Æt G(0) = G, G(1) lµ nhãm con çc ho¸n tö cña G(0) , vµ G(i) lµ nhãm con çc ho¸n tö cña G(i−1) víi mäi i > 1. 5.2.6. §Þnh lý. Cho G lµ mét nhãm. Çc ph¸t biÓu sau lµ t−¬ng ®−¬ng: (i) G lµ gi¶i ®−îc. (ii) Tån t¹i sè tù nhiªn r sao cho G(r) = {e}. (iii) Tån t¹i mét xÝch chuÈn t¾c víi çc nhãm th−¬ng lµ giao ho¸n. Chøng minh. (i)⇒(ii). V× G gi¶i ®−îc nªn cã mét xÝch {e} = G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gr = G sao cho Gi+1 /Gi lµ giao ho¸n víi mäi i. Ta chøng minh G(i) ⊆ Gr−i víi mäi i = 1, . . . , r b»ng quy n¹p theo i. V× G/Gr−1 lµ giao ho¸n nªn theo tÝnh chÊt cña nhãm con çc ho¸n tö ta cã G(1) ⊆ Gr−1 , mÖnh ®Ò ®óng víi i = 1. Cho i ≥ 1 vµ gi¶ thiÕt r»ng mÖnh ®Ò ®óng víi i, tøc lµ G(i) ⊆ Gr−i . (1) (1) V× Gr−i /Gr−i−1 giao ho¸n nªn Gr−i ⊆ Gr−i−1 , trong ®ã Gr−i lµ nhãm con (1) çc ho¸n tö cña Gr−i . MÆt kh¸c, v× G(i) ⊆ Gr−i nªn G(i+1) ⊆ Gr−i . Do ®ã 91 G(i+1) ⊆ Gr−i−1 , mÖnh ®Ò ®óng víi i + 1. Sö dông kÕt qu¶ trªn víi i = r ta cã G(r) ⊆ G0 = {e}. (ii)⇒(iii). Gi¶ sö G(r) = {e}. Víi mçi i = 1, . . . , r, theo Bæ ®Ò 5.2.5, G(j) tiªu biÓu trong G(j−1) víi mäi j = 1, . . . , i. V× thÕ, theo Bæ ®Ò 5.1.5, G(i) tiªu biÓu trong G(0) = G, víi mäi i. Do ®ã ta cã mét xÝch chuÈn t¾c {e} = G(r) ⊆ G(r−1) ⊆ . . . ⊆ G(1) ⊆ G(0) = G. Theo tÝnh chÊt cña nhãm con çc ho¸n tö, mçi nhãm th−¬ng G(i) /G(i+1) ®Òu giao ho¸n. (iii)⇒(i) lµ râ rµng. Sau ®©y lµ mét tÝnh chÊt quan träng cña nhãm gi¶i ®−îc. 5.2.7. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö N lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Khi ®ã G gi¶i ®−îc nÕu vµ chØ nÕu N vµ G/N gi¶i ®−îc. Chøng minh. Gi¶ sö N vµ G/N lµ gi¶i ®−îc. Gäi {e} = N0 ⊆ N1 ⊆ . . . ⊆ Nr = N lµ mét xÝch cña N sao cho mçi nhãm th−¬ng lµ giao ho¸n. Gäi {eN} = N/N = G0 /N ⊆ G1 /N ⊆ . . . ⊆ Gs /N = G/N lµ mét xÝch cña G/N sao cho mçi nhãm th−¬ng lµ giao ho¸n. Theo §Þnh lÝ Gi+1 /N ®¼ng cÊu thø ba, Gi+1 /Gi = lµ giao ho¸n víi mäi i = 0, . . . , s − 1. Gi /N Do ®ã ta cã xÝch {e} = N0 ⊆ N1 ⊆ . . . ⊆ Nr = N ⊆ G1 ⊆ . . . ⊆ Gs = G, trong ®ã mçi nhãm th−¬ng ®Òu giao ho¸n. V× thÕ G lµ gi¶i ®−îc. 92 Ng−îc l¹i, gi¶ sö G gi¶i ®−îc. Khi ®ã tån t¹i r ∈ N sao cho G(r) = {e}. V× N ⊆ G nªn N (1) ⊆ G(1) . Suy ra N (2) ⊆ G(2) . Cø lÆp l¹i lËp luËn trªn ta ®−îc N (r) ⊆ G(r) = {e}, tøc lµ N (r) = {e}. VËy N lµ gi¶i ®−îc. Ta cã xN yN (xN)−1 (yN)−1 = xyx−1 y −1 N víi mäi x, y ∈ G. Suy ra (G/N )(1) = G(1) N/N. B»ng quy n¹p ta cã thÓ chØ ra r»ng (G/N)(i) = G(i) N/N víi mäi i. Do ®ã (G/N)(r) = G(r) N/N = N/N = {eN}. VËy G/N gi¶i ®−îc. 5.2.8. HÖ qu¶. Gi¶ sö nhãm G cã mét chuçi hîp thµnh. Khi ®ã G gi¶i ®−îc nÕu vµ chØ nÕu çc nhãm th−¬ng cña chuçi lµ xyclic cÊp nguyªn tè. Chøng minh. Cho {e} = G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gn = G lµ mét chuçi hîp thµnh cña mét nhãm G. NÕu mçi nhãm th−¬ng Gi+1 /Gi lµ xyclic th× nã giao ho¸n vµ v× thÕ G gi¶i ®−îc. Ng−îc l¹i, gi¶ sö G gi¶i ®−îc. Theo MÖnh ®Ò 5.2.7, Gi gi¶i ®−îc víi mäi i. Do ®ã Gi+1 /Gi gi¶i ®−îc víi mäi i. V× mçi nhãm th−¬ng Gi+1 /Gi lµ nhãm ®¬n nªn theo VÝ dô 5.2.2, Gi+1 /Gi lµ xyclic. Çc kÕt qu¶ sau ®©y cho ta mét sè lo¹i nhãm gi¶i ®−îc. 5.2.9. §Þnh lý. Cho p lµ sè nguyªn tè vµ G lµ p−nhãm. Khi ®ã tån t¹i mét xÝch {e} = G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gn = G sao cho mçi nhãm th−¬ng Gi+1 /Gi lµ xyclic. V× thÕ G lµ nhãm gi¶i ®−îc. Chøng minh. Ta chøng minh ®Þnh lÝ b»ng quy n¹p theo cÊp cña G. Tr−êng hîp G cã cÊp 1 lµ hiÓn nhiªn. Gi¶ sö G cã cÊp pk víi k ≥ 1 vµ gi¶ thiÕt ®Þnh lÝ ® ®óng cho çc p−nhãm cÊp nhá h¬n pk . XÐt t¸c ®éng cña G lªn 93 G b»ng phÐp liªn hîp. V× G lµ p−nhãm nªn mçi nhãm con thùc sù cña G ®Òu cã chØ sè lµ béi cña p. V× thÕ, theo chøng minh trong §Þnh lÝ 4.1.6 ta cã n = (C : e) + (G : Ga ), a∈L\C trong ®ã C lµ t©m cña G vµ mçi sè h¹ng (G : Ga ) trong tæng trªn ®Òu lµ béi cña p. Suy ra C cã cÊp lµ béi cña p. Do C lµ nhãm giao ho¸n nªn theo Bæ ®Ò 4.1.5, C chøa mét nhãm con H cÊp p. Chó ý r»ng H lµ nhãm con ´ dông gi¶ chuÈn t¾c cña G. Do ®ã ta cã nhãm th−¬ng G/H cÊp pk−1 . Ap thiÕt quy n¹p cho nhãm G/H, tån t¹i xÝch {eH} = K0 /H ⊂ K1 /H ⊂ . . . ⊂ Kt /H = G/H Ki+1 /H lµ xyclic. Ki /H Suy ra Ki+1 /Ki lµ xyclic víi mäi i = 1, . . . , t. V× H cã cÊp p nªn H lµ trong ®ã mçi Ki /H lµ chuÈn t¾c trong Ki+1 /H vµ mçi nhãm xyclic. V× thÕ xÝch {e} ⊂ H ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂ Kt = G cã çc tÝnh chÊt: H chuÈn t¾c trong K1 , mçi Ki chuÈn t¾c trong Ki+1 , H lµ xyclic vµ Ki+1 /Ki lµ xyclic víi mäi i = 1, . . . , t. Bµi tËp 131. Cho mét vÝ dô vÒ mét nhãm gi¶i ®−îc nh−ng kh«ng giao ho¸n. 132. Cho G lµ nhãm gi¶i ®−îc vµ cã mét chuçi hîp thµnh. Chøng minh r»ng G cã cÊp h÷u h¹n. 133. Chøng minh r»ng nÕu G lµ nhãm gi¶i ®−îc th× mäi nhãm con cña G lµ gi¶i ®−îc. 94 134. Chøng minh r»ng nhãm ®èi xøng Sn kh«ng gi¶i ®−îc víi mäi n ≥ 5. 135. Cho mét vÝ dô vÒ mét nhãm G vµ mét nhãm con chuÈn t¾c N cña G sao cho N vµ G/N lµ giao ho¸n, nh−ng G kh«ng giao ho¸n. 136. Cho p, q lµ çc sè nguyªn tè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng mäi nhãm cÊp pq lµ gi¶i ®−îc. 137. Cho p, q lµ çc sè nguyªn tè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng çc nhãm cÊp p2 q lµ gi¶i ®−îc. 138∗ . Cho p, q lµ çc sè nguyªn tè lÎ. Chøng minh r»ng çc nhãm cÊp 2pq lµ gi¶i ®−îc. 139∗ . Chøng minh r»ng mäi nhãm cÊp < 60 lµ gi¶i ®−îc. 140. Gi¶ sö G lµ nhãm gi¶i ®−îc. Ta gäi ®é dµi dÉn suÊt cña G, kÝ hiÖu lµ dl(G), lµ sè nguyªn d−¬ng r bÐ nhÊt sao cho G(r) = {e}. Víi mçi nhãm con chuÈn t¾c N cña G, h y t×m mèi quan hÖ gi÷a dl(G), dl(N), dl(G/N ). 5.3 Nhãm tù do 5.3.1. §Þnh nghÜa. Cho S = ∅ lµ mét tËp hîp. Nhãm tù do trªn S lµ mét cÆp (F, f), trong ®ã F lµ mét nhãm, f : S −→ F lµ mét ¸nh x¹, sao cho víi mäi nhãm G vµ mäi ¸nh x¹ g : S −→ G, tån t¹i duy nhÊt mét ®ång cÊu h : F −→ G tho¶ m n g = hf. 5.3.2. §Þnh lý. Víi mçi tËp hîp S = ∅, tån t¹i nhãm tù do trªn S. Chøng minh. KÝ hiÖu T lµ tËp çc tÝch h×nh thøc aα1 1 . . . aαnn , trong ®ã n ∈ N, ai ∈ S vµ αi ∈ Z (ta quy −íc tÝch cña 0 phÇn tö lµ e). Cho x ∈ T. Ta nãi x lµ tèi gi¶n nÕu x = e hoÆc x = aα1 1 . . . aαnn , trong ®ã ai = ai+1 víi mäi i = 1, . . . n − 1 vµ 0 = α1 , . . . , αn ∈ Z. Víi mçi x = aα1 1 . . . aαnn ∈ T, ta cã 95 thÓ ®−a x vÒ d¹ng tèi gi¶n b»ng çch sau: víi mäi i = 1, . . . , n − 1, nÕu α i+1 ai = ai+1 vµ αi + αi+1 = 0 th× ta ghÐp hai nh©n tö c¹nh nhau aαi i vµ ai+1 α +αi+1 cña x thµnh nh©n tö ai i ®i hai nh©n tö aαi i vµ αi+1 ai+1 ; cßn nÕu ai = ai+1 vµ αi + αi+1 = 0 th× ta bá trong x. Cø lµm nh− vËy, sau mét sè h÷u h¹n b−íc ta cã kÕt qu¶. Hai d¹ng tèi gi¶n aα1 1 . . . , aαnn vµ bβ1 1 . . . , bβmm ®−îc gäi lµ b»ng nhau nÕu n = m, ai = bi vµ αi = βi víi mäi i. Râ rµng mçi x ∈ T cã duy nhÊt mét d¹ng tèi gi¶n. Trªn T ta ®Þnh nghÜa quan hÖ t−¬ng ®−¬ng ∼ nh− sau: víi x, y ∈ T , ta nãi x ∼ y nÕu vµ chØ nÕu hai d¹ng tèi gi¶n cña x vµ y lµ b»ng nhau. Víi mçi x ∈ T, kÝ hiÖu x lµ d¹ng tèi gi¶n cña x. Gäi F lµ tËp th−¬ng cña T theo quan hÖ t−¬ng ®−¬ng ∼ . Víi x, y ∈ F, trong ®ã x = aα1 1 . . . aαnn ∈ T vµ y = bβ1 1 . . . bβmm ∈ T, ta ®Þnh nghÜa x.y = xy, trong ®ã xy = aα1 1 . . . aαnn bβ1 1 . . . bβmm . Ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc quy t¾c nh©n ë trªn lµ mét phÐp to¸n hai ng«i trªn F vµ cïng víi phÐp to¸n nµy, F lµ mét nhãm. XÐt ¸nh x¹ f : S −→ F cho bëi f (a) = a víi mäi a ∈ S. Gi¶ sö G lµ mét nhãm vµ g : S −→ G lµ mét ¸nh x¹. XÐt t−¬ng øng h : F −→ G x¸c ®Þnh nh− sau: víi x ∈ F, trong ®ã x = aα1 1 . . . aαnn , ta ®Æt h(x) = (g(a1 ))α1 . . . (g(an ))αn . Cã thÓ kiÓm tra ®−îc h lµ ®ång cÊu nhãm vµ g = hf. H¬n n÷a, nÕu h1 : F −→ G lµ ®ång cÊu tho¶ m n ®iÒu kiÖn g = h1 f th× h(x) = (g(a1 ))α1 . . . (g(an ))αn = (h1 f (a1 ))α1 . . . (h1 f (an ))αn = h1 (a1 ) α1 α1 . . . h1 (an ) αn αn = h1 (a1 ) . . . h1 (an ) = h1 (x) Suy ra h1 = h. VËy (F, f) lµ nhãm tù do trªn S. (do g = h1 f) (do f (ai ) = ai ) (do h lµ ®ång cÊu) 96 5.3.3. Chó ý. Tõ çch x©y dùng nhãm tù do trong chøng minh §Þnh lÝ 5.3.2 ta thÊy r»ng nhãm tù do trªn mét tËp hîp S lµ nhãm mµ çc phÇn tö cña chóng ®−îc thiÕt lËp tõ çc phÇn tö cña S kh«ng bÞ rµng buéc bÊt cø quan hÖ nµo ngoµi çc tÝnh chÊt “kÕt hîp, cã ®¬n vÞ, cã nghÞch ®¶o” nh− trong ®Þnh nghÜa nhãm. Ch¼ng h¹n, Z lµ nhãm tù do trªn tËp gåm 1 phÇn tö v× çc phÇn tö cña Z kh«ng bÞ rµng buéc nµo ngoµi çc tiªn ®Ò vÒ nhãm, trong khi ®ã Zn kh«ng lµ nhãm tù do v× çc phÇn tö a cña nã cßn bÞ rµng buéc thªm ®iÒu kiÖn na = 0. Chóng ta sÏ ph©n tÝch s©u h¬n vÊn ®Ò nµy trong Môc 5.4. KÕt qu¶ tiÕp theo chØ ra r»ng nhãm tù do trªn mét tËp hîp lµ x¸c ®Þnh duy nhÊt. 5.3.4. MÖnh ®Ò. Cho S, X = ∅ lµ çc tËp hîp. Gäi (F, f ) vµ (G, g) lÇn l−ît lµ nhãm tù do trªn S vµ X. NÕu Card(S) = Card(X) th× F ∼ = G. V× thÕ, nhãm tù do trªn mét tËp hîp S lµ x¸c ®Þnh duy nhÊt sai kh¸c mét ®¼ng cÊu. Chøng minh. Do Card(S) = Card(X) nªn cã song ¸nh ϕ : S −→ X. Gäi ψ lµ ¸nh x¹ ng−îc cña ϕ. V× (F, f ) lµ nhãm tù do trªn tËp hîp S nªn víi ¸nh x¹ gϕ : S −→ G, tån t¹i duy nhÊt ®ång cÊu h : F −→ G sao cho gϕ = hf. Do (G, g) lµ nhãm tù do trªn S nªn víi ¸nh x¹ f ψ : S −→ F , tån t¹i duy nhÊt ®ång cÊu k : G −→ F sao cho f ψ = kg. Suy ra f = (f ψ)ϕ = (kg)ϕ = k(gϕ) = k(hf ) = (kh)f. Râ rµng f = 1F f. V× thÕ, víi ¸nh x¹ f : S −→ F , tån t¹i hai ®ång cÊu 1F , kh : F −→ F ®Ó f = 1F f = (kh)f. Tõ ®Þnh nghÜa cña nhãm tù do ta suy ra kh = 1F . T−¬ng tù ta cã hk = 1F . V× thÕ h lµ ®¼ng cÊu, tøc F ∼ = G. 97 ChiÒu ng−îc l¹i cña MÖnh ®Ò 5.3.4 còng ®óng, tøc lµ nÕu F ∼ = G, trong ®ã F vµ G lÇn l−ît lµ nhãm tù do trªn S vµ X, th× Card(S) = Card(X). Chóng ta sÏ chøng minh ®iÒu nµy trong Môc 5.4. 5.3.5. MÖnh ®Ò. Cho (F, f) lµ nhãm tù do trªn mét tËp S. Khi ®ã f lµ ®¬n ¸nh vµ f(S) lµ mét hÖ sinh cña F. Chøng minh. Cho a = b ∈ S. XÐt nhãm céng Z çc sè nguyªn vµ ¸nh x¹ g : S −→ Z cho bëi g(x) = 1 nÕu x = a 0 nÕu x = a. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt ®ång cÊu h : F −→ Z sao cho g = hf. Ta cã h(f (a)) = hf (a) = g(a) = 1 = 0 = g(b) = hf (b) = h(f (b)). Suy ra f(a) = f(b). VËy f lµ ®¬n ¸nh. Gäi G lµ nhãm con cña F sinh bëi f (S). Víi ¸nh x¹ g : S −→ f(S) cho bëi g(a) = f (a) víi mäi a ∈ S, tån t¹i duy nhÊt ®ång cÊu h : F −→ G sao cho g = hf. Gäi i : G −→ F lµ ®ång cÊu nhóng tù nhiªn. DÔ thÊy ig = f. V× thÕ 1F f = f = ig = (ih)f. Tõ ®Þnh nghÜa cña nhãm tù do ta suy ra ih = 1F , hay i lµ toµn cÊu. Suy ra i lµ ®¼ng cÊu. V× thÕ F = G, hay F sinh bëi f (S). Gi¶ sö (F, f ) lµ nhãm tù do trªn S. Theo mÖnh ®Ò trªn, f lµ ®¬n ¸nh. V× thÕ ng−êi ta th−êng ®ång nhÊt phÇn tö s ∈ S víi phÇn tö f(s) ∈ F. §Þnh lÝ sau ®©y cho ta ý nghÜa cña nhãm tù do trong lÝ thuyÕt nhãm tæng qu¸t. 5.3.6. §Þnh lý. Mäi nhãm ®Òu lµ ¶nh ®ång cÊu cña mét nhãm tù do. 98 Chøng minh. Cho G lµ mét nhãm. LÊy S lµ mét hÖ sinh cña G (ta cã thÓ chän S = G). Gäi (F, f ) lµ nhãm tù do trªn S. XÐt ¸nh x¹ nhóng i : S −→ G. Khi ®ã tån t¹i ®ång cÊu h : F −→ G sao cho i = hf. Suy ra Im h = h(F ) ⊇ h(f (S)) = hf(S) = i(S) = S. V× S lµ hÖ sinh cña G vµ Im h lµ nhãm con cña G chøa S nªn Im h = G. V× thÕ F/ Ker h ∼ = G. 5.4 BiÓu diÔn nhãm b»ng hÖ sinh vµ çc quan hÖ N¨m 1882, W. von Dyck ® ph¸t minh ra nhãm tù do vµ dïng chóng ®Ó ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm biÓu diÔn cña nhãm. 5.4.1. §Þnh nghÜa. Cho A lµ mét tËp con cña mét nhãm G. Khi ®ã tån t¹i nh÷ng nhãm con chuÈn t¾c cña G chøa A. Giao cña çc nhãm con chuÈn t¾c cña G chøa A lµ nhãm con chuÈn t¾c bÐ nhÊt cña G chøa A (xem MÖnh ®Ò 2.2.4). Ta gäi nã lµ nhãm con chuÈn t¾c sinh bëi A. 5.4.2. VÝ dô. Trong nhãm ®èi xøng S3 , nhãm con chuÈn t¾c sinh bëi tËp ∅ lµ {e}, vµ nhãm con chuÈn t¾c sinh bëi {e, (12)} lµ S3 . Trong nhãm giao ho¸n, çc kh¸i niÖm nhãm con sinh bëi mét tËp vµ nhãm con chuÈn t¾c sinh bëi mét tËp lµ t−¬ng ®−¬ng. Tuy nhiªn, trong çc nhãm kh«ng giao ho¸n, chóng ta ch−a cã c«ng thøc m« t¶ nhãm con chuÈn t¾c sinh bëi mét tËp gièng nh− MÖnh ®Ò 1.3.10. 5.4.3. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm, S lµ mét tËp hîp vµ ∆ lµ mét hä nh÷ng phÇn tö cña S. Ta nãi G cã hÖ sinh S vµ çc quan hÖ ∆ nÕu 99 G∼ = F/H, trong ®ã F lµ nhãm tù do trªn S vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña F sinh bëi ∆. CÆp (S | ∆) ®−îc gäi lµ mét biÓu diÔn cña nhãm G. 5.4.4. Chó ý. Gi¶ sö G cã biÓu diÔn (S | ∆), tøc lµ G ∼ = F/H víi F lµ nhãm tù do trªn S vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña F sinh bëi ∆. Víi mçi x ∈ ∆, ta cã Hx = He ∈ F/H. V× thÕ, trong biÓu diÔn trªn cña G, mçi phÇn tö x ∈ ∆ th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng quan hÖ x = e. 5.4.5. VÝ dô. Cho G lµ nhãm xyclic cÊp 6. Khi ®ã G cã mét biÓu diÔn lµ (x | x6 = e). ThËt vËy, gäi F lµ nhãm tù do sinh bëi mét phÇn tö x vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña F sinh bëi x6 . Khi ®ã F/H = (x)/(x6 ) ∼ = Z/6Z = Z6 ∼ = G. Ngoµi biÓu diÔn trªn, G cßn cã biÓu diÔn (x, y | x3 = e, y 2 = e, xyx−1 y −1 = e). ThËt vËy, gäi F lµ nhãm tù do sinh bëi {x, y} vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña F sinh bëi {x3 , y 2 , xyx−1 y −1 }. V× xyx−1 y −1 ∈ H nªn trong nhãm F/H ta cã xyH = yxH. Do ®ã mçi phÇn tö cña F/H cã d¹ng xn y m H. L¹i do x3 H = eH, y 2 H = eH vµ xyH = yxH nªn F/H = {eH, xH, x2 H, yH, xyH, x2 yH} lµ nhãm giao ho¸n cÊp 6. Do ®ã F/H ∼ = Z6 ∼ = G. Trong vÝ dô trªn, biÓu diÒn thø nhÊt cho thÊy mäi nhãm xyclic cÊp 6 ®−îc sinh bëi 1 phÇn tö cÊp 6. BiÓu diÔn thø hai cho thÊy mäi nhãm xyclic cÊp 6 ®−îc sinh bëi hai phÇn tö, mét phÇn tö cÊp 3, mét phÇn tö cÊp 2 vµ hai phÇn tö nµy giao ho¸n víi nhau. 100 5.4.6. Chó ý. Miªu t¶ nhãm b»ng mét hÖ sinh vµ çc quan hÖ cã mét nh−îc ®iÓm lµ rÊt khã x¸c ®Þnh cÊp cña nhãm ®−îc biÓu diÔn. §©y kh«ng ph¶i lµ khã kh¨n nhá v× çc nhµ logic kh¼ng ®Þnh r»ng kh«ng cã thuËt to¸n x¸c ®Þnh cÊp cña nhãm cho bëi mét biÓu diÔn. ThËm chÝ, kh«ng cã thuËt to¸n x¸c ®Þnh xem nhãm cho bëi biÓu diÔn (S, ∆) cã lµ nhãm tÇm th−êng hay kh«ng. MÆc dï bµi to¸n x¸c ®Þnh cÊp cña nhãm cho bëi mét biÓu diÔn lµ kh«ng gi¶i ®−îc, kÕt qu¶ d−íi ®©y gióp chóng ta tÝnh to¸n cÊp cña çc nhãm nµy trong mét sè tr−êng hîp ®Æc biÖt. 5.4.7. MÖnh ®Ò. Cho G = (S | ∆) lµ mét biÓu diÔn vµ L lµ nhãm sinh bëi S. NÕu L tho¶ m n çc quan hÖ cña ∆ th× tån t¹i mét toµn cÊu α : G −→ L. V× thÕ cÊp cña L kh«ng v−ît qu¸ cÊp cña G. Chøng minh. Gäi (F, f ) lµ nhãm tù do trªn S vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña F sinh bëi ∆. V× L sinh bëi çc phÇn tö cña S nªn cã ¸nh x¹ nhóng j : S −→ L. Theo ®Þnh nghÜa cña nhãm tù do, tån t¹i ®ång cÊu nhãm h : F −→ L sao cho j = hf. V× L sinh bëi S nªn L = (j(S)), trong ®ã (j(S)) lµ nhãm con cña L sinh bëi j(S). L¹i do Im h ⊇ hf (S) = j(S) nªn Im h = L. VËy h lµ toµn cÊu. V× L tho¶ m n çc quan hÖ cña ∆ nªn h(x) = e víi mäi x ∈ ∆. V× thÕ ∆ ⊆ Ker h. Do ®ã H ⊆ Ker h. V× vËy cã mét toµn cÊu α : G = F/H −→ F/ Ker h. Sö dông MÖnh ®Ò 5.4.7, chóng ta biÓu diÔn nhãm nhÞ diÖn D2n . 5.4.8. VÝ dô. Nhãm nhÞ diÖn D2n cã mét biÓu diÔn D2n = (x, y | xn = e, y 2 = e, xyxy = e). 101 Chøng minh. Gäi G lµ nhãm cã biÓu diÔn (x, y | xn = e, y 2 = e, xyxy = e). Theo ®Þnh nghÜa, nhãm nhÞ diÖn D2n (cña mét ®a gi¸c ®Òu n ®Ønh 1, 2, . . . , n) sinh bëi hai phÇn tö R, T, trong ®ã R lµ phÐp quay 3600 /n vµ T lµ phÐp ®èi xøng qua ®−êng th¼ng nèi t©m cña ®a gi¸c víi ®Ønh 1. Ta cã Rn = e, T 2 = e, vµ b»ng çch chia hai tr−êng hîp n ch½n vµ n lÎ, ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc RT RT = e. Theo MÖnh ®Ò 5.4.7 ta cã (G : e) ≥ (D2n : e) = 2n. Gäi F lµ nhãm tù do sinh bëi {x, y} vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G sinh bëi {xn , y 2 , xyxy}. Trong nhãm G = F/H, v× x−1 H = xn−1 H vµ y −1 H = yH nªn ta cã yxH = x−1 y −1 H = xn−1 yH. Do ®ã mçi phÇn tö cña G cã thÓ viÕt d−íi d¹ng xk y t H. V× xn H = e = y 2 H nªn mçi phÇn tö cña G cã d¹ng xi y j H víi i = 0, 1, . . . , n − 1 vµ j = 0, 1. Suy ra (G : e) 2n. Suy ra G = {eH, xH, x2 H, . . . , xn−1 H, yH, xyH, x2 yH, . . . , xn−1 yH} lµ nhãm cÊp 2n. Gäi α : G −→ L = D2n lµ toµn cÊu x¸c ®Þnh nh− trong chøng minh MÖnh ®Ò 5.4.7. V× cÊp cña G vµ D2n lµ nh− nhau nªn α lµ ®¼ng cÊu. VËy (x, y | xn = e, y 2 = e, xyxy = e) lµ mét biÓu diÔn cña D2n . D−íi ®©y, chóng ta dïng MÖnh ®Ò 5.4.7 ®Ó biÓu diÔn nhãm çc quaternion. 5.4.9. VÝ dô. Cho V = C2 lµ kh«ng gian vÐc t¬ phøc hai chiÒu. KÝ hiÖu GL(V ) lµ nhãm tuyÕn tÝnh tæng qu¸t, tøc lµ nhãm çc ma trËn phøc kh¶ nghÞch cÊp 2 víi phÐp nh©n çc ma trËn (xem VÝ dô 1.1.11). KÝ hiÖu Q lµ 0 i 0 1 nhãm con cña GL(V ) sinh bëi hai phÇn tö A = vµ B = . i 0 −1 0 102 Khi ®ã Q lµ nhãm cÊp 8 vµ nã cã biÓu diÔn (x, y | x4 = e, x2 = y 2 , yxy −1 = x3 ). Nhãm Q võa x©y dùng ®−îc gäi lµ nhãm quaternion. Chøng minh. B»ng tÝnh to¸n ta suy ra A cã cÊp 4, B 2 = A2 vµ BA = 1 0 A3 B. KÝ hiÖu I = lµ ma trËn ®¬n vÞ. Ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc 0 1 I, A, A2 , A3 , B, AB, A2 B, A3 B lµ 8 phÇn tö ph©n biÖt cña Q. V× BA = A3 B, A4 = I nªn mçi phÇn tö cña C ∈ G ®Òu viÕt ®−îc d−íi d¹ng Ai B j víi j ∈ Z vµ i = 0, 1, 2, 3. L¹i v× B 2 = A2 nªn C viÕt ®−îc d−íi d¹ng Ai B j víi j = 0, 1 vµ i = 0, 1, 2, 3. Do ®ã C lµ mét trong 8 phÇn tö trªn. VËy Q cã cÊp 8. Gäi G lµ nhãm cã biÓu diÔn (x, y | x4 = e, x2 = y 2 , yxy −1 = x3 ). V× A4 = I, A2 = B 2 vµ BA = A3 B nªn theo MÖnh ®Ò 5.4.7, cã mét toµn cÊu tõ G ®Õn Q. Gäi F lµ nhãm tù do sinh bëi {x, y} vµ H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña F sinh bëi {x4 , y 2 x−2 , yxy −1 x}. Trong nhãm G = F/H ta cã x4 H = eH, x2 H = y 2 H vµ yHxHy −1 H = x3 H. V× thÕ b»ng nh÷ng lËp luËn t−¬ng tù nh− trªn ta suy ra G = {eH, xH, x2 H, x3 H, yH, xyH, x2 yH, x3 yH}. VËy G ∼ = Q. 5.4.10. Bæ ®Ò. Cho G lµ nhãm vµ x, y ∈ G. Khi ®ã yxy −1 vµ x cã cïng cÊp. Chøng minh. XÐt ¸nh x¹ f : (x) −→ (yxy −1 ) cho bëi f(xn ) = (yxy −1 )n . Râ rµng f lµ toµn ¸nh. Ta cã (yxy −1 )n = (yxy −1 )(yxy −1 ) . . . (yxy −1 ) = yxn y −1 . 103 V× thÕ nÕu f (xn ) = f (xm ) th× yxn y −1 = yxm y −1 , do ®ã xn = xm . Suy ra f lµ ®¬n ¸nh, v× thÕ f lµ song ¸nh. VËy yxy −1 vµ x cã cïng cÊp. 5.4.11. HÖ qu¶. Cho G lµ nhãm cÊp 8 kh«ng giao ho¸n. Khi ®ã hoÆc G ®¼ng cÊu víi nhãm nhÞ diÖn D8 hoÆc G ®¼ng cÊu víi nhãm quaternion Q. V× thÕ mäi nhãm cÊp 8 kh«ng giao ho¸n hoÆc cã biÓu diÔn (x, y | x4 = e, y 2 = e, yxy −1 x−1 = e) hoÆc cã biÓu diÔn (x, y | x4 = e, y 2 = x2 , yxy −1 x−1 = e). Chøng minh. V× G kh«ng giao ho¸n nªn G kh«ng xyclic, do ®ã G kh«ng cã phÇn tö cÊp 8. NÕu x2 = e víi mäi x ∈ G th× G lµ nhãm giao ho¸n (xem Bµi tËp 9), m©u thuÉn. Do ®ã G cã phÇn tö x cÊp 4. Suy ra chØ sè cña nhãm con H = (x) lµ 2. Do ®ã H lµ nhãm con chuÈn t¾c (xem Bµi tËp 32). V× thÕ ta cã nhãm th−¬ng G/H cÊp 2. LÊy y ∈ G \ H. Khi ®ã eH = yH ∈ G/H. V× G/H cã cÊp 2 nªn yH cÊp 2, do ®ã y 2 ∈ H = (x). NÕu y 2 = x th× v× x cã cÊp 4 nªn y cã cÊp 8, v« lÝ. T−¬ng tù, nÕu y 2 = x3 th× y cã cÊp 8, v« lÝ. VËy y 2 = x2 hoÆc y 2 = 1. V× x cã cÊp 4 nªn theo Bæ ®Ò 5.4.10, yxy −1 cã cÊp 4. L¹i do (x) chuÈn t¾c nªn yxy −1 ∈ (x). V× thÕ yxy −1 = x hoÆc yxy −1 = x3 . NÕu yxy −1 = x, tøc lµ xy = yx th× nhãm con (x, y) cña G lµ giao ho¸n. V× y ∈ / (x) nªn (x, y) cã cÊp lín h¬n 4, do ®ã (x, y) cã cÊp 8 vµ v× thÕ G = (x, y) lµ nhãm giao ho¸n, m©u thuÉn. VËy chØ cã hai kh¶ n¨ng x¶y ra (a) G = (x, y), x4 = e, y 2 = 1, yxy −1 = x3 ; (b) G = (x, y), x4 = e, y 2 = x2 , yxy −1 = x3 . 104 NÕu (i) x¶y ra th× theo MÖnh ®Ò 5.4.7, cã mét toµn cÊu tõ nhãm (x, y | x4 = e, y 2 = e, yx = x3 y) ®Õn G. V× thÕ, theo VÝ dô 5.4.8, cã mét toµn cÊu tõ nhãm nhÞ diÖn D8 ®Õn G. V× G cã cÊp 8 nªn toµn cÊu nµy lµ ®¼ng cÊu. T−¬ng tù, nÕu (ii) x¶y ra th× theo MÖnh ®Ò 5.4.7 vµ VÝ dô 5.4.9 ta suy ra G ®¼ng cÊu víi nhãm quaternion Q. Bµi tËp 141. Cho F lµ nhãm tù do trªn tËp gåm 1 phÇn tö. Chøng minh r»ng F ∼ = Z. 142. Cho F lµ nhãm tù do trªn tËp S. T×m mét biÓu diÔn cña F. 143. Cho G lµ nhãm xyclic cÊp n. Chøng minh r»ng G cã biÓu diÔn (x | xn = e). 144. Chøng minh r»ng (x, y | x3 = e, y 2 = e, yx = x2 y) lµ mét biÓu diÔn cña nhãm ®èi xøng S3 . 145. Chøng minh r»ng (x, y | xyx = y, x2 = y 2 ) lµ mét biÓu diÔn cña nhãm quaternion. 146. Chøng minh r»ng (x, y | xy = yx) lµ mét biÓu diÔn cña nhãm Z × Z. 147. Gäi V lµ kh«ng gian vÐc t¬ thùc chiÒu 4 víi mét c¬ së {1, i, j, k}. §Þnh nghÜa phÐp nh©n i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj = −i, ik = −j (tõ 8 ph−¬ng tr×nh nµy, ta cã thÓ nh©n hai phÇn tö bÊt k× trong V , do ®ã V ®−îc trang bÞ phÐp to¸n nh©n). Chøng minh r»ng tËp {±1, ±i, ±j, ±k} 105 víi phÐp nh©n ®Þnh nghÜa nh− trªn lµm thµnh mét nhãm ®¼ng cÊu víi nhãm quaternion. (Ta gäi V lµ thÓ quaternion thùc). 148. Cho V = C2 lµ kh«ng gian vÐc t¬ phøc hai chiÒu. KÝ hiÖu GL(V ) lµ nhãm tuyÕn tÝnh tæng qu¸t (tøc lµ nhãm çc ma trËn phøc kh¶ nghÞch cÊp 2 víi phÐp nh©n çc ma trËn). KÝ hiÖu Qn lµ nhãm con cña GL(V ) sinh bëi 0 0 1 hai phÇn tö A = vµ , trong ®ã lµ c¨n nguyªn thuû bËc 0 −1 0 2n−1 cña ®¬n vÞ, n ≥ 3. Chøng minh r»ng Qn lµ mét nhãm cÊp 2n . Nhãm Qn ®−îc gäi lµ nhãm quaternion suy réng. n−1 149. Gi¶ sö G lµ nhãm cã cÊp 2n sinh bëi 2 phÇn tö x, y sao cho x2 = e, n−2 yxy −1 = x−1 vµ y 2 = x2 . Chøng minh r»ng G ∼ = Qn , trong ®ã Qn lµ nhãm quaternion suy réng ®Þnh nghÜa nh− trong Bµi tËp 138. n−2 150. Gi¶ sö G lµ nhãm cã cÊp 2n sinh bëi hai phÇn tö x, y sao cho x2 = y 2 = (xy)2 . Chøng minh r»ng G ®¼ng cÊu víi nhãm çc quaternion suy réng Qn . Ch−¬ng 6 Nhãm Aben 6.1 Ph©n tÝch nhãm thµnh tæng trùc tiÕp Tr−íc hÕt, ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm tæng trùc tiÕp (xem VÝ dô 1.1.12). 6.1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (Gi )i∈I lµ mét hä nhãm, ®Æt i∈I Gi = {(xi )i∈I : xi ∈ Gi , ∀i, chØ cã h÷u h¹n chØ sè i víi xi = ei }, (ei lµ ®¬n vÞ cña Gi ). Khi ®ã Gi lµ nhãm víi phÐp to¸n i∈I (xi )i∈I (yi )i∈I = (xi yi )i∈I , ∀(xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ Gi . i∈I Gi ®−îc gäi lµ tæng trùc tiÕp cña hä nhãm (Gi )i∈I . i∈I 6.1.2. Chó ý. Nhãm tæng trùc tiÕp Gi lµ mét nhãm con cña nhãm tÝch i∈I trùc tiÕp Gi . NÕu I lµ tËp h÷u h¹n th× i∈I {1, 2, . . . , n} ta cã i∈I Gi . V× thÕ khi I = Gi = i∈I i∈I Gi = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn = G1 × . . . × Gn . 106 107 NÕu H lµ nhãm vµ n ∈ N th× ta viÕt H n thay cho H ⊕ . . . ⊕ H. Víi mçi k ∈ I, kÝ hiÖu λk : Gk −→ Gi lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh bëi i∈I λk (x) = (yi )i∈I , trong ®ã yi = ei nÕu i = k vµ yk = x. Râ rµng λk lµ ®¬n cÊu nhãm víi mäi k ∈ I (ta gäi λk lµ ®¬n cÊu chÝnh t¾c). 6.1.3. MÖnh ®Ò. (TÝnh chÊt phæ dông cña tæng trùc tiÕp). Gi¶ sö (Gi )i∈I lµ mét hä nhãm vµ H lµ mét nhãm giao ho¸n. Gi¶ sö víi mçi k ∈ I, fk : Gk −→ H lµ mét ®ång cÊu nhãm. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt mét ®ång cÊu nhãm f : i∈I Gi −→ H sao cho fλk = fk víi mäi k ∈ I, trong ®ã λk : Gk −→ G lµ ®¬n cÊu chÝnh t¾c. Chøng minh. Cho a = (xi )i∈I ∈ Gi . Khi ®ã cã mét tËp con h÷u h¹n i∈I {i1 , . . . , it } cña I sao cho xi = ei víi mäi i ∈ / {i1 , . . . , it }. §Æt f(a) = t fij (xij ). V× H lµ nhãm giao ho¸n nªn ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc f lµ j=1 ®ång cÊu nhãm. Cho k ∈ I. Víi mçi x ∈ Gk ta cã f (λk (x)) = fk (x). V× thÕ f λk = fk . Gi¶ sö g : i∈I Gi −→ H còng lµ ®ång cÊu tho¶ m n gλk = fk víi mäi k ∈ I. Cho a = (xi )i∈I ∈ i∈ / {i1 , . . . , it }. Ta cã t g(a) = g t λ(xij ) = j=1 Gi , trong ®ã xi = ei víi mäi i∈I t gλij (xij ) = j=1 fij (xij ) = f(a). j=1 V× thÕ f = g. Gi¶ sö G lµ mét nhãm vµ H, K lµ çc nhãm con chuÈn t¾c cña G sao cho G = HK vµ H ∩ K = {e}. Khi ®ã ¸nh x¹ f : H ⊕ K −→ G cho bëi f (x, y) = xy lµ mét ®¼ng cÊu nhãm, tøc lµ A ∼ K (xem Bµi tËp 47). =H Trong tr−êng hîp nµy ta nãi G ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña H 108 vµ K. Chó ý r»ng nhãm con cña G sinh bëi H ∪ K lµ HK. V× thÕ ta cã thÓ më réng kh¸i niÖm nµy cho mét hä nhãm con tuú ý nh− sau: 6.1.4. §Þnh nghÜa. Cho (Gi )i∈I lµ mét hä nhãm con cña nhãm G. Ta nãi r»ng G ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña hä (Gi )i∈I nÕu nã tho¶ m n çc ®iÒu kiÖn (i) Mçi Gi lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. (ii) G sinh bëi tËp Gi . i∈I (iii) Gi ∩ Li = {e} víi mäi i ∈ I, trong ®ã Li lµ nhãm con cña G sinh bëi tËp Gk . k∈I,k=i 6.1.5. §Þnh lý. Nhãm G ®−îc ph©n tÝch thµnh tæng trùc tiÕp cña hä nhãm con (Gi )i∈I nÕu vµ chØ nÕu hai ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ m n (a) xi xj = xj xi víi mäi i = j, xi ∈ Gi , xj ∈ Gj . (b) Mçi phÇn tö x ∈ G ®Òu viÕt ®−îc mét çch duy nhÊt (kh«ng kÓ ®Õn thø tù) d−íi d¹ng tÝch h÷u h¹n x = xi1 xi2 . . . xin , trong ®ã xik ∈ Gik víi mäi k = 1, . . . , n. Chøng minh. Gi¶ sö G ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña hä nhãm con (Gi )i∈I . Cho xi ∈ Gi , xj ∈ Gj , trong ®ã i, j ∈ I, i = j. Do Gi , Gj lµ −1 çc nhãm con chuÈn t¾c cña G nªn xj x−1 ∈ Xi vµ xi xj x−1 ∈ Xj . V× i xj i thÕ −1 −1 −1 xi xj (xj xi )−1 = xi (xj x−1 i xj ) = (xi xj xi )xj ∈ Xi ∩ Xj = {e}. Suy ra xi xj = xj xi , tøc lµ ®iÒu kiÖn (a) tho¶ m n. Cho x ∈ G. Do G sinh bëi Gi nªn x lµ tÝch cña h÷u h¹n phÇn tö trong i∈I Gi . Tõ tÝnh chÊt (a), i∈I ta cã thÓ ®æi chç mét sè nh©n tö cña x ®Ó cã biÓu diÔn x = xi1 xi2 . . . xin , 109 trong ®ã xik ∈ Gik víi k = 1, . . . , n. Gi¶ sö x = yi1 yi2 . . . yit lµ mét biÓu diÔn thø hai cña x. B»ng viÖc thªm vµo çc nh©n tö e vµ sö dông tÝnh chÊt (a) ®Ó ®æi chç çc nh©n tö, ta cã thÓ gi¶ thiÕt t = n vµ xik , yik ∈ Gik víi mäi k = 1, . . . , n. Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n r»ng xik = yik víi mäi k = 1, 2, . . . , n. Tr−êng hîp n = 1 lµ hiÓn nhiªn. Cho n ≥ 2. Nh©n vµo bªn tr¸i vµ bªn ph¶i ®¼ng thøc x = xi1 xi2 . . . xin = yi1 yi2 . . . yin lÇn l−ît −1 víi x−1 ta ®−îc i1 vµ (yi2 . . . yin ) xi2 . . . xin (yi2 . . . yin )−1 = x−1 i1 yi1 ∈ Gi1 ∩ Li1 = {e}, trong ®ã Li1 lµ nhãm con cña G sinh bëi tËp Gi . Suy ra xi1 = yi1 vµ i=i1 xi2 . . . xin = yi2 . . . yin . Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã xik = yik víi mäi k = 1, . . . , n. V× thÕ ®iÒu kiÖn (b) tho¶ m n. Ng−îc l¹i, gi¶ sö çc ®iÒu kiÖn (a), (b) tho¶ m n. Tõ tÝnh chÊt (b) ta suy ra G sinh bëi tËp i∈I Gi . Víi mçi i ∈ I, gi¶ sö xi ∈ Gi vµ x ∈ G. Khi ®ã x = xi1 . . . xin , trong ®ã xik ∈ Gik víi mäi k = 1, . . . , n. Theo (a) ta cã xi1 . . . xin xi (xi1 . . . xin )−1 = xi1 . . . xin−1 xi xin (xi1 . . . xin )−1 = ··· = xi (xi1 . . . xin )(xi1 . . . xin )−1 = xi ∈ Gi V× thÕ xxi x−1 ∈ Gi . Do ®ã Gi lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. Cuèi cïng, víi mçi i ∈ I, gi¶ sö xi ∈ Gi ∩ Li , trong ®ã Li lµ nhãm con cña G sinh bëi k=i,k∈I Gk . V× xi ∈ Li nªn xi cã biÓu diÔn xk1 . . . xkn , trong ®ã kj ∈ I, kj = i víi mäi i = 1, . . . , n. Do ®ã xi cã hai sù ph©n tÝch xi = xi ek1 . . . ekn = ei xk1 . . . xkn , trong ®ã ei = ek1 = . . . = ekn = e. Tõ tÝnh chÊt ph©n tÝch duy nhÊt ta xi = e. VËy Gi ∩ Li = {e}. 110 6.1.6. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö G ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña hä nhãm con (Gi )i∈I . Khi ®ã G ∼ = Gi . i∈I Chøng minh. Chó ý r»ng mçi phÇn tö x cña G cã duy nhÊt mét sù ph©n tÝch x = xi1 . . . xin , trong ®ã xik ∈ Gik víi k = 1, . . . , n. V× thÕ t−¬ng øng f : G −→ Gi cho bëi f (xi1 . . . xin ) = (xi )i∈I víi i∈I xi = xik ei nÕu i = ik , k = 1, . . . , n nÕu i ∈ / {i1 , . . . , in } lµ ®¬n ¸nh. Do xi xj = xj xi víi mäi xi ∈ Gi , xj ∈ Gj , i = j nªn ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc f lµ ®ång cÊu nhãm. Cuèi cïng, cho y = (xi )i∈I ∈ Gi . i∈I Khi ®ã chØ cã h÷u h¹n chØ sè ik k = 1, . . . n sao cho xik = eik . V× thÕ y cã t¹o ¶nh lµ xi1 . . . xin ∈ G. VËy f lµ ®¼ng cÊu. Trong tr−êng hîp nhãm G ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña hä nhãm con (Gi )i∈I , MÖnh ®Ò 6.1.6 cho phÐp chóng ta viÕt G = Gi . i∈I B©y giê ta quan t©m ®Õn kh¸i niÖm nhãm Abel kh«ng ph©n tÝch ®−îc. 6.1.7. §Þnh nghÜa. Mét nhãm Abel G ®−îc gäi lµ kh«ng ph©n tÝch ®−îc nÕu nã kh«ng ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña hai nhãm con thùc sù. Sau ®©y lµ ®Æc tr−ng cho çc nhãm xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. 6.1.8. §Þnh lý. Cho G = {e} lµ nhãm xyclic. Khi ®ã G lµ nhãm kh«ng ph©n tÝch ®−îc nÕu vµ chØ nÕu hoÆc G ∼ = Z hoÆc G ∼ = Zpk víi p lµ mét sè nguyªn tè vµ k > 0 lµ mét sè nguyªn. 111 Chøng minh. Cho G = (a) lµ nhãm xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. NÕu G cã cÊp v« h¹n th× G ∼ = Z. Gi¶ sö G cã cÊp n, trong ®ã n kh«ng cã d¹ng pk víi p lµ sè nguyªn tè vµ k > 0 lµ sè nguyªn. Khi ®ã n = hk, trong ®ã k vµ h nguyªn tè cïng nhau vµ h, k < n. Gäi A, B lµ çc nhãm con cña G lÇn l−ît sinh bëi ak vµ ah . Khi ®ã A cã cÊp h vµ B cã cÊp k. V× thÕ A, B lµ çc nhãm con thùc sù cña G. NÕu x ∈ A ∩ B th× x = akr = ahs . Suy ra akr−hs = e. V× thÕ kr − hs lµ béi cña n = hk. Suy ra kr lµ béi cña h. Do k, h nguyªn tè cïng nhau nªn r lµ béi cña h vµ do ®ã x = akr = e. Suy ra A ∩ B = {e}. Gäi L lµ nhãm con sinh bëi A ∪ B. V× h, k nguyªn tè cïng nhau nªn tån t¹i r, s ∈ Z sao cho hs + kr = 1. Suy ra a = (ak )r (ah )s ∈ L. Do ®ã G = L. V× thÕ G ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña hai nhãm con thùc sù A vµ B, ®iÒu nµy lµ v« lÝ. Ng−îc l¹i, cho G ∼ = Z. Gi¶ sö A vµ B lµ hai nhãm con thùc sù cña G. Khi ®ã tån t¹i e = as ∈ A vµ e = ar ∈ B. V× G cÊp v« h¹n vµ rs = 0 nªn e = ars ∈ A ∩ B. V× thÕ G kh«ng ph©n tÝch ®−îc. Cho G ∼ = Zpk , víi p lµ nguyªn tè vµ k > 0 lµ sè nguyªn. Gi¶ sö A, B = {e} lµ hai nhãm con cña G víi A = (ar ), B = (as ). ViÕt r = r1 pu , s = s1 pv , trong ®ã r1 , s1 kh«ng lµ béi cña p. V× ar , as = e nªn u, v < k. Chon t = max{u, v}. V× t r1 s1 pt kh«ng lµ béi cña pk nªn e = ar1 s1 p ∈ A ∩ B. VËy G kh«ng ph©n tÝch ®−îc. Cuèi cïng, chóng ta ®−a ra mét tiªu chuÈn ph©n tÝch thµnh tæng trùc tiÕp cña mét nhãm. 6.1.9. MÖnh ®Ò. NÕu f : H −→ G vµ g : G −→ K lµ çc ®ång cÊu nhãm sao cho gf lµ ®¼ng cÊu th× G = Im f ⊕ Ker g. Chøng minh. Cho y ∈ G. V× gf lµ to¸n cÊu nªn tån t¹i x ∈ H sao cho 112 gf (x) = g(y). Suy ra g(f(x) − y) = 0, tøc lµ f(x) − y = a ∈ Ker g. Suy ra y = f (x) − a ∈ Im f + Ker g. Gi¶ sö y ∈ Im f ∩ Ker g. Khi ®ã g(y) = 0 vµ tån t¹i x ∈ H sao cho y = f(x). Do ®ã g(y) = gf (x) = 0. Do gf lµ ®¬n cÊu nªn x = 0, suy ra y = f (x) = 0. V× thÕ Im f ∩ Ker g = 0. VËy G = Im f ⊕ Ker g. 6.2 Nhãm Abel tù do Tõ môc nµy cho ®Õn hÕt ch−¬ng chóng ta chñ yÕu nghiªn cøu çc nhãm Abel. Theo truyÒn thèng, phÐp to¸n cña çc nhãm Abel ®−îc kÝ hiÖu theo lèi céng. V× thÕ, chóng ta sÏ chuyÓn mét sè kÝ hiÖu sau: phÐp nh©n ®æi thµnh phÐp céng, phÇn tö ®¬n vÞ e ®æi thµnh phÇn tö kh«ng 0, phÇn tö nghÞch ®¶o x−1 ®æi thµnh phÇn tö ®æi xøng −x. 6.2.1. §Þnh nghÜa. Cho S = ∅ lµ mét tËp hîp. Nhãm Abel tù do trªn S hay nhãm Abel tù do víi c¬ së S lµ mét cÆp (A, f ) trong ®ã F lµ nhãm Abel, f : S −→ A lµ mét ¸nh x¹ sao cho víi mäi nhãm Abel G vµ mäi ¸nh x¹ g : S −→ G, tån t¹i duy nhÊt mét ®ång cÊu h : A −→ G tho¶ m n g = hf. 6.2.2. VÝ dô. Cho S = {a} lµ tËp gåm ®óng 1 phÇn tö. Khi ®ã nhãm céng Z cïng víi ¸nh x¹ f : S −→ Z cho bëi f (a) = 1 lµ nhãm Abel tù do trªn S. ThËt vËy, víi mäi nhãm Abel G vµ mäi ¸nh x¹ g : S −→ G, tån t¹i ¸nh x¹ h : Z −→ G cho bëi h(n) = ng(a), ∀n ∈ Z, lµ ®ång cÊu nhãm tho¶ m n g = hf. Nh− vËy, trong tr−êng hîp S gåm 1 phÇn tö, nhãm tù do trªn S vµ nhãm Abel tù do trªn S ®¼ng cÊu víi nhau vµ ®Òu ®¼ng cÊu víi Z. 6.2.3. §Þnh lý. Víi mçi tËp hîp S, tån t¹i nhãm tù do trªn S. 113 Chøng minh. §Æt Hs = Z víi mäi s ∈ S, vµ A = Hs lµ tæng trùc tiÕp s∈S cña mét hä nh÷ng copy cña nhãm Z. Ta chøng minh A lµ nhãm Abel tù do trªn S. V× çc nhãm Hs lµ Abel víi mäi s ∈ S nªn A lµ nhãm Abel. KÝ hiÖu f : S −→ A lµ ¸nh x¹ cho bëi f(r) = (ns )s∈S , trong ®ã ns = 0 1 nÕu s = r nÕu s = r. Gi¶ sö g : S −→ G lµ mét ¸nh x¹, trong ®ã G lµ mét nhãm giao ho¸n. Víi mçi (ns )s∈S ∈ A, chØ cã h÷u h¹n chØ sè s sao cho ns = 0. V× thÕ t−¬ng øng h : A −→ G cho bëi h (ns )s∈S = ns g(s) s∈S,ns =0 lµ mét ¸nh x¹ vµ lµ ®ång cÊu nhãm tho¶ m n g = hf . ViÖc chøng minh tÝnh chÊt d−íi ®©y lµ hoµn toµn t−¬ng tù nh− ®èi víi nhãm tù do, v× thÕ chóng ®−îc xem nh− bµi tËp. 6.2.4. MÖnh ®Ò. Cho (A, f ) lµ nhãm Abel tù do trªn mét tËp S. Khi ®ã f lµ ®¬n ¸nh vµ f (S) lµ mét hÖ sinh cña A. 6.2.5. Chó ý. Gi¶ sö A lµ nhãm Abel tù do trªn mét tËp hîp S. Theo chøng minh §Þnh lÝ 6.2.3, A = Hs , trong ®ã Hs ∼ = Z víi mäi s ∈ S. V× thÕ, s∈S theo §Þnh lÝ 6.2.10 vµ MÖnh ®Ò 6.1.6, mçi phÇn tö x ∈ A ®−îc viÕt mét çch duy nhÊt d−íi d¹ng x = n1 s1 + n2 s2 + . . . + nk sk , trong ®ã k ∈ N, n1 , . . . , nk ∈ Z, s1 , . . . , sk ∈ S, si = sj víi mäi i = j. Cho x, y ∈ A. B»ng çch cho thªm çc h¹ng tö cã d¹ng 0 = 0si vµo trong çc 114 biÓu diÔn cña x vµ y nÕu cÇn thiÕt, ta cã thÓ viÕt x = n1 s1 +n2 s2 +. . .+nk sk , vµ y = m1 s1 + m2 s2 + . . . + mk sk , trong ®ã mi , ni ∈ Z vµ s1 , . . . , sk ∈ S. Khi ®ã x + y = (n1 + m1 )s1 + (n2 + m2 )s2 + . . . + (nk + mk )sk . Nh− vËy, nhãm Abel tù do trªn S lµ nhãm mµ çc phÇn tö cña nã ®−îc thiÕt lËp tõ çc phÇn tö cña S kh«ng bÞ rµng buéc bÊt cø quan hÖ nµo trõ çc tiªn ®Ò vÒ nhãm vµ tÝnh giao ho¸n cña nhãm. H¬n n÷a, nÕu (F, f ) lµ nhãm tù do trªn S vµ (G, g) lµ nhãm Abel tù do trªn S th× F ∼ = G khi vµ chØ khi S cã ®óng 1 phÇn tö. KÕt qu¶ sau ®©y cho ta ý nghÜa cña nhãm Abel tù do ®èi víi çc nhãm Abel (Bµi tËp 142). 6.2.6. MÖnh ®Ò. Mäi nhãm giao ho¸n ®Òu lµ nhãm th−¬ng cña mét nhãm nhãm Abel tù do. 6.2.7. §Þnh lý. (TÝnh chÊt x¹ ¶nh cña nhãm Abel tù do). Cho A lµ nhãm Abel tù do trªn S. Khi ®ã víi mäi nhãm giao ho¸n G, mäi toµn cÊu nhãm α : G −→ H, vµ mäi ®ång cÊu nhãm β : A −→ H, tån t¹i mét ®ång cÊu nhãm γ : A −→ G sao cho β = αγ. Chøng minh. §Þnh nghÜa ¸nh x¹ g : S −→ G nh− sau. Cho s ∈ S. Do α lµ toµn cÊu ta cã thÓ chän ®−îc 1 phÇn tö cè ®Þnh bs ∈ G sao cho α(bs ) = β(s). §Æt g(s) = bs . V× A lµ nhãm Abel tù do vµ G giao ho¸n nªn tån t¹i duy nhÊt ®ång cÊu γ : A −→ G sao cho γ(s) = g(s) = bs . Cho x = i=1,... ,k ni si ∈ A 115 víi ni ∈ Z, si ∈ S. Do α, β, γ lµ nh÷ng ®ång cÊu nhãm nªn ta cã k αγ(x) = αγ( k ni si ) = i=1 k = k ni αγ(si ) = i=1 k ni β(si ) = β i=1 ni α(bsi ) i=1 ni si = β(x). i=1 6.2.8. HÖ qu¶. Cho G lµ nhãm giao ho¸n vµ H lµ nhãm con cña G. NÕu G/H lµ nhãm Abel tù do th× tån t¹i nhãm con K cña G sao cho G = H ⊕K vµ K ∼ = G/H. Chøng minh. XÐt toµn cÇu chÝnh t¾c p : G −→ G/H. Theo tÝnh chÊt x¹ ¶nh cña nhãm Abel tù do G/H, víi ®ång cÊu Id : G/H −→ G/H, tån t¹i ®ång cÊu h : G/H −→ G sao cho ph = Id. V× thÕ ph : G/H −→ G −→ G/H lµ ®¼ng cÊu. Theo MÖnh ®Ò 6.1.9, G = Im h ⊕ Ker p. Do ph = Id, ta suy ra h lµ ®¬n cÊu. Do ®ã G/H ∼ = Im h. Râ rµng Ker p = H. V× thÕ G = H ⊕ K víi K = Im h ∼ = G/H. PhÇn tiÕp theo ta sÏ chøng minh r»ng nÕu S vµ E lµ hai tËp hîp cïng lùc l−îng th× çc nhãm Abel tù do trªn S vµ trªn E lµ tån t¹i vµ ®¼ng cÊu víi nhau. §Æc biÖt, nhãm Abel tù do trªn mét tËp S lµ tån t¹i vµ x¸c ®Þnh duy nhÊt (sai kh¸c mét ®¼ng cÊu). Tõ ®ã ta ®i ®Õn kh¸i niÖm h¹ng cña nhãm Abel tù do. Tr−íc hÕt ta cÇn nh¾c l¹i mét chót kiÕn thøc vÒ ®¹i sè tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö K lµ mét tr−êng (tøc lµ K ®−îc trang bÞ hai phÐp to¸n céng vµ nh©n sao cho K cïng víi phÐp céng lµ mét nhãm giao ho¸n víi phÇn tö kh«ng ®−îc kÝ hiÖu lµ 0; K cïng víi phÐp nh©n lµ mét vÞ nhãm giao ho¸n víi phÇn tö ®¬n 116 vÞ ®−îc kÝ hiÖu lµ 1; phÐp nh©n ph©n phèi hai phÝa víi phÐp céng; 0 = 1; vµ mäi phÇn tö kh¸c 0 ®Òu kh¶ nghÞch). Mét tËp V cïng víi phÐp to¸n céng ®−îc gäi lµ mét K−kh«ng gian vÐc t¬ nÕu cã ¸nh x¹ K × V −→ V tho¶ m n 04 tÝnh chÊt sau: (i) K lµ nhãm giao ho¸n víi phÐp céng. (ii) TÝnh chÊt kÕt hîp: (ab)x = a(bx) víi mäi a, b ∈ K vµ mäi x ∈ V. (iii) TÝnh chÊt ph©n phèi: a(x + y) = ax + ay; (a + b)x = ax + bx víi mäi a, b ∈ K, x, y ∈ V. (iv) TÝnh chÊt unita: 1x = x víi mäi x ∈ V. Mét tËp con E cña V ®−îc gäi lµ mét c¬ së cña K−kh«ng gian vÐc t¬ V nÕu mçi phÇn tö x ∈ V ®−îc viÕt mét çch duy nhÊt d−íi d¹ng x = a1 e1 + . . . + ak ek , trong ®ã a1 , . . . , ak ∈ K, e1 , . . . , ek ∈ E, vµ ei = ej víi mäi i = j. KÕt qu¶ sau ®©y ® rÊt quen biÕt trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh. 6.2.9. Bæ ®Ò. Cho V lµ mét K−kh«ng gian vÐc t¬. Gi¶ sö E vµ E lµ hai c¬ së cña V. Khi ®ã Card(E) = Card(E ). 6.2.10. §Þnh lý. Cho (A, f ) lµ nhãm Abel tù do trªn tËp S vµ (B, g) lµ nhãm Abel tù do trªn tËp E. Khi ®ã A ∼ = B nÕu vµ chØ nÕu Card(S) = Card(E). V× thÕ, nhãm Abel tù do trªn mét tËp S lµ tån t¹i duy nhÊt (sai kh¸c mét ®¼ng cÊu). Chøng minh. Gi¶ sö Card(S) = Card(E). Khi ®ã cã mét song ¸nh ϕ : S −→ E. V× (A, f) lµ nhãm Abel tù do vµ B lµ nhãm giao ho¸n nªn víi ¸nh x¹ gϕ : S −→ B, tån t¹i duy nhÊt ®ång cÊu h : A −→ B sao cho 117 gϕ = hf. T−¬ng tù, tån t¹i ®ång cÊu k : B −→ A sao cho f ϕ−1 = kg. Do ®ã g = (gϕ)ϕ−1 = hf ϕ−1 = h(kg) = (hk)g. Râ rµng g = 1B g. V× thÕ víi ¸nh x¹ g : E −→ B, tån t¹i hai ®ång cÊu nhãm 1B , hk : B −→ B ®Ó g = (hk)g = 1B g. Theo ®Þnh nghÜa cña nhãm tù do, hk = 1B . V× thÕ k lµ ®¬n cÊu. T−¬ng tù ta cã kh = 1A , suy ra k lµ toµn cÊu. Do ®ã k lµ ®¼ng cÊu, tøc lµ A ∼ = B. Ng−îc l¹i, gi¶ sö A ∼ = B. §Æt 3A = {3a : a ∈ A}. Khi ®ã 3A lµ mét nhãm con chuÈn t¾c cña V3 , do ®ã ta cã nhãm th−¬ng V3 = A/3A. Chó ý r»ng Z3 lµ mét tr−êng vµ quy t¾c nh©n v« h−íng n(a + 3A) = na + 3A tõ Z3 vµo V3 kh«ng phô thuéc vµo çch chän ®¹i diÖn cña çc phÇn tö, tøc lµ nÕu n − n ∈ Z3 vµ a + 3A = a + 3A ∈ V3 th× na + 3A = n a + 3A. V× thÕ V3 lµ Z3 −kh«ng gian vÐc t¬. B©y giê ta kh¼ng ®Þnh S = {s + 3A : s ∈ S} lµ mét c¬ së cña V3 . ThËt vËy, cho x+3A ∈ V3 , trong ®ã x = n1 s1 +. . .+nk sk . Tõ ®Þnh nghÜa tÝch v« h−íng cña V3 ta cã x + 3A = ni (si + 3A). Ta i=1,... ,k chøng minh biÓu diÔn nµy lµ duy nhÊt. Gi¶ sö x + 3A = mi (si + 3A) = i=1,... ,k ni (si + 3A) i=1,... ,k lµ hai çch biÓu diÔn cña x + 3A. B»ng çch cho thªm çc h¹ng tö cã d¹ng 0si (nÕu cÇn) vµo çc biÓu diÔn trªn cña x + 3A, ta cã thÓ gi¶ thiÕt k = k . Suy ra 0 + 3A = i=1,... ,k Do ®ã i=1,... ,k (mi − ni )si + 3A = (mi − ni )si = 3x = i=1,... ,k (mi − ni )si + 3A. (3pi )si , víi x = i=1,... ,t pi si nµo ®ã i=1,... ,t trong A. B»ng çch cho thªm çc h¹ng tö cã d¹ng 0si (nÕu cÇn), ta cã thÓ gi¶ 118 thiÕt k = t, suy ra mi − ni = 3pi víi mäi i = 1, . . . , k. V× thÕ mi = ni ∈ Z3 víi mäi i. Suy ra S lµ c¬ së cña V3 . VËy dimZ3 (A/3A) = Card(S) = Card(S). B»ng çch t−¬ng tù, ta cã dimZ3 (A/3A) = Card(E). Tõ §Þnh lÝ 6.2.10, ta thÊy r»ng nÕu A lµ nhãm Abel tù do víi c¬ së S th× nã còng lµ nhãm Abel tù do víi c¬ së lµ mét tËp tuú ý cã cïng lùc l−îng víi S. §iÒu nµy dÉn ®Õn ®Þnh nghÜa sau ®©y. 6.2.11. §Þnh nghÜa. H¹ng cña mét nhãm Abel tù do A, kÝ hiÖu lµ rank A, lµ lùc l−îng cña mét c¬ së cña nã. 6.2.12. Chó ý. Gi¶ sö A vµ B lµ çc nhãm Abel tù do. Ta cã thÓ chän ®−îc mét c¬ së S cña A vµ mét c¬ së E cña B sao cho S ∩ E = ∅. Khi ®ã A ⊕ B còng lµ nhãm Abel tù do víi c¬ së S ∪ E. Do ®ã rank(A ⊕ B) = rank(A) + rank(B). 6.2.13. §Þnh lý. Mçi nhãm con H cña mét nhãm Abel tù do G h¹ng n lµ Abel tù do. H¬n n÷a, rank(H) n. Chøng minh. ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n. NÕu n = 1 th× A ∼ = Z. Do ®ã nÕu H lµ nhãm con cña A th× tån t¹i m ∈ Z ®Ó H ∼ = mZ. Suy ra H = 0 hoÆc H ∼ = Z lµ nhãm Abel tù do h¹ng tèi ®a lµ 1. Cho n > 1 vµ gi¶ thiÕt ®Þnh lÝ ®óng cho n−1. Gi¶ sö S = {s1 , . . . , sn } lµ c¬ së cña A. Cho H lµ nhãm con cña A. §Æt S = S \ {sn }. Gäi A lµ nhãm Abel tù do víi c¬ së S . Khi ®ã H = H ∩ A lµ nhãm con cña A . Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, H lµ nhãm Abel tù do víi rank(H ) n − 1. V× A ∼ = Zn vµ A ∼ = Z. Do H/H = H/(H ∩ A ) ∼ = (H + A )/A = Zn−1 nªn A/A ∼ nªn H/H ®¼ng cÊó víi mét nhãm con cña Z. Suy ra H /H = 0 ho¨ch 119 H/H ∼ = Z. NÕu H/H = 0 th× H = H vµ do ®ã nã lµ nhãm Abel tù do h¹ng tèi ®a lµ n − 1. Gi¶ sö H/H ∼ = Z. Khi ®ã H/H lµ nhãm Abel tù do. Theo HÖ qu¶ 6.2.8, H = H ⊕ Z lµ nhãm Abel tù do h¹ng tèi ®a lµ n. §Þnh lÝ 6.2.13 vÉn ®óng cho tr−êng hîp h¹ng v« h¹n (Bµi tËp 148). Bµi tËp 151. Cho (F, f ) lµ nhãm Abel tù do trªn mét tËp S. Chøng minh r»ng f lµ ®¬n ¸nh vµ f (S) lµ mét hÖ sinh cña F. 152. Chøng minh r»ng mäi nhãm giao ho¸n ®Òu lµ nhãm th−¬ng cña mét nhãm Abel tù do; mäi nhãm giao ho¸n h÷u h¹n sinh lµ th−¬ng cña mét nhãm Abel tù do h¹ng h÷u h¹n. 153. (Trong bµi tËp nµy phÐp to¸n cña nhãm tù do ®−îc kÝ hiÖu theo lèi nh©n). Cho S lµ mét tËp hîp. Gäi F vµ A lÇn l−ît lµ nhãm tù do vµ nhãm Abel tù do trªn tËp S. Gäi H lµ nhãm con chuÈn t¾c cña F sinh bëi çc phÇn tö xyx−1 y −1 víi x, y ∈ S. Chøng minh r»ng A ∼ = F/H. V× thÕ (S, ∆), trong ®ã ∆ = {xyx−1 y −1 , x, y ∈ S}), lµ mét biÓu diÔn cña A. 154∗ . Cho F vµ F lÇn l−ît lµ nhãm tù do trªn S vµ S . Chøng minh r»ng F ∼ = F nÕu vµ chØ nÕu Card(S) = Card(S ). 155∗ . Cho A lµ nhãm giao ho¸n. Chøng minh r»ng A lµ nhãm Abel tù do nÕu vµ chØ nÕu A cã tÝnh chÊt x¹ ¶nh. 156. Cho A lµ nhãm Abel tù do h¹ng n vµ H lµ nhãm con cña A cã h¹ng nhá h¬n n. Chøng minh r»ng tån t¹i mét phÇn tö cã cÊp v« h¹n trong nhãm th−¬ng A/H. 120 157. Chøng minh r»ng nhãm con cña nhãm Abel h÷u h¹n sinh lµ h÷u h¹n sinh. 158∗ . Chøng minh r»ng nÕu H lµ nhãm con cña mét nhãm Abel tù do A th× H lµ nhãm Abel tù do vµ rank(H) rank(A). 159. Cho G lµ nhãm Abel h÷u h¹n sinh. Gi¶ sö mäi phÇn tö kh¸c e cña G ®Òu cã cÊp v« h¹n. Chøng minh r»ng G ®¼ng cÊu víi tæng trùc tiÕp cña h÷u h¹n çc copy cña Z, do ®ã G lµ nhãm Abel tù do. 160∗ . Chøng minh r»ng nhãm nh©n çc sè h÷u tû d−¬ng lµ nhãm Abel tù do h¹ng v« h¹n. 6.3 Nhãm Abel h÷u h¹n - §Þnh lÝ c¬ së 6.3.1. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm Abel cÊp h÷u h¹n. Ta nãi G lµ nguyªn s¬ nÕu G lµ mét p−nhãm Abel víi p lµ sè nguyªn tè. Khi ®ã ta còng nãi G lµ p−nhãm nguyªn s¬. KÕt qu¶ sau ®©y ®−îc cho lµ thuéc vÒ Gauss. 6.3.2. §Þnh lý. (Ph©n tÝch nguyªn s¬). Mçi nhãm Abel cÊp h÷u h¹n G lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con nguyªn s¬. Chøng minh. Gi¶ sö G = (x1 , . . . , xn ). Chó ý r»ng mçi xi ®Òu cã cÊp h÷u h¹n. Gäi n lµ béi chung nhá nhÊt cña çc cÊp cña çc phÇn tö xi . Khi ®ã na = 0 víi mäi a ∈ G. Víi mçi −íc nguyªn tè p cña n, ®Æt Gp = {a ∈ G : ∃r ∈ N ®Ó pr a = 0} Ta kiÓm tra Gp lµ nhãm con cña G. Râ rµng 0 ∈ Gp . Cho a, b ∈ Gp . Khi ®è tån t¹i r, s ∈ N sao cho pr a = ps b = 0. Khi ®ã pr+s (a − b) = 0, tøc lµ 121 a − b ∈ Gp . VËy Gp lµ nhãm con cña G. V× mçi phÇn tö cña Gp ®Òu cã cÊp lµ luü thõa cña p nªn Gp lµ p−nhãm con nguyªn s¬ cña G. B©y giê ta chøng minh G = Gp trong ®ã tæng ch¹y trªn çc −íc nguyªn tè p cña n. p Cho p lµ −íc nguyªn tè cña n. Gi¶ sö a ∈ Gp ∩ Gq . Khi ®ã a = q=p aq q=p víi aq ∈ Gq . Chän rq ∈ N sao cho q rq aq = 0. Do a ∈ Gp nªn tån t¹i s ∈ N sao cho ps a = 0. V× ps vµ u, v ∈ Z sao cho ups +v( Gp ∩ q=p q rq lµ nguyªn tè cïng nhau nªn tån t¹i qrq ) = 1. Suy ra a = ups a+v( qrq )a = 0. VËy Gq = {0}. ViÕt n = pr11 . . . prt t lµ sù ph©n tÝch tiªu chuÈn cña n thµnh tÝch çc thõa sè nguyªn tè. §Æt ni = n/pri víi i = 1, . . . , t. Khi ®ã çc sè n1 , . . . , nt lµ nguyªn tè cïng nhau. V× thÕ tån t¹i çc sè nguyªn s1 , . . . , st t sao cho t i=1 si ni = 1. Víi mçi a ∈ G, ta cã a = 1a = si (ni a). Chó ý i=1 t r»ng si (ni a) ∈ Gpi v× pri i si ni a = si (na) = 0. V× thÕ G = lµ tæng trùc tiÕp cña çc nhãm con Gpi . Gpi . VËy G i=1 6.3.3. §Þnh nghÜa. Çc nhãm Gp trong chøng minh §Þnh lÝ 6.3.2 ®−îc gäi lµ çc thµnh phÇn p−nguyªn s¬ cña G. 6.3.4. §Þnh lý. (§Þnh lÝ c¬ së). NÕu G lµ nhãm Abel cÊp h÷u h¹n th× G ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic. Chøng minh. (E. Schenkman). Gäi n lµ sè nguyªn d−¬ng nhá nhÊt sao cho G cã mét hÖ sinh gåm n phÇn tö. Ta chøng minh ®Þnh lÝ b»ng quy n¹p theo n. NÕu n = 1 th× G lµ xyclic nªn kh«ng cã g× ph¶i chøng minh. Cho n > 1. Trong nh÷ng hÖ sinh gåm n phÇn tö cña G, chän x1 lµ phÇn tö cã cÊp k bÐ nhÊt, tøc lµ cã çc phÇn tö x2 , . . . , xn ∈ G sao cho x1 , . . . , xn lµ mét hÖ sinh 122 cña G vµ nÕu y1 , . . . , yn lµ mét hÖ sinh cña G th× k kh«ng lín h¬n cÊp cña yi víi mäi i. §Æt H = (x2 , . . . , xn ). Khi ®ã H lµ nhãm Abel h÷u h¹n sinh bëi Ýt h¬n n phÇn tö. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, H lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic. Do ®ã ta chØ cÇn chøng minh G = (x1 ) ⊕ H. Râ rµng G = (x1 )+H. Gi¶ sö 0 = z ∈ (x1 )∩H. Khi ®ã z = k1 x1 = ®ã 0 < k1 < k. Gäi d = gcd(k1 , . . . , kn ) vµ y = −(k1 /d)x1 + n i=2 ki xi , trong n i=2 (ki /d)xi . Khi ®ã dy = 0, tøc lµ y cã cÊp lµ −íc cña d. V× d lµ −íc cña k1 vµ k1 < k nªn y cã cÊp nhá h¬n k. V× gcd(k1 /d, . . . , kn /d) = 1 nªn 1 = n i=1 ti ki /d víi ti ∈ Z. Suy ra y, x2 , . . . , xn lµ hÖ sinh cña G, ®iÒu nµy lµ v« lÝ. 6.3.5. §Þnh nghÜa. Cho G lµ nhãm Abel. HÖ {a1 , . . . , at } çc phÇn tö cña t G ®−îc gäi lµ ®éc lËp nÕu ®¼ng thøc nt at = 0 víi mäi n1 , . . . , nt ∈ Z. ni ai = 0 kÐo theo n1 a1 = . . . = i=1 6.3.6. Bæ ®Ò. NÕu G lµ nhãm Abel th× hÖ S = {a1 , . . . , at } çc phÇn tö cña G lµ ®éc lËp nÕu vµ chØ nÕu (S) = (a1 ) ⊕ . . . ⊕ (at ), trong ®ã ta kÝ hiÖu (S) lµ nhãm con cña G sinh bëi S. Chøng minh. Gi¶ sö S ®éc lËp. Ta chØ cÇn chøng minh tæng (a1 )+. . .+(at ) lµ tæng trùc tiÕp. Gi¶ sö tån t¹i i sao cho cã mét phÇn tö b = 0 thuéc (ai ) ∩ ({aj : j = i}). Khi ®ã tån t¹i çc sè nguyªn m1 , . . . , mt sao t cho y = mi ai = mj aj . Suy ra j=i mk ak = 0. V× S lµ ®éc lËp nªn k=1 mk ak = 0 víi mäi k. Do ®ã b = mi ai = 0, ®iÒu nµy lµ v« lÝ. Do ®ã (S) = (a1 ) ⊕ . . . ⊕ (at ). Ng−îc l¹i, cho (S) = (a1 ) ⊕ . . . ⊕ (at ). Gi¶ sö t ni ai = 0 víi i=1 123 n1 , . . . , nt ∈ Z. NÕu tån t¹i i sao cho ni ai = 0 th× ni ai = − j=i nj aj ∈ (ai ) ∩ ({aj : j = i}) = 0, diÒu nµy lµ v« lÝ. VËy S lµ ®éc lËp. 6.3.7. HÖ qu¶. Mçi nhãm Abel h÷u h¹n G ®Òu cã mét hÖ sinh ®éc lËp. Chøng minh. Theo ®Þnh lÝ c¬ së 6.3.4, G = (x1 ) ⊕ . . . ⊕ (xr ) víi x1 , . . . , r, cã cÊp h÷u h¹n. Theo Bæ ®Ò 6.3.6, x1 , . . . , xn lµ mét hÖ sinh ®éc lËp cña G. 6.3.8. Bæ ®Ò. Mäi nhãm xyclic cÊp n ®Òu ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. Chøng minh. Gi¶ sö G lµ nhãm xyclic cÊp n vµ n = pn1 1 . . . pnk k lµ sù ph©n tÝch tiªu chuÈn cña n. Theo §Þnh lÝ 6.3.2, G = Gp1 ⊕ . . . ⊕ Gpk , trong ®ã Gpi lµ thµnh phÇn pi −nguyªn s¬ cña G. V× G xyclic nªn Gpi xyclic cÊp lµ luü thõa cña pi . Do ®ã Gpi lµ xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. 6.3.9. §Þnh lý. Mäi nhãm Abel h÷u h¹n G ®Òu ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. Chøng minh. Do G lµ nhãm Abel cÊp h÷u h¹n nªn theo §Þnh lÝ c¬ së 6.3.4, G lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic cÊp h÷u h¹n. L¹i theo Bæ ®Ò 6.3.8, mçi h¹ng tö trùc tiÕp xyclic cña G lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. 124 6.4 Nhãm Abel h÷u h¹n sinh Nh¾c l¹i r»ng mét nhãm Abel G ®−îc gäi lµ h÷u h¹n sinh nÕu G cã mét hÖ sinh h÷u h¹n. Môc ®Ých cña tiÕt nµy lµ xÐt cÊu tróc cña çc nhãm Abel h÷u h¹n sinh. Tr−íc hÕt ta cÇn kh¸i niÖm sau ®©y. 6.4.1. §Þnh nghÜa. Cho G lµ nhãm Abel. PhÇn tö x = 0 cña G ®−îc gäi lµ xo¾n nÕu x cã cÊp h÷u h¹n. 6.4.2. Bæ ®Ò. Cho G lµ nhãm Abel. Gäi H lµ tËp con cña G gåm 0 vµ çc phÇn tö xo¾n cña G. Khi ®ã H lµ nhãm con cña G vµ nhãm th−¬ng G/H kh«ng cã xo¾n. Chøng minh. Theo Bµi tËp 15, H lµ nhãm con cña G. Gi¶ sö x+H = 0+H lµ mét phÇn tö xo¾n cña G/H. Gäi n lµ cÊp cña x + H ∈ G/H. Khi ®ã n > 1 vµ nx ∈ H. Gäi m lµ cÊp cña nx ∈ H, khi ®ã mnx = 0, tøc lµ x cã cÊp h÷u h¹n. Suy ra x ∈ H, hay x + H = 0 + H, v« lÝ. 6.4.3. Bæ ®Ò. NÕu G = 0 lµ nhãm Abel h÷u h¹n sinh kh«ng xo¾n th× G lµ Abel tù do. Chøng minh. Gi¶ sö G = (x1 , . . . , xn ) trong ®ã xi = 0 víi mäi i. Ta chøng minh G lµ Abel tù do b»ng quy n¹p theo n. Cho n = 1. Khi ®ã G = (x1 ) víi x1 cã cÊp v« h¹n. Suy ra G ∼ = Z lµ nhãm Abel tù do. Cho n > 1 vµ gi¶ thiÕt kÕt qu¶ ® ®óng cho çc nhãm Abel kh«ng xo¾n sinh bëi Ýt h¬n n phÇn tö. §Æt H = {x ∈ G : mx ∈ (xn ) víi m ≥ 1}. DÔ thÊy H lµ nhãm con cña G. Ta kh¼ng ®Þnh G/H kh«ng cã xo¾n. ThËt vËy, nÕu x + H = 0 + H lµ phÇn tö xo¾n cña G/H th× ∃n > 1 sao cho nx ∈ H. Do ®ã tån t¹i m ≥ 1 125 sao cho mnx ∈ (xn ). V× mn > 1 nªn x ∈ H, tøc lµ x + H = 0 + H, v« lÝ. Chó ý r»ng xn ∈ H. V× thÕ G/H = (x1 + H, . . . , xn−1 + H). Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, G/H lµ Abel tù do. Suy ra G ∼ = G/H ⊕ H. B©y giê ta chøng minh H xyclic. Do H lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña G nªn H ®¼ng cÊu víi mét nhãm th−¬ng cña G, v× thÕ H lµ h÷u h¹n sinh. Gi¶ sö H = (y1 , . . . , yr ) trong ®ã ta chän yi = 0 víi mäi i. V× 0 == yi ∈ H, tån t¹i mi ≥ 1 sao cho mi yi = ki xn víi 0 = ki ∈ Z. §Æt m = m1 . . . mr . XÐt quy t¾c f : H −→ Z cho bëi f( Khi ®ã r i=1 si yi ) r i=1 (si r i=1 si ki m/mi . = Gi¶ sö r i=1 si yi = r i=1 si yi . − si )yi = 0. Suy ra r r i=1 (si − si )myi = r i=1 (si Do xn cÊp v« h¹n nªn i=1 (si − si )ki m/mi xn = 0. − si )ki m/mi = 0, tøc lµ ta cã r r si ki m/mi = i=1 si ki m/mi . i=1 VËy f lµ ¸nh x¹. DÔ thÊy f lµ ®ång cÊu. Gi¶ sö f ( r i=1 si ki m/mi = 0. Suy ra r i=1 si ki m/mi r 0= r i=1 si yi ) = 0. Khi ®ã xn = 0, tøc lµ r (si m/mi )(mi yi ) = m i=1 Do G kh«ng cã xo¾n nªn si yi = 0. i=1 r i=1 si yi = 0. V× thÕ f lµ ®¬n cÊu, tøc lµ H ®¼ng cÊu víi mét nhãm con cña Z. V× thÕ H lµ xyclic. Do H kh«ng cã xo¾n vµ 0 = xn ∈ H nªn H ∼ = Z. 6.4.4. §Þnh nghÜa. Cho G lµ mét nhãm. Ta nãi G lµ nguyªn s¬ nÕu G lµ nhãm Abel tù do hoÆc G lµ mét p−nhãm Abel víi p lµ sè nguyªn tè. 126 6.4.5. §Þnh lý. (Ph©n tÝch nguyªn s¬). Mçi nhãm Abel h÷u h¹n sinh G lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con nguyªn s¬. Chøng minh. Gäi H tËp çc phÇn tö cã cÊp h÷u h¹n cña G. Theo Bæ ®Ò 6.4.2, H lµ nhãm con cña G vµ G/H kh«ng cã xo¾n. Theo Bæ ®Ò 6.4.3, G/H lµ Abel tù do h÷u h¹n sinh, do ®ã G/H lµ nguyªn s¬. Theo HÖ qu¶ 6.2.8, G ∼ = H ⊕ G/H. Theo §Þnh lÝ 6.3.2, H lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con nguyªn s¬. VËy, G lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con nguyªn s¬. 6.4.6. HÖ qu¶. Mçi nhãm Abel h÷u h¹n sinh G ®Òu cã mét hÖ sinh ®éc lËp. Chøng minh. Gäi H lµ nhãm con çc phÇn tö cã cÊp h÷u h¹n cña G. Khi ®ã H lµ nhãm Abel cã cÊp h÷u h¹n, G/H lµ Abel tù do h÷u h¹n sinh vµ G = H ⊕ K, trong ®ã K ∼ = G/H. Theo ®Þnh lÝ c¬ së 6.3.4, H = (x1 ) ⊕ . . . ⊕ (xr ) víi x1 , . . . , r, cã cÊp h÷u h¹n. V× K lµ Abel tù do h÷u h¹n sinh nªn K = (xr+1 ) ⊕ . . . ⊕ (xn ), trong ®ã xi , i = r + 1, . . . , n, cã cÊp v« h¹n. V× thÕ G = (x1 ) ⊕ . . . ⊕ (xn ). Theo Bæ ®Ò 6.3.6, x1 , . . . , xn lµ mét hÖ sinh ®éc lËp cña G. 6.4.7. §Þnh lý. Mäi nhãm Abel h÷u h¹n sinh G ®Òu ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. Chøng minh. Gäi H lµ tËp çc phÇn tö cã cÊp h÷u h¹n cña G. Khi ®ã H lµ nhãm Abel cÊp h÷u h¹n, G/H lµ Abel tù do h÷u h¹n sinh vµ G ∼ = H ⊕G/H. Do G/H lµ Abel tù do nªn nã lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng b¶n sao cña Z, tøc lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. Do H lµ nhãm Abel cÊp h÷u h¹n nªn theo §Þnh lÝ c¬ së 6.3.4, H lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic cÊp h÷u h¹n. L¹i theo Bæ ®Ò 6.3.8, mçi 127 h¹ng tö trùc tiÕp xyclic cña H lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. Cho G lµ nhãm Abel h÷u h¹n sinh. Gi¶ sö G = G1 ⊕ G2 ⊕ . . . ⊕ Gn (∗) lµ mét ph©n tÝch cña G thµnh tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. DÔ thÊy r»ng G = Gπ(1) ⊕ Gπ(2) ⊕ . . . ⊕ Gπ(n) víi mäi phÐp thÕ π cña tËp {1, 2, . . . , n}. V× thÕ, b»ng çch ®¸nh sè l¹i thø tù cña çc nhãm Gi , ta cã thÓ yªu cÇu ph©n tÝch (*) cã tÝnh chÊt: G1 lµ nhãm cã cÊp lµ luü thõa cao nhÊt cña sè nguyªn tè p1 bÐ nhÊt, G2 lµ nhãm cã cÊp lµ luü thõa cao nhÊt cña p1 trong nh÷ng nhãm cßn l¹i. Sau khi viÕt hÕt çc nhãm cã cÊp lµ luü thõa cña p1 , ta viÕt ®Õn çc nhãm cã cÊp lµ luü thõa cña sè nguyªn tè p2 víi thø tù tõ nhãm cÊp cao ®Õn nhãm cÊp thÊp, trong ®ã p2 lµ sè nguyªn tè bÐ nhÊt trong nh÷ng sè nguyªn tè cßn l¹i. Cø tiÕp tôc qu¸ tr×nh trªn cho ®Õn khi viÕt hÕt çc nhãm Gi nguyªn s¬, cuèi cïng ta viÕt çc nhãm xyclic v« h¹n. Ph©n tÝch (*) nh− thÕ ®−îc gäi lµ ph©n tÝch tiªu chuÈn hay ph©n tÝch chÝnh t¾c cña G thµnh tæng cña nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. 6.4.8. §Þnh lý. Cho G vµ H lµ çc nhãm Abel h÷u h¹n sinh. Gi¶ sö G = G1 ⊕ G2 ⊕ . . . ⊕ Gn ; H = H1 ⊕ H2 ⊕ . . . ⊕ Hk 128 lµ çc ph©n tÝch tiªu chuÈn cña G vµ H thµnh tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con kh«ng ph©n tÝch ®−îc. Khi ®ã G ∼ = H nÕu vµ chØ nÕu n = k vµ Gi ∼ = Hi víi mäi i = 1, . . . , n. Chøng minh. Gi¶ sö n = k vµ Gi ∼ = Hi víi mäi i = 1, . . . , n. Khi ®ã víi mçi i, tån t¹i ®¼ng cÊu fi : Gi −→ Hi . Gäi f : G −→ H lµ ¸nh x¹ ®Þnh nghÜa nh− sau: Víi x ∈ G, ta cã mét biÓu diÔn duy nhÊt x = x1 + . . . + xn víi xi ∈ Gi . Khi ®ã ta ®Æt f (x) = f n i=1 fi (xi ). Râ rµng f lµ ®¼ng cÊu, tøc lµ G ∼ = H. Ng−îc l¹i, cho G ∼ = H. Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n. NÕu n = 1 th× G lµ xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc vµ do ®ã H còng lµ xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−−îc cã cïng cÊp, tøc lµ k = n = 1 vµ H1 ∼ = G1 . Cho n > 1. Gi¶ sö Gi = (ai ) víi i = 1, . . . , n vµ Hi = (bi ) víi i = 1, . . . , k. NÕu G kh«ng cã phÇn tö xo¾n th× H còng kh«ng cã phÇn tö xo¾n. V× thÕ G vµ H lµ çc nhãm Abel tù do h÷u h¹n sinh ®¼ng cÊu víi nhau. Theo §Þnh lÝ 6.2.10, n = k vµ Gi ∼ =Z∼ = Hi víi mäi i = 1, . . . , n. Gi¶ sö G cã phÇn tö xo¾n. Khi ®ã a1 cã cÊp h÷u h¹n. V× G1 kh«ng ph©n tÝch ®−îc nªn a1 cã cÊp pr víi p nguyªn tè. Do G cã phÇn tö xo¾n nªn H còng cã phÇn tö xo¾n. V× thÕ b1 cã cÊp q s víi q lµ sè nguyªn tè. Gi¶ sö p < q. V× f lµ ®¼ng cÊu nªn f (a1 ) cã cÊp pr . ViÕt f (a1 ) = k i=1 mi bi . Ta cã pr a1 = 0 = k i=1 pr mi bi . Do ph©n tÝch tæng trùc tiÕp cña H, suy ra pr mi bi = 0 víi mäi i. Do ph©n tÝch trªn cña H lµ ph©n tÝch tiªu chuÈn nªn víi i = 2, . . . , k, cÊp cña bi lµ v« h¹n, hoÆc cÊp cña bi lµ qisi víi qi nguyªn tè vµ qi ≥ q > p. Do ®ã ta cã mi bi = 0 víi mäi i ≥ 1. Suy ra f (a1 ) = 0, ®iÒu nµy lµ v« lÝ. VËy p ≥ q. T−¬ng tù q ≥ p vµ v× vËy p = q. Gi¶ sö pr > qs = ps . Khi ®ã r > s. B»ng lËp luËn t−¬ng tù ta cã pr mi bi = 0 víi mäi i. V× thÕ, nÕu bi cã cÊp v« h¹n hoÆc bi cã cÊp qisi víi qi = p th× mi bi = 0. Suy ra f (a1 ) = i∈I mi bi , trong 129 ®ã I = {i : qi = p}. Do r > s víi chó ý r»ng ph©n tÝch trªn cña H lµ ph©n tÝch tiªu chuÈn, tøc lµ víi mäi i ∈ I, cÊp cña bi lµ psi víi si 0 = ps f(a1 ) = s, nªn ta cã mi ps bi = 0, i∈I ®iÒu nµy lµ v« lÝ. VËy r s. T−¬ng tù r ≥ s, vµ v× thÕ r = s. Nh− vËy, G1 vµ H1 lµ xyclic cïng cÊp, suy ra G1 ∼ = H1 . V× G ∼ = H vµ G1 ∼ = H1 nªn G ∼ = H , trong ®ã G = G2 ⊕ . . . ⊕ Gn vµ H = H2 ⊕ . . . ⊕ Hk . Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, n − 1 = k − 1 vµ Hi ∼ = Gi víi mäi i = 2, . . . , k. Nh− vËy, ta ® chøng minh xong ®Þnh lÝ rÊt ®Ñp sau ®©y cña lÝ thuyÕt nhãm, gäi lµ §Þnh lÝ c¬ b¶n cña nhãm Abel h÷u h¹n sinh. 6.4.9. §Þnh lý. Mäi nhãm Abel h÷u h¹n sinh ®Òu ph©n tÝch ®−îc mét çch duy nhÊt d−íi d¹ng tiªu chuÈn thµnh tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. 130 Bµi tËp 161. Chøng minh r»ng nhãm céng Q kh«ng h÷u h¹n sinh vµ kh«ng ph©n tÝch ®−îc. 162. H y ph©n tÝch nhãm Z12 thµnh tæng trùc tiÕp cña çc nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. 163. Cho G lµ nhãm giao ho¸n cÊp nm, trong ®ã n vµ m lµ nguyªn tè cïng nhau. Gi¶ sö A, B lµ çc nhãm con cña G cã cÊp lÇn l−ît lµ n, m. Chøng minh r»ng G = AB ∼ = A × B. 164. Dïng §Þnh lÝ c¬ së 6.3.4 ®Ó chøng minh r»ng nÕu G lµ nhãm giao ho¸n cÊp n, p lµ sè nguyªn tè vµ k > 0 lµ sè nguyªn sao cho pk lµ −íc cña n th× G cã Ýt nhÊt mét nhãm con cÊp pk . Tõ ®ã suy ra r»ng nÕu d lµ −íc cña n th× trong G cã Ýt nhÊt mét nhãm con cÊp d. 165. Cho G lµ nhãm Abel cÊp n vµ p lµ −íc nguyªn tè cña n. §Æt Gp = {x ∈ G : cÊp cña x lµ mét luü thõa cña p}. Chøng minh r»ng Gp lµ p−nhãm con Sylow duy nhÊt cña G vµ nÕu n = pt11 . . . ptkk lµ sù ph©n tÝch tiªu chuÈn cña n thµnh tÝch çc thõa sè nguyªn tè th× G = Gp1 ⊕ . . . ⊕ Gpk trong ®ã Gpi cã cÊp ptii víi mäi i = 1, . . . , k. 166. H y ph©n tÝch nhãm Abel cÊp 200 thµnh tæng trùc tiÕp cña nh÷ng nhãm con Sylow. 167. (a) Çc nhãm Z10 ⊕ Z6 vµ Z5 ⊕ Z12 cã ®¼ng cÊu víi nhau kh«ng? (b) Cã bao nhiªu nhãm Abel cÊp 200 ®«i mét kh«ng ®¼ng cÊu víi nhau. ViÕt çc nhãm nµy d−íi d¹ng ph©n tÝch tiªu chuÈn thµnh tæng trùc tiÕp cña 131 nh÷ng nhãm con xyclic kh«ng ph©n tÝch ®−îc. 168. Cho G lµ nhãm Abel cÊp h÷u h¹n cÊp n. Chøng minh r»ng nÕu G kh«ng lµ nhãm xyclic th× tån t¹i mét −íc nguyªn tè p cña n sao cho G chøa mét nhãm con ®¼ng cÊu víi Zp ⊕ Zp . Tõ ®ã suy ra r»ng nÕu n kh«ng chia hÕt cho p2 víi mäi sè nguyªn tè p th× G lµ nhãm xyclic. 169. Cho G lµ p−nhãm Abel vµ x ∈ G lµ phÇn tö cã cÊp cao nhÊt. Chøng minh r»ng (x) lµ mét h¹ng tö trùc tiÕp cña G. 170. Chøng minh r»ng nhãm con cña mét nhãm Abel h÷u h¹n sinh lµ nhãm Abel h÷u h¹n sinh. Tµi liÖu tham kh¶o [1] M. Aschbacher, Finite group theory, (Second Edition), Cambridge University Press, 2000. [2] NguyÔn Tù C−êng, §¹i sè hiÖn ®¹i, NXB§HQG Hµ Néi, 2003. [3] Bïi Huy HiÒn vµ Phan Do n Tho¹i, Bµi tËp §¹i sè vµ sè häc, TËp 2, NXBGD, 1986. [4] NguyÔn H÷u ViÖt H−ng, §¹i sè ®¹i c−¬ng, NXBGD, 1999. [5] S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2002. [6] Joseph J. Rotman, An introduction to the theory of groups, (Fourth Edition), Springer -Verlag, 1999. [7] Ng« Thóc Lanh, §¹i sè vµ sè häc, TËp II, NXBGD, 1986. 132 [...]... và {e} luôn là các nhóm con của G Nhóm con {e} là nhóm con bé nhất của G và ta gọi nó là nhóm con tầm thờng Các nhóm con khác G đợc gọi là nhóm con thực sự của G 1.3.2 Mệnh đề Cho G là một nhóm và H G Khi đó H là nhóm con của G nếu và chỉ nếu H = và ab1 H với mọi a, b H Chứng minh Giả sử H là nhóm con của G Khi đó e H và do đó H = Cho a, b H Khi đó b1 H Suy ra ab1 H Ngợc lại, giả sử H = và. .. an ) = a1 an với mọi phần tử a1 , , an G và mọi số tự nhiên m < n (ii) Nếu G là nhóm giao hoán thì a1 an = a(1) a(n) với mọi phép thế của tập {1, 2, , n} và mọi a1 , , an G (iii) an am = an+m và (an )m = anm với mọi a G và mọi n, m Z 1.2.4 Chú ý Trong trờng hợp phép toán của nhóm G đợc kí hiệu theo lối cộng, với mỗi số nguyên n và mỗi phần tử a G, ta định nghĩa bội n của một... 1.3.4 Định nghĩa Cho G là một nhóm và a G Đặt (a) = {an : n Z} 20 Khi đó (a) là nhóm con của G, đợc gọi là nhóm con xyclic sinh bởi a Cấp của nhóm con (a) đợc gọi là cấp của phần tử a Từ Bổ đề 1.2.9 ta có ngay các kết quả sau đây 1.3.5 Hệ quả Cho G là nhóm và a G Khi đó a có cấp vô hạn nếu và chỉ nếu an = 0 kéo theo n = 0, n Z 1.3.6 Hệ quả Cho G là nhóm, a G và r là số nguyên dơng Các mệnh đề... là nhóm con của G nếu và chỉ nếu x A 21 Cho G là nhóm và a, b G Chứng minh rằng ab và ba có cùng cấp 25 22 Cho G là nhóm và a, b, c là các phần tử của G Chứng minh rằng abc, bca, cab có cùng cấp 23 Cho G là một nhóm Với các tập con A, B = của G ta kí hiệu A1 = {a1 : a A}, AB = {ab : a A, b B} Chứng minh rằng (a) A(BC) = (AB)C với mọi tập con A, B, C của G (b) (A1 )1 = A và (AB)1 = B 1 A1 (c)... của G nếu và chỉ nếu n và k nguyên tố cùng nhau Từ đó suy ra rằng số phần tử sinh của G là (n), trong đó là hàm Euler 27 Cho G = (a) là nhóm xyclic cấp n và m là một ớc nguyên dơng của n Chứng minh rằng G có duy nhất một nhóm con H cấp m Hơn nữa, mọi phần tử cấp m của G đều thuộc H 28 Cho X, Y là các nhóm xyclic có cấp lần lợt là m, n Chứng minh rằng X ì Y là nhóm xyclic nếu và chỉ nếu m và n nguyên... Chú ý rằng a + mZ = b + mZ nếu và chỉ nếu a b mZ, nếu và chỉ nếu a b chia hết cho m Vì thế, phần tử a + mZ Z/mZ chính là phần tử a Zm , và nhóm thơng Z/mZ chính là nhóm cộng Zm các lớp thặng d theo môđun m 31 Bài tập 31 Tìm các nhóm con và nhóm con chuẩn tắc của nhóm S3 32 Cho H là nhóm con của một nhóm G Chứng minh rằng nếu H có chỉ số 2 thì H là nhóm con chuẩn tắc và a2 H với mọi a G 33 Chứng... là nhóm con của G và {e} là nhóm con chuẩn tắc của H nên, theo Định lí 2.3.7, 35 f (G) là một nhóm con của H và f 1 {e} là nhóm con chuẩn tắc của G Nhóm con f (G) của H đợc gọi là ảnh của f và đợc kí hiệu bởi Im f Nhóm con chuẩn tắc f 1 {e} của G đợc gọi là hạt nhân của f và đợc kí hiệu bởi Ker f Nh vậy, Im f = {f (x) | x G}; Ker f = {x G | f (x) = e} 2.3.9 Ví dụ Cho G là nhóm và a G Anh xạ f :... đẳng thức về chỉ số (G : (A B)) (G : A)(G : B) 47 Cho G1 là nhóm xyclic và G2 là nhóm Chứng minh rằng nếu G1 = G2 thì G2 cũng là nhóm xyclic Từ đó suy ra rằng các nhóm Z12 và Z2 ì Z6 có cùng cấp 12 nhng không đẳng cấu với nhau 48 Chứng minh rằng có đúng 2 tự đẳng cấu của nhóm cộng Z, đó là ánh xạ đồng nhất 1Z và ánh xạ 1Z cho bởi 1Z (n) = n với mọi n Z 49 Cho n > 0 là một số tự nhiên và f là một... Y là các nhóm xyclic có cấp lần lợt là m, n Chứng minh rằng X ì Y là nhóm xyclic nếu và chỉ nếu m và n nguyên tố cùng nhau 29 Cho G là một nhóm và a, b G có cấp lần lợt là r, s Chứng minh rằng nếu r và s nguyên tố cùng nhau và ab = ba thì cấp của ab là rs và (a) (b) = {e} Nếu bỏ giả thiết ab = ba thì bài toán còn đúng không? 30 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm con Chơng 2 Lớp... H đều có đúng m phần tử Gọi chỉ số của H là s Khi đó n = sm và vì thế s và m đều là ớc của n Có thể dùng tính chất chia lớp của quan hệ tơng đơng để chứng minh Định lí Lagrange ngắn gọn hơn Tuy nhiên ở trên chúng ta vẫn đa ra một chứng minh trực tiếp cho định lí này Giả sử G là nhóm cấp n và H là nhóm con cấp m của G Nếu chỉ số của H là s và số các lớp ghép phải của H là s thì tơng tự nh chứng minh ... Chơng IV trình bày nhóm hữu hạn, Định lí Sylow ứng dụng toán phân loại nhóm Phần đầu Chơng V viết chuỗi hợp thành nhóm giải đợc, loại nhóm liên quan chặt chẽ với tính giải đợc thức đa thức Phần... nghiên cứu nhóm hữu hạn chơng nh pnhóm, chứng minh Định lí Sylow số ứng dụng định lí Sylow vào toán phân loại nhóm 3.1 Nhóm đối xứng Nhắc lại với tập hợp X, tập S(X) song ánh từ X đến X với phép... cộng, phần tử ngợc a đợc gọi đối xứng a, đợc kí hiệu a Phần tử a X đợc gọi quy phải xT a = yT a kéo theo x = y với x, y X Tơng tự ta có khái niệm phần tử quy trái Nếu a quy hai phía ta nói a

Hỏi đáp về dập tấm và cán kéo kim loại

Nhóm Abel hữu hạn sinh