6 Nhóm Aben
6.4 Nhóm Abel hữu hạn sinh
Nhắc lại rằng một nhóm Abel G đ−ợc gọi là hữu hạn sinh nếu G có một hệ sinh hữu hạn. Mục đích của tiết này là xét cấu trúc của các nhóm Abel hữu hạn sinh.
Tr−ớc hết ta cần khái niệm sau đây.
6.4.1. Định nghĩa. Cho G là nhóm Abel. Phần tử x = 0 của G đ−ợc gọi là xoắn nếux có cấp hữu hạn.
6.4.2. Bổ đề. Cho Glà nhóm Abel. Gọi H là tập con của G gồm 0và các phần tử xoắn của G. Khi đó H là nhóm con củaG và nhóm th−ơng G/H không có xoắn.
Chứng minh. Theo Bài tập 15,H là nhóm con củaG.Giả sửx+H = 0+H là một phần tử xoắn của G/H. Gọi n là cấp của x+H ∈ G/H. Khi đó n >1và nx ∈H. Gọi m là cấp củanx ∈H,khi đó mnx= 0, tức làx có cấp hữu hạn. Suy ra x∈H, hay x+H = 0 +H, vô lí.
6.4.3. Bổ đề. Nếu G= 0 là nhóm Abel hữu hạn sinh không xoắn thì Glà Abel tự do.
Chứng minh. Giả sử G= (x1, . . . , xn)trong đó xi = 0với mọii. Ta chứng minh G là Abel tự do bằng quy nạp theo n. Cho n = 1. Khi đó G= (x1) với x1 có cấp vô hạn. Suy ra G∼=Z là nhóm Abel tự do. Chon >1 và giả thiết kết quả đa đúng cho các nhóm Abel không xoắn sinh bởi ít hơnnphần tử. Đặt H ={x ∈ G : mx ∈ (xn) với m ≥ 1}. Dễ thấy H là nhóm con của G. Ta khẳng định G/H không có xoắn. Thật vậy, nếu x+H = 0 +H là phần tử xoắn củaG/H thì∃n >1 sao chonx∈H.Do đó tồn tạim ≥1
sao cho mnx ∈ (xn). Vì mn > 1 nên x ∈ H, tức là x+H = 0 +H, vô lí. Chú ý rằng xn ∈ H. Vì thế G/H = (x1+H, . . . , xn−1+H). Theo giả thiết quy nạp,G/H là Abel tự do. Suy raG∼=G/H⊕H.Bây giờ ta chứng minh H xyclic. Do H là hạng tử trực tiếp của G nên H đẳng cấu với một nhóm th−ơng của G, vì thế H là hữu hạn sinh. Giả sử H = (y1, . . . , yr) trong đó ta chọn yi = 0 với mọi i.Vì 0 == yi ∈H, tồn tại mi ≥1 sao cho miyi =kixn với 0=ki ∈Z. Đặt m=m1. . . mr. Xét quy tắc f :H −→Z
cho bởi f(ri=1siyi) = ri=1sikim/mi. Giả sử r
i=1siyi = ri=1s iyi. Khi đóri=1(si−s i)yi = 0. Suy ra r i=1 (si−si)myi = r i=1 (si−si)kim/mi xn = 0. Do xn cấp vô hạn nênri=1(si−s i)kim/mi= 0, tức là ta có r i=1 sikim/mi = r i=1 sikim/mi.
Vậy f là ánh xạ. Dễ thấy f là đồng cấu. Giả sửf(ri=1siyi) = 0. Khi đó
r i=1sikim/mi = 0.Suy ra ri=1sikim/mi xn= 0, tức là 0 = r i=1 (sim/mi)(miyi) =m r i=1 siyi = 0.
DoGkhông có xoắn nênri=1siyi = 0.Vì thếf là đơn cấu, tức làH đẳng cấu với một nhóm con của Z.Vì thế H là xyclic. DoH không có xoắn và 0=xn ∈H nên H ∼=Z.
6.4.4. Định nghĩa. Cho G là một nhóm. Ta nói G là nguyên sơ nếu G là nhóm Abel tự do hoặc Glà một p−nhóm Abel với p là số nguyên tố.
6.4.5. Định lý. (Phân tích nguyên sơ). Mỗi nhóm Abel hữu hạn sinh Glà tổng trực tiếp của những nhóm con nguyên sơ.
Chứng minh. Gọi H tập các phần tử có cấp hữu hạn của G. Theo Bổ đề 6.4.2, H là nhóm con của G và G/H không có xoắn. Theo Bổ đề 6.4.3, G/H là Abel tự do hữu hạn sinh, do đó G/H là nguyên sơ. Theo Hệ quả 6.2.8, G ∼= H⊕G/H. Theo Định lí 6.3.2, H là tổng trực tiếp của những nhóm con nguyên sơ. Vậy,Glà tổng trực tiếp của những nhóm con nguyên sơ.
6.4.6. Hệ quả. Mỗi nhóm Abel hữu hạn sinh Gđều có một hệ sinh độc lập. Chứng minh. Gọi H là nhóm con các phần tử có cấp hữu hạn của G. Khi đó H là nhóm Abel có cấp hữu hạn, G/H là Abel tự do hữu hạn sinh và G = H ⊕K, trong đó K ∼= G/H. Theo định lí cơ sở 6.3.4, H = (x1)⊕. . .⊕(xr) với x1, . . . , r, có cấp hữu hạn. Vì K là Abel tự do hữu hạn sinh nênK = (xr+1)⊕. . .⊕(xn), trong đóxi, i=r+ 1, . . . , n, có cấp vô hạn. Vì thế G= (x1)⊕. . .⊕(xn).Theo Bổ đề 6.3.6, x1, . . . , xn là một hệ sinh độc lập của G.
6.4.7. Định lý. Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh G đều phân tích đ−ợc thành tổng trực tiếp của những nhóm con xyclic không phân tích đ−ợc.
Chứng minh. GọiH là tập các phần tử có cấp hữu hạn của G.Khi đóH là nhóm Abel cấp hữu hạn,G/H là Abel tự do hữu hạn sinh vàG∼=H⊕G/H. Do G/H là Abel tự do nên nó là tổng trực tiếp của những bản sao của Z, tức là tổng trực tiếp của những nhóm con xyclic không phân tích đ−ợc. Do H là nhóm Abel cấp hữu hạn nên theo Định lí cơ sở 6.3.4, H là tổng trực tiếp của những nhóm con xyclic cấp hữu hạn. Lại theo Bổ đề 6.3.8, mỗi
hạng tử trực tiếp xyclic củaH là tổng trực tiếp của những nhóm con xyclic không phân tích đ−ợc.
Cho G là nhóm Abel hữu hạn sinh. Giả sử
G=G1⊕G2⊕. . .⊕Gn (∗)
là một phân tích của G thành tổng trực tiếp của những nhóm con xyclic không phân tích đ−ợc. Dễ thấy rằng
G=Gπ(1)⊕Gπ(2)⊕. . .⊕Gπ(n)
với mọi phép thế π của tập {1,2, . . . , n}.Vì thế, bằng cách đánh số lại thứ tự của các nhóm Gi, ta có thể yêu cầu phân tích (*) có tính chất: G1 là nhóm có cấp là luỹ thừa cao nhất của số nguyên tố p1 bé nhất, G2 là nhóm có cấp là luỹ thừa cao nhất của p1 trong những nhóm còn lại. Sau khi viết hết các nhóm có cấp là luỹ thừa củap1, ta viết đến các nhóm có cấp là luỹ thừa của số nguyên tố p2 với thứ tự từ nhóm cấp cao đến nhóm cấp thấp, trong đó p2 là số nguyên tố bé nhất trong những số nguyên tố còn lại. Cứ tiếp tục quá trình trên cho đến khi viết hết các nhóm Gi nguyên sơ, cuối cùng ta viết các nhóm xyclic vô hạn. Phân tích (*) nh− thế đ−ợc gọi làphân tích tiêu chuẩn hay phân tích chính tắc của G thành tổng của những nhóm con xyclic không phân tích đ−ợc.
6.4.8. Định lý. Cho G và H là các nhóm Abel hữu hạn sinh. Giả sử G=G1⊕G2⊕. . .⊕Gn;
là các phân tích tiêu chuẩn của G và H thành tổng trực tiếp của những nhóm con không phân tích đ−ợc. Khi đó G∼=H nếu và chỉ nếun= k và Gi ∼=Hi với mọi i= 1, . . . , n.
Chứng minh. Giả sử n= k và Gi ∼=Hi với mọi i = 1, . . . , n. Khi đó với mỗi i, tồn tại đẳng cấu fi : Gi −→ Hi. Gọi f : G −→ H là ánh xạ định nghĩa nh− sau: Vớix∈G, ta có một biểu diễn duy nhấtx=x1+. . .+xn
với xi ∈Gi. Khi đó ta đặt f(x) =ni=1fi(xi). Rõ ràng f là đẳng cấu, tức là G ∼= H. Ng−ợc lại, cho G ∼=f H. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Nếun= 1thì G là xyclic không phân tích đ−ợc và do đóH cũng là xyclic không phân tích đ−−ợc có cùng cấp, tức là k = n = 1 và H1 ∼= G1. Cho n > 1. Giả sử Gi = (ai) với i = 1, . . . , n và Hi = (bi) với i = 1, . . . , k. NếuGkhông có phần tử xoắn thìH cũng không có phần tử xoắn. Vì thế G và H là các nhóm Abel tự do hữu hạn sinh đẳng cấu với nhau. Theo Định lí 6.2.10, n=k vàGi ∼=Z∼=Hi với mọii= 1, . . . , n.Giả sửGcó phần tử xoắn. Khi đóa1 có cấp hữu hạn. VìG1 không phân tích đ−ợc nêna1 có cấp pr vớipnguyên tố. DoG có phần tử xoắn nênH cũng có phần tử xoắn. Vì thếb1 có cấp qs với q là số nguyên tố. Giả sử p < q. Vì f là đẳng cấu nên f(a1) có cấp pr. Viết f(a1) =ki=1mibi. Ta có pra1 = 0 = ik=1prmibi. Do phân tích tổng trực tiếp của H, suy ra prmibi = 0 với mọi i. Do phân tích trên của H là phân tích tiêu chuẩn nên với i = 2, . . . , k, cấp của bi là vô hạn, hoặc cấp của bi là qsi
i với qi nguyên tố và qi ≥q > p. Do đó ta có mibi = 0 với mọi i ≥ 1. Suy ra f(a1) = 0, điều này là vô lí. Vậy p ≥ q. T−ơng tự q ≥p và vì vậy p=q. Giả sử pr > qs =ps. Khi đó r > s. Bằng lập luận t−ơng tự ta có prmibi = 0 với mọi i. Vì thế, nếubi có cấp vô hạn hoặcbi có cấp qsi
đóI ={i: qi =p}.Do r > s với chú ý rằng phân tích trên của H là phân tích tiêu chuẩn, tức là với mọi i∈I, cấp củabi là psi với si s, nên ta có
0=psf(a1) =
i∈I
mipsbi = 0,
điều này là vô lí. Vậy r s. T−ơng tự r ≥ s, và vì thế r = s. Nh− vậy, G1 và H1 là xyclic cùng cấp, suy ra G1 ∼=H1. VìG∼=H và G1 ∼=H1 nên G ∼=H, trong đó G =G2⊕. . .⊕Gn và H =H2 ⊕. . .⊕Hk. Theo giả thiết quy nạp,n−1 =k−1 và Hi ∼=Gi với mọi i= 2, . . . , k.
Nh− vậy, ta đa chứng minh xong định lí rất đẹp sau đây của lí thuyết nhóm, gọi là Định lí cơ bản của nhóm Abel hữu hạn sinh.
6.4.9. Định lý. Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh đều phân tích đ−ợc một cách duy nhất d−ới dạng tiêu chuẩn thành tổng trực tiếp của những nhóm con xyclic không phân tích đ−ợc.
Bài tập
161. Chứng minh rằng nhóm cộng Q không hữu hạn sinh và không phân tích đ−ợc.
162. Hay phân tích nhómZ12 thành tổng trực tiếp của các nhóm con xyclic không phân tích đ−ợc.
163. ChoGlà nhóm giao hoán cấp nm, trong đónvà mlà nguyên tố cùng nhau. Giả sử A, B là các nhóm con của G có cấp lần l−ợt là n, m. Chứng minh rằngG=AB∼=AìB.
164. Dùng Định lí cơ sở 6.3.4 để chứng minh rằng nếu G là nhóm giao hoán cấp n, plà số nguyên tố và k > 0là số nguyên sao cho pk là −ớc của n thì G có ít nhất một nhóm con cấp pk. Từ đó suy ra rằng nếu d là −ớc của nthì trong G có ít nhất một nhóm con cấp d.
165. Cho G là nhóm Abel cấp n và p là −ớc nguyên tố của n. Đặt Gp ={x∈G : cấp của x là một luỹ thừa của p}.
Chứng minh rằng Gp là p−nhóm con Sylow duy nhất của G và nếu n = pt1
1 . . . ptk
k là sự phân tích tiêu chuẩn của nthành tích các thừa số nguyên tố thì
G=Gp1 ⊕. . .⊕Gpk trong đóGpi có cấppti
i với mọi i= 1, . . . , k.
166. Hay phân tích nhóm Abel cấp 200 thành tổng trực tiếp của những nhóm con Sylow.
167. (a) Các nhóm Z10⊕Z6 và Z5⊕Z12 có đẳng cấu với nhau không? (b) Có bao nhiêu nhóm Abel cấp 200 đôi một không đẳng cấu với nhau. Viết các nhóm này d−ới dạng phân tích tiêu chuẩn thành tổng trực tiếp của
những nhóm con xyclic không phân tích đ−ợc.
168. Cho G là nhóm Abel cấp hữu hạn cấp n. Chứng minh rằng nếu G không là nhóm xyclic thì tồn tại một −ớc nguyên tốpcủansao choGchứa một nhóm con đẳng cấu với Zp⊕Zp. Từ đó suy ra rằng nếu n không chia hết chop2 với mọi số nguyên tố p thì Glà nhóm xyclic.
169. Cho G là p−nhóm Abel và x∈G là phần tử có cấp cao nhất. Chứng minh rằng(x) là một hạng tử trực tiếp của G.
170. Chứng minh rằng nhóm con của một nhóm Abel hữu hạn sinh là nhóm Abel hữu hạn sinh.
Tài liệu tham khảo
[1] M. Aschbacher,Finite group theory, (Second Edition), Cambridge Uni- versity Press, 2000.
[2] Nguyễn Tự C−ờng, Đại số hiện đại,NXBĐHQG Hà Nội, 2003. [3] Bùi Huy Hiền và Phan Doan Thoại, Bài tập Đại số và số học, Tập 2,
NXBGD, 1986.
[4] Nguyễn Hữu Việt H−ng, Đại số đại c−ơng, NXBGD, 1999. [5] S. Lang,Algebra, Springer-Verlag, 2002.
[6] Joseph J. Rotman, An introduction to the theory of groups, (Fourth Edition), Springer -Verlag, 1999.
[7] Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học, Tập II, NXBGD, 1986.