6 Nhóm Aben
6.2 Nhóm Abel tự do
Từ mục này cho đến hết ch−ơng chúng ta chủ yếu nghiên cứu các nhóm Abel. Theo truyền thống, phép toán của các nhóm Abel đ−ợc kí hiệu theo lối cộng. Vì thế, chúng ta sẽ chuyển một số kí hiệu sau: phép nhân đổi thành phép cộng, phần tử đơn vịeđổi thành phần tử không0, phần tử nghịch đảox−1 đổi thành phần tử đổi xứng −x.
6.2.1. Định nghĩa. Cho S = ∅ là một tập hợp. Nhóm Abel tự do trên S hay nhóm Abel tự do với cơ sở S là một cặp (A, f) trong đó F là nhóm Abel, f : S −→ A là một ánh xạ sao cho với mọi nhóm Abel G và mọi ánh xạ g :S −→G, tồn tại duy nhất một đồng cấu h :A−→ G thoả man g =hf.
6.2.2. Ví dụ. Cho S ={a} là tập gồm đúng1phần tử. Khi đó nhóm cộng
Z cùng với ánh xạ f :S −→Z cho bởi f(a) = 1 là nhóm Abel tự do trên S.Thật vậy, với mọi nhóm Abel Gvà mọi ánh xạ g :S −→G, tồn tại ánh xạh:Z−→Gcho bởih(n) =ng(a), ∀n∈Z,là đồng cấu nhóm thoả man g =hf. Nh− vậy, trong tr−ờng hợpS gồm 1phần tử, nhóm tự do trên S và nhóm Abel tự do trên S đẳng cấu với nhau và đều đẳng cấu với Z.
Chứng minh. Đặt Hs = Z với mọi s ∈ S, và A =
s∈S
Hs là tổng trực tiếp của một họ những copycủa nhóm Z. Ta chứng minhA là nhóm Abel tự do trên S. Vì các nhóm Hs là Abel với mọi s ∈ S nên A là nhóm Abel. Kí hiệu f :S −→A là ánh xạ cho bởi f(r) = (ns)s∈S, trong đó
ns=
0 nếu s=r 1 nếu s=r.
Giả sửg :S −→G là một ánh xạ, trong đóG là một nhóm giao hoán. Với mỗi(ns)s∈S ∈A,chỉ có hữu hạn chỉ số ssao chons= 0. Vì thế t−ơng ứng h:A−→G cho bởi h(ns)s∈S = s∈S,ns=0 nsg(s)
là một ánh xạ và là đồng cấu nhóm thoả man g =hf.
Việc chứng minh tính chất d−ới đây là hoàn toàn t−ơng tự nh− đối với nhóm tự do, vì thế chúng đ−ợc xem nh− bài tập.
6.2.4. Mệnh đề. Cho (A, f) là nhóm Abel tự do trên một tập S. Khi đó f là đơn ánh vàf(S) là một hệ sinh của A.
6.2.5. Chú ý. Giả sửAlà nhóm Abel tự do trên một tập hợpS. Theo chứng minh Định lí 6.2.3, A =
s∈S
Hs, trong đó Hs ∼= Z với mọi s ∈ S. Vì thế, theo Định lí 6.2.10 và Mệnh đề 6.1.6, mỗi phần tử x ∈ A đ−ợc viết một cách duy nhất d−ới dạng
x=n1s1 +n2s2+. . .+nksk,
trong đók∈N, n1, . . . , nk∈Z, s1, . . . , sk ∈S, si =sj với mọii=j.Cho x, y ∈ A. Bằng cách cho thêm các hạng tử có dạng 0 = 0si vào trong các
biểu diễn củaxvàynếu cần thiết, ta có thể viếtx=n1s1+n2s2+. . .+nksk, và y=m1s1+m2s2 +. . .+mksk, trong đómi, ni ∈Z và s1, . . . , sk ∈S. Khi đó
x+y = (n1+m1)s1+ (n2+m2)s2+. . .+ (nk+mk)sk.
Nh− vậy, nhóm Abel tự do trên S là nhóm mà các phần tử của nó đ−ợc thiết lập từ các phần tử của S không bị ràng buộc bất cứ quan hệ nào trừ các tiên đề về nhóm và tính giao hoán của nhóm. Hơn nữa, nếu (F, f) là nhóm tự do trên S và (G, g) là nhóm Abel tự do trên S thì F ∼=G khi và chỉ khiS có đúng 1 phần tử.
Kết quả sau đây cho ta ý nghĩa của nhóm Abel tự do đối với các nhóm Abel (Bài tập 142).
6.2.6. Mệnh đề. Mọi nhóm giao hoán đều là nhóm th−ơng của một nhóm nhóm Abel tự do.
6.2.7. Định lý. (Tính chất xạ ảnh của nhóm Abel tự do). ChoAlà nhóm Abel tự do trên S. Khi đó với mọi nhóm giao hoán G, mọi toàn cấu nhóm α : G −→ H, và mọi đồng cấu nhóm β : A −→ H, tồn tại một đồng cấu nhómγ :A −→Gsao cho β =αγ.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạg :S −→G nh− sau. Cho s∈S. Doα là toàn cấu ta có thể chọn đ−ợc 1 phần tử cố địnhbs ∈Gsao choα(bs) =β(s). Đặtg(s) =bs.VìAlà nhóm Abel tự do vàGgiao hoán nên tồn tại duy nhất đồng cấu γ : A−→ G sao choγ(s) =g(s) =bs. Cho x=
i=1,... ,k
với ni ∈Z, si ∈S.Do α, β, γ là những đồng cấu nhóm nên ta có αγ(x) =αγ( k i=1 nisi) = k i=1 niαγ(si) = k i=1 niα(bsi) = k i=1 niβ(si) = β k i=1 nisi =β(x).
6.2.8. Hệ quả. Cho G là nhóm giao hoán vàH là nhóm con của G. Nếu G/H là nhóm Abel tự do thì tồn tại nhóm conK củaGsao choG=H⊕K và K ∼=G/H.
Chứng minh. Xét toàn cầu chính tắcp:G−→G/H.Theo tính chất xạ ảnh của nhóm Abel tự doG/H, với đồng cấu Id:G/H −→G/H,tồn tại đồng cấu h : G/H −→ G sao cho ph =Id. Vì thế ph : G/H −→ G−→ G/H là đẳng cấu. Theo Mệnh đề 6.1.9, G= Imh⊕Kerp.Doph=Id,ta suy ra hlà đơn cấu. Do đó G/H ∼= Imh.Rõ ràngKerp=H. Vì thếG=H⊕K với K = Imh∼=G/H.
Phần tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng nếuS vàE là hai tập hợp cùng lực l−ợng thì các nhóm Abel tự do trên S và trên E là tồn tại và đẳng cấu với nhau. Đặc biệt, nhóm Abel tự do trên một tậpS là tồn tại và xác định duy nhất (sai khác một đẳng cấu). Từ đó ta đi đến khái niệm hạng của nhóm Abel tự do.
Tr−ớc hết ta cần nhắc lại một chút kiến thức về đại số tuyến tính. Giả sử K là một tr−ờng (tức làK đ−ợc trang bị hai phép toán cộng và nhân sao cho K cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán với phần tử không đ−ợc kí hiệu là 0; K cùng với phép nhân là một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn
vị đ−ợc kí hiệu là1; phép nhân phân phối hai phía với phép cộng;0= 1; và mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch). Một tập V cùng với phép toán cộng đ−ợc gọi là một K−không gian véc tơ nếu có ánh xạ KìV −→ V thoả man 04 tính chất sau:
(i) K là nhóm giao hoán với phép cộng.
(ii) Tính chất kết hợp: (ab)x=a(bx) với mọi a, b∈K và mọi x∈V. (iii) Tính chất phân phối: a(x+y) =ax+ay; (a+b)x=ax+bxvới mọi a, b∈K, x, y∈V.
(iv) Tính chất unita: 1x=x với mọi x∈V.
Một tập conE của V đ−ợc gọi là một cơ sở củaK−không gian véc tơ V nếu mỗi phần tử x∈V đ−ợc viết một cách duy nhất d−ới dạng
x=a1e1+. . .+akek,
trong đóa1, . . . , ak ∈K, e1, . . . , ek ∈E, và ei=ej với mọi i=j. Kết quả sau đây đa rất quen biết trong đại số tuyến tính.
6.2.9. Bổ đề. Cho V là một K−không gian véc tơ. Giả sử E và E là hai cơ sở củaV. Khi đó Card(E) = Card(E).
6.2.10. Định lý. Cho (A, f) là nhóm Abel tự do trên tập S và (B, g) là nhóm Abel tự do trên tập E. Khi đó A ∼= B nếu và chỉ nếu Card(S) = Card(E). Vì thế, nhóm Abel tự do trên một tập S là tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu).
Chứng minh. Giả sử Card(S) = Card(E). Khi đó có một song ánh ϕ : S −→ E. Vì (A, f) là nhóm Abel tự do và B là nhóm giao hoán nên với ánh xạ gϕ : S −→ B, tồn tại duy nhất đồng cấu h : A −→ B sao cho
gϕ=hf. T−ơng tự, tồn tại đồng cấu k : B −→A sao cho f ϕ−1 =kg. Do đó
g = (gϕ)ϕ−1 =hf ϕ−1 =h(kg) = (hk)g.
Rõ ràng g = 1Bg. Vì thế với ánh xạ g : E −→ B, tồn tại hai đồng cấu nhóm 1B, hk : B −→ B để g = (hk)g = 1Bg. Theo định nghĩa của nhóm tự do, hk = 1B. Vì thế k là đơn cấu. T−ơng tự ta có kh= 1A, suy ra k là toàn cấu. Do đó k là đẳng cấu, tức là A∼=B.
Ng−ợc lại, giả sử A ∼=B. Đặt 3A ={3a : a∈ A}. Khi đó 3A là một nhóm con chuẩn tắc của V3, do đó ta có nhóm th−ơng V3 =A/3A. Chú ý rằngZ3 là một tr−ờng và quy tắc nhân vô h−ớngn(a+ 3A) =na+ 3A từZ3
vào V3 không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các phần tử, tức là nếu n−n ∈Z3 và a+ 3A=a+ 3A ∈V3 thìna+ 3A=na+ 3A. Vì thếV3
làZ3−không gian véc tơ. Bây giờ ta khẳng định S ={s+ 3A : s∈S} là một cơ sở củaV3.Thật vậy, chox+3A∈V3,trong đóx=n1s1+. . .+nksk. Từ định nghĩa tích vô h−ớng của V3 ta có x+ 3A =
i=1,... ,k
ni(si + 3A). Ta chứng minh biểu diễn này là duy nhất. Giả sử
x+ 3A=
i=1,... ,k
mi(si+ 3A) =
i=1,... ,k
ni(si+ 3A)
là hai cách biểu diễn của x+ 3A. Bằng cách cho thêm các hạng tử có dạng 0si (nếu cần) vào các biểu diễn trên của x+ 3A, ta có thể giả thiếtk =k. Suy ra 0 + 3A= i=1,... ,k (mi−ni)si+ 3A= i=1,... ,k (mi−ni)si + 3A. Do đó i=1,... ,k (mi −ni)si = 3x= i=1,... ,t (3pi)si, với x= i=1,... ,t pisi nào đó trongA.Bằng cách cho thêm các hạng tử có dạng0si(nếu cần), ta có thể giả
thiếtk=t, suy rami−ni = 3pi với mọii= 1, . . . , k.Vì thếmi =ni ∈Z3
với mọi i. Suy ra S là cơ sở của V3. Vậy dimZ3(A/3A) = Card(S) = Card(S). Bằng cách t−ơng tự, ta có dimZ3(A/3A) = Card(E).
Từ Định lí 6.2.10, ta thấy rằng nếu A là nhóm Abel tự do với cơ sở S thì nó cũng là nhóm Abel tự do với cơ sở là một tập tuỳ ý có cùng lực l−ợng với S. Điều này dẫn đến định nghĩa sau đây.
6.2.11. Định nghĩa. Hạng của một nhóm Abel tự do A, kí hiệu là rankA, là lực l−ợng của một cơ sở của nó.
6.2.12. Chú ý. Giả sử A và B là các nhóm Abel tự do. Ta có thể chọn đ−ợc một cơ sởS của Avà một cơ sở E củaB sao cho S∩E =∅.Khi đó A⊕B cũng là nhóm Abel tự do với cơ sở S∪E. Do đó
rank(A⊕B) = rank(A) + rank(B).
6.2.13. Định lý. Mỗi nhóm con H của một nhóm Abel tự do G hạng nlà Abel tự do. Hơn nữa, rank(H)n.
Chứng minh. ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Nếu n= 1 thì A ∼= Z. Do đó nếu H là nhóm con của A thì tồn tại m ∈ Z để H ∼= mZ. Suy ra H = 0hoặc H ∼=Z là nhóm Abel tự do hạng tối đa là 1.
Chon >1và giả thiết định lí đúng chon−1.Giả sửS ={s1, . . . , sn}là cơ sở củaA. ChoH là nhóm con củaA.ĐặtS =S\{sn}.GọiA là nhóm Abel tự do với cơ sởS.Khi đó H =H∩A là nhóm con củaA.Theo giả thiết quy nạp, H là nhóm Abel tự do với rank(H) n−1. Vì A ∼= Zn
và A ∼= Zn−1 nên A/A ∼= Z. Do H/H = H/(H ∩A) ∼= (H +A)/A
H/H ∼= Z. Nếu H/H = 0 thì H = H và do đó nó là nhóm Abel tự do hạng tối đa làn−1.Giả sử H/H ∼=Z.Khi đó H/H là nhóm Abel tự do. Theo Hệ quả 6.2.8, H =H ⊕Zlà nhóm Abel tự do hạng tối đa là n.
Định lí 6.2.13 vẫn đúng cho tr−ờng hợp hạng vô hạn (Bài tập 148).
Bài tập
151. Cho (F, f) là nhóm Abel tự do trên một tập S. Chứng minh rằngf là đơn ánh và f(S) là một hệ sinh của F.
152. Chứng minh rằng mọi nhóm giao hoán đều là nhóm th−ơng của một nhóm Abel tự do; mọi nhóm giao hoán hữu hạn sinh là th−ơng của một nhóm Abel tự do hạng hữu hạn.
153. (Trong bài tập này phép toán của nhóm tự do đ−ợc kí hiệu theo lối nhân). Cho S là một tập hợp. Gọi F và A lần l−ợt là nhóm tự do và nhóm Abel tự do trên tập S. Gọi H là nhóm con chuẩn tắc của F sinh bởi các phần tửxyx−1y−1 vớix, y ∈S.Chứng minh rằng A∼=F/H.Vì thế (S,∆), trong đó∆ ={xyx−1y−1, x, y ∈S}), là một biểu diễn của A.
154∗. Cho F và F lần l−ợt là nhóm tự do trên S và S. Chứng minh rằng F ∼=F nếu và chỉ nếu Card(S) = Card(S).
155∗. Cho A là nhóm giao hoán. Chứng minh rằng A là nhóm Abel tự do nếu và chỉ nếu A có tính chất xạ ảnh.
156. Cho A là nhóm Abel tự do hạng nvà H là nhóm con củaA có hạng nhỏ hơnn. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử có cấp vô hạn trong nhóm th−ơng A/H.
157. Chứng minh rằng nhóm con của nhóm Abel hữu hạn sinh là hữu hạn sinh.
158∗. Chứng minh rằng nếu H là nhóm con của một nhóm Abel tự do A thì H là nhóm Abel tự do vàrank(H)rank(A).
159. Cho G là nhóm Abel hữu hạn sinh. Giả sử mọi phần tử khác e của G đều có cấp vô hạn. Chứng minh rằngG đẳng cấu với tổng trực tiếp của hữu hạn các copy của Z, do đóG là nhóm Abel tự do.
160∗. Chứng minh rằng nhóm nhân các số hữu tỷ d−ơng là nhóm Abel tự do hạng vô hạn.